Lösungen zur 4. Übung

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Vladislav Nenchev M.Sc. Arne Passon Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet gelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der gelungstechnik Lösungen zur 4. Übung Aufgabe 4. a) Berechnung der Übertragungsfunktionen vond (s) undr(s) nach Y(s) undu(s): Y(s) = G(s)K(s) G(s) R(s)+ D (s) +G(s)K(s) +G(s)K(s) }{{}}{{} V (s) V 2 (s) U(s) = K(s) +G(s)K(s) } {{ } V 2 (s) R(s)+ G(s)K(s) +G(s)K(s) } {{ } V 22 (s) D (s) Damit gilt V (s) = G(s)K(s) +G(s)K(s) = V 2 (s) = V 2 (s) = k s 2 +s 2+k G(s) +G(s)K(s) = s+ s 2 +s 2+k K(s) +G(s)K(s) = k(s 2 +s 2) (s+)(s 2 +s 2+k) V 22 (s) = G(s)K(s) +G(s)K(s) = k s 2 +s 2+k b) Mit G(s) = p G(s) und K(s) = p K(s) q G (s) q K (s) Kreises zu ergibt sich das Polpolynom des geschlossenen q cl (s) = q G (s)q K (s)+p G (s)p K (s) = (s+)(s 2 +s 2+k) und beinhaltet damit alle Wurzeln der ÜbertragungsfunktionenV ii. c) Die Hurwitzmatrix vonq cl (s) = (s+)(s 2 +s 2+k) = s 3 +2s 2 +(k )s+(k 2) ergibt sich zu 2 k 2 0 M n = k k 2

2 Die alteile der Pole von q cl (s) sind genau dann negativ, wenn alle nordwestlichen Unterdeterminanten vonm n positiv sind. Es muss also gelten: M = 2! > 0, M 2 = k! > 0, M 3 = k(k 2)! > 0. Somit ist der gelkreis (RK) fürk > 2 asymptotisch stabil. Aufgabe 4.2 Berechne alle nordwestlichen Unterdeterminanten vonm n (Skript, Satz 3..). Mit det(a)= A : a) 4 k 0 M n = 4 0, M = 4, M 2 = 4 4 k = 6 k >! 0 k < k b)! M 3 = k M 2 = k(6 k) > 0 k > 0, da(6 k) > 0 }{{} Entw. nach der letzten Spalte Somit RK as. stabil für 0 < k < k 0 M n = 0, M = k c) d) M 2 = 4 (k 6) = 0 k! > 0 k < 0! M 3 = (k 6) M 2 = (k 6)(0 k) > 0 k 6 > 0 }{{} 0 k k > 6 >0 Somit RK as. stabil für 6 < k < 0 5 0k 0 M n = 36 0, M = k M 2 = k = 540 0k! > 0 k < 54! M 3 = 0k M 2 = 0k(540 0k) > 0 k > 0 }{{} >0 Somit RK as. stabil für 0 < k < k 0 M n = 3+k 0, M = k M 2 = 3(3+k) (+0k) = 8 7k >! 0 k < 8 7! M 3 = (+0k) M 2 = (+0k)(540 0k) > 0 k >, aber k R+ }{{} 0 >0 Somit RK as. stabil für 0 < k < 8 7 2

3 e) q cl (s) ist ein Polynom 2. Grades. Anwendung der Vorzeichenbedingung ergibt: RK as. stabil, fürk > 2 f) Die notwendige Bedingung für asymptotische Stabilität (alle Koeffizienten vonq cl (s) haben das gleiche Vorzeichen) ist nicht erfüllt RK instabil für allek Aufgabe 4.3 a) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 0 Phasendrehung der Ortskurve Γ = 0 geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung =0 asymptotisch stabil b) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 0 Phasendrehung der Ortskurve Γ = π geforderte Phasendrehung tatsächliche Phasendrehung nicht asympt. stabil c) r G = 0, r K = geforderte Phasendrehung Γ = π Phasendrehung der Ortskurve Γ = 0 geforderte Phasendrehung tatsächliche Phasendrehung nicht asympt. stabil d) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 0 Phasendrehung der Ortskurve Γ = 0 geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung =0 asympt. stabil e) r G = 2, r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 2π Phasendrehung der Ortskurve Γ = π geforderte Phasendrehung tatsächliche Phasendrehung nicht asympt. stabil Aufgabe 4.4 Durch das Ausschließen (Vorgehensweise ) oder das Einschließen (Vorgehensweise 2) der Pole auf der imaginären Achse in die/aus der Nyquistkontur ergeben sich zwei Kurvenabschnitte. Ein Viertelkreis mit Radius ε << und eine Gerade auf der imaginären Achse, die der ursprünglichen Nyquistkontur fürω > ε entspricht. Für Vorgehensweise ergibt sich N := {s = εe jθ θ [ 0, π 2 ]} und N := {s = jω ω > ε} und für Vorgehensweise 2 Ñ := { s = εe jθ θ [ π, π 2 ] } und N := {s = jω ω > ε}. Um den zu N bzw. Ñ gehörenden Ortskurvenabschnitt zu berechnen muss s = εejθ bzw. s = εe jθ in G(s)K(s) eingesetzt werden. Die Abschätzung der Terme ergibt dann eine gute Näherung des Ortskurvenabschnittes. 3

4 a) Für Vorgehensweise ergibt die Berechnung des zu N bzw. Ñ gehörenden Ortskurvenabschnitts G(s)K(s) = 2 {}}{ (εe jθ +2) εe jθ (εe jθ +) 2 }{{} 2 εe jθ = 2 ε e jθ () Wenn manθ [ 0, π 2] in 2 ε e jθ einsetzt, ergibt sich ein Viertelkreis mit einem sehr großen Radius und negativer Drehrichtung. Für Vorgehensweise 2 ergibt sich G(s)K(s) = 2 {}}{ (εe jθ +2) εe jθ (εe jθ +) 2 }{{} 2 εe jθ = 2 ε ejθ (2) Wenn man θ [ π, π 2] in 2 ε ejθ einsetzt, ergibt sich ein Viertelkreis mit einem sehr großen Radius und positiver Drehrichtung. In Abb. ist die Ortskurve der offenen Kette für beide Vorgehensweisen dargestellt. Für die Stabilitätsuntersuchung ergibt sich Vorgehensweise : r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 0 Phasendrehung der Ortskurve Γ = 0 geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung =0 asympt. stabil Vorgehensweise 2: r G =, r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = π Phasendrehung der Ortskurve Γ = π geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung =π asympt. stabil G(s)K(s),s Ñ G(s)K(s),s N G(s)K(s),s N Abbildung : Abbildung G(s)K(s),s ( N Vorgehensweise 2 ) N von 4.4 a), rot: Vorgehensweise, grün: 4

5 b) Die Berechnung des zu N bzw. Ñ gehörenden Ortskurvenabschnitts ergibt für Vorgehensweise G(s)K(s) = εe 2jθ (εe jθ +) }{{} εe 2jθ = ε e 2jθ (3) Wenn man θ [ 0, π 2] in ε e 2jθ einsetzt, ergibt sich ein Halbkreis mit einem sehr großen Radius und negativer Drehrichtung. Für Vorgehensweise 2 ergibt sich G(s)K(s) = εe 2jθ (εe jθ +) }{{} εe 2jθ = ε e2jθ (4) Wenn man θ [ π, π 2] in ε e2jθ einsetzt, ergibt sich ein Halbkreis mit einem sehr großen Radius und positiver Drehrichtung. In Abb. ist die Ortskurve der offenen Kette für beide Vorgehensweisen dargestellt. Für die Stabilitätsuntersuchung ergibt sich Vorgehensweise : r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = 0 Phasendrehung der Ortskurve Γ = 2π geforderte Phasendrehung tatsächliche Phasendrehung nicht asympt. stabil Vorgehensweise 2: r G =, r K = geforderte Phasendrehung Γ = 2π Phasendrehung der Ortskurve Γ = 0 geforderte Phasendrehung tatsächliche Phasendrehung nicht asympt. stabil c) Die Berechnung des zu N bzw. Ñ gehörenden Ortskurvenabschnitts ergibt für Vorgehensweise G(s)K(s) = {}}{ (2εe jθ +) εe jθ (εe jθ ) }{{} Wenn man θ [ 0, π 2 großen Radius und negativer Drehrichtung. Für Vorgehensweise 2 ergibt sich G(s)K(s) = = εejθ ε e jθ = ε e j(θ+π) (5) ] in ε e j(θ+π) einsetzt, ergibt sich ein Viertelkreis mit einem sehr {}}{ (2εe jθ +) εe jθ (εe jθ ) }{{} = εe jθ ε ejθ = ε ej(θ+π) (6) 5

6 G(s)K(s),s Ñ G(s)K(s),s N G(s)K(s),s N Abbildung 2: Abbildung G(s)K(s),s ( ) N N von 4.4 b), rot: Vorgehensweise, grün: Vorgehensweise 2 Wenn man θ [ π, π 2] in ε ej(θ+π) einsetzt, ergibt sich ein Viertelkreis mit einem sehr großen Radius und positiver Drehrichtung. In Abb. ist die Ortskurve der offenen Kette für beide Vorgehensweisen dargestellt. Für die Stabilitätsuntersuchung ergibt sich Vorgehensweise : r G =, r K = 0 geforderte Phasendrehung Γ = π Phasendrehung der Ortskurve Γ = π geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung =π asympt. stabil Vorgehensweise 2: r G =, r K = geforderte Phasendrehung Γ = 2π Phasendrehung der Ortskurve Γ = 2π geforderte Phasendrehung = tatsächliche Phasendrehung = 2π asympt. stabil G(s)K(s),s N G(s)K(s),s Ñ G(s)K(s),s N Abbildung 3: Abbildung G(s)K(s),s ( N Vorgehensweise 2 ) N von 4.4 c), rot: Vorgehensweise, grün: 6

7 Aufgabe 4.5 a) Amplituden- und Phasenreserve sind nur für stabile gelkreise definiert (s. Skript, S. 5). Mit r G = r K = 0: gef. Phasendrehung = 0 und tats. Phasendrehung = 0 (siehe Nyquistplot) der RK ist asympt. stabil. Eine Vergrößerung der Amplitude bewirkt eine zentrische Streckung (bzgl. des Ursprungs) der Nyquistortskurve. Und eine Verringerung der Phase bewirkt eine Drehung der Nyquistortskurve (um den Ursprung) in mathematisch negativem Drehsinn. Beides führt dazu, dass die Nyquistortskurve dem kritischen Punkt näher kommt. Für eine Amplitudenerhöhung um A r 2 bzw. eine Phasenverringerung um Φ r 50 geht die Nyquistortskurve durch den kritischen Punkt (= Stabilitätsgrenze). Bodediagramm gilt analog, dass man den Amplitudengang um A r 6dB erhöhen muss bzw. den Phasengang um Φ r 50 verringern muss, damit der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht (d.h. der Amplitudengang schneidet die 0dB-Linie an der -selben Frequenz, an der der Phasengang die 80 -Linie schneidet. b) Ebenfalls stabil, da für r G = r K = 2: gef. Phasendrehung = 2π und tats. Phasendrehung = 2π). Hier führt aber eine Amplitudenverringerung und eine Phasenvergrößerung dazu, dass der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht. Somit sind in diesem Fall nur die Kenngrößen Φ r und Ãr definiert und können im Bodediagramm abgelesen werden. Es ergibt sich A r 8dB 0.45 und Φ r 72 oder eine andere Linie, die um ein Vielfaches von360 über oder unter der 80 -Linie liegt) 7

8 Aufgabe 4.6 a) b) i) r G und r K ist die Anzahl der instabilen Polstellen von G und K und die geforderte Phasendrehung ergibt sich nach dem Nyquistkriterium zu π(r G + r K ). Hier gibt r G = r K = 0 und somit eine gef. Phasendrehung von0. Die tats. Phasendrehung der Nyquistortskurve bzgl. des kritischen Punktes kann rechts abgelesen werden und ergibts ich zu 0 (schwarze Kurve). Der RK ist also as. stabil. ii) iii) Für k 0 zieht sich die Kurve um den Nullpunkt zusammen. (Grüne Kurve,k = 0.5) Für k dehnt sie sich aus. (Blaue Kurve, k = 2) Es gilt für alle k Ê + as. Stabilität da die tats. Phasendrehung bzgl. des kritischen Punktes für allek Ê + gleich ist. A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert. Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert (schwarze Kurve). i) r G = r K = 0 gef. Phasendrehung= 0 tatsächliche Phasendrehung = 0 as. stabil ii) iii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr. = π nicht as. stabil A r ist definiert als der Abstand vom Ursprung mit dem Schnittpunkt der Nyquist Ortskurve und der negativen reellen Achse A r 0 9 (siehe blauer Pfeil) Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert 8

9 c) d) i) r G = r K = 0 gef. Phasendrehung = 0 tats. Phasendrehung = 0 as.stabil ii) iii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr. = 2π nicht as. stabil A r 0 (siehe blauer Pfeil) 4 Φ r ist definiert als der Winkel zwischen dem Vektor vom Ursprung zu(,0) und dem Vektor vom Ursprung zum Schnittpunkt zwischen der Nyquist Ortskurve mit dem Einheitskreis Φ r 70 (siehe roter Pfeil) i) r G =, r K = 0 gef. Phasendrehung = π tats. Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) Der gelkreis ist für kein k Ê + as. stabil. iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der gelkreis nicht as. stabil ist. e) i) r G =, r K = 0 gef. Phasendrehung = π tats. Phasendrehung = π as. stabil ii) iii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr.= π as. stabil Ãr 2 (siehe blauer Pfeil) 3 Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert f) i) r G =, r K = 0 h gef. Phasendrehung= π tatsächliche Phasendrehung = π as. stabil ii) iii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr.= π as. stabil Ãr 2 (siehe blauer Pfeil) 3 Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert 9

10 g) i) r G = 2, r K = 0 gef. Phasendrehung = 2π tatsächliche Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr.= 2π as. stabil iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der gelkreis nicht as. stabil ist. h) i) r G = 3, r K = 0 gef. Phasendrehung = 3π tatsächliche Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) Der gelkreis ist für kein k Ê + as. stabil. iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der gelkreis nicht as. stabil ist. i) i) Nyquistkontur muss verändert werden (Aufg. 4.4). Es wird beispielhaft Vorgehensweise verwendet. r G = r K = 0 gef. Phasendrehung = 0 tatsächliche Phasendrehung = 0 as. stabil ii) Der gelkreis ist für allek Ê + as. stabil. iii) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r 50 (siehe roter Pfeil) 0

11 j) k) i) Nyquistkontur muss verändert werden (Aufg. 4.4). Es wird beispielhaft Vorgehensweise verwendet. r G = r K = 0 gef. Phasendrehung = 0 tatsächliche Phasendrehung = 0 as. stabil ii) iii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr.= 0 as. stabil aber es existiert ein Interval k [k,k 2 ] für k,k 2 Ê + für das die tats. Ph.dr. = 2π ist. Der gelkreis kann somit instabil werden. A r 0 (siehe blauer Pfeil) 8 Φ r 0 (siehe roter Pfeil) i) r G = 0,r K = 0 gef. Phasendrehung= 0 tatsächliche Phasendrehung = 0 as. stabil ii) Der gelkreis ist für allek Ê + as. stabil. iii) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r 60 (siehe roter Pfeil) Aufgabe 4.7 a) r G +r K = geforderte Phasendrehung = π k = 0 tatsächliche Phasendrehung= 0 gelkreis nicht as. stabil k = 25 tatsächliche Phasendrehung= π gelkreis as. stabil k = 50 tatsächliche Phasendrehung= π gelkreis nicht as. stabil b) Stabilitätsreserven sind nur für asympt. stabile RK defininiert und können deshalb nur für den Fall k = 25 angegeben werden. Da sowohl eine Verkleinerung als auch eine Vergrößerung der Verstärkung dazu führt, dass der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht, sind beide Formen der Amplitudenreserve definiert und ergeben sich zu:a r 0 6,Ãr 0 2 c) Der gelkreis ist as. stabil, wenn die Verstärkung innerhalb der durch die Stabilitätsreserven gegebenen Schranken liegt, d.h. wenn k (25Ãr,25A r ) (.9, 4.66)

12 Aufgabe 4.8 Die Nyquistortskurve muss aus dem Bodediagramm skizziert werden um in Teilaufgabe i) Aussagen über die Stabilität des gelkreises treffen zu können, da man dies nur für Spezialfälle (siehe Zusatzaufgabe unten) direkt aus dem Bodediagramm ablesen kann. Für alle gelkreise in dieser Aufgabe ist die gef. Phasendrehung = 0 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden (siehe Aufg. 4.4)), da nur einfache Pole G(s)K(s) mit negativem alteil auftreten. Für das Ablesen der Kenngrößen A r und Φ r sowie für die Bearbeitung der Aufgabenteile ii) und iii) soll das Bodediagramm verwendet werden. (A) (P) i) Der gelkreis ist as. stabil, da gef. und tats. Phasendrehung = 0 ist. Allerdings sind A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert, bzw. im Bodediagramm der Phasengang die 80 -Linie nicht schneidet! Man zeichnet im Bodediagramm eine senkrechte Linie durch den Schnittpunkt des Amplitudenganges mit der 0dB-linie (rote Linie) und liest dann den Abstand vom Schnittpunkt der roten Linie mit dem Phasengang zur 80 -Linie ab:φ r 50. ii) Der gelkreis ist as. stabil für allek P Ê +, da keine Verstärkung die tatsächliche Phasendrehung verändert. iii) Man zeichnet eine senkrechte Linie durch den Punkt wo der Phasengang = 35 beträgt. Die notwendige Verstärkung kann nun zwischen dem Schnittpunktes des Amplitudenganges mit dieser Linie und der 0dB-Linie abgelesen werden. Dies ergibt k P 3dB. Bodediagramm für (A) (P) (A) (I) Nyquistortskurve für (A) (P) i) Tatsächliche Phasendrehung = 3 2 π = 270 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden (siehe Aufg. 4.4)). Der gelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven. ii) k I < 30dB iii) k I 40dB 2

13 Nyquistortskurve für (A) (I) (A) (PI) Zoom für (A) (I) i) Die tatsächliche Phasendrehung ist gleich der geforderten. Der gelkreis ist somit as. stabil. Damit ergeben sich die Stabilitätsreserven zua r 4dB und Φ r 47. ii) k PI < 5dB iii) k PI = Nyquistortskurve für (A) (PI) Bodediagramm für (A) (PI) 3

14 (B) (P) i) Die tatsächliche Phasendrehung beträgt π = 80. Der gelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven. ii) k P < 20dB iii) Diese Phasenreserve lässt sich nicht einstellen, da die Nyquistortskurve den Einheitskreis für kein k P schneidet. Nyquistortskurve für (B) (P) (B) (I) i) Die tatsächliche Phasendrehung beträgt 3 2 π = 270 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden (siehe Aufg. 4.4)). Der gelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven. ii) k I < 5dB iii) k I 5dB Nyquistortskurve für (B) (I) (B) (PI) i) Die tatsächliche Phasendrehung ist gleich der geforderten. Der gelkreis ist somit as. stabil. Es ergeben sich die Stabilitätsreserven zu A r 20dB undφ r 94. ii) k PI < 20dB iii) Diese Phasenreserve lässt sich nicht einstellen, da für ein abgelesenes k PI 20dB die Nyquistortskurve auf dem Einheitskreis liegt und somit kein Schnittpunkt existiert. 4

15 (C) (P) Bodediagramm für (B) (PI) Nyquistortskurve für (B) (PI) i) Die tatsächliche Phasendrehung ist = 0, aber der gelkreis befindet sich direkt an der Stabilitätsgrenze (die Orskurve geht genau durch den kritischen Punkt). Es sind somit keine Stabilitätsreserven definiert. ii) k P < db undk P > 45dB iii) k P 0dB undk P 60dB (C) (I) Nyquistortskurve für (C) (P) i) Die tatsächliche Phasendrehung beträgt 3 2 π = 270 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden (siehe Aufg. 4.4)). Der gelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven. ii) k I < 30dB iii) k I 45dB 5

16 Nyquistortskurve für (C) (I) (C) (PI) Zoom für (C) (I) i) Die tatsächliche Phasendrehung ist gleich der geforderten. Somit ist der gelkreis as. stabil. Die Stabilitätsreserven ergeben sich zu A r 2dB und Φ r 47. Der gelkreis ist also as. stabil wenn die Verstärkung kleiner als 2dB ist. Wird der gelkreis aber mit mehr als 90dB verstärkt, so ist er auch as. stabil, da dann die geforderte wieder der tatsächlichen Phasendrehung entspricht. (Siehe rechte rote Linie im Bodediagramm und die herangezoomte Nyquistkurve.) ii) k PI < 0dB und k PI > 90dB iii) k PI 0dB undk PI 00dB Nyquistortskurve für (C) (PI) Bodediagramm für (C) (PI) Zoom für (C) (PI) Für eine spezielle Klasse von gelkreisen tritt nur ein Stabilitätswechsel von kleineren zu größeren Verstärkungen auf. Diese Systeme haben eine streng propere offene KetteG(s)K(s) 6

17 eine stabile offene Kette G(s)K(s) (einfache Pole von G(s)K(s) haben nicht-positiven, mehrfache Pole vong(s)k(s) streng negativen alteil) einen Phasengang, welcher im Interval[ 90,90 ] beginnt, d.h. lim ω 0 ( G(jω)K(jω))) [ 90,90 ] einen Phasengang, welcher die 80 (oder äquivalente Frequenzen 80 ±2k 360 ) genau einmal schneidet. Die Schnittfrequenz sei mitω p bezeichnet. Für diese Systeme ist die geforderte Phasendrehung = 0 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden (siehe Aufg. 4.4)) und der gelkreis ist genau dann asymptotisch stabil, wenn die Durchtrittsfrequenzω d kleiner als ω p ist. Analog kann man im Bodediagramm leicht eine kritische Verstärkung bestimmen, unterhalb derer der gelkreis stabil ist. Hinweis: Die aufgeführten Bedingungen mögen sehr restriktiv erscheinen, werden aber in der Praxis von vielen (einfachen) gelkreisen erfüllt. Daraus ergeben sich einige Vereinfachungen und Faustregeln (wie wir sie in den nächsten Übungen herleiten werden), wie beispielsweise, dass die glerverstärkung verringert werden muss, wenn zuviel Überschwingen auftritt, oder dass sie vergrößert werden muss, wenn man schnelleres Führungsverhalten möchte. Daher sei hier explizit darauf hingewiesen, dass solche Vereinfachungen (so häufig sie auch zutreffen mögen) im Allgemeinen die obigen Bedingungen voraussetzen. Aufgabe 4.9 Das System hat die in Aufgabe 5.8 gegebenen Eigenschaften, welche die Stabilitätsaussage auf den Vergleich der Frequenzen ω p und ω d reduziert. Somit ist der gelkreis genau dann as. stabil wennω d < ω p. Diese Aussage ist equivalent zu der Forderung, dass der Amplitudengang bei w p unterhalb der 0dB-Linie liegt und somit die Nyquistortskurve die negative imaginäre Achse rechts des kritischen Punktes schneidet. Wir fordern für asymptotische Stabilität also zum Beispiel: (G(jω p )K(jω p ))! = 0 und (G(jω p )K(jω p ))! >. Mit (G(jω p )K(jω p )) = (G(jω p )K(jω p )) = k p k k 2 ωp 2(T +T 2 ) ωp(t 4 +T 2 ) 2 +ωp( T 2 T 2 ωp) 2 2 k p k k 2 ω p ( T T 2 ωp 2) ωp 4(T +T 2 ) 2 +ωp 2( T T 2 ωp 2)2 ergibt sich, dass der gelkreis für allek p < T +T 2 k k 2 T T 2 as. stabil ist! Alternativ kann die Aufgabe auch mit dem Hurwitzkriterium gelöst werden, wobei die Wurzeln des Polpolynoms des geschlossenen Kreises q cl = s(+t s)(+t 2 s)+k p k k 2 betrachtet werden müssen. Asymptotische Stabilität folgt dann analog fürk p < T +T 2 k k 2 T T 2. 7