Lösung Übungsblatt 11

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1 Lösung Übungsblatt 11 Aufgabe 1: Quadraturformeln von Newton und Cotes Gegeben ist folgendes Integral: I = 1 0 e x2 dx I wird nach der zusammengesetzten Simpson-Regel berechnet und das Ergebnis als Ĩ bezeichnet. a) Gesucht ist die Anzahl der N Teilintervalle, welche den Integrationsbereich so aufteilen, dass der Fehler I Ĩ garantiert kleiner als 10 8 wird. Dazu wird folgender Satz verwendet: I(f ) Ĩ(f ) b a 180 max f (4) (x) h 4 (1.1) Mit h := b a N folgt: I(f ) Ĩ(f ) b a 180 max = I(f ) Ĩ(f ) ( (b a) (b a)5 180 max max f (4) (x) (b a) 4 N 4 f (4) (x) 1 N 4 f (4) (x) ) 1 1 N 4 N 4 (b a)5 I(f ) Ĩ(f ) N max f (4) (x) ( (b a) I(f ) Ĩ(f ) max f (4) (x) ) 1 4 (1.2) bobbysteels@gmx.tm Seite 1 von 9 S. Flaischlen

2 Nach (1.2) wird die vierte Ableitung des Integranten benötigt: f (x) = e x2 f (x) = 2xe x2 f (x) = 2e x2 + 2xe x2 2x = (4x 2 2)e x2 f (x) = 8xe x2 + (4x 2 2)e x2 ( 2x) = 8xe x2 + ( 8x 3 + 4x)e x2 = ( 8x x)e x2 f (4) (x) = ( 24x )e x2 (8x 3 12x)e x2 ( 2x) = ( 24x x 4 24x 2 )e x2 = (16x 4 48x )e x2 Zur Bestimmung der Extrema von f (4) (x) muss noch die fünfte Ableitung berechnet und gleich null gesetzt werden: f (5) (x) = ( 32x x x 2 120x)e x2! = 0 Die Extremstelle x = 0 ist offensichtlich. Die übrigen Werte sind analytisch nicht so einfach zu bestimmen. Hier schafft ein Plot Abhilfe. Gnuplot-Skript: set term postscript color set out b11a1a.ps set samples 500 plot abs((16*x**4-48*x**2 + 12)*exp(-x**2)) title " f^(4)(x) " unset out bobbysteels@gmx.tm Seite 2 von 9 S. Flaischlen

3 12 f^(4)(x) Abbildung 1.1: Der Plot von f (4) (x) liefert einen qualitativen Überblick. Aus Abbildung 1.1 geht hervor, dass an der Stelle x = 0 ein globales Maximum vorliegt. Die übrigen Extremstellen sind demnach irrelevant. Also: In (1.2): max x [0,1] f (4) (x) = f (4) (0) = 12 N ( ) Da die Simpson-Regel eine gerade Anzahl an Teilintervallen fordert, ist folglich ab einer Anzahl von N = 52 Teilintervallen der Fehler mit Sicherheit kleiner als bobbysteels@gmx.tm Seite 3 von 9 S. Flaischlen

4 b) und c) C++ Quellcode: 1 /* 2 M4 Numerik fuer Physiker Sommersemester Uebungsblatt 11 - A.1b 4 5 Titel : Quadraturformeln von Newton und Cotes 6 Datei : simpson. cpp 7 Erstellt : Autor : Stefan Flaischlen 9 */ # include <cmath > 12 # include <iostream > 13 # include <iomanip > 14 # include <vector > using namespace std ; enum DisplayType { 19 displaytitle, 20 displayline 21 }; template < class T> T Simpson ( const vector <T> &, T); 24 void displayspecials ( DisplayType = displayline, char * = 0); double f( double x) { 27 return exp (-x * x); 28 } int main () { vector < double > svector ; int N = 26 * 2; // Intervallgrenzen festlegen : 37 double lbound = 0, ubound = 1; displayspecials ( displaytitle, " Zusammengesetzte Simpson - Regel "); // Schrittweite festlegen : 42 double sstep = ( ubound - lbound ) / N; // Vektor mit den Funktionswerten fuellen : 45 for ( int i = 0; i <= N; i ++) { 46 svector. push_back (f( lbound + i * sstep )); 47 } displayspecials (); 50 cout << " Teilintervalle : N = " << N; 51 cout << "\n\ ntilde {I} = "; 52 cout << setprecision (15) << Simpson ( svector, sstep ); 53 cout << "\n\n\ nfehler :\n"; displayspecials (); 56 cout << fabs ( Simpson ( svector, sstep ) ) ; bobbysteels@gmx.tm Seite 4 von 9 S. Flaischlen

5 57 } // Funktion : Zusammengesetzte Simpson - Regel template < class T> T Simpson ( const vector <T> &A, T step ) { /* 63 Eingabe : Vektor A mit Funktionswerten an aequidistanten 64 Stellen mit dem Schritt step. 65 Funktion : Naeherungsweise Berechnung eines Integrals mittels 66 der zusammengesetzten Simpson - Regel. 67 */ T tmpvalue = 0; 70 int mcount = ( A. size () - 1) / 2; for ( int i = 1; i <= mcount ; i ++) { 73 tmpvalue += A[2 * i - 2] + 4 * A[2 * i - 1] + A[2 * i]; 74 } return tmpvalue * step / 3; 77 } // Hilfsfunktion : Titel, Linien void displayspecials ( DisplayType stype, char * stitle ) { int textwidth = 65; 83 int stringlen = 0; switch ( stype ) { 86 case displaytitle : 87 // Ueberschrift zentrieren : 88 while ( stitle [ stringlen ]!= 0) stringlen ++; 89 cout << setfill ( - ) << setw ( textwidth ) << "\ n" << setfill ( ) 90 << setw (( textwidth + stringlen ) / 2) << stitle << "\ n" 91 << setfill ( - ) << setw ( textwidth + 1) << "\n\n" 92 << "I = int ^{1} _ {0}[ exp (-x ^2) dx] naeherungsweise nach der " 93 << " zusammen -\ ngesetzten Simpson - Regel berechnen.\ n\ n\ n"; 94 break ; 95 case displayline : 96 cout << setfill ( - ) << setw ( textwidth ) << "\n" << setfill ( ); 97 break ; 98 } 99 } bobbysteels@gmx.tm Seite 5 von 9 S. Flaischlen

6 Ausgabe: Zusammengesetzte Simpson-Regel I = int^{1}_{0}[exp(-x^2)dx] naeherungsweise nach der zusammengesetzten Simpson-Regel berechnen Teilintervalle: N = 52 tilde{i} = Fehler: e-09 bobbysteels@gmx.tm Seite 6 von 9 S. Flaischlen

7 Aufgabe 2: Tschebyscheff-Polynome a) Sei T n (x) ein Tschebyscheff-Polynom n-ter Ordnung. Es soll folgendes Integral berechnet werden: 1 1 T 3 (x)t 4 (x)dx (2.1) Es gilt: T n (x) = cos(nϕ). Zusammen mit der Substitution x = cos(ϕ) ergibt sich für (2.1): 1 1 T 3 (x)t 4 (x)dx = arccos(1) arccos( 1) 0 = π cos(3ϕ) cos(4ϕ) [ sin(ϕ)dϕ] cos(3ϕ) cos(4ϕ) sin(ϕ)dϕ [ = 1 8 cos(2ϕ) cos(6ϕ) 1 ] 0 32 cos(8ϕ) π = [ ( )] 32 = 0 Dieses Ergebnis erhält man auch einfacher: Das Produkt T 3 (x)t 4 (x) ist ungerade, da T 3 (x) ungerade und T 4 (x) gerade ist. Folglich muss obiges Integral null ergeben. bobbysteels@gmx.tm Seite 7 von 9 S. Flaischlen

8 b) und c) C++ Quellcode: 1 /* 2 M4 Numerik fuer Physiker Sommersemester Uebungsblatt 11 - A Titel : Tschebysheff - Polynome 6 Datei : chebyshev. cpp 7 Erstellt : Autor : Stefan Flaischlen 9 */ # include <cmath > 12 # include <iostream > 13 # include <fstream > 14 # include <iomanip > using namespace std ; double Chebyshev ( int, double ); int main () { char * dfile = " chebyshev. res "; 23 ofstream out ( dfile ); // Vergleich von T_5 ( cos ( phi )) mit cos (5* phi ): 26 for ( double phi = 0; phi <= 2 * M_PI ; phi += 0.025) { 27 out << fixed << setprecision (3) << setw (5) << phi 28 << setw (20) << setprecision (15) << Chebyshev (5, cos ( phi )) 29 << setw (20) << cos (5 * phi ) << setw (24) << scientific 30 << fabs ( Chebyshev (5, cos ( phi )) - cos (5 * phi )) 31 << "\n"; 32 } 33 out. close (); cout << "\n- > Die Tabelle wurde in der Datei \"" << dfile 36 << "\" gespeichert.\n"; 37 } // Funktion : Chebyshev - Rekursion double Chebyshev ( int n, double x) { /* 43 Eingabe : Stelle x und Ordnung n des Tschebysheff - Polynoms. 44 Funktion : Rekursive Funktion um den Wert von T_n ( x) zu 45 berechnen. 46 */ switch (n) { 49 case -1: return x; 50 case 0: return 1; 51 } 52 return 2 * x * Chebyshev ( n - 1, x) - Chebyshev ( n - 2, x); 53 } bobbysteels@gmx.tm Seite 8 von 9 S. Flaischlen

9 Gnuplot-Skript: set term postscript color set out b11a2c.ps set title Tschebyscheff Polynom T_5[cos(phi)] set xlabel phi plot chebyshev.res using 1:2:4 title "T_5[cos(phi)]" with yerrorbars, \ cos(5*x) title "cos(5*phi)" unset out Tschebyscheff Polynom T_5[cos(phi)] T_5[cos(phi)] cos(5*phi) phi Abbildung 2.1: T 5 (cos ϕ) im Vergleich mit cos(5ϕ). Die sehr gute Übereinstimmung ist deutlich erkennbar. bobbysteels@gmx.tm Seite 9 von 9 S. Flaischlen