Kap 7. Funktionen und Arrays

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1 Kap 7. Funktionen und Arrays

2 Elementare Algorithmen Allgemein Mathematik Text Eingabe ٧ Skalarprodukt wie Allgemein Ausgabe ٧ Länge ersetzen Summation Winkel Laenge Maximum ٧ Polynome berechnen ausschneiden Minimum ٧ Matrixoperationen aneinanderhängen Löschen Lineares Gl-System kopieren Einfügen Eigenwerte umwandeln Suchen Sortieren ٧ Mischen Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

3 7.1 Mathematische Funktionen Beispiel: Es soll der Winkel in Grad zwischen 2 Vektoren berechnet werden. x=(x 1,,x n ) y=(y 1,,y n ) Es gilt: cos( α) = ( x, y) x * y Erforderliche Funktionen: Skalarprodukt (x,y) Laenge x arccos sowie π zur Winkelumrechnung Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

4 Skalarprodukt ( x, y) = n i= 1 xi * yi double skalarprodukt(int n,double x[],double y[] ) double summe=0; for ( int i=0;i<n;i++) summe+=x[i]*y[i]; return summe; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

5 Länge n x = x i= 1 2 i = ( x, x) double laenge(int n,double x[] ) double summe=0; for ( int i=0;i<n;i++) summe+=x[i]*x[i]; return sqrt(summe); Erforderlich: #include <cmath> double laenge(int n,double x[] ) double skalarprodukt(int,double [],double [] ); return sqrt( skalarprodukt(n,x,x) ); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

6 Winkel double winkelgrad(int n,double x[],double y[] ) double summes=0,summex=0,summey=0; for ( int i=0;i<n;i++) summes+=x[i]*y[i]; summex+=x[i]*x[i]; summey+=y[i]*y[i]; double cosalpha=summes/sqrt(summex*summey); return 45*acos(cosalpha)/ arctan(1.0);//pi/4=atan(1); // Konstante M_PI bereitstellen #include <iostream> #define _USE_MATH_DEFINES #include <cmath> using namespace std; void main() cout<<m_pi<<endl; double winkelgrad(int n,double x[],double y[] ) double skalarprodukt(int,double [],double [] ); double laenge(int,double [] ); double cosalpha=skalarprodukt(n,x,y)/( laenge(n,x)*laenge(n,y) ); return 45*acos(cosalpha)/ arctan(1.0);//pi/4=atan(1.0); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

7 Beispiel #include <iostream> using namespace std; void main() double winkelgrad(int n,double x[],double y[] ); double a[]=1,0,0,b[]=1,1,0; cout<<" Winkel in Grad : "<<winkelgrad(3,a,b)<<end Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

8 Polynome berechnen Mit dem Hornerschema lässt sich der Wert eines Polynoms an einer Stelle berechnen Algorithmus: Es sei Hornerschema p( x) p( x) = = ((( a a 0 x + a + a n 1 s=a[n] s=s*x+a[j] j=n-1 0 n 1 x + ) x + a a 2 x 2 n a n x n ) x +...) + a 0 double polynom(int n,double a[],double x) double s=a[n]; for ( int i=n-1;i>=0;i--) s=s*x+a[i]; return s; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

9 7.2 Character-Arrays Aufgabenstellung Umwandlung von Zahlen, die in einem Character-Array gespeichert sind. nach int. Die Zahl sei ohne Vorzeichen. Beispiel character Array: '1' '7' '5' Ergebnis (int) 175 Anwendung: Eingabe mit Plausibilitätskontrolle. int char_to_int(n,a[]) Anmerkung: Umkehrung int_to_char als Übung Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

10 Ziffern als Zeichen Die Ziffern sind im ASCII-Code wie folgt gespeichert: Zeichen Hexadezimal Dezimal Plausibilitätskontrolle Ist ein Zeichen c eine Ziffer? 48<= c && c<=57 oder besser '0'<= c && c<='9' Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

11 Umwandlung der Zahl Character-Array c: c[0] c[1].. c[n-1] ergebnis = c[0]*10 n 1 + c[1]*10 n * c[ n 2] + c[ n 1] = ((( c[0]*10 + c[1])*10 + c[2])* *10 + c[ n 2]*10) + c[ n 1] Dies entspricht dem Hornerschema für Polynome Da jedoch c[i] ein Zeichen ist, muss anstelle von c[i] richtigerweise der Zahlenwert von c[i] als int genommen werden. -> Umwandlung Zeichen die Ziffern sind Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

12 Umwandlung einer Ziffer Zeichen Hexadezimal Dezimal Der dezimale Wert des Zeichens '0' ist 48 Der Wert von'1' ist 49 usw. Um den echten Wert der Ziffer zu erhalten muss man also 48 abziehen oder besser '0' d.h. wenn c eine Ziffer als Zeichen ist ergibt sich der echte Wert durch c 48 bzw. c '0' Im Hornerschema muss man also statt c[i] nun c[i]-'0' setzen. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

13 char_to_int (atoi) void main() int char_to_int(int n, char c[] ); char c[]="23145"; int n=5; In C++ bereitgestellt cout<<" Ergebnis char: "<<char_to_int(5,c)<<endl; cout<<" Ergebnis int: "<<c<<endl; //cout<<" Ergebnis atoi: "<<atoi(c)<<endl; int char_to_int(int n, char c[] ) //Hornerschema int ergebnis= 0; for ( int i=0;i<n;i++) ergebnis=ergebnis*10+(c[i]-'0'); return ergebnis; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

14 7.3 Suchen Eine der Standardaufgaben der Informatik und insbesondere für Arrays ist die Suche eines Elements in einer Liste. Gegeben ist also ein Array mit n Elementen und ein zu suchendes Element. Geliefert wird der Index, wo sich das zu suchende Element befindet (genauer: üblicherweise der erste Index, fall das Element mehrfach vorhanden ist). Wird das Element nicht gefunden wird als Ergebnis -1 geliefert. Es gibt zahlreiche Algorithmen. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

15 Suchen Testplan (unabhängig vom ausgewählten Verfahren) Nr. Fall Element Anz. Array Ergebnis Sonderfall 1 Leeres Array Grenzfall 2. 1 Element/positiv Element/negativ Normalfall 4. Negative Suche Positive Suche Element gesucht 3 " mitteleres Element gesucht 7 " letztes Element gesucht 2 " mehrfach vorhandenes 4 " 2 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

16 Sequenzielle Suche/Entwurf Idee: Die Elemente werden der Reihe nach überprüft sequenziellesuche(n,a,element) i von 0 bis n-1 ja a(i)=element nein return i return -1 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

17 Sequenzielle Suche Programm void main() int a[7]=3,5,4,7,4,8,2; int sequenziellesuche(int n, int a[],int element); cout<<" Fall 1 : "<<setw(2)<<sequenziellesuche(0,a,1)<<endl; cout<<" Fall 2+ : "<<setw(2)<<sequenziellesuche(1,a,3)<<endl; cout<<" Fall 3- : "<<setw(2)<<sequenziellesuche(1,a,5)<<endl; cout<<" Fall 4- : "<<setw(2)<<sequenziellesuche(7,a,9)<<endl; cout<<" Fall 5.1: "<<setw(2)<<sequenziellesuche(7,a,3)<<endl; cout<<" Fall 5.2: "<<setw(2)<<sequenziellesuche(7,a,7)<<endl; cout<<" Fall 5.3: "<<setw(2)<<sequenziellesuche(7,a,2)<<endl; cout<<" Fall 5.4: "<<setw(2)<<sequenziellesuche(7,a,4)<<endl; int sequenziellesuche(int n, int a[],int element) for ( int i=0;i<n;i++) if ( a[i]==element ) return i;//gefunden return -1;//nicht gefunden Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

18 Binäre Suche Voraussetzung: Die Daten liegen in sortierter Reihenfolge vor Idee: Suchelement < mittleres Element: links weiter suchen Mitte wählen Suchelement >mittleres Element: rechts weiter suchen Ansonsten gefunden Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

19 Binäre Suche / Schleife int b_suche1(int v[], int abschnitt_anfang,, int abschnitt_ende, int suchwert) //Solange Abschnitt nicht leer while (abschnitt_anfang <= abschnitt_ende ) int mitte=(abschnitt_ende +abschnitt_anfang)/2; if ( suchwert<v[mitte] ) //nach links abschnitt_ende = mitte-1; else if ( suchwert > v[mitte] ) //nach rechts abschnitt_anfang = mitte+1; else //gefunden return mitte; return -1; Es wird im Indexbereich abschnitt_anfang. abschnitt_ende gesucht Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

20 Binäre Suche / Rekursion int b_suche2(int v[],int abschnitt_anfang,int abschnitt_ende,int suchwert) if ( abschnitt_anfang>abschnitt_ende ) return -1; else int mitte=(abschnitt_ende+abschnitt_anfang)/2; if ( suchwert<v[mitte] ) return b_suche(v,abschnitt_anfang,mitte-1,suchwert); else if ( suchwert > v[mitte] ) return b_suche(v,mitte+1,abschnitt_ende,suchwert); else return mitte; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

21 Binäre Suche / Beispiel void main() int vec[10]=2,4,7,11,13,19,21,29,35,44,suchwert; int b_suche1(int[],int,int,int); int b_suche2(int[],int,int,int); cout <<" Suche nach:"; cin >>suchwert; while ( suchwert>0 ) cout <<" gesucht "<<suchwert<<" : "<<b_suche1(vec,0,9,suchwert)<<endl; cout <<" gesucht "<<suchwert<<" : "<<b_suche2(vec,0,9,suchwert)<<endl; cout <<"\nsuche nach:"; cin >>suchwert; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

22 Vergleich der Suchverfahren Kriterium : Mittlere Anzahl der Vergleiche Annahme : alle Elemente werden mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gesucht. Ergebnis (z.b. für 1024 Elemente) : Sequentielle Suche : Mittlere Zahl der Vergleiche = anzahl/2 = 512 Binäre Suche : Mittlere Zahl der Vergleiche = log 2 (anzahl) = 10 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

23 7.4 Sortieren Wie das Suchen ist auch das Sortieren (von Arrays) eine Standardaufgabe der Informatik. Gegeben ist also ein Array mit n Elementen. Geliefert wird das sortierte Array. Auch hier gibt es zahlreiche Algorithmen. Bisher kennengelernt: Bubble-Sort (siehe Praktikum) Idee: Tausch benachbarter Elemente Testplan: vgl. Praktikum. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

24 Sortieren durch Auswahl Idee des Verfahrens: Die Stelle des Maximums bestimmen und das Element mit dem letzten vertauscht Damit ist das größte Element am Ende. Das ganze wiederholen bis nur noch 1 Element übrig ist. Alternative mit Minimum. Version 1 Ohne Funktionen Unübersichtlicher im Vergleich zu Version2 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

25 Sortieren durch Auswahl Version 2 Mit Funktion deutlich übersichtlicher Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

26 Maximumsuche int stellemaximum(int n, int a[]) if ( n<=0 ) return -1; else int index=0; for (int i=1;i<n;i++) if ( a[i]>a[index] ) index=i; return index; Erweiterung für n<=0 Testplan analog Suche Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

27 Sortieren durch Auswahl void sortiereauswahl(int n, int a[]) int stellemaximum(int,int[]);/prototyp for ( anzahl=n;anzahl>1;anzahl--) int indexmaximum=maximumsuche(anzahl,a); int h=a[anzahl-1];//tauschen an letzte Stelle a[anzahl-1]=a[indexmaximum]; a[indexmaximum]=h; //fuer Test: ausgabe(n,a); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

28 Sortieren durch Auswahl/Beispiel void main() void sortiereauswahl(int n, int a[]); int x[]=8,1,5,11,3,4,5,2; sortiereauswahl(8, x);// mit Testausgabe Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

29 Quicksort/Idee Der Bereich anfang ende wird sortiert. Man betrachtet das Element a[anfang] und bildet die linkemenge der kleineren Elemente sowie die rechtemenge der größeren Elemente Dann setzt man a[anfang] an das Ende von linkemenge und wiederholt das Verfahren mit den beiden Mengen. Hat eine Menge nur 1 Element ist nichts zu sortieren. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

30 Vergleich der Sortierverfahren Kriterien (mittlere) Anzahl der Vertauschungen/Umspeicherungen (mittlere) Anzahl der Vergleiche Vergleiche Umspeichern Auswahl n 2 /2 n Bubble n 2 /2 ¾* n 2 Quick 2n*ln(n) n*ln(n) Sortieren durch Mischen(Praktikum) wie Quicksort Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

31 Kombination (Hybrid-Verfahren) Der Quicksort (wie auch der SortMerge) ist nur für große Anzahlen wirklich schnell. Für kleinere ist der Bubblesort besser. Dies kann man für Hybridverfahren (Kombinationen) ausnutzen. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik