Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix
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- Philipp Grosser
- vor 7 Jahren
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1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix Konrad Waldherr Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.1/14
2 Motivation In einem Quantensystem ist folgendes Produkt von besonderer Bedeutung: e it MHM...e it khk...e it 1H 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.2/14
3 Motivation In einem Quantensystem ist folgendes Produkt von besonderer Bedeutung: e it MHM...e it khk...e it 1H 1 Zur Berechnung dieses Produkts muss jeweils die Exponentialfunktion einer Matrix berechnet werden: e it MHM...e it khk...e it 1H 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.2/14
4 Motivation In einem Quantensystem ist folgendes Produkt von besonderer Bedeutung: e it MHM...e it khk...e it 1H 1 Zur Berechnung dieses Produkts muss jeweils die Exponentialfunktion einer Matrix berechnet werden: e it MHM...e it khk...e it 1H 1 Frage: Wie berechnet man e it kh k Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.2/14
5 Definition der Exponentialmatrix Ausgangspunkt: Taylorreihe der e-funktion e x = k=0 x k k! Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.3/14
6 Definition der Exponentialmatrix Ausgangspunkt: Taylorreihe der e-funktion e x = k=0 x k k! Definition der Exponentialfunktion einer Matrix A exp(a) := e A := k=0 A k k! Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.3/14
7 Definition der Exponentialmatrix Ausgangspunkt: Taylorreihe der e-funktion e x = k=0 x k k! Definition der Exponentialfunktion einer Matrix A exp(a) := e A := k=0 A k k! Für eine Diagonalmatrix D = diag(d 1,...,d n ) gilt e D = diag(e d 1,...,e d n ) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.3/14
8 Berechnung der Exponentialmatrix Naheliegend: Berechnung durch abgeschnittene Taylor-Reihe: exp(a) n k=0 A k k! Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.4/14
9 Berechnung der Exponentialmatrix Naheliegend: Berechnung durch abgeschnittene Taylor-Reihe: exp(a) n k=0 A k k! Diese Reihe konvergiert allerdings sehr langsam: e A n k=0 A k k! ( A n+1)( 1 ) (n + 1)! 1 A /(n + 2) δ Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.4/14
10 Berechnung der Exponentialmatrix Naheliegend: Berechnung durch abgeschnittene Taylor-Reihe: exp(a) n k=0 A k k! Diese Reihe konvergiert allerdings sehr langsam: e A n k=0 A k k! ( A n+1)( 1 ) (n + 1)! 1 A /(n + 2) Beispiel: A = 100 und δ = 10 6 liefert n = 284. δ Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.4/14
11 Berechnung der Exponentialmatrix Naheliegend: Berechnung durch abgeschnittene Taylor-Reihe: exp(a) n k=0 A k k! Diese Reihe konvergiert allerdings sehr langsam: e A n k=0 A k k! ( A n+1)( 1 ) (n + 1)! 1 A /(n + 2) Beispiel: A = 100 und δ = 10 6 liefert n = 284. δ Weiteres Problem: Numerische Instabilität Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.4/14
12 Scaling and Squaring Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
13 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
14 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
15 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
16 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k ( e A/m) m durch wiederholtes Quadrieren Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
17 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k ( e A/m) m durch wiederholtes Quadrieren Padé-Approximation: Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
18 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k ( e A/m) m durch wiederholtes Quadrieren Padé-Approximation: reelle Padé-Approximation: e x p(x) q(x) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
19 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k ( e A/m) m durch wiederholtes Quadrieren Padé-Approximation: reelle Padé-Approximation: e x p(x) q(x) e A (q(a)) 1 p(a) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
20 Scaling and Squaring e A = (e A/m) m Wähle m, so dass A /m 1 Wähle m als Zweierpotenz: m = 2 k ( e A/m) m durch wiederholtes Quadrieren Padé-Approximation: reelle Padé-Approximation: e x p(x) q(x) e A (q(a)) 1 p(a) Kombination mit Scaling and Squaring Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.5/14
21 Chebyshev-Approximation Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.6/14
22 Chebyshev-Approximation Für 1 x 1 gilt die Entwicklung e αx = 2I 0 (α)t 0 (αx) + 2 j=1 T j (αx)i j (α)( 1) j Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.6/14
23 Chebyshev-Approximation Für 1 x 1 gilt die Entwicklung e αx = 2I 0 (α)t 0 (αx) + 2 j=1 T j (αx)i j (α)( 1) j T j : Chebyshev-Polynom 1. Art der Ordnung j Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.6/14
24 Chebyshev-Approximation Für 1 x 1 gilt die Entwicklung e αx = 2I 0 (α)t 0 (αx) + 2 j=1 T j (αx)i j (α)( 1) j T j : Chebyshev-Polynom 1. Art der Ordnung j I j : Besselfunktion der Ordnung j Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.6/14
25 Chebyshev-Approximation Für 1 x 1 gilt die Entwicklung e αx = 2I 0 (α)t 0 (αx) + 2 j=1 T j (αx)i j (α)( 1) j T j : Chebyshev-Polynom 1. Art der Ordnung j I j : Besselfunktion der Ordnung j Transfer auf Matrizen: r 0 = A, A 0 = A/r 0 e A = e r 0A 0 = 2I 0 ( r 0 )T 0 ( A)+2 j=1 T j ( A)I j ( r 0 )( 1) j Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.6/14
26 Zugang über gewöhnliche Differentialgleichung: Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.7/14
27 Zugang über gewöhnliche Differentialgleichung: Gegeben ist das AWP y = Ay, y(t 0 ) = y 0 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.7/14
28 Zugang über gewöhnliche Differentialgleichung: Gegeben ist das AWP y = Ay, y(t 0 ) = y 0 Die analytische Lösung lautet y(t) = e (t t 0)A y 0 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.7/14
29 Zugang über gewöhnliche Differentialgleichung: Gegeben ist das AWP y = Ay, y(t 0 ) = y 0 Die analytische Lösung lautet y(t) = e (t t 0)A y 0 e A aus n Differentialgleichungen y (i) = Ay (i), y (i) (0) = e i Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.7/14
30 Damit ergibt sich e A = ( y 1 (1)... y n (1) ) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.8/14
31 Damit ergibt sich e A = ( y 1 (1)... y n (1) ) Lösung der Differentialgleichungen: Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.8/14
32 Damit ergibt sich e A = ( y 1 (1)... y n (1) ) Lösung der Differentialgleichungen: Einschrittverfahren (z.b. Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.8/14
33 Damit ergibt sich e A = ( y 1 (1)... y n (1) ) Lösung der Differentialgleichungen: Einschrittverfahren (z.b. Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite) Mehrschrittverfahren Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.8/14
34 Damit ergibt sich e A = ( y 1 (1)... y n (1) ) Lösung der Differentialgleichungen: Einschrittverfahren (z.b. Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite) Mehrschrittverfahren allgemeiner ODE-Solver Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.8/14
35 Zugang über Eigenwert-Zerlegung Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.9/14
36 Zugang über Eigenwert-Zerlegung Seien v 1,...,v n die Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1,...,λ n Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.9/14
37 Zugang über Eigenwert-Zerlegung Seien v 1,...,v n die Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1,...,λ n Dann gilt A = V diag(λ 1,...,λ n )V 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.9/14
38 Zugang über Eigenwert-Zerlegung Seien v 1,...,v n die Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1,...,λ n Dann gilt A = V diag(λ 1,...,λ n )V 1 Es folgt e A = e V diag(λ 1,...,λ n )V 1 = V e diag(λ 1,...,λ n ) V 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.9/14
39 Zugang über Eigenwert-Zerlegung Seien v 1,...,v n die Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1,...,λ n Dann gilt A = V diag(λ 1,...,λ n )V 1 Es folgt e A = e V diag(λ 1,...,λ n )V 1 = V e diag(λ 1,...,λ n ) V 1 Es ergibt sich e A = V diag(e λ 1,...,e λ n )V 1 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.9/14
40 Splitting Methode Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.10/14
41 Splitting Methode Ausgangspunkt: Zerlegung A = B + C Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.10/14
42 Splitting Methode Ausgangspunkt: Zerlegung A = B + C Die Funktionalgleichung e x+y = e x e y gilt für Matrizen im Allgemeinen nicht. Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.10/14
43 Splitting Methode Ausgangspunkt: Zerlegung A = B + C Die Funktionalgleichung e x+y = e x e y gilt für Matrizen im Allgemeinen nicht. Es gilt legiglich die folgende Äquivalenz: e B+C = e B e C BC = CB Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.10/14
44 Splitting Methode Ausgangspunkt: Zerlegung A = B + C Die Funktionalgleichung e x+y = e x e y gilt für Matrizen im Allgemeinen nicht. Es gilt legiglich die folgende Äquivalenz: e B+C = e B e C BC = CB Es gilt jedoch die Trotter-(Produkt-)Formel: e B+C = lim (e B/m e C/m) m m Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.10/14
45 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
46 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Folgende Aspekte sind zu berücksichtigen: Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
47 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Folgende Aspekte sind zu berücksichtigen: Effizienz Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
48 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Folgende Aspekte sind zu berücksichtigen: Effizienz Numerische Stabilität Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
49 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Folgende Aspekte sind zu berücksichtigen: Effizienz Numerische Stabilität Parallelisierbarkeit Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
50 Inhalt der Diplomarbeit Ziele der Diplomarbeit: Untersuchung und Implementierung der verschiedenen Verfahren zur Berechnung von e ith mit jeweils fester Matrix H C 2n 2 n Folgende Aspekte sind zu berücksichtigen: Effizienz Numerische Stabilität Parallelisierbarkeit Ausnutzen der speziellen Struktur von H H = D + C = diag(d 1,...,d N ) + C 1 C n Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.11/14
51 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
52 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Anwendung der Splitting-Methode e iht = e it(d+c) (e itd/m e itc/m) m Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
53 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Anwendung der Splitting-Methode e iht = e it(d+c) (e itd/m e itc/m) m Direkte Berechnung von e itd/m und e itc/m Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
54 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Anwendung der Splitting-Methode e iht = e it(d+c) (e itd/m e itc/m) m Direkte Berechnung von e itd/m und e itc/m D ist Diagonalmatrix Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
55 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Anwendung der Splitting-Methode e iht = e it(d+c) (e itd/m e itc/m) m Direkte Berechnung von e itd/m und e itc/m D ist Diagonalmatrix Die Eigenvektoren von C sind gerade die Spalten von F 2 F 2 Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
56 Inhalt der Diplomarbeit Wie kann man die Struktur von H ausnutzen? H = D + C Anwendung der Splitting-Methode e iht = e it(d+c) (e itd/m e itc/m) m Direkte Berechnung von e itd/m und e itc/m D ist Diagonalmatrix Die Eigenvektoren von C sind gerade die Spalten von F 2 F 2 Wiederholtes Quadrieren für m = 2 k Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.12/14
57 Inhalt der Diplomarbeit Ausnutzung der Persymmetrie Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.13/14
58 Inhalt der Diplomarbeit Ausnutzung der Persymmetrie Transformation von H auf reelle Matrix H H = ( A 1 re re A 2 ) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.13/14
59 Inhalt der Diplomarbeit Ausnutzung der Persymmetrie Transformation von H auf reelle Matrix H H = ( A 1 re re A 2 ) H ist ähnlich zur Matrix ( A 1 + A 2 + 2rE 0 0 A 1 + A 2 2rE ) Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.13/14
60 Inhalt der Diplomarbeit Ausnutzung der Persymmetrie Transformation von H auf reelle Matrix H H = ( A 1 re re A 2 ) H ist ähnlich zur Matrix ( A 1 + A 2 + 2rE 0 0 A 1 + A 2 2rE ) Reduktion des Problems der EW/EV-Zerlegung auf zwei Matrizen halber Größe Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.13/14
61 Inhalt der Diplomarbeit Offene Fragen Kann die Struktur von H auch bei weiteren Verfahren (ODE,Padé,...) ausgenutzt werden? Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.14/14
62 Inhalt der Diplomarbeit Offene Fragen Kann die Struktur von H auch bei weiteren Verfahren (ODE,Padé,...) ausgenutzt werden? Wie pessimistisch sind die Konvergenzabschätzungen in unserem Fall? Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.14/14
63 Inhalt der Diplomarbeit Offene Fragen Kann die Struktur von H auch bei weiteren Verfahren (ODE,Padé,...) ausgenutzt werden? Wie pessimistisch sind die Konvergenzabschätzungen in unserem Fall? Wie lässt sich die Matrix-Matrix Multiplikation möglichst schnell berechnen? Verfahren zur Berechnung der Exponentialmatrix p.14/14
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