Formelsammlung für Regelungstechnik 1

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1 Formelsammlung für Regelungstechnik 1 Hochschule Heilbronn Wintersemester 2005/2006 Mechatronik und Mikrosystemtechnik Verfasser: Manuel Kühner (MM5) erstellt mit L A TEX

2 Inhaltsverzeichnis 1 Griechische Buchstaben 4 2 Sonstiges quadratische Gleichungen binomische Formeln Logarithmengesetze Wurzeln Wichtige Systemfunktionen Linearisierung Linearisierung einer statischen Kennlinie mit einer Variablen anschauliche Vorgehensweise formale Vorgehensweise (Taylor-Reihe) Linearisierung einer statischen Kennlinie mit mehreren unabh. Variablen anschauliche Vorgehensweise formale Vorgehensweise (Taylor-Reihe) Linearisierung einer nichtlinearen Dgl Partial-Bruch-Zerlegung (PBZ) Methode reelle einfache Pole mehrfach reelle Pole Methode Bedingung Ansatz für einfache reelle Nullstellen Ansatz für mehrfache reelle Nullstellen Ansatz für einfache komplexe Nullstellen Möglichkeiten zur Bestimmung der Koeffizienten Die Laplace-Transformation Definition Rechenregeln Linearität Ähnlichkeitssatz Dämpfungssatz Verschiebungssatz Differentationssatz für die Originalfunktion Integrationssatz Faltungsintegral Endwert- und Anfangswertsatz Endwertsatz Anfangswertsatz

3 FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 5.4 Tabelle wichtiger Laplace-Transformierter Blockschaltbildumformung Reihenschaltung Parallelschaltung Kreisschaltung Phasenminimum Systeme Definition Eigenschaften Zerlegung nicht phasenminimaler Systeme Allpass Beispiel Stabilitätskriterien Definitionen einzelne Systeme (keine geschlossene Regelkreise) Kriterien Beiwerte-Kriterium Hurwitz-Kriterium geschlossene Regelkreise (Nyquist) Trigonometrische Formeln elementare Beziehungen und Umrechnungen Additionstheoreme Formeln für Winkelvielfache Formeln für doppelte Winkel von Manuel Kühner im WS 05/06 3

4 1 Griechische Buchstaben FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 1 Griechische Buchstaben A α Alpha N ν Ny B β Beta Ξ ξ Xi Γ γ Gamma O o Omikron δ Delta Π π Pi E ɛ Epsilon P ρ Rho Z ζ Zeta Σ σ Sigma H η Eta T τ Tau Θ θ Theta Y υ Ypsilon I ι Joba Φ ϕ Phi K κ Kappa X χ Chi Λ λ Lambda Ψ ψ Psi M µ My Ω ω Omega von Manuel Kühner im WS 05/06 4

5 2 Sonstiges FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 2 Sonstiges 2.1 quadratische Gleichungen Ausgangsgleichung hat folgende Form: x 2 + px + q = 0 (2.1.1) dann gilt: x 1,2 = p p 2 2 ± 4 q (2.1.2) Ausgangsgleichung hat folgende Form: ax 2 + bx + c = 0 (2.1.3) dann gilt: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a (2.1.4) 2.2 binomische Formeln 2.3 Logarithmengesetze (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (2.2.1) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2.2.2) (a b)(a + b) = a 2 b 2 (2.2.3) log a (xy) = log a (x) + log a (y) (2.3.1) log a (x r = r log a (x) (2.3.2) ( ) x log a = log y a (x) log a (y) (2.3.3) ( log n ) ) a x = loga (x 1 n = log a(x) (2.3.4) n von Manuel Kühner im WS 05/06 5

6 2 Sonstiges FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 2.4 Wurzeln n - Wurzelexponent a - Radikand x = n a (2.4.1) 2.5 Wichtige Systemfunktionen Testfunktionen: Eingangsgrößen: u(t) bzw. u(s) Ausgangsgrößen: y(t) bzw. y(s) [= G(s)u(s)] n a = a 1 n (2.4.2) n am = ( n a ) m = a m n (2.4.3) n a n b = n ab (2.4.4) n a a n = n (2.4.5) b b n m a = nm a (2.4.6) n a m a = nm a n+m (2.4.7) n a m a = nm a m n (2.4.8) Bezeichnung u(t) u(s) g(t) y(s) Bezeichnung Impuls δ(t) 1 g(t) G(s) 1 = G(s) Impulsantwort, Delta Gewichtsfunktion Sprung σ(t) 1 s h(t) G(s) 1 s = H(s) Sprungantwort, Rampe Sigma t 1 s 2 r(t) G(s) 1 s 2 = R(s) Übergangsfunktion Rampenantwort Impuls 1 s = Sprung (entspricht Integration im Zeitbereich dt) Sprung 1 s = Rampe (entspricht Integration im Zeitbereich) Rampe s = Sprung (entspricht Ableitung im Zeitbereich d dt ) Sprung s = Impuls (entspricht Ableitung im Zeitbereich) von Manuel Kühner im WS 05/06 6

7 3 Linearisierung FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 3 Linearisierung 3.1 Linearisierung einer statischen Kennlinie mit einer Variablen Zu statischen nicht linearen Kennlinien zählen z.b. Geraden die nicht durch den Ursprung gehen und Parabeln anschauliche Vorgehensweise Wahl eines Arbeitspunktes auf der Kennlinie. Dieser AP ist Ursprung eines neuen Koordinatensystems. Die nichtlieneare Kennlinie wird näherungsweise durch eine Ursprungsgerade im neuen Koordinatensystem beschrieben (Tangente) formale Vorgehensweise (Taylor-Reihe) Es wird nur bis zur ersten Ordnung entwicklet (AP Entwicklungsstelle). y = f(u) y = f(u 0 ) } {{ } y y 0 = y = df du =y 0 + u u=u0 df du u=u0 u +... höhere Ordnung 3.2 Linearisierung einer statischen Kennlinie mit mehreren unabh. Variablen anschauliche Vorgehensweise Ersatz der Funktion durch die Tangentialebene im Arbeitspunkt formale Vorgehensweise (Taylor-Reihe) Es wird nur bis zur ersten Ordnung entwicklet (AP Entwicklungsstelle). y = f(u, z) = u f { }} { y = f(u 0, z 0 ) + } {{ } u (u u 0 ) + f = z { }} { y=y0 und z=z 0 z (z z 0 ) y=y0 und z=z 0 =y 0 y y 0 = y = f u u + f y=y0 und z=z 0 z z y=y0 und z=z 0 von Manuel Kühner im WS 05/06 7

8 3 Linearisierung FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern (a) Tangentialebenen an einer Kugel (b) Tangentialebene mit Normalenvektor Abbildung 1: Visualisierungen von Tangentialebenen (Quellen: und Linearisierung einer nichtlinearen Dgl. Zuerst muss die Gleichung nach der höchsten Ableitung umgestellt werden (in technischen Systemen ist die Variable, die mit der höchsten Ableitung vorkommt i.d.r. die Ausgangsgröße). Unser Bsp.: ẏ = f(y, u) = y(y 1) + u Dann wird eine Taylor-Reihen-Entwicklung für eine Funktion mit mehreren Varaiblen bis zur ersten Ordnung durchgeführt. Die Entwicklungsstelle (u u 0 usw.) ist ein möglicher Arbeitspunkt (AP-Ruhelage). Der AP zeichnet sich dadurch aus, dass alle zeitlichen Ableitungen null sind (nicht lineare Systeme haben unendlich viele Ruhelagen). f ẏ = f(y 0, u 0 ) + } {{ } y y + f y=y0 und u=u 0 u u y=y0 und u=u 0 = y 0 ẏ ẏ } {{ } 0 = f y y + f y=y0 und u=u 0 u u y=y0 und u=u 0 = ẏ ẏ = f y y + f y=y0 und u=u 0 u u y=y0 und u=u 0 Nun muss man die einzelnen partiellen Ableitungen (im AP!) ausrechnen. Dabei sind von Manuel Kühner im WS 05/06 8

9 3 Linearisierung FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern die anderen Variablen jeweils als konstant zu betrachten. In unserem Beispiel (man beachte die Indizes bei y 0 und u 0 ): f u = 1 y=y0 und u=u 0 f y = 2y 0 1 y=y0 und u=u 0 Jetzt kann man die part. Ableitungen einsetzten: ẏ = (2y 0 1) y + 1 u von Manuel Kühner im WS 05/06 9

10 4 Partial-Bruch-Zerlegung (PBZ) FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 4 Partial-Bruch-Zerlegung (PBZ) 4.1 Methode reelle einfache Pole G = k(b n s n b 1 n + b 0 ) Nenner in Faktoren, entspricht Reihenschaltung (s α 1 )... (s α n ) = c 0 + c c n PBZ-Darstellung, entspricht Parallelschaltung s α 1 s α n = b n s n b 1 s + b 0 a n s n a 1 s + a 0 Zähler- und Nennerpolynom ausmultipliziert c 0 = k b n = b n = 1 a n a n c i = lim (G(s) (s α i )) mit i=1,2,...,n s αi c 0 ist normal null (wenn es ein echter Bruch ist Nennergrad > Zählergrad) mehrfach reelle Pole G = k(b n s n b 1 n + b 0 ) (s α 1 ) n 1 (s αn ) n 2... = c 0 + c 11 s α 1 + c 21 = b n s n b 1 s + b 0 a n s n a 1 s + a 0 + s α c 12 c (s α 1 ) 2 (s α 2 ) c 1n1 + (s α 1 ) n 1 c 2n2 + (s α 2 ) n c 0 = k b n = b n = 1 a n a { n 1 d n i j c ij = (n i j)! ds (G(s) (s α i) n i )} n i j mit i=polnummer und j=laufnummer n i = s Vielfachheit des i-ten Poles s=α i von Manuel Kühner im WS 05/06 10

11 4 Partial-Bruch-Zerlegung (PBZ) FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 4.2 Methode Bedingung Der Nennergrad muss größer sein wie der Zählergrad. Ist der Nennergrad kleiner oder gleich dem Zählergrad ist eine Polynomdivison mit Rest durchzuführen (alternativ mit Taschenrechner) Ansatz für einfache reelle Nullstellen Beispiel: G = C 1 + C C n (4.2.1) s α 1 s α 2 s α n 2s + 3 (s 2)(s + 5) = C 1 s 2 + C 2 s + 5 hier: α 1 = 2 und α 2 = Ansatz für mehrfache reelle Nullstellen G = C 1 C 2 + s α 1 (s α 1 ) C n (4.2.2) 2 (s α 1 ) n n ist die Vielfachkeit der Nullstelle. Zum Beispiel: 2s + 3 (s 2) 2 (s + 5) = A 1 (s 2) (1) + A 2 (s 2) 2 + B 1 s + 5 hier: n = Ansatz für einfache komplexe Nullstellen Wenn ein Polynom s 2 + as + b 2 keine reele Lösungen besitzt lässt man es im Ansatz so stehen und bildet die Koeffizienten wie folgt: (Bemerkung: Bei reellen Koeffizienten kann es nur konjungiert komplexe Nullstellen geben! Unsere Koeffizienten sind zum Beispiel ohmsche Widerstände, Induktivitäten, Massen und Massenträgheitsmomente reell.) G = C 1s + C 2 s 2 + as + b (4.2.3) Beispiel: weiteres Beispiel: G = 3s3 + s 2 1 s 2 (s 2 + s + 1) = A 1 s + A 2 s + C 1 + C 2 s 2 s 2 + s 1 G = 5s s 4 + 5s s 4 + 5s = (s 2 + 1)(s 2 + 4) die konjungiert komplexen Nullstellenpaare sind ±i und ±2i G = A 1 + A 2 s s B 1 + B 2 s s Hinweis: ±i 2 = 1 und (±2i) 2 = 4 von Manuel Kühner im WS 05/06 11

12 4 Partial-Bruch-Zerlegung (PBZ) FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern Möglichkeiten zur Bestimmung der Koeffizienten Anhand von zwei Beispielen sollen zuerst der Koeffizientenvergleich und dann das Nullstellen einsetzen erklärt werden. Beispiel 1: G = 6s2 s + 1 = 6s2 s + 1 = 6s2 s + 1 s 3 s s(s 2 1) s(s 1)(s + 1) 6s 2 s + 1 = A s(s 1)(s + 1) s + B s C jetzt mit dem Nenner durchmultiplizieren s 1 6s 2 s + 1 = A(s + 1)(s 1) + Bs(s 1) + Cs(s + 1) Koeffizientenvergleich: = s 2 (A + B + C) + s(c B) A 6 = A + B + C 1 = C B 1 = A A = 1 C = 3 B = 4 G = 1 s + 4 s s 1 Beispiel 2 (Anfang wie bei Beispiel 1):... Nullstellen (0,-1,1) einsetzten. 6s 2 s + 1 = A(s + 1)(s 1) + Bs(s 1) + Cs(s + 1) mit s = 0 1 = A(1)( 1) = A A = 1 mit s = 1 8 = 2B B = 4 mit s = = 6 = 2C C = 3 Würde man nicht die Nullstellen einsetzten (bei mehrfachen Nullstellen kann man eine Nullstelle ja nur einmal einsetzen man hat dann zu wenige), so ergibt sich ein einfach zu lösendes Gleichungssystem. Dazu muss man selbst gewählte Werte einsetzten (z.b. -2, -1, 0, 1, 2). von Manuel Kühner im WS 05/06 12

13 5 Die Laplace-Transformation FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 5 Die Laplace-Transformation 5.1 Definition G(s) = g(t) e st dt = L {g(t)} (5.1.1) Dabei ist s eine komplexe Variable und g(t) = 0 für t < 0! Rechenregeln Linearität L {c g(t)} = c G(s) (5.2.1) L {g 1 (t) ± g 2 (t)} = G 1 (s) ± G 2 (s) (5.2.2) Ähnlichkeitssatz L {g(c t)} = 1 ( s c G { ( c )} 1 t G(c s) = c g c ) (5.2.3) (5.2.4) Dämpfungssatz Minuszeichen im Exponenten beachten! L { e at g(t) } = G(s + a) (5.2.5) Verschiebungssatz L {g(t t 0 ) σ(t t 0 )} = e st 0 G(s) (5.2.6) Differentationssatz für die Originalfunktion Ist die Funktion g(t) für t > 0 differenzierbar (keine Sprünge und Ecken) und hat der Differentialquotient g n (t) eine Bildfunktion, so gilt allgemein: L {g n (t)} = s n G(s) s n 1 g(+0) s n 2 ġ(+0)... s g n 2 (+0) g n 1 (+0) (5.2.7) Dabei sind g n (+0) die Grenzwerte denen g n (+0) zustreben, wenn t von rechts gegen 0 geht (Anfangsbedingungen). Sind alle Anfangsbedingungen gleich null (und nur dann) ergibt sich: L {g n (t)} = s n G(s) (5.2.8) von Manuel Kühner im WS 05/06 13

14 5 Die Laplace-Transformation FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern Integrationssatz L t 0 g(τ), dτ = 1 G(s) (5.2.9) s Faltungsintegral L {g 1 (t) g 2 (t)} = G 1 (s) G 2 (s) (5.2.10) t = g 1 (τ) g 2 (t τ), dτ (5.2.11) Anwendung: 0 Abbildung 2: Blockschaltbild y(t) = t g(τ) u(t τ), dτ Y (s) = L 1 {y(t)} 0 = G(s) U(s) 5.3 Endwert- und Anfangswertsatz Abbildung 3: Blockschaltbild Endwertsatz y(t) für t = lim s 0 s y(s) (5.3.1) Man muss zuvor sicherstellen, dass y(t) für t existiert (mit Hilfe der Stabilitätskriterien). von Manuel Kühner im WS 05/06 14

15 5 Die Laplace-Transformation FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern Anfangswertsatz y(t) für t +0 = lim s s y(s) (5.3.2) Der Anfangswert muss ein fester Wert sein (ein Dirac wäre kein fester Wert). 5.4 Tabelle wichtiger Laplace-Transformierter Dabei ist n N und a C. Falls nicht anders vermerkt gilt Re(s) > 0. g(t) für t > 0 1 G(s) 1 s δ(t) 1 e at 1 s a t n n! s (n+1) für RE(s) > Re(a) t n e at n! für Re(s) > Re(a) (s a) n+1 sin(ωt) cos(ωt) t sin(ωt) t cos(ωt) kω 2 0 s 2 + 2Dω 0 s + ω 2 0 kω 2 0 s(s 2 + 2Dω 0 s + ω 2 0) ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2 s 2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2 k ω 0 e Dω 0t 1 D 2 sin ( ω 0 t 1 D 2) 0 D < 1 [ ( k 1 e Dω 0t cos ( ω 0 t 1 D 2) D + sin ( ω 0 t 1 D 2))] 1 D 2 0 D < 1 von Manuel Kühner im WS 05/06 15

16 6 Blockschaltbildumformung FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 6 Blockschaltbildumformung 6.1 Reihenschaltung Abbildung 4: Reihenschaltung 6.2 Parallelschaltung G = G 1 G 2 (6.1.1) Abbildung 5: Parallelschaltung G = G 1 + G 2 (6.2.1) von Manuel Kühner im WS 05/06 16

17 6 Blockschaltbildumformung FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 6.3 Kreisschaltung Abbildung 6: Reihenschaltung G = G 1 1 G 1 G 2 (6.3.1) Bei Gegenkopplung (Minus an Summationsstelle) steht im Nenner 1 + G 1 G 2 Bei Mitkopplung (Plus an Summationsstelle) steht im Nenner 1 G 1 G 2 von Manuel Kühner im WS 05/06 17

18 7 Phasenminimum Systeme FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 7 Phasenminimum Systeme 7.1 Definition keine Pol- und Nullstellen in der rechten s-halbebene (dürfen aber auf der Im- Achse sein) damit sind sie automatisch nie instabil (sondern asymptotisch- oder grenzstabil) keine Totzeiten 7.2 Eigenschaften Bei phasenminimalen Systemen kann man aus dem Verlauf des Amplitudenganges auf den Verlauf des Phasenganges schließen: Anhebung (+ 20 db/dek.) des Amplitudenganges ergibt eine Anhebung des Phasenganges (+ 90 ) Absenkung (- 20 db/dek.) des Amplitudenganges ergibt eine Absenkung des Phasenganges (- 90 ) 7.3 Zerlegung nicht phasenminimaler Systeme Man kann jedes Nicht-Phasenminimum-System in ein Phasenminimum-System und einen Allpass zerlegen (Reihenschaltung) Allpass G(jω) = 1 (für alle Frequenzen) Pol- und Nullstellen sind symmetrisch zu der Im-Achse (z.b. PS bei 1 T und NS bei 1 T ) Beispiel: G(s) = T s + 1 T s Beispiel G(s) = T 1 s + 1 (T 2 s + 1)(T 3 s + 1) mit T i > 0 (7.3.1) von Manuel Kühner im WS 05/06 18

19 7 Phasenminimum Systeme FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 1 Hier haben wir eine Nullstelle bei T 1 und zwei Polstellen in der linken s-halbebene. Wäre eine Polstelle bei 1 T 1 könnte man einen Allpass bilden. Um die Gleichung nicht zu ändern wird noch eine Nullstelle bei 1 T 1 hingelegt (PS und NS heben sich auf - einfach Kürzen). G(s) = T 1 s + 1 (T 2 s + 1)(T 3 s + 1) mit T i > 0 G(s) = G(s) T1s + 1 T 1 s + 1 = G(s) Nullstelle bei 1 T 1 Polstelle bei 1 T 1 = T 1 s + 1 (T 2 s + 1)(T 3 s + 1) } {{ } Phasenminimun-System T 1s + 1 T 1 s + 1 } {{ } Allpass von Manuel Kühner im WS 05/06 19

20 8 Stabilitätskriterien FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 8 Stabilitätskriterien 8.1 Definitionen asymptotisch stabil - Gewichtsfunktion (Impulsantwort) sinkt asymptotisch auf null ab. grenzstabil - Betrag der Gewichtsfunktion überschreitet mit wachsendem t einen endlichen Wert nicht oder Gewichtsfunktion strebt einem endlichen Grenzwert zu. instabil - Betrag der Gewichtsfunktion geht mit wachsendem t gegen unendlich. 8.2 einzelne Systeme (keine geschlossene Regelkreise) Kriterien Haben sämtliche Pole einer Übertragungsfunktion einen negativen Realteil, dann ist das System asymptotisch stabil. Ist ein einfacher reeller Pol im Ursprung oder ein einfacher konj. komplexer Pol auf der Im-Achse, so ist das System grenzstabil. Bei zwei- bzw. mehrfachen Polen (reell oder konj. kompl.) ist das System instabil. Sobald ein Pol in der rechtes s-halbebene ist sowieso! Wenn man das Nennerpolynom (Polstellen) in der Form (s+s 1 )(s+s 2 )... hat, dann kann man einfach die Stabilität anhand der oben genannten Kriterien ermitteln. Ansonsten gibt es (in dieser FoSa) Algebraische Verfahren zur Stabilitätsanalyse Beiwerte-Kriterium notwendige Bedingung für das Nennerpolynom - Wenn das System asymptotisch stabil ist, müssen alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung von null verschieden sein und das gleiche Vorzeichen besitzen (Vorzeichenbedingung). Ist ein Koeffozient null, dann kann das System noch grenzstabil sein - ist aber nicht mehr asympt. stabil. hinreichende Bedingung für Systeme 1. und 2. Ordnung - ist gleichzeitig hinreichende Bedingung notwendige Bedingung hinreichende Bedingung für Systeme 3. Ordnung - Das System ist asymptotisch stabil, wenn a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 = 0 a 0 a 3 a 1 a 2 < 0 gilt. a1 a0 ω kritisch = = (Falls a 1 = a 0 gilt, ist das System grenzstabil und schwingt a 3 a 2 a 3 a 2 mit der Frequenz ω kritisch ) von Manuel Kühner im WS 05/06 20

21 8 Stabilitätskriterien FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern hinreichende Bedingung für Systeme 4. Ordnung - Das System ist asymptotisch stabil, wenn a 4 a a 0 a 2 3 a 1 a 2 a 3 < 0 (alle a i > 0) ODER a 4 a a 0 a 2 3 a 1 a 2 a 3 > 0 (alle a i < 0) gilt. ω kritisch = a1 a 3 hinreichende Bedingung für Systeme 5. Ordnung - Das System ist asymptotisch stabil, wenn a 2 a 5 a 3 a 4 < 0 UND (a 1 a 4 a 0 a 5 ) 2 (a 3 a 4 a 2 a 5 )(a 1 a 2 a 0 a 3 ) < 0 gilt. ω 2 kritisch = a 3 2a 5 ± Hurwitz-Kriterium Ein Polynom mit (a n > 0) a 2 3 4a 2 5 a 1 a 5 für a 2 3 4a 5 a 1 > 0 p(s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 = a n (s s 1 )(s s 2 )... (s s n ) heißt Hurwitz-Polynom, wenn alle Wurzeln s i (i = 1, 2,...) einen negativen Realteil haben (Hurwitz-Polynom asymptotisch stabil). Für die Koeffizienten eines Hurwitz- Polynom hat Hurwitz folgende Bedingungen angegeben: 1. alle Koeffizienten a i 0 2. alle Koeffizienten a i haben ein positives Vorzeichen (nicht wie bei Beiwerte- Kriterium gleiches VZ!) 3. folgende n Determinanten sind positiv: D 1 = a 1 > 0 D 2 = a 1 a 0 a 3 a 2 > 0 a 1 a 0 0 D 3 = a 3 a 2 a 1 a 5 a 4 a 3 > 0. D n 1 = a 1 a a 3 a 2 a > a n 1 D n = a n D n 1 > 0 von Manuel Kühner im WS 05/06 21

22 8 Stabilitätskriterien FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern allgemein: D i = D i = > a 1 a a 3 a 2 a a 5 a 4 a 3 a 2... > a i Anzahl der Zeilen/Spalten aufsteigend auf der Diagonalen (beginnen mit a 1 ) kleiner (Nummer des Koeffizienten) größer (Nummer des Koeffizienten) nicht vorhandene Koeffiziienten null setzen von Manuel Kühner im WS 05/06 22

23 8 Stabilitätskriterien FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 8.3 geschlossene Regelkreise (Nyquist)!Sehr verkürzte Darstellung! Soll der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil sein, so muss folgende Beziehung für die stetige Phasenänderung ϕ gelten: ϕ = P π + µ π 2 µ ist die Anzahl der Pole auf der Im-Achse (des offenen Regelkreises G 0 (s)) (8.3.1) P ist die Anzahl der Pole auf der rechten s-halbebene (des offenen Regelkreises G 0 (s)) offener Regelkreis G 0 (s) beim Standardregelkreis: G 0 (s) = G Regler (s) G Strecke (s) Hinweis: Die Aussage über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird anhand der Kenntnis über den offenen Regelkreis getroffen! Platz für eigene Ergänzungen: von Manuel Kühner im WS 05/06 23

24 9 Trigonometrische Formeln FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 9 Trigonometrische Formeln 9.1 elementare Beziehungen und Umrechnungen sin(ωt) = 1 2 j ( e jωt e jωt) (9.1.1) cos(ωt) = 1 2 ( e jωt + e jωt) (9.1.2) sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 (9.1.3) cos 2 ϕ = 1 sin 2 ϕ sin 2 ϕ = 1 cos 2 ϕ tan ϕ = sin ϕ cos ϕ = 1 cot ϕ (9.1.4) sin ϕ cos ϕ tan ϕ cot ϕ sin ϕ ± tan ϕ 1 cos 2 ϕ ± 1 + tan 2 ϕ ± cot 2 ϕ cos ϕ ± 1 sin 2 1 ϕ ± 1 + tan 2 ϕ ± cot ϕ 1 + cot 2 ϕ sin ϕ tan ϕ ± 1 sin 2 ϕ ± 1 cos2 ϕ cos ϕ 1 cot ϕ cot ϕ ± 1 sin 2 ϕ sin ϕ cos ϕ ± 1 cos2 ϕ 1 tan ϕ 9.2 Additionstheoreme sin (ϕ 1 ± ϕ 2 ) = sin ϕ 1 cos ϕ 2 ± cos ϕ 1 sin ϕ 2 (9.2.1) cos (ϕ 1 ± ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 (9.2.2) von Manuel Kühner im WS 05/06 24

25 9 Trigonometrische Formeln FoSa zu RT1 bei Herrn Prof. R. Kern 9.3 Formeln für Winkelvielfache Formeln für doppelte Winkel sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ (9.3.1) 1 sin 2ϕ 2 = sin ϕ cos ϕ 1 sin [2 (ϕ + ϕ)] 2 = sin (ϕ + ϕ) cos (ϕ + ϕ) sin 2 ϕ = cos(2ϕ) 2 (9.3.2) cos 2 ϕ = cos(2ϕ) 2 (9.3.3) von Manuel Kühner im WS 05/06 25