Differentialgleichungen für Mikrosystemtechniker

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1 Skript zur Vorlesung Differentialgleichungen für Mikrosystemtechniker Wintersemester 202/3 Einleitung Differentialgleichungen sind eines der wichtigsten Werkzeuge, um Probleme in Naturwissenschaft und Technik zu modellieren. Unter (mathematischer) Modellierung versteht man das Übertragen von beobachteten (physikalischen) Gesetzmäßigkeiten in die Sprache der Mathematik.. Modellierung anhand eines einfachen Beispiels G. Galilei beobachtete: Die Beschleunigung eines fallenden Körpers ist annähernd konstant. Mathematisch formuliert bedeutet dies: y (t) = g 9, 8 m s 2 für t (0, T ). (.) Satz.. Sei f : (a, b) R eine stetige Funktion und F : (a, b) R eine Stammfunktion zu f, d.h. F ist differenzierbar mit F = f. Dann sind alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung gegeben durch u (t) = f(t), für t (a, b) u(t) = F (t) + c, mit einer beliebigen Konstanten c R. Wir wollen nun Satz. auf (.) anwenden. Dazu schreiben wir (.) wie folgt um: y (t) = v(t), v (t) = g, für t (0, T ). Nach Satz. gilt dann: v(t) = g t + c, y(t) = g 2 t2 + c t + c 2, für t (0, T ). Um eine eindeutige Lösung zu bekommen, müssen wir noch weitere Bedingungen vorschreiben, z.b. die Anfangsbedingungen y(0) = y 0, v(0) = v 0.

2 für den Anfangsort y 0 und die Anfangsgeschwindigkeit v 0. Zu gegebenen Anfangsdaten können wir nun die Vorhersage aus dem mathematischen Modell mit dem praktischen Experiment vergleichen. In der Realität gibt es eine endliche Maximalgeschwindigkeit v für einen durch Luft fallenden Körper. Unser Modell spiegelt diesen Effekt jedoch nicht wider: Wir haben die Luftreibung vernachlässigt! Daher erweitern wir unser Modell um einen Stokes schen Reibungsterm: wobei σ > 0 der Reibungskoeffizient ist. Um (.2) zu lösen, schreiben wir wieder: y (t) = g σ y (t) für t (0, T ), (.2) y (t) = v(t), v (t) = g σ v(t), für t (0, T ). (.3) Um die Differentialgleichung v (t) + σ v(t) = g zu lösen verwenden wir einen integrierenden Faktor. Dies ist eine Funktion ϕ : (0, T ) R, ϕ(t) 0 für t (0, T ), sodass ( v (t) + σ v(t) ) ϕ(t) = (vϕ) (t) für t (0, T ). Dann erfüllt w(t) := v(t) ϕ(t) die Differentialgleichung w (t) = g ϕ(t) für t (0, T ). In unseren Fall ist ϕ(t) = e σt ein integrierender Faktor. Nach Satz. sind alle Lösungen w von (.) gegeben durch w(t) = g σ eσt + c. Daher bekommen wir folgende allgemeine Lösung von (.3): v(t) = g σ + c e σt, y(t) = g σ t c für t (0, T ). σ e σt + c 2, Für t ergibt sich v(t) g, d.h. dieses Modell kann eine maximale Fallgeschwindigkeit widerspiegeln. σ Dieses Modell lässt sich weiter verfeinern. Beispielsweise ist der Reibungskoeffizient σ abhängig von der Geschwindigkeit: σ(v) = σ v. Diesen Modellierungszyklus kann man sich wie in Abbildung veranschaulichen. Intuitiv sollten umfassendere Modelle einfachere erweitern oder enthalten. Mathematisch sprechen wir von Modellkonvergenz. Für unser Beispiel gilt: Lemma.2. Zu gegebenen Anfangswerten y 0 und v 0 sei y die Lösung von (.) und y σ die Lösung von (.2) zu gegebenem σ > 0. Dann gilt für jedes t (0, T ): lim y σ(t) = y(t). σ 0 2

3 Beobachtung, Experiment Modellierung Mathematisches Modell Validierung ggf. Modell ändern Analysis, Studiem der Gleichung(en) (approximative) Lösung Formeln, Numerik Abbildung : Skizze eines Modellierungszyklus.2 Grundbegriffe Definition.3 (Differentialgleichung erster Ordnung). Sei G R 2 ein Gebiet und sei f : G R stetig. Die Gleichung u = f(, u) (.4) ist eine Differentialgleichung erster Ordnung in expliziter Form (d.h. sie ist nach u aufgelöst). Eine Differentialgleichung erster Ordnung in impliziter Form hat die Gestalt F (, u, u ) = 0, wobei F : G R R eine stetige Funktion ist. Eine auf einem Intervall I stetig differenzierbare Funktion u mit ( t, u(t) ) G für alle t I heißt Lösung der Differentialgleichung, falls für alle t I gilt: u (t) = f ( t, u(t) ) (explizite Form), F ( t, u(t), u (t) ) = 0 (implizite Form). Durch (.4) wird in jedem Punkt (t, u) eine Richtung f(t, u) gegeben, d.h. f induziert auf G ein Richtungsfeld. Für eine Lösung u von (.4) gilt: Die Funktion u hat an der Stelle t eine Ableitung f(t, u(t)) bzw. die Tangente an den Graphen im Punkt (t, u(t)) hat die Richtung oder Steigung f(t, u(t)). Beispiel.4. Beispiele für Differentialgleichungen erster Ordnung sind: 3

4 . u (t) = α(t) u(t) + β(t), 2. u (t) = u(t), 3. u (t) = (implizit, schwierig zu lösen). Definition.5 (System von Differentialgleichungen). Sei n N und G R n+ ein Gebiet. f,..., f n seien auf G stetige Funktionen. Dann ist u = f (, u,..., u n ),. u n = f n (, u,..., u n ) (.5) ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung. Eine Lösung von (.5) ist ein n-tupel u = (u,..., u n ) stetig differenzierbarer Funktionen, die (.5) punktweise genügen. Beispiel.6 (Räuber-Beute-Modell). Ein Beispiel für ein System von Differentialgleichungen ist das Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra: Dabei ist u (t) = u(t) ( a b v(t) ), v (t) = u(t) ( c d v(t) ), für t (0, T ). u(t) Anzahl der Beutetiere zum Zeitpunkt t, v(t) Anzahl der Raubtiere zum Zeitpunkt t, a > 0 Geburtenrate der Beutetiere ohne Störung durch Räuber, b > 0 Fressrate der Raubtiere pro Beutetier, c > 0 Sterberate der Raubtiere in Abwesenheit von Beutetieren, d > 0 Geburtenrate der Raubtiere pro Beutetier. Definition.7 (Differentialgleichung n-ter Ordnung). Sei n N, sei G R n+ ein Gebiet und sei f eine auf G stetige Funktionen. Dann ist u (n) = f(, u, u,..., u (n ) ) (.6) eine Differentialgleichung n-ter Ordnung. Eine Lösung von (.5) ist eine n-mal stetig differenzierbare Funktion u, die (.6) punktweise erfüllt. Durch die Festlegung u = u, u 2 = u,..., u n = u (n ) kann eine Differentialgleichung n-ter Ordnung in das System u = u 2,. u n = u n, u n = f(, u,..., u n ) von Differentialgleichungen erster Ordnung überführt werden. 4

5 Definition.8 (Anfangswertproblem). Ein Punkt (t 0, u 0 ) G (vgl. Definitionen.3,.5,.7) ist ein Anfangswert, wenn durch ihn der Wert u(t 0 ) der Lösungsfunktion (bzw. das Lösungstupel) u an der Stelle t 0 vorgeschrieben wird. Für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung werden die Funktion u(t 0 ), sowie die Ableitungen u (t 0 ),..., u (n ) (t 0 ) vorgegeben. Eine Differentialgleichung zusammen mit einem Anfangswert bildet ein Anfangswertproblem. 2 Differentialgleichungen erster Ordnung 2. Lineare Differentialgleichungen Sei I R ein Intervall. Wir betrachten lineare Differentialgleichungen erster Ordnung: u (t) + p(t) u(t) = q(t) für t I, (2.) mit stetigen Funktionen p, q : I R. Ist q 0, d.h. q(t) = 0 für alle t I, so nennen wir die Differentialgleichung homogen. Das zu (2.) gehörige Anfangswertproblem lautet u (t) + p(t) u(t) = q(t) für t I, u(t 0 ) = u 0 (2.2) mit stetigen Funktionen p, q : I R, einem festen t 0 I und einem Anfangswert u 0 R. Die rechte Seite q und den Anfangswert u 0 bezeichnet man oft auch als Daten des Problems (2.2). Man kann (2.2) auch als Kontrollproblem interpretieren: q(t) : Eingangssignal ( Input ) zum Zeitpunkt t, u(t) : Ausgangssignal ( Output ) zum Zeitpunkt t. Beispiel 2.. Beispiele für Anfangswertprobleme der Form (2.2) sind: u (t) + 2 u(t) = t 2, u (t) + cos t u(t) = 3 cos t, u() = 0, u(0) = 3. Satz 2.2. Die Funktionen p, q : I R seien auf dem offenen Intervall I R stetig und es sei (t 0, u 0 ) I R. Sei P eine Stammfunktion zu p in I. Dann ist die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems (2.2) gegeben durch t u(t) = u 0 e (P (t) P (t 0)) + e }{{} P (t) e P (s) q(s) ds. (2.3) t 0 Antwort auf Anfangswert }{{} Antwort auf Input 5

6 Beispiel 2.3 (vgl. Übungsblatt, Aufgabe 3). Ein Tank im Chemielabor enthalte 000 l Wasser, in dem anfänglich 50 kg Salz gelöst sind. Pro Minute werden kontinuierlich 0 l Salzlösung entnommen und 0 l Wasser mit einem Salzgehalt von 2 kg zugeführt. Wir setzen voraus, dass die Salzverteilung im Tank stets homogen ist. Wieviel Salz befindet sich nach t Minuten im Tank? Dies führt auf die Differentialgleichung u (t) = 0, 2 0, 0 u(t), u(0) = 0, 05. Einsetzen in die Lösungsformel (2.3) liefert: t u(t) = 0, 05 e 0,0t + e 0,0t 0, 2 e 0,0s ds = 0, 05 e 0,0t + e 0,0t 20 (e 0,0t ) = 9, 95 e 0,0t Beispiel 2.4 (Attraktor). Gesucht sind alle Lösungen der Differentialgleichung u (t) + u(t) = 7 sin(4t) =: q(t). Für zwei Lösungen u, u 2 erfüllt die Differenz w := u u 2 die Gleichung w (t)+w(t) = (u u 2 ) (t)+(u u 2 )(t) = u (t)+u (t) ( u 2(t)+u 2 (t) ) = q(t) q(t) = 0, d.h. w(t) = C e t für ein C R. Also ist u 2 (t) = u (t) + C e t. Um nun eine Lösung zu finden, machen wir den Ansatz Dann ist u (t) = a sin(4t) + b cos(4t). u (t) + u(t) = (a 4 b) sin(4t) + (4 a + b) cos(4t) = 7 sin(4t). Koeffizientenvergleich liefert: a 4 b = 7, 4 a + b = 0. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet a =, b = 4, d.h. Die allgemeine Lösung lautet daher u (t) = sin(4t) 4 cos(4t). u(t) = u (t) + C e t = sin(4t) 4 cos(4t) + C e t. Alle Lösungen konvertieren asymptotisch gegen u. Wir sagen auch, dass u ein Attraktor für die Lösungen ist. 6 0

7 Dieses Prinzip lässt sich verallgemeinern: Satz 2.5. Seien p, q : I R stetig auf dem offenen Intervall I R. Dann ist die allgemeine Lösung u der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung (2.) gegeben durch u(t) = u h (t) + u i (t), wobei u h die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, also (2.) mit q 0, und u i eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (2.) ist. 2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Ziel ist das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen der Form u (t) = f ( t, u(t) ) für t I, u(t 0 ) = u 0. (2.4) Beispiel 2.6. Das Anfangswertproblem u (t) = A u(t) C ( u(t) ) 2 E(t), u(t 0 ) =. mit A, C R ist von der Form (2.4) mit u 0 = und f(t, u) = A u C u 2 E(t). Grundlegende Fragen: Existenz: Unter welchen Bedingungen hat (2.4) (mindestens) eine Lösung? Eindeutigkeit: Unter welchen Bedingungen hat (2.4) höchstens eine Lösung? Abhängigkeit von den Daten : Hängt die Lösung von (2.4) beispielsweise stetig von den Daten f und u 0 ab? Langzeit-Verhalten: Wie lange existiert eine Lösung von (2.4)? Wie verhält sich ggf. die Lösung für große Zeiten t? 2.2. Stetig differenzierbare Lösungen Zunächst untersuchen wir Existenz und Eindeutigkeit klassischer Lösungen. Satz 2.7 (Picard-Lindelöf). Es sei t 0 I = [a, b], a < b, und u 0 R. Für ein R > 0 und K R := [u 0 R, u 0 + R] sei f : I K R R eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:. Es gibt eine Konstante M 0, sodass f(t, u) M für alle t I, u K R. (2.5) 7

8 2. Es gibt eine Konstante L 0, sodass f(t, u ) f(t, u 2 ) L u u 2 für alle t I, u, u 2 K R. (2.6) Ist dann t 0 [t, t 2 ] I mit t < t 2, so dass zusätzlich gilt M (t 2 t ) R, (2.7) so gibt es genau eine stetig differenzierbare Funktion u : [t, t 2 ] K R mit u (t) = f ( t, u(t) ) für t [t, t 2 ], u(t 0 ) = u 0. Wenden wir Satz 2.7 auf Beispiel 2.6 an. Nehmen wir an, dass E auf I = [a, b] stetig ist und fixieren ein R > 0. f : I R R ist stetig. Für t [a, b] und u K R = [ R, + R] gilt: f(t, u) A (R + ) + C (R + ) 2 + max E(t) =: M. t [a,b] Für t [a, b] und u, u 2 K R gilt (nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechung): f(t, u ) f(t, u 2 ) = 2 f(ξ) (u u 2 ) = A 2 C ξ u u 2 ( ) A + 2 C (R + ) u u }{{} 2. =:L für ein ξ K R. Wählen wir nun t := t 0 und t 2 := t 0 + R M = t 0 + R A (R + ) + C (R + ) 2, so existiert nach Satz 2.7 genau eine Lösung des Anfangswertproblems auf [t, t 2 ]. Achtung: Wir bekommen keine globale Existenz (Existenz für alle Zeiten): t 2 t = R M = R A (R + ) + C (R + ) 2 + max t [a,b] E(t) R ( A + C (R + ))R = ( A + C (R + )) A + C. Beispiel 2.8 (Uneindeutigkeit der Lösung). Betrachten wir das Anfangswertproblem u (t) = 2 u(t), für t > 0, u(0) = 0. 8

9 Neben der trivialen Lösung u 0 ist für jedes t 0 0 eine Lösung gegeben durch { 0, falls t t 0, u(t) = (t t 0 ) 2, falls t t 0. Die Lösung ist also nicht eindeutig. Satz 2.7 ist hier nicht anwendbar, da für kein R > 0 ein L 0 gibt, sodass (2.6) gilt. Alle anderen Voraussetzungen des Satzes sind hingegen erfüllt. Beispiel 2.9 (Nichterfüllbarkeit der Anfangsbedingung). Betrachten wir das Anfangswertproblem t u (t) u(t) = t 2 cos t für t 0, u(0) = u 0. Für u 0 0 ist dieses Problem nicht lösbar. Setzt man nämlich t = 0 in die Differentialgleichung ein, so erhält man 0 u (0) u(0) = Erweiterung des Lösungsbegriffs Definition 2.0. Sei I = [a, b], a < b. Eine Funktion v : I R heißt stückweise stetig, falls es t,..., t N (a, b) gibt, sodass v auf I \ {t,..., t N } stetig ist und die Grenzwerte v(t k +) := lim t tk v(t) und v(t k ) := lim t tk v(t) für alle k =,..., N existieren. Die Punkte t k, k =,..., N, werden Sprungstellen von v genannt. v heißt stückweise stetig auf einem (nicht notwendig beschränktem Intervall), wenn v auf jedem kompakten (d.h. beschränkten und abgeschlossenen) Teilintervall stückweise stetig ist. Beispiel 2. (Heaviside-Funktion). Die Heaviside-Funktion { 0, falls t < 0, H(t) :=, falls t 0 ist stückweise stetig. Beispiel 2.2. Das Anfangswertproblem u (t) + u(t) = H(t ), für t 0, u(0) = 2, besitzt keine stetig differenzierbare Lösung (sonst wäre die Heaviside-Funktion H als Summe stetiger Funktionen stetig). 9

10 R ~ U s (t) C U r (t) Abbildung 2: Ersatzschaltkreis für einfache Datenübertragung Definition 2.3. Eine verallgemeinerte Lösung u von u (t) = f ( t, u(t) ) (2.8) auf einem Intervall I R ist eine stetige Funktion u : I R mit stückweise stetiger Ableitung u auf I, die (2.8) in I mit Ausnahme der Sprungstellen von u erfüllt. Um die verallgemeinerte Lösung für Beispiel 2.2 zu berechnen gehen wir wie folgt vor. Für jeden Endzeitpunkt T < ist die rechte der Differentialgleichung stetig. Wir können daher die Lösungsformel (2.3) auf das Anfangswertproblem anwenden und erhalten die Lösung u (t) + u(t) = 0, für t [0, T ], u(0) = 2 u(t) = 2 e t. Nach Definition 2.3 braucht die Differentialgleichung in der Sprungstelle t = nicht erfüllt zu sein. Für t > ist die rechte Seite wieder stetig. Wir setzen also ein zweites Anfangswertproblem an: u (t) + u(t) =, für t >, u() = 2 e. Wieder können wir die Lösungsformel (2.3) verwenden, um die Lösung zu erhalten: u(t) = t 2 e e t+ + e t e s ds = 2 e t + e ( t e t e ) = 2 e t + e t. Durch zusammensetzen erhalten wir nun die verallgemeinerte Lösung: { 2 u(t) = e t, t, 2 e t + ( e t ), t. Beispiel 2.4 (einfache Datenübertragung). Betrachten wir die Übertragung eines Signals U s durch ein zweiadriges Kabel an dessen Ende wir das Signal U r messen. Neben dem Gesamtwiderstand R > 0 des Drahtes berüchsichtigen wir noch den kapazitiven Effekt der beiden Drähte, modelliert durch einen Kondensator der Kapazität C > 0. Ein Ersatzschaltkreis ist in Abbildung 2 dargestellt. 0

11 4 3 2 u t Abbildung 3: Richtungsfeld der Differentialgleichung u (t) = u(t) t 2 Nehmen wir an, dass der Spannungsmesser einen unendlichen Innenwiderstand hat, so gilt für die Spannung U r : U r = U s R I, I = C U r. Nehmen wir an, dass die Anfangsspannung 0 ist, so erhalten wir das Anfangswertproblem U r + RC U r = RC U s, U r (0) = Richtungsfelder Definition 2.5 (Richtungsfeld). Die Abbildung (t, u) (, f(t, u) ) heißt Richtungsfeld der Differentialgleichung u = f(, u). Beispiel 2.6. Betrachten wir die Differentialgleichung u (t) = u(t) t 2, d.h. f(t, u) = u t 2. Das Richtungsfeld dieser Differentialgleichung und einige (approximative) Lösungskurven sind in Abbildung 3 dargestellt.

12 4 3 2 u t Abbildung 4: Richtungsfeld der Differentialgleichung u (t) = 3 u(t) sin u(t) + t Satz 2.7. Es gelten die Voraussetzungen von Satz 2.7 (Picard-Lindelöf). Seien u, u 2 zwei verschiedene Lösungen von u = f(, u). Dann haben die Graphen von u und u 2 leeren Schnitt (die Lösungskurven können sich nicht treffen ): {( t, u (t) ) t I } {( t, u2 (t) ) t I } =. Beispiel 2.8. Betrachten wir die nichtlineare Differentialgleichung u (t) = 3 u(t) sin u(t) + t. Das Richtungsfeld dieser Differentialgleichung und einige (approximative) Lösungskurven sind in Abbildung 4 dargestellt. 2.3 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das explizite Euler-Verfahren (auch Euler sches Polygonzugverfahren). Dieses Verfahrens beruht auf der Beobachtung, das das Richtungsfeld in jedem Punkt (t, u(t)) tangential zur Lösungskurve ist. Gegeben seien diskrete Zeitpunkte t 0,..., t N sowie der Startwert u 0. Die Idee ist jetzt, in einem Punkt (t i, u i ) dem Richtungsvektor f(t i, u i ) zu folgen, bis man beim Zeitpunkt t i+ angelangt ist. Diese Idee ist in Abbildung 5 skizziert. 2

13 u (t 3, u 3 ) (t 0, u 0 ) (t, u ) (t 2, u 2 ) t Abbildung 5: Skizze der Idee des expliziten Euler-Verfahrens Mathematisch kann man dieses Verfahren wie folgt schreiben: Algorithm 2.9 (Explizites Euler-Verfahren zur approx. Lösung von (2.4)). Seien t 0, u 0 R gegeben, sei T > t 0 ein gegebener Endzeitpunkt und N N die Anzahl der Zeitschritte. Wir setzen h := T t 0 und definieren rekursiv N t n+ := t n + h, u n+ := u n + h f(t n, u n ). für n = 0,..., N. Lemma Seien E n 0, n = 0,..., N gegeben und existieren A, B > 0, sodass Dann gilt: E n ( + A) E n + B für n =,..., N. E n e na E 0 + ena B für n = 0,..., N. A Satz 2.2. Sei u Lösung von (2.4) in I := [t 0, T ]. u sei zweimal stetig differenzierbar in I. Ferner sei K := [min u, max u], die funktion f sei in I K stetig und es gebe eine Konstante L > 0, sodass f(t, u ) f(t, u 2 ) L u u 2 für alle t I, u, u 2 K. Zu N N sei h = T t 0, t N n := t 0 + n h und u n, n = 0,..., N sei die approximative Lösung des Euler-Verfahrens. Dann gilt: max n=0,...,n u(tn ) u n e L(T t0) h L max t I u (t). 3

14 Beispiel Betrachten wir das Anfangswertproblem u (t) = u(t), für t 0, u(0) =, d.h. f(t, u) = u. Die exakte Lösung ist gegeben durch u(t) = e t. Das Eulerverfahren für dieses Anfangswertproblem lautet: u n+ = u n + h f(t n, u n ) = u n h u n = ( h) u n, u 0 =. Also ist u n = ( h) n, d.h. für h < ist u n positiv und approximiert die exakte Lösung zumindest qualitativ. für h = ist u n = 0 für n. Für h = 2 ist u n = ( ) n, das Verfahren oszilliert. Wir sagen auch, dass das Verfahren nur für h < stabil ist. Dieses Verhalten widerspricht nicht Satz 2.2. In unserem Fall ist t 0 = 0, L = und max u =, d.h. ( max u(tn ) u n h e T ). n=0,...,n Wählen wir einen einzigen Zeitschritt, also T = h, so gilt für den Fall h bereits h ( e T ) ( e ).78. Nach dieser Abschätzung könnte der Fehler also bereits nach einem Zeitschritt deutlich größer sein als die exakte Lösung. 2.4 Exakte Differentialgleichungen Wir betrachten in diesem Abschnitt spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung der Form N ( t, u(t) ) u (t) + M ( t, u(t) ) = 0. (2.9) Beispiel 2.23 (Separation der Variablen). Betrachten wir die Differentialgleichung Die separierte Form lautet: u (t) = t, u(t) 0. u(t) u(t) u (t) + t = 0, also N(t, u) = u und M(t, u) = t. Eine solche Differentialgleichung heißt auch separiert, da N nicht von t und M nicht von u abhängt. Bringt man M auf die rechte Seite, so hängt die linke Seite nur noch von u und seiner Ableitung ab, die rechte Seite nur noch von t. 4

15 Durch Integration beider Seiten erhalten wir 0 = t t u(s) u (s) ds + s ds = t 0 t 0 u(t) u(t 0 ) r dr + t t 0 s ds = 2 Die allgemeine Lösung genügt daher der Gleichung u(t) 2 t 2 = u(t 0 ) 2 t 2 0 =: c. ( u(t) 2 u(t 0 ) 2) + 2 (t2 t 2 0). Beispiel 2.24 ( Die verlorene Lösung ). Wir betrachten die Differentialgleichung Die separierte Form lautet: u (t) = 2 t ( u(t) ) 2. u (t) 2t = 0, u(t). ( u(t)) 2 Durch die Separation der Variablen haben wir die Lösung u verloren. Definition Eine in einem Rechteck R in der (t, u)-ebene definierte Funktion H : R R, die auf keiner offenen Teilmenge von R konstant ist, heißt Integral der Differentialgleichung (2.9), falls für jede Lösung u mit (t, u(t)) R gilt: H ( t, u(t) ) = c für eine Konstante c R. Die Mengen { (t, u) R H(t, u) = c } nennt man Integralkurven der Differentialgleichung (2.9). In Beispiel 2.23 haben wir H explizit berechnet: H(t, u) = u 2 t 2. Definition 2.26 (Exakte Differentialgleichungen). Die Differentialgleichung (2.9) heißt exakt in einem Rechteck R R 2, falls es eine stetig partiell differenzierbare Funktion H : R R gibt, sodass für alle (t, u) R gilt: H u (t, u) = N(t, u) und H (t, u) = M(t, u). (2.0) t Satz Die Differentialgleichung (2.9) sei in einem Rechteck R R 2 exakt. Die Funktion H : R R sei stetig partiell differenzierbar und erfülle (2.0) in R. Dann ist die allgemeine implizite Lösung von (2.9) gegeben durch d.h. H ist ein Integral der Differentialgleichung (2.9). H ( t, u(t) ) = c, c R, (2.) 5

16 Satz Seien M, N : R R auf einem Rechteck R in der (t, u)-ebene stetig differenzierbar. Dann ist (2.9) genau dann exakt auf R, falls gilt: N t M (t, u) = (t, u) für alle (t, u) R. u 2.5 Weitere Lösungstechniken Bernoulli sche Differentialgleichungen Definition 2.29 (Bernoulli sche Differentialgleichung). Sei I = [a, b] ein Intervall und seien p, q : I R stetige Funktionen. Eine Differentialgleichung der Form u (t) + p(t) u(t) = q(t) u(t) α (2.2) heißt Bernoulli sche Differentialgleichung. Bemerkung Der Ausdruck u(t) α ist i.a. nur wohldefiniert, falls u(t) 0 ist. Die Funktion u 0 ist immer eine Lösung von (2.2). Ist u eine Lösung von (2.2) und gilt u(t 0 ) = 0 für ein t 0, so können wir aus Satz 2.7 (Picard-Lindelöf) folgern, dass u 0. Aus dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass u(t) > 0 für alle t I, falls es ein t 0 I gibt, sodass u(t 0 ) > 0. Satz 2.3. Sei α / {0, } und sei I = [a, b]. Eine nicht-negative, stetig differenzierbare Funktion u ist Lösung von (2.2) genau dann, wenn die Funktion v mit v(t) := u(t) α eine (nichtnegative) Lösung der linearen Differentialgleichung ist. v (t) + ( α) p(t) v(t) = ( α) q(t) (2.3) Der Fall α = 0 ist nur ausgenommen, da (2.2) in diesem Fall bereits linear ist. Beispiel 2.32 (Logistische Differentialgleichung). Wir betrachten das Anfangswertproblem mit a, b > 0, sowie u 0 [0, b]. Dies ist eine Bernoulli sche Differentialgleichung mit u (t) = a u(t) ( b u(t) ), u(0) = u 0 (2.4) p(t) = a b, q(t) = a, α = 2. Nach der Transformation v(t) = löst v das Anfangswertproblem für die lineare Differentialgleichung u(t) v (t) + a b v(t) = a, v(0) = u 0. 6

17 u( t ) for u 0 = 0.25 u( t ) for u 0 = 0.25 u( t ) for u 0 = 0.5 u( t ) for u 0 = u( t ) for u 0 =.5 u( t ) for u 0 = 2.25 u t Abbildung 6: Lösungen von (2.4) für a = b = und verschiedene Anfangswerte u 0. Nach Satz 2.2 ist lautet die Lösung: v(t) = u 0 e abt + e abt t Durch Rücktransformation u(t) = v(t) 0 e abs a ds = e abt + a e abt eabt u 0 ab u(t) = erhalten wir b u 0 b e abt + u 0 ( e abt ). = e abt u 0 + b ( e abt ). Lösungen zu verschiedenen Anfangswerten für a = b = sind in Abbildung 6 dargestellt. Ricatti sche Differentialgleichungen Definition 2.33 (Ricatti sche Differentialgleichung). Sei I = [a, b] ein Intervall und seien p, q, f : I R stetige Funktionen. Eine Differentialgleichung der Form u (t) + p(t) u(t) = q(t) u(t) 2 + f(t) (2.5) heißt Ricatti sche Differentialgleichung. Die logistische Differentialgleichung aus Beispiel 2.32 ist auch eine spezielle Ricatti sche Differentialgleichung. Satz Sei I = [a, b] ein Intervall und seien p, q, f : I R stetige Funktionen. Ist u : I R eine Lösung von (2.5), so ist jede andere Lösung von (2.5) von der Form v(t) = u(t) + z(t). Dabei ist z(t) eine Lösung der lineare Differentialgleichung z (t) [ p(t) 2 u(t) q(t) ] z(t) = q(t). 7

18 3 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Beispiel 3. (Populationsmodelle). Betrachten wir die Entwicklung einer Population u unter einer gegebenen Wachstumsrate r und gegebenem Anfangswert u 0 : Spezielle Wahlen der Wachsumsrate sind: u (t) = r ( t, u(t) ), u(t 0 ) = u 0.. Konstante Wachsumsrate r(t, u) = a, a R, 2. logistische Wachstumsrate r(t, u) = a b z, a, b R. Betrachten wir die Entwicklung zweier Spezies: u sei die Beute-Population (z.b. Kaninchen), u 2 sei die Räuber-Population (z.b. Füchse). Zu vorgegebenen Wachstumsraten r, r 2 und Anfangswerten u,0, u 2,0 erhalten wir das Anfangswertproblem für das System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung u (t) = r ( t, u (t), u 2 (t) ), u (t 0 ) = u,0.u 2(t) = r 2 ( t, u (t), u 2 (t) ),u 2 (t 0 ) = u 2,0. Für das Lotka-Volterra System (vergleiche Beispiel.6) haben wir mit a, b, c, d > 0. r (t, u, u 2 ) = a b u 2, r 2 (t, u, u 2 ) = c + d u. Beispiel 3.2. Wir betrachten das Anfangswertproblem für eine harmonische Schwingung: u (t) + u(t) = 0, u(0) = u 0, u (0) = v 0. (3.) Die Lösung von (3.) lässt sich direkt angeben: u(t) = u 0 cos(t) + v 0 sin(t), Mit Hilfe der Definition v := u ist dieses äquivalent zu u (t) = v(t), u(0) = u 0, v (t) = u(t), v(0) = v Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das folgende System linearer Differentialgleichungen: u (t) = A u (t) + + A n u n (t) + q (t),. u n(t) = A n u (t) + + A nn u n (t) + q n (t). (3.2) 8

19 Dabei sind q,..., q n : I R gegebene stetige Funktionen und A ij R, i, j =,..., n, gegebene (konstante) Koeffizienten. In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet (3.2): u (t) = A u(t) + q(t). Dabei sind u (t) u (t) A A n q (t) u(t) =., u (t) =., A =.., q(t) =.. u n (t) u n(t) A n A nn q n (t) Ist q 0, so spricht man von einem homogenen System. Das Anfangswertproblem (3.2) lautet in Matrix-Vektor-Schreibweise: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u 0 u u(0) u0 =, =. v 0 v v(0) v Die Matrixexponentialfunktion Satz 3.3. Für eine Matrix A K n n, K = R, C, ist konvergiert die Reihe e A := k=0 k! Ak = lim n n k=0 k! Ak, wobei A 0 = I die Einheitsmatrix ist und der Grenzwert komponentenweise zu verstehen ist. Die Abbildung A e A heißt Matrixexponentialfunktion. Beispiel 3.4. Sei A = diag(a,..., a n ) eine Diagonalmatrix. Dann ist A k = diag(a k,..., a k n) und daher ist e A = diag(e a,..., e an ) ebenfalls eine Diagonalmatrix. Satz 3.5. Falls die Matrizen A, B K n n, K = R, C, vertauschen, d.h. A B = B A, so gilt e A e B = e A+B. Die Matrix e A ist immer invertierbar und die inverse Matrix ist gegeben durch ( e A ) = e A. Satz 3.6. Sei A R n n. Die Matrixwertige Funktion t e ta = k=0 t k k! Ak, t R 9

20 ist nach t differenzierbar und es gilt t eta = A e ta = e ta A. Dabei ist die Ableitung einer Matrix komponentenweise zu verstehen. Korollar 3.7. Sei A R n n und sei u : I R n eine vektorwertige Funktion. Dann gilt: ( e ta u(t) ) = A e ta u(t) + e ta u (t). t Satz 3.8. Sei A R n n und sei u 0 R n, t 0 R. Das Anfangswertproblem u (t) = A u(t), u(t 0 ) = u 0 hat die eindeutig bestimmte, auf ganz R definierte Lösung u(t) = e (t t 0)A u 0. Wenden wir Satz 3.8 auf (3.2) an, so erhalten wir ( ) ( ) ( ) u(t) = e ta u0 0, A = v(t) v 0 0 Berücksichtigen wir, dass A 2 = I, so erhalten wir ( ) [ ] u(t) (u0 ) [ t k ( t2l = v(t) k! Ak = ( ) l (2l)! v 0 k=0 l=0 t 2l+ (2l+)! t 2l+ (2l+)! t 2l (2l)! )] (u0 ) ( ) ( cos t sin t u0 = sin t cos t Satz 3.9. Sei I R ein Intervall, sei A R n n, u 0 R n, t 0 I und sei q : I R n stetig. Das Anfangswertproblem u (t) = A u(t) + q(t), u(t 0 ) = u 0 besitzt genau eine Lösung u : I R, die durch u(t) = e (t t 0)A u 0 + e ta t t 0 e sa q(s) ds gegeben ist. Dabei ist das Integral über einen Vektor komponentenweise zu verstehen. Korollar 3.0. Ist A R n n, so ist die allgemeine Lösung des homogenen Systems u = A u gegeben durch u(t) = e ta c mit einem Vektor c R n. 20 v 0 v 0 ).

21 Satz 3.. Sei I R ein Intervall, sei A R n n und sei q : I R n stetig. Die allgemeine Lösung des Systems u (t) = A u(t) + q(t) (3.3) ist gegeben durch u = u h + u i, wobei u h die allgemeine Lösung des homogenen Systems u h = A u h und u i eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems (3.3) ist Wiederholung: Eigenwerte und Eigenvektoren Eine Zahl λ C heißt Eigenwert einer Matrix A C n n, wenn es einen Vektor v C n, v 0, gibt, sodass A v = λ v ist. Ein solcher Vektor heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen des charakteristische Polynoms χ A, gegeben durch χ A (λ) = det(a λ I) = ( ) n (λ λ ) k... (λ λ l ) k l, wobei λ i λ j für i j und k +...+k l = n gilt. Man nennt k j die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ j. Die Dimension g j des Eigenraums E j = {v C n A v = λ j v} nennt man geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ j. Also existieren g j linear unabhängige Vektoren v j,,..., v j,gj, sodass Es gilt g j k j. (A λ j I) v j,r = 0 für r =,..., g j. Eigenvektoren bezeichnet man auch als Hauptvektoren erster Stufe. Ist g j < k j, so existieren auch Hauptvektoren v (q) j,r Cn, v (q) j,r 0, der Stufe q > zum Eigenwert λ j. Diese erfüllen die Bedingung (A λ j I) v (q) j,r = v(q ) j,r, d.h. für jeden Eigenvektor v j,r existiert eine Kette von Hauptvektoren v () j,r,..., v(q j,r) j,r, wobei wir mit Q j,r die Länge dieser Kette bezeichnen. Zu jeder Matrix A C n n gibt es eine reguläre Matrix T C n n und eine Matrix J, sodass A = T J T gilt. Die Matrix J heißt Jordan sche Normalform von A; sie ist blockdiagonal und besteht aus Jordanblöcken J j,r der Form λ j J j,r = λ j RQ j,r Q j,r. 2

22 Die Spalten der Matrix T bestehen gerade aus den Hauptvektoren: ( ) T =... v () j,... v (Q j,) j,... v () j,g j... g (Q j,g j ) j,g j... Abgesehen von der Reihenfolge der Jordanblöcke ist die Jordan sche Normalform einer Matrix eindeutig bestimmt. Ist J eine Diagonalmatrix, so heißt die Matrix A diagonalisierbar. Beispiel 3.2. Berechnen wir die Jordan sche Normalform der Matrix ( ) 0 A =. 0 Das charakterische Polynom der Matrix A lautet: ( ) λ χ A (λ) = det = λ 2 + = (λ i) (λ + i), λ wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet, d.h. i 2 =. Also ist λ = i und λ 2 = i. Die Eigenvektoren erfüllen ( ) i 0 = (A i I) v j = v i j. Wir wählen die Vektoren v = (, i) und v 2 = (, i). Die Matrix A ist diagonalisierbar und die Jordan sche Normalform lautet ( ) ( ) ( i ) i A = 2 2. i i i Algorithm 3.3. Zur Berechnung der Jordan schen Normalform einer Matrix A C n n geht man wie folgt vor:. Schritt: Bestimme alle Eigenwerte λ j, j =,..., l, von A und ihre algebraischen Vielfachheiten a j, d.h. bestimme alle Nullstellen von χ A und ihre Vielfachheit. 2. Schritt: Zu jedem Eigenwert λ j bestimme linear unabhängige Eigenvektoren v j,,..., v j,gj. Diese sind gerade die nichttrivialen Lösungen von 2 (A λ I) v j,r = 0. i 2 3. Schritt: Zu jedem Eigenvektor v j,r setze v () j,r = v j,r. Solange es möglich ist, finde einen Hauptvektor v (q+) j,r mit (A λ I) v (q+) j,r = v (q) j,r. Gibt es nur noch die triviale Lösung v (q+) j,r λ j müssen insgesamt a j Hauptvektoren. 4. Schritt Stelle die Matrizen T, J und T auf. 22 = 0, so ist Q j,r = q. Zu jedem Eigenwert

23 3..3 Berechnung der Matrixexponentialfunktion Satz 3.4. Sei A C n n mit Jordan scher Normalform A = T J T. Dann gilt A k = T J k T und e A = k=0 ( ) k! Ak = T k! J k T = T e J T. k=0 Wendet man diesen Satz auf e ta an, so ergibt sich ta = T (t J) T und damit e ta = T e tj T. Um die Lösungsformeln aus Abschnitt 3.. anwenden zu können, müssen wir noch e J berechnen können. Für diagonalisierbare Matrizen können wir dies bereits. Wir können das Resultat aus Satz 3.4 auch anders einsehen. Nehmen wir an, wir wollen das Anfangswertproblem u (t) = A u(t) = T J T u(t), u(t 0 ) = u 0 lösen. Setzen wir w(t) := T u(t), so ergibt sich w (t) = J w(t), w(t 0 ) = T u 0 =: w 0 Die Lösung lautet w(t) = e tj w 0 und nach Rücktransformation erhalten wir: u(t) = T e tj T u 0. Wenden wir dieses Resultat auf unser Anfangswertproblem (3.2) an. Die Jordan sche Normalform haben wir in Beispiel 3.2 berechnet. Die Lösung von (3.2) lautet also ( ) ( ) ( u(t) e it = v(t) i i e it Unter Ausnutzung der Formeln cos(t) = 2 ) ( ) ( ) i u0 2 2 = ( ) ( e it + e it i e it i e it u0 v 0 2 i e it + e it e it + e it v 0 2 i 2 ( e it + e it), sin(t) = 2i( e it e it) erhalten wir das bereits bekannte Ergebnis: ( ) ( ) ( ) u(t) cos t sin t u0 =. v(t) sin t cos t Bemerkung 3.5. Ist eine Matrix N C n n nilpotent, d.h. N q = 0 für ein q N, so gilt: e N = q k=0 23 k! N k. v 0 ).

24 Satz 3.6. Sei J C n n ein Jordanblock mit Eigenwert λ, d.h. λ J =.... λ Dann gilt für α R: α α n (n )! α α n 2 e αj = e αλ (n 2)! α 3..4 Berechnung der allgemeine Lösung Korollar 3.7. Sei J C n n ein Jordanblock mit Eigenwert λ. Die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems u = Ju ist gegeben durch ( ) u (t) = e λt c + c 2 t c n (n )! tn, ( ) u 2 (t) = e λt c 2 + c 3 t c n (n 2)! tn 2,. u n (t) = e λt c n. Beispiel 3.8. Wir suchen die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems d.h. u = A u mit u = u 2 u 2 + u 3, u 2 = u 2 u 3, u 3 = 4 u 2 + u 3, 2 A = Der einzige Eigenwert von A ist λ = mit algebraischer Vielfachheit a = 3. Ein Eigenvektor ist v (), = (, 0, 0) T, weitere linear unabhängige Eigenvektoren gibt es nicht; die geometrische Vielfachheit von λ ist g =. Hauptvektoren der Stufen 2 und 3 sind v (2), = (0, 4, 2 )T, v (3), = (0, 6, 8 )T. 24

25 Für die Jordan sche Normalform gilt A = T J T mit T = 0, J = Die Lösung von w = J w lautet dann 8 w (t) = e t ( c + t c t2 c 3 ), w 2 (t) = e t ( c 2 + t c 3 ), w 3 (t) = e t c 3. Dann ist u := T w die allgemeine Lösung von u = A u, d.h, mit einer freien Konstanten c R 3. u (t) = e t ( c + 4 t c t 2 c 3 ), u 2 (t) = e t ( c 2 + (4 t ) c 3 ), u 3 (t) = e t ( 2 c 2 + (8 t + 2) c 3 ), Lemma 3.9. Sei A C n n mit Jordan scher Normalform A = T J T, wobei J aus einem einzigen Jordanblock mit Eigenwert λ besteht. Dann besteht T = (v (),..., v (n) ) aus den Hauptvektoren von A zum Eigenwert λ. Die allgemeine Lösung von u = A u ist gegeben durch u(t) = e λt n α (v (q) (q) + t v (q ) q= (q )! tq v () Algorithm Sei A C n n. Zur Berechnung der allgemeinen (komplexwertigen) Lösung des homogenen Systems u = Au geht man wie folgt vor:. Schritt: Bestimme alle Eigenwerte λ j, j =,..., l, von A und ihre algebraischen Vielfachheiten a j. 2. Schritt: Zu jedem Eigenwert λ j bestimme linear unabhängige Eigenvektoren v j,,..., v j,gj. ). 3. Schritt: Zu jedem Eigenvektor v j,r setze v () j,r bis zur maximalen Stufe Q j,r. = v j,r und bestimme die Hauptvektoren 4. Schritt: Berechne die Funktionen u (q) j,r (t) = eλ jt ( v (q) j,r + t v(q ) j,r für j =,..., l, r =,..., g j, q =,..., Q j,r. ) (q )! tq v () j,r 5. Schritt: Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination dieser Funktionen, d.h. g l j Q j,r u(t) = mit freien Koeffizienten α (q) j,r C. j= r= q= 25 α (q) j,r u(q) j,r

26 Lemma 3.2. Sei A R n n und sei u : R C n eine Lösung des Differentialgleichungssystems u (t) = A u(t). Dann lösen auch Re u(t) und Im u(t) diese Differentialgleichung. Bemerkung Sei A R n n. Zur Bestimmung der allgemeinen reellwertigen Lösung wählen wir in Algorithmus 3.20 nur reellwertige Konstanten α (q) j,r. Ist λ j ein komplexer Eigenwert, so existiert ein k mit λ k = λ j. Wählt man nun v (q), so erhält man k,r = v(q) j,r u (q) k,r (t) = u(q) j,r (t). Um nur reellwertige Lösungen zu erzeugen, ersetzen wir nun diese beiden Basisfunktionen durch ũ (q) j,r (t) := Re u(q) j,r (t), ũ(q) k,r (t) := Im u(q) j,r (t). Dadurch ändern wir die allgemeine komplexwertige Lösung nicht, erhalten jedoch nur reellwertige Lösungen, falls alle α (q) j,r reell gewählt werden. Bemerkung Sei A R n n. Die allremeine reellwertige Lösung von u = A u hat die Form u(t) = l p j (t) e λjt + j= m j=l+ r j (t)e α jt cos(β j t) + m j=l+ s j (t)e α jt sin(β j t), wobei λ,..., λ l die rellen Eigenwerte von A und λ l+, λ l+,..., λ l+m, λ l+, λ l+k = α l+k + i β l+k. Die Funktionen p j, r j und s j sind vektorwertige Polynome, die sich aus dem Exponential des nilpotenten Teils der Jordanblöcke, den Hauptvektoren und den freien Konstanten ergeben Eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems Um die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems u (t) = A u(t) + q(t) zu berechnen, benötigen wir nach Satz 3. die allgemeine Lösung des homogenen Systems u = A u und eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems. Nach Algorithmus 3.20 ist die allgemeine Lösung des homogenen Problems von der Form u(t) = e ta c = mit freien Koeffizienten c C n bzw. α k C. n α k u k (t) Nach Satz 3.9 lautet die Lösung des Anfangswertproblems für das inhomogene System u(t) = e ta [e t 0A u 0 + t k= ] e sa q(s) ds = e ta c(t). t 0 26

27 Dies bedeutet, dass wir eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems durch den Ansatz u(t) = n α k (t) u k (t) bestimmen können. Durch Differenzieren erhalten wir die Gleichung u (t) = n α k(t) u k (t) + k= Wenn wir α k (t) so bestimmen, dass n k= k= α k (t) u } k(t) = {{} =Au k (t) n α k(t) u k (t) = q(t), k= n α k(t) u k (t) + A u(t). so haben wir eine Lösung des inhomogenen Systems. Da die u k (t) eine Basis des C n bilden, ist es immer möglich entsprechende α k (t) zu finden. Integration liefert dann die Funktionen α k. Diese Methode nennt man Variation der Konstanten. k= 3.2 Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten Wenden wir uns dem allgemeinen linearen System von Differentialgleichungen erster Ordnung zu: u (t) + p(t) u(t) = q(t), (3.4) wobei p : I R n n und q : I R n gegebene, stetige Funktionen sind. Satz Sei I R ein Intervall, sei u 0 R n, t 0 I und seien p : I R n n und q : I R n stetig. Das Anfangswertproblem u (t) + p(t) u(t) = q(t), u(t 0 ) = u 0 besitzt genau eine Lösung u : I R, die durch u(t) = e (P (t) P (t 0)) u 0 + e P (t) t gegeben ist, wobei P zu eine Stammfunktion zu p in I ist. t 0 e P (s) q(s) ds Satz Sei I R ein Intervall und seien p : I R n n und q : I R n stetige Funktionen. Die allgemeine Lösung des Systems (3.4) ist gegeben durch u = u h + u i, wobei u h die allgemeine Lösung des homogenen Systems u h + p u h = 0 und u i eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems (3.4) ist. 3.3 Der Satz von Picard-Lindelöf für Systeme Wir haben schon gesehen, dass sich viele Resultate für skalare Differentialgleichungen auf Systeme übertragen lassen. Das gilt auch für den Satz von Picard-Lindelöf. 27

28 Betrachten wir ein allgemeines System von Differentialgleichungen erster Ordnung u (t) = f ( t, u (t),..., u n (t) ). u n(t) = f n ( t, u (t),..., u n (t) ) mit stetigen Funktionen f,..., f n : I R n R. In Vektorschreibweise lautet dieses System u (t) = f ( t, u(t) ) für t I. für t I Um den Satz von Picard-Lindelöf zu übertragen brauchen wir eine Norm auf R n, z.b. den Euklidischen Abstand. Satz 3.26 (Picard-Lindelöf für Systeme). Es sei t 0 I = [a, b], a < b, und u 0 R n. Für ein K R := {u R n u u 0 R}, R > 0, sei f : I K R R n eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:. Es gibt eine Konstante M 0, sodass f(t, u) M für alle t I, u KR. 2. Es gibt eine Konstante L 0, sodass f(t, u ) f(t, u 2 ) L u u 2 für alle t I, u, u 2 K R. Ist dann t 0 [t, t 2 ] I mit t < t 2 und M (t 2 t ) R, so gibt es genau eine stetig differenzierbare Funktion u : [t, t 2 ] K R mit u (t) = f ( t, u(t) ) für t [t, t 2 ], u(t 0 ) = u 0. 4 Qualitatives Verhalten von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen Ein System von Differentialgleichungen u (t) = f(t, u(t)) heißt autonom, falls f nicht (explizit) von t abhängt, d.h. u (t) = f ( u(t) ). Wir werden im folgenden immer annehmen, dass f Lipschitz-stetig ist. Definition 4. (Gleichgewichtspunkt). Ein Punkt p R n heißt Gleichgewichtspunkt von u = f(u), falls f(p) = 0 gilt. Die Lösung u(t) = p nennt man Gleichgewichtslösung oder stationäre Lösung. Beispiel u = 0 (u 3) (u2 ): Die Gleichgewichtspunkte sind p = 3, p 2 =, p 3 =. 28

29 2. u = u 2 : Nur p = 0 ist Gleichgewichtspunkt. Lemma 4.3 (Translationseigenschaft). Ist u im Intervall I = (t, t 2 ) eine Lösung des autonomen Systems u = f(u), so ist für jedes α R auch u α (t) = u(t + α) für t (t α, t 2 α) eine Lösung. Definition 4.4. Sei I R ein Intervall mit 0 I. Die Lösung u des Anfangswertproblems u = f(u) für t I, u(0) = u 0 induziert eine Kurve {( t, u(t) ) t I } R n+, die sogenannte Lösungskurve oder Integralkurve. Die Menge { u(t) t I } R n nennt man zur Lösung u gehörigen Orbit, Trajektorie oder Phasenkurve. Die Gesamtheit aller Phasenkurven wird als Phasenportrait von u = f(u) bezeichnet. Beispiel 4.5. Betrachten wir wieder das lineare System u = u 2, u 2 = u. Aus Beispiel 3.2 wissen wir, dass die allgemeine Lösung von der Form u (t) = a sin t + b cos t, u 2 (t) = a cos t b sin t mit a, b R ist. Drücken wir die Parameter in Polarkoodinaten aus, d.h. a = r sin ϕ und b = r cos ϕ, so ergibt sich u (t) = r sin ϕ sin t + r cos ϕ cos t = r cos(t ϕ), u 2 (t) = r sin ϕ cos t r cos ϕ sin t = r sin(t ϕ). Die Orbits sind also Kreise mit Radius r. Beispiel 4.6. Ein komplizierteres, nichtlineares System lautet u = u u 2 + u 2 u u 2, u 2 = u 2 + u 2. Gleichgewichtspunkte erfüllen die Bedingungen u 2 = u 2, u ( u 2 ) = 0. Daraus ergeben sich die Gleichgewichtspunkte p = (0, 0) und p 2 = (, ). Abbildung 7 skizziert das Phasenportrait dieses Systems. 29

30 u u Abbildung 7: Skizze eines Phasenportraits 30

31 Satz 4.7. Haben zwei Orbits einen gemeinsamen Punkt, so sind sie identisch, d.h. Orbits können sich nicht schneiden. Korollar 4.8. Ist u eine Lösung von u = f(u) und gibt es ein t 0 und ein T > 0, sodass u(t 0 +T ) = u(t 0 ) gilt, so sind die Lösungen u und u( + T ) identisch. Dies bedeutet, dass u eine periodische Lösung mit Periode T ist. 4. Ebene autonome Systeme Betrachten wir den Fall n = 2 etwas genauer, d.h. u (t) = f ( u (t), u 2 (t) ), u 2(t) = f 2 ( u (t), u 2 (t) ). (4.) Neben der Parameterdarstellung {u (t), u 2 (t) t I} der Orbits gibt es auch die Möglichkeit sie stückweise explizit als Graph u 2 = g(u ) bzw. u = h(u 2 ) oder implizit in der Form F (u, u 2 ) = 0 darzustellen. Beispiel 4.9. x + x 2x + x 2 = 0 Lemma 4.0. Falls für einen Orbit des Systems (4.) ein offenes Intervall I und eine Funktion g : I R existiert, sodass u 2 = g(u ) für u I gilt, so genügt die Funktion g der Phasendifferentialgleichung g (s) f ( s, g(s) ) = f2 ( s, g(s) ). (4.2) Umgekehrt ist für jede Lösung g von (4.2) die Kurve {(u, g(u )) u Orbits des Systems (4.). Beispiel 4.. Betrachten wir das System x = x y x x 2 + y 2, y = x + y y x 2 + y 2. I} Teil eines Dieses System lässt sich leicht untersuchen, wenn man es in Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ schreibt: (r cos ϕ) = r cos ϕ r ϕ sin ϕ = r cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ = r cos ϕ r sin ϕ r 2 cos ϕ, (r sin ϕ) = r sin ϕ + r ϕ cos ϕ = r cos ϕ + r sin ϕ r sin ϕ = r cos ϕ + r sin ϕ r 2 sin ϕ. r 2 (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) r 2 (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) 3

32 Durch Umschreiben erhalten wir cos ϕ (r r + r 2 ) = r sin ϕ (ϕ ), sin ϕ (r r + r 2 ) = r cos ϕ (ϕ ). Multiplizieren wir die erste Gleichung mit cos ϕ, die zweite mit sin ϕ und addieren beide Gleichungen, so erhalten wir r r + r 2 = 0. Einsetzen liefert dann 0 = r sin ϕ (ϕ ), 0 = r cos ϕ (ϕ ). Da entweder cos ϕ 0 oder sin ϕ 0 ist, erhalten wir für r > 0 das folgenden System von Differentialgleichugen: r = r ( r), ϕ =. Für diesen Fall lautet die allgemeine Lösung r(t) = et a e, t ϕ(t) = t + b. Da x = y = 0 eine stationäre Lösung des Systems ist, muss der Fall r = 0 nicht weiter betrachtet werden. Abbildung 8 zeigt die Lösungskurve für a =, b = 0 für t [0, 00]. 4.2 Stabilität autonomer Systeme 4.2. Lineare Systeme Wir betrachten autonome System linear Differentialgleichung erster Ordnung von der Form u (t) = A u(t) mit A R n n. In diesem Fall ist 0 immer ein Gleichgewichtspunkt. Dieses System kann man als Linearisierung eines allgemeinen autonomen Systems an einem Gleichgewichtspunkt interpretieren. Definition 4.2. Wir nennen den Gleichgewichtspunkt 0. asymptotisch stabil, wenn jede Lösung für jede Lösung von u = A u gilt: u(t) neutral stabil, wenn alle Lösungen von u = A u beschränkt bleiben (d.h. u(t) C) und es eine Lösung gibt, sodass u(t) stabil, wenn er asymptotisch stabil oder neutral stabil ist. 4. instabil, falls es eine unbeschränkte Lösung gibt. 32

33 0.5 u u Abbildung 8: Lösungskurve für a =, b = 0 für t [0, 00]. 33

34 Beispiel Ein Beispiel für asymptotische Stabilität von 0 ist 0 0 u (t) = u(t) Wir wir wissen, lautet die allgemeine Lösung u(t) = (e t c, e 2t c 2, e 3t c 3 ). Für jede Wahl der Konstanten c, c 2, c 3 gilt: u(t) Schreiben wir die Gleichung m x + k x = 0 als System erster Ordnung so erhalten wir u ( ) (t) = u 2 (t), 0 u 2(t) = ω 2 d.h. u (t) = u (t), ω 2 u(t) 0 mit ω :=. Die allgemeine Lösung lautet k m ( ) ( ) cos(ωt) sin(ωt) u(t) = c + c ω sin(ωt) 2. ω cos(ωt) Für c 0 ist die Lösung beschränkt, bleibt aber auf einer Ellipse um den Ursprung. Der Gleichgewichtspunkt ist also neutral stabil. 3. Ein Beispiel für Instabilität von 0 ist 0 0 u (t) = u(t) Die Lösung u(t) = (e t, 0, 0) ist offenbar unbeschränkt. Satz 4.4 (Eigenwerttest auf Stabilität). Sei A R n n mit Eigenwerten λ,..., λ l C, algebraischen Vielfachheiten a,..., a l und geometrischen Vielfachheiten g,..., g l. Dann gilt für u = A u:. 0 ist asymptotische stabil Re λ j < 0 für alle j =,..., l ist neutral stabil Re λ j 0, g j = a j im Fall Re λ j = 0 und für mindestes ein j gilt Re λ j = ist instabil für mindestens ein j gilt Re λ j > 0 oder Re λ j = 0 und g j < a j. Beispiel Prüfen wir das System u = A u für A = Die Eigenwerte lauten λ = 0, λ 3 = 5, also ist 0 asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt. 34

35 2. Prüfen wir das System u = A u für A = Einziger Eigenwert ist λ = 0 mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit 2. Also ist 0 ein instabiler Gleichgewichtspunkt Nichtlineare Systeme Definition 4.6. Das System u = f(u) heißt. stabil an einem Gleichgewichtspunkt p, falls zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für jede Lösung u des Systems gilt: u(0) p < δ t 0 : u(t) p < ɛ. Anschaulich bedeutet dies, dass u für alle Zeiten in der Nähe von p bleibt. 2. asymptotisch stabil an einem Gleichgewichtspunkt p, falls es stabil bei p ist und ein δ > 0 existiert, sodass u(0) p < δ u(t) p t neutral stabil an einem Gleichgewichtspunkt p, falls es stabil bei p ist, aber nicht asymptotisch stabil. 4. instabil an einem Gleichgewichtspunkt p, falls es nicht stabil ist. Satz 4.7. Sei f zweifach stetig differenzierbar auf R n und sei p ein Gleichgewichtspunkt von u = f(u), d.h. f(p) = 0. A(u) bezeichne die Jacobi-Matrix von f an der Stelle u, d.h. Dann ist das System bei p A(u) jk = f j u k (u).. asymptotisch stabil, falls alle Eigenwerte von A(p) negative Realteile haben. 2. instabil, falls mindestens ein Eigenwert von A(p) positiven Realteil hat. Die analogen Aussagen für verschwindende Eigenwerte in Satz 4.4 übertragen sich im allgemeinen nicht. Beispiel 4.8. Betrachten wir das System u (t) = u 2 (t), u 2(t) = 0 u (t) 2 u 2 (t) + u 2 (t). 35

36 inverse Laplace- Transformation Differentialgleichung Lösung der Differentialgleichung Laplace- Transformation algebraische Gleichung Lösen Lösung der algebraischen Gleichung Abbildung 9: Idee der Laplace-Transformation Die Gleichgewichtspunkte lauten also p = 0 und p 2 = (0, 0). Die Jacobi-Matrix in den Gleichgewichtspunkten lautet ( ) ( ) 0 0 A(p ) =, A(p ) =, 0 2 Die Eigenwerte sind dann λ,2 (p ) = ± 02, λ,2 (p 2 ) = ± 02, Da Re(λ (p )) = Re(λ 2 (p )) = < 0 ist, ist p ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt. Hingegen ist λ (p 2 ) = > 0, sodass p 2 ein instabiler Gleichgewichtspunkt ist. 5 Die Laplace-Transformation Ein weiteres nützliches Werkzeug zur Lösung von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ist die Laplace-Transformation. Die Idee ist in Abbildung 9 dargestellt. 5. Definition der Laplace-Transformation Definition 5.. Sei f : [0, ) R eine stückweise stetige Funktion. Die Abbildung L : f L(f), gegeben durch L(f)(s) = 0 e st f(t) dt, heißt Laplace-Transformation. L(f) heißt Laplace-Transformierte von f, falls es ein s 0 R gibt, sodass das Integral L(f)(s) für s > s 0 existiert. 36

37 Beispiel 5.2. Einfache Beispiele von Laplace-Transformierten sind: f(t) = c, L(f)(s) = c, (s > 0), s f(t) = t, L(f)(s) =, (s > 0), s2 f(t) = e αt, L(f)(s) = s α, f(t) = sin(αt), L(f)(s) = (s > α), α s 2 + α 2 (s > 0). Lemma 5.3. Sei f : [0, ) R stückweise stetig und es gelte f(t) K e αt für t M mit α R und K, M 0. Dann existiert L(f)(s) für s > α. 5.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation Die wichtigste Eigenschaft der Laplace-Transformation ist die folgende: Satz 5.4. Sei f : [0, ) R differenzierbar mit stückweise stetiger Ableitung f und es gelte f(t) K e αt für t > M mit α R und K, M 0. Dann existiert L(f )(s) für s > α und es gilt: L(f )(s) = s L(f)(s) f(0). Merke: Die Laplace-Transformation verwandelt eine Ableitung in ein Produkt. Korollar 5.5. Sei die Funktion f n-mal differenzierbar, sei f (n) stückweise stetig auf [0, ) und es existieren Konstanten α R und K, M 0, sodass für t M gilt: f(t) K e αt, f (t) K e αt,... f (n ) (t) K e αt. Dann existiert L(f (n) )(s) für s > α und ist gegeben durch L(f (n) )(s) = s n L(f)(s) s n f(0) s n 2 f (0)... s f (n 2) (0) f (n ) (0). Lemma 5.6 (Linearität der Laplace-Transformation). Seien f, g : [0, ) R so, dass L(f) und L(g) für s > s 0 existieren. Für α, β R gilt dann: L(α f + β g)(s) = α L(f)(s) + β L(g)(s), (s > s 0 ). Beispiel 5.7. Betrachten wir das Anfangswertproblem u (t) 2 u(t) = 5 t 3 e 2t, u(0) = u 0. 37

38 Laplace-Tranformation: s L(u)(s) u 0 2 L(u)(s) = Auflösen nach L(u)(s) liefert: 0 e st (5 t 3 e 2t ) dt = L(u)(s) = u 0 s (s 2) 5 30 (s 2) 4. Durch Rücktransformation der einzelnen Terme (Linearität!) erhalten wir: u(t) = u 0 e 2t t4 e 2t. Satz 5.8 (Injektivität der Laplace-Transformation). Seien f, g : [0, ) R stückweise stetige Funktionen, deren Laplace-Tranformierte existieren. Existiert ferner ein s 0 R, sodass so gilt f = g auf [0, ). L(f)(s) = L(g)(s) für s > s 0, Lemma 5.9 (Ähnlichkeitseigenschaft). Sei f : [0, ) R eine stückweise stetige Funktion, deren Laplace-Transformierte existiert. Dann gilt für a > 0: L ( t f(a t) ) (s) = ( s ) a L(f). a Lemma 5.0 (Verschiebungseigenschaft). Sei f : [0, ) R eine stückweise stetige Funktion, deren Laplace-Transformierte existiert. Definieren wir f(t) := 0 für t < 0, so gilt für t 0 > 0: L ( t f(t t 0 ) ) = e st 0 L(f)(s). Lemma 5. (Dämpfungseigenschaft). Sei f : [0, ) R eine stückweise stetige Funktion, deren Laplace-Transformierte existiert. Dann gilt für a R: Beispiel 5.2. Wir suchen die Funktion f, sodass L(t e at f)(s) = L(f)(s + a). L(f)(s) = s 2 4 s + 5 Durch quadratische Ergänzung sehen wir, dass gilt: L(f)(s) = 2 (s 2) = L( sin ) (s 2). Mit Hilfe der Dämpfungseigenschaft (Lemma 5.) sehen erhalten wir f(t) = e 2t sin(t). 38