Das Direct Nyquist Array-Entwurfsverfahren Mehrgrößenregelung eines Heißluftgebläses

Transkript

1 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 1 Das Direct Nyquist Array-Entwurfsverfahren Mehrgrößenregelung eines Heißluftgebläses Praktikum Mehrgrößenregelsysteme, WS 2008/2009 Stephanie Geist Fachgebiet Regelungssysteme Technische Universität Berlin GERMANY

2 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 2 Inhalt 1 Modellierung 2 Stabilität bei verallgemeinert diagonaldominanter Rückführdifferenzenmatrix 3 DNA-Entwurf 4 Kompensation

3 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 3 Anwendungsbeipiel: Heißluftgebläse Regelgrößen: Temperatur Luftstrom Lufteinlass Stellgroesse: Heizleistung Systemausgang: Temperatur Stellgrößen: Motordrehzahl des Lüfters Heizleistung Systemausgang: Luftmassensensor Lüfter Stellgroesse: Motordrehzahl Heizung Ursache der Totzeit Thermometer interne Kopplungen zwischen Stell- und Regelgrößen

4 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 4 Modell u 1 G 11 y 1 [ G11 (s) G G(s) = 12 (s) G 21 (s) G 22 (s) ] G 12 G 21 u 2 G 22 y 2 experimentelle Prozessidentifikation: [ G(s) = s e sty s e sty s e sty2 4+s e sty2 ] u = [ Motordrehzahl Heizleistung ] [ Temperatur, y = Luftstrom ]

5 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 5 Padé-Approximation reell-rationale Approximation von e st e st = 1 Ts + T 2 2 s2... P 1 (s) = b 1s + b 0 s + a 0 P 1 (s) = P 1 (s = 0) + dp 1 ds s + d2 P 1 s=0 ds 2 s 2 s=0 Koeffizientenvergleich: s 0 : 1 = P 1 (s = 0) = b 0 a 0 s 1 : T = dp 1 = b 0a 0 b 0 ds s=0 a0 2 s 2 T 2 : 2 = 1 d 2 P 1 2 ds 2 = b 0 b 1 a 0 s=0 a0 3 Pade-Approximation 1. Ordnung P 1 (s) = s+ 2 T s+ 2 T = 1 T 2 s 1+ T 2 s

6 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 6 Inhalt 1 Modellierung 2 Stabilität bei verallgemeinert diagonaldominanter Rückführdifferenzenmatrix 3 DNA-Entwurf 4 Kompensation

7 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 7 Standardsregelkreis r K(s) G(s) y Annahmen: K(s) - propere q p-übertragungsmatrix G(s) - propere p q-übertragungsmatrix (G, K) sinnvoll konfiguriert ( well posed ), d.h. det (I + G( )K( )) 0

8 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 8 Wiederholung: Chrakteristische Ortskurven Definition (Charakteristische Ortskurven des offenen Kreises) Unter des charakteristischen Ortskurven des offenen Kreises versteht man die Nyquist-Ortskurven der Eigenwerte λ Qi (s) := λ i [Q(s)], s N 1, i = 1,..., p der Übertragungsmatrix Q(s) := G(s)K(s). Nyquist-Kontur: Im(s) N 1 N 3 R N N 2 Re(s)

9 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 9 Wiederholung: Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium Satz (Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium) Besitzen G(s) und K(s) m G bzw. m K Pole auf oder rechts der imaginären Achse, so ist der Regelkreis (G, k) genau dann asymptotisch stabil, wenn die charakteristischen Ortskurven des offenen Kreises 1 nicht durch den Punkt ( 1, 0) gehen und 2 den kritischen Punkt ( 1, 0) zusammen m G +m K 2 -mal im Gegenuhrzeigersinn umschlingen.

10 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 10 Verallgemeinerte Diagonaldominanz Satz A C p p sei nichtreduzierbar. A ist genau dann verallgemeinert diagonaldominant, wenn für den Perron-Frobenius-Eigenwert der Vergleichsmatrix 0 a12 a a1p a pp a21 a a2p a pp C V (A) :=..... ap1 a 11 ap2 a gilt: λ PF [C V (A)] < 1. Beispiel: [ ] j 1 A = 1 2 j + 2 [ 0 1 ] 5 C V (A) = Eigenwerte: λ 1 = , λ 2 = λ PF [C V (A)] = < 1 A ist verallgemeinert diagonaldominant.

11 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 11 Verallgemeinertes Gershgorin-Theorem Satz (Verallgemeintertes Gershgorin-Theorem) A C p p sei nichtreduzierbar. Sämtliche Eigenwerte von A liegen in der Vereinigung von Kreisscheiben s a ii a ii λ PF [C V (A)].

12 Stephanie Geist Direct Nyquist Array 12 Stabilität bei verallgemeinert diagonaldominanter Rückführdifferenzenmatrix Satz I + G(s)K(s) sei verallgemeinert diagonaldominant für alle s N 1. Der Regelkreis (G, K) ist genau dann asymptotisch stabil, wenn die Summe der Phasendrehungen aller Diagonalelemente von G(s)K(s) für s N 1 bezüglich des kritischen Punktes ( 1, 0) π(m g + m K ) beträgt.