Regelungs- und Systemtechnik 2 Winter 2017/2018

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1 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Wiederholung mathematischer Grundlagen Die folgende Zusammenstellung orientiert sich an den in der Vorlesung Regelungs- & Systemtechnik Anwendung findenden ingenieurmathematischen Grundlagen. Sie ist bewußt beispielhaft gehalten und als solche nicht dazu gedacht, eine eingängigere Wiederholung und Auseinandersetzung mit den Begriffen und Konzepten anhand einschlägiger Lehrbücher oder Vorlesungsmitschriften der Grundlagenmathematik zu ersetzen. Die Zusammenstellung erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Vielmehr soll sie anregen, sich mit den bereits erlernten mathematischen Konzepten auf die Vorlesung fokusiert auseinanderzusetzen. Die mitunter angeführten Schritte zur Lösung einfacherer Aufgaben stellen im allgemeinen nur einen möglichen Lösungsweg dar. Eine in gewisser Hinsicht geschicktere Vorgehensweise ist durchaus möglich.. Lösung linearer skalarer Differentialgleichungen Die Lösung der skalaren linearen Differentialgleichung ẋt = at xt+ut mit xt, ut, at R ist gegeben als Summe der homogenen Lösung x h t und einer partikulären Lösung x p t, d.h. xt = x h t+ x p t. Die zugehörige homogene Differentialgleichung löst die Funktion ẋ h t = at x h t. x h t = exp aτ dτ c t mit beliebiger Konstanten c R. Eine partikuläre Lösung x p t von erhält man dann z.b. über die Variation der Konstanten, d.h. über den speziellen Lösungsansatz x p t = exp aτ dτ ct. t Einsetzen des Ansatzes in führt auf exp aτ dτ atct + exp aτ dτ ċt = at exp aτ dτ ct+ut t t t t ċt = exp aτ dτ ut t t τ ct = exp aτ dτ u τ d τ+c t t für beliebiges c R. Damit ist eine partikuläre Lösung für die Wahl c = nun t τ x p t = exp aτ dτ exp aτ dτ u τ d τ t t t t = exp aτ dτ u τ d τ t τ Prof. Johann Reger Seite 8. März 8

2 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Damit ergibt sich die an den Anfangswert xt = x angepaßte allgemeine Lösung von zu t xt = exp aτ dτ x + exp aτ dτ u τ d τ. t t τ Für at a = konst. erhält die Lösung die etwas einfachere Darstellung t xt = expat t x + expat τ uτ dτ. t. Rang, Bild und Kern einer Matrix Der Spaltenrang einer Matrix A R m n ist die Anzahl von deren linear unabhängigen Spaltenvektoren. Der Zeilenrang einer Matrix A R m n ist die Anzahl von deren linear unabhängigen Zeilenvektoren. Man kann zeigen, daß Spaltenrang und Zeilenrang stets identisch sind. Daher spricht man häufig auch nur vom Rang einer Matrix. Der Rang einer Matrix kann z.b. mittels elementarer Zeilenoperationen festgestelt werden. Dabei versucht man durch elementare Zeilen- bzw. Spaltenoperation, d.h. Tausch von Zeilen Spalten und durch Addition von Vielfacher einer anderen Zeile Spalte auf eine Zeile Spalte, die Matrix so umzuformen, daß die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen Spalten abgelesen werden kann. Diese Operationen verändern den Rang der Matrix nicht. Beispiel: A = Damit ist RangA = Das Bild einer Matrix A R m n, bezeichnet als BildA, ist der Raum, den die Spaltenvektoren der Matrix aufspannen. Für die Dimension dieses Raumes gilt offenbar dimbilda = RangA. Da die Spalten- bzw. Zeilenvektoren einer Matrix nicht notwendigerweise linear unabhängig sein müssen, ist die Dimension des Bildraums Im vorangehenden Beispiel: BildA = span, dimbilda min{m, n}., 4 = span,, Der Kern oder Nullraum einer Matrix A R m n, bezeichnet als KernA, ist der Raum, den alle möglichen Lösungsvektoren x R n der Gleichung A x = aufspannen. Für die Dimensionen von Bild und Kern einer Matrix gilt die Beziehung: dimbilda+dimkerna = n. Prof. Johann Reger Seite 8. März 8

3 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Im vorangehenden Beispiel: Zur Bestimmung von KernA lösen wir das Gleichungssystem A x =. Wir nutzen, daß x x x x = x x 4 = x 4 x 4 Demnach ist x 4 = und x kann frei gewählt werden. Damit ist x = x, x = x, und somit KernA = span. Die Dimension des Kerns ist dimkerna =, wie erwartet.. Determinante, charakteristisches Polynom und Spur einer Matrix Die Begriffe Determinante und charakteristisches Polynom einer Matrix beziehen sich nur auf quadratische Matrizen A R n n. Anstatt die allgemeine Definition zu wiederholen, soll hier nur die Bestimmung der Determinanten einer Matrix mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes an einem Beispiel verdeutlicht werden. Beispiel: Wir bestimmen die Determinante der Matrix A = Die Einfärbung in den Farben rot und blau soll dabei negative und positive Vorzeichen für das bei der Berechnung zu verwendende Vorzeichenschachbrett kenntlich machen. Um den Aufwand zu reduzieren, ist es geschickt nach der 4. Zeile zu entwickeln und die Derminante der verbleibenden Matrix dann anschließend nach der. Spalte oder. Zeile. Wir erhalten deta = = + = 8 = 4 Für A, Ā R n n gilt:. deta Ā = deta detā. Das Polynom detλ I A heißt charakteristisches Polynom der Matrix A. Die dabei verwendete Matrix λ I A heißt charakteristische Matrix von A. Im vorangehenden Beispiel: detλ I A = λ λ+ λ λ = = λ4 λ 5λ + 4λ 4 Prof. Johann Reger Seite 8. März 8

4 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Das charakteristische Polynom läßt sich in der Form detλ I A = λ n + a n λ n + +a λ+a schreiben. Der Vorfaktor des Monoms höchsten Grades, d.h. λ n, ist dabei stets und das konstante Element a des charakteristischen Polynoms erfüllt a = n deta. Der Koeffizient a n des Monoms zweithöchsten Grades ergibt sich als a n = spura. Dabei meint der Ausdruck spura die Spur der Matrix A, d.h. die Summe der Diagonaleinträge von A. Setzt man in das charakteristische Polynom detλ I A für den Parameter λ die Matrix A selbst ein, dann ergibt sich stets die Nullmatrix Satz von Cayley-Hamilton. Demnach gilt A n + a n A n + +a A+ a I =. Damit können alle Potenzen A i mit i n als Linearkombination von Potenzen niedrigeren Grades ausgedrückt werden. 4. Besondere Matrizen Für symmetrische Matrizen A R n n gilt: A T = A. Diagonale Matrizen sind als Sonderfall trivialerweise symmetrisch. Für schiefsymmetrische, oder auch antisymmetrisch genannte Matrizen A R n n gilt: A T = A. Die Adjungte zu einer Matrix A, bezeichnet als adja, bestimmt sich komponentenweise jeweils durch Bildung der Unterdeterminanten, die man erhält, wenn man Zeile und Spalte des betrachteten Elements in A streicht und das Vorzeichenschachbrett berücksichtigt. Die sich so ergebende transponierte Matrix ist die Adjungte von A. Beispiel Die Adjunkte von bestimmt sich gemäß adja = A = Die Inverse A einer Matrix A erfüllt die Beziehungen T A A = A A = I = 5 T = 5 Prof. Johann Reger Seite 4 8. März 8

5 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Sie existiert genau dann, wenn die Matrix A nicht-singulär ist, d.h. deta =. Offenbar gilt deta = deta. Die Inverse läst sich über die Adjunkte nach der Beziehung A = deta adja bestimmen. Diese Beziehung ist vor allem dann von Relevanz, wenn die Matrix A nicht zahlenmäßig, sondern in Form von symbolischen Ausdrücken gegeben ist. Zur Bestimmung der Inversen einer zahlenmäßig gegebenen Matrix A, insbesondere wenn sie viele Nullen aufweist, ist es häufig geschickter, die erweiterte Matrix A I mittels elementarer Zeilenbzw. Spaltenoperation auf die FormI A zu transformieren. Im vorangehenden Beispiel: A I = Für orthogonale Matrizen A R n n gilt besonders vereinfachend A T A = A A T, A = d.h. es ist A = A T. Determinanten orthogonaler Matrizen sind entweder oder. Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix A ist definiert über die Reihe Für zwei Matrizen A, B R n n gilt e A := A i i!. i= e A e B = e A+B A B = B A, d.h. die für Skalare übliche Regel für Exponenten gilt im Matrixfall nur, wenn A und B kommutieren. Für jede quadratische Matrix A R n n existiert die Inverse von e A. Sie lautet: e A = e A. Man kann zeigen, daß die Reihe der Matrixexponentialfunktion absolut konvergiert. Dann kann die Cauchysche Regel für das Produkt absolut konvergenter Reihen i= a i und j= b j verwendet werden. Das Produkt der Reihen ist dann ebenso absolut konvergent und es gilt: a i b j = i= j= c k mit c k = k= k a n b k n. n= Prof. Johann Reger Seite 5 8. März 8

6 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 5. Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix, Ähnlichkeitstransformation Die Eigenwerte einer Matrix A R n n sind gerade die Nullstellen Wurzeln des charakteristischen Polynoms detλ I A. Für reellwertige Matrizen A sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms reell. Damit sind die Eigenwerte entweder reell oder sie treten als konjugiert komplexe Paare auf. Zu einer Matrix der Dimension n n gehören n Eigenwerte λ,..., λ n, die aber im allgemeinen nicht paarweise voneinander verschieden sein müssen. Es liegen dann mehrfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms vor. Die Vielfachheit der unterschiedlichen Eigenwerte λ i wird als algebraische Vielfachheit mult alg λ i bezeichnet. Die Eigenwerte einer Matrix sind genau diejenigen Zahlen λ, welche die charakteristische Matrix λ I A singulär machen. Damit ist für jeden Eigenwert λ i auch das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem λ i I A v i =, d.h. die sogenannte charakteristische Gleichung lösbar. Lösungsvektoren v i C n können mit beliebigen, von null verschiedenen Faktoren skaliert bzw. normiert werden und sind dann wieder Lösungen der charakteristischen Gleichung. Im allgemeinen lösen zu einem Eigenwert λ i mehrere linear unabhängige Vektoren die charakteristische Gleichung. Diese zu einem Eigenwert λ i gehörenden linear unabhängigen Vektoren, heißen Eigenvektoren des Eigenwerts λ i. Alle zusammen spannen den zu λ i gehörigen Eigenraum auf. Zu einem Eigenwert λ i gibt es genau so viele linear unahängige Lösungsvektoren der charakteristischen Gleichung, wie der Rangdefekt der charakteristischen Matrix ist, d.h. deren Anzahl ist genau dimkernλ i I A = n dimbildλ i I A. Man nennt diese Anzahl auch geometrische Vielfachheit mult geo λ i des Eigenwerts λ i. Matrizen, bei denen für jeden Eigenwert λ i algebraische und geometrische Vielfachheit zusammenfallen, d.h. wenn für alle Eigenwerte λ i einer Matrix gilt mult geo λ i = mult alg λ i heißen diagonalisierbar, andernfalls nicht-diagonalisierbar. Da stets gilt mult geo λ i mult alg λ i, stellen Matrizen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten einen Sonderfall der diagonalisierbaren Matrizen dar. Ist eine Matrix diagonalisierbar, so sagt man auch, sie ist diagonalähnlich. Jede diagonalisierbare Matrix A R n n läßt sich mit einer nicht-singulären, im allgemeinen aber komplexwertigen Matrix V C n n in folgender Form schreiben: A = V Λ V. Dabei ist Λ eine aus den Eigenwerten von A gebildete Diagonalmatrix Λ = diagλ,..., λ n und V bestimmt sich aus den in den zugehörigen Spalten angeordneten Eigenvektoren, d.h. V = v,..., vκ,..., v N,..., vκ N N der entsprechenden geometrischen Vielfachheit κ i Eigenwerte Reihenfolge beachten!. = mult geo λ i der N paarweise verschiedenen Prof. Johann Reger Seite 6 8. März 8

7 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Zwei Matrizen A, Ā C n n heißen zueinander ähnlich, wenn sie über eine sogenannte Ähnlichkeitstransformation in Zusammenhang stehen, d.h. wenn es eine nicht-singuläre Matrix T C n n so gibt, daß Ā = T A T. Zu einander ähnliche Matrizen haben u.a. das selbe charakterische Polynom, wie man leicht mit Hilfe der Regeln zur Determinatenbildung von Matrizenprodukten herleiten kann. Auch an einer Matrix durchgeführte elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern deren Eigenwerte nicht. Beispiel Wir untersuchen die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix vom Typ Frobenius-Matrix auch Begleitmatrix genannt A =. Eigenwerte Das charakeristische Polynom berechnet sich zu λ detλ I A = det λ = λ λ+ λ +λ+ λ λ = λ + λ + λ+ Die Nullstellen dieses Polynoms, d.h. die Eigenwerte von A, sind λ =, λ = j und λ = j. Jeder Eigenwert hat die algebraische Vielfachheit mult alg λ i =, d.h. die Eigenwerte sind paarweise verschieden und A ist diagonalisierbar. Eigenvektoren Eigenvektoren zu λ = : Wir suchen Vektoren v C mit λ I A v = v =. Elementare Zeilenumformungen liefern: Wählen wir die zweite Komponente von v frei, so sieht man, daß alle Vektoren v = c mit c = Eigenvektoren zum Eigenwert λ = sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir die Konstante c zu c = und erhalten als einzigen linear unabhängigen Eigenvektor v =. Prof. Johann Reger Seite 7 8. März 8

8 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Eigenvektoren zu λ = j: Wir suchen Vektoren v C mit λ I A v = Elementare Zeilenumformungen liefern: j j j+ j j j j+ j j j+ v = j j j Wählen wir die dritte Komponente von v frei, so sieht man, daß alle Vektoren v = c j mit c = Eigenvektoren zum Eigenwert λ = j sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir die Konstante c zu c = und erhalten als einzigen linear unabhängigen Eigenvektor v = Eigenvektoren zu λ = j: Da zu konjugiert komplexen Eigenwerten konjugiert komplexe Eigenvektoren gehören, folgt sofort der zum Eigenwert λ = j gehörende linear unabhängige Eigenvektor v = j. Bei jedem Eigenwert ist die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit, wie man anhand der paarweisen Verschiedenheit der Eigenwerte schon erschließen konnte. j Damit folgt, daß die Matrix der spaltenweise eingetragenen Eigenvektoren V =. j j die zugehörige Matrix A diagonalisiert, denn V A V = Λ = j j, wie man leicht nachprüft. Da A hier eine Frobenius-Matrix ist, hätte man die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms detλ I A = λ n + a n λ n + +a λ+a natürlich auch direkt als negative Einträge der letzten Zeile von A ablesen können, d.h. es gilt: a = A n, a = A n,..., a n = A n,n. Zudem gilt speziell für Frobenius-Matrizen, daß Eigenwerte eine geometrische Vielfachheit von aufweisen. Hat man die Eigenwerte λ i der Frobenius-Matrix ermittelt, so bestimmen sich die zugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren v i einfach aus der Beziehung v i =, λ i, λ i,..., λn i T, was den Berechnungsaufwand deutlich reduzieren hilft. Prof. Johann Reger Seite 8 8. März 8

9 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Beispiel Wir untersuchen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =. Eigenwerte Da es sich um einer Dreiecksmatrix handelt, kann man die Eigenwerte der Matrix sofort von der Diagonalen ablesen und das charakteristische Polynom ist dann detλ I A = λ, d.h. der einzige Eigenwert λ = hat die algebraische Vielfachheit mult alg λ =. Eigenvektoren Wir bestimmen die zu λ = gehörenden Eigenvektoren, d.h. suchen Vektoren v C mit λ I A v = v = und erhalten v = c +c mit c, c =. Es gibt also zu λ = genau linear unabhängige Eigenvektoren, d.h. λ hat die geometrische Vielfachheit mult geo λ =. Da die algebraische Vielfachheit jedoch mult alg λ = beträgt, unterscheiden sich die Vielfachheiten. Konsequenz: Matrix A ist nicht-diagonalisierbar. 6. Eigenwerte und Eigenvektoren besonderer Matrizen Transponierte Matrix Die Eigenwerte der Transponierten A T fallen mit den Eigenwerten von A zusammen. Zu jedem Eigenwert sind die zugehörigen Eigenvektoren von A T orthogonal zu den entsprechenden Eigenvektoren von A. Symmetrische Matrix Symmetrische Matrizen weisen ausschließlich reelle Eigenwerte auf. Sind immer diagonalähnlich und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal. Zu jeder symmetrischen Matrix A R n n kann eine orthogonale Transformationsmatrix T R n n gefunden werden, so daß T T A T = diagλ,..., λ n mit den reellen Eigenwerten λ,..., λ n von A. Dies gelingt auf Grundlage der Eigenvektoren von A, indem man je unterschiedlichen Eigenwert alle zugehörigen Eigenvektoren des Eigenraums einer Orthonormalisierung Gram-Schmidt-Verfahren unterzieht und diese Vektoren dann spaltenweise in der Matrix T entsprechend der Numerierung der Eigenwerte anordnet. Prof. Johann Reger Seite 9 8. März 8

10 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Inverse Matrix Die Eigenwerte von A ergeben sich als Kehrwerte der Eigenwerte von A. Die zu den jeweiligen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind genau die entsprechenden von A. Orthogonale Matrix Jeder Eigenwert λ einer orthogonalen Matrix hat den Betrag λ =, d.h. alle Eigenwerte befinden sich auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene. 6. Definitheit Die Definitheit einer Matrix definiert man üblicherweise anhand der Bilinearform x T A x. Da für beliebige A R n n stets die Zerlegung A = A+ A T + A A T gilt, kann man jede Matrix als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen. Man zeigt leicht, daß wenn A schiefsymmetrisch ist, für belieibge x R n gilt: x T A x =. Daher führt man Definitheit von Matrizen häufig nur für symmetrische Matrizen ein. Eine symmetrische Matrix A R n n heißt, positiv definit, wenn x T A x > positiv semidefinit, wenn x T A x negativ definit, wenn x T A x < negativ semidefinit, wenn x T A x für alle x R n \{} gilt. Sie heißt indefinit, wenn sie weder positiv noch negativ semidefinit ist. Kriterien I: Eine symmetrische Matrix A R n n ist positiv definit, wenn alle Eigenwerte λ i > positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte λ i negativ definit, wenn alle Eigenwerte λ i < negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte λ i indefinit, wenn sie positive und negative Eigenwerte hat Kriterien II: Eine symmetrische Matrix A R n n ist positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren Hauptabschnittsdeterminanten von A positiv sind negativ definit, wenn alle führenden Hauptminoren Hauptabschnittsdeterminanten von A positiv sind Prof. Johann Reger Seite 8. März 8

11 Regelungs- und Systemtechnik Winter 7/8 Beispiel Die Matrix A = ist positiv definit, denn alle führenden Hauptminoren sind positiv: >, = >, = 4 >. 7. Jacobi-Matrix Sei f = fx mit f : R n R m eine vektorwertige Funktion der vektorwertigen Größe x. Die Jacobi- Matrix f x ist gegeben als f f f x x x n f f x = f f x x x n f m x Beispiel f m x Wir bestimmen die Jacobi-Matrix von f mit fx = A x für A R m n. Mit f i x = A i x + + A in x n, i =,..., m, zeigt man leicht: f x = A. Beispiel Wir bestimmen die Jacobi-Matrix von f mit fx = x T A x für A R n n, d.h. den Gradienten der skalarwertigen Funktion f. Mit fx = n i= n j= A ijx i x j zeigt man: f m x n f x = f, f,..., f = x T A+ A T. x x x n Prof. Johann Reger Seite 8. März 8