Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

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1 Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 21

2 Quadraturverfahren R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 2 / 21

3 Motivation Es soll das bestimmte Integral I (f ) := b a f (x)dx berechnet werden. Diese Aufgabe kann man für eine gewisse Klasse von Funktionen durch explizite Angabe einer Stammfunktion F (x) lösen: b a f (x)dx = F (b) F (a). In vielen Fällen lässt sich aber die Stammfunktion nicht in geschlossener Form angeben und man ist auf Näherungsverfahren angewiesen. Die numerische Berechnung von I (f ) bezeichnet man auch als numerische Quadratur. Diesen Namen für numerische Integration gab die klassische Aufgabe der Quadratur des Kreises, das (wegen der Transzendenz von π) nicht lösbare Problem, mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem Flächeninhalt des Einheitskreises zu konstruieren. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 3 / 21

4 Gauß sche Glockenkurve. I Einige wichtige Funktionen erlauben keine explizite Darstellung der Stammfunktion, wie das folgende Beispiel zeigt. Ist eine Variable x normalverteilt, so beschreiben der Mittelwert µ und die Standardabweichung σ die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung mittels der Funktion ( ) 1 σ 2π exp x 2 µ 2 2σ 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x zwischen a und b auftritt ist durch das Intergral ( ) 1 b σ x 2 µ 2 exp 2π 2σ 2 dx a gegeben, das wir nur numerisch berechnen können. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 4 / 21

5 Gauß sche Glockenkurve. II Gauß sche Glockenkurve für µ = 0, σ = 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine (0, 1)-normalverteilte Zufallsvariable einen Wert zwischen 1 und 2 annimmt, entspricht der Größe der markierten Fläche. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 5 / 21

6 Bestimmte Integral als Fläche Das bestimmte Integral lässt sich interpretieren als die Fläche unter dem Funktionsgraphen von f (x). Daher ist I (f ) genau die Größe der von f (x) und der x-achse begrenzten Fläche zwischen a und b. Mit Hilfe dieser geometrischen Bedeutung des Integrals können wir I (f ) approximieren, in dem wir die dazugehörigen Fläche approximieren. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 6 / 21

7 Rechteckregel. I Aufgrund der Definition des Riemannschen Integrals durch Riemannschen Summen liegt es nahe, zur Berechnung von I (f ) die so genannte Rechteckregel zu verwenden: Wir unterteilen das Intervall [a, b] gemäß der Zerlegung Z n : a = x 0 < x 1 < < x n = b in n disjunkte Teilintervalle (x j, x j+1 ). Die Summe n 1 Qf := f (xj )(x j+1 x j ) mit einem xj [x j, x j+1 ] j=0 bildet einen Nährungswert an das bestimmte Integral I (f ). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 7 / 21

8 Rechteckregel. II Die folgende Wahl für xj ist üblich: = x j führt zu Q a f := n 1 f (x j )(x j+1 x j ). x j x j j=0 = x j+1 führt zu Q b f := n 1 f (x j+1 )(x j+1 x j ). j=0 xj = x j+1+x j 2 führt zur sogenanten (Mittelpunktregel) Q M f := n 1 f ( x j+1+x j 2 )(x j+1 x j ). j=0 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 8 / 21

9 Rechteckregel. III Ist die Intervallteilung äquidistant gewählt, h := x j+1 x j = b a n, 0 j n 1, erhält man n 1 Q a f = h f (x j ), j=0 Q b f = h n n 1 f (x j ) und Q M f = h f j=1 j=0 ( x j + h ). 2 Beispiel: Wir berechnen eine Näherung für 2 1 x 2 dx mit der Rechteckregel Q b f für 4 Teilintervale. Wir erhalten h = (2 1)/4 = 1/4, x 0 = 1, x 1 = 1 + 1/4, x 2 = 1 + 2/4, x 3 = 1 + 3/4, x 4 = 2 und Zum Vergleich: ( (5 Q b = 1 ) ( ) ( ) ) = = x 2 dx = = = R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 9 / 21

10 Fehlerschranke für die Rechteckregeln. I Für eine auf (a, b) stetig differenzierbare Funktion f erhalten wir über den Mittelwertsatz f (x) = f (x j ) + f (ξ j )(x x j ), ξ j (min(x, x j ), max(x, x j )), die Fehlerdarstellung xj+1 x j f (x)dx hf (x j ) = xj+1 x j f (ξ j )(x x j )dx, wobei h := x j+1 x j. Für x j = x j gilt also xj+1 x j f (x)dx hf (x j ) = f (ξ j ) h2 2, ξ j (x j, x j+1 ), da ξ j stetig von x abhängt. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 10 / 21

11 Fehlerschranke für die Rechteckregeln. II Für den Quadraturfehler R n f, der bei der Näherung auftritt, ergibt sich damit b a f (x)dx = Q a f + R n f R n f = h n 1 f (ξj ) = h 2 2 (b a) 1 n 1 f (ξj ) = h n 2 f (ξ)(b a) j=0 mit ξ (a, b) nach dem Zwischenwertsatz. Für die Quadraturformel Q b f mit xj = x j+1 ergibt sich entsprechend j=0 R n f = h 2 f (ˆξ)(b a), ˆξ (a, b), so dass man sowohl für Q a f als auch für Q b f die Fehlerschranke erhält. R n f h 2 max x [a,b] f (x) (b a) R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 11 / 21

12 Fehlerschranke für die Rechteckregeln. III Beispiel: Im obigen Beispiel gilt R n f h 2 max x [a,b] f (x) (b a) = max x [1,2] (x 2 ) (2 1) = 1 8 max x [1,2] 2x = = 0.5 Bei der Mittelpunktregel ist jedoch mehr zu erreichen, wenn die Funktion f zwei mal stetig differenzierbar ist. In diesem Fall erhält man R n f h2 24 max x [a,b] f (x) (b a). Bemerkungswert ist die Tatsache, dass diese Schranke von Ordnung O(h 2 ) ist. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 12 / 21

13 Trapezregel. I Bis jetzt haben wir die Funktion f auf jedem der Teilintervallen (x j, x j+1 ), 0 j n 1, durch eine Konstante f (x j ), x [x j, x j+1 ], interpoliert. Interpoliert man die Funktion f über den Teileintervallen stückweise linear, so erhält man als die Summe der enstehenden Trapezenflächen T n f := n 1 j=0 y j + y j+1 (x j+1 x j ), y j = f (x j ), 2 einen Näherungswert für das bestimmte Integral b a f (x)dx = T n f + R n f mit R n f h2 12 max x [a,b] f (x) (b a). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 13 / 21

14 Trapezregel. II R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 14 / 21

15 Trapezregel. III Mit equidistanten Stützstellen nimmt diese Trapezregel die Form T n f = h 1 2 y n y j y n an. j=1 Beispiel: Wir berechnen einen Näherungswert T 4 für 2 1 x 2 dx mit Hilfe der Trapezregel für 4 Teilintervalle. Wir erhaten h = (2 1)/4 = 1/4, x 0 = 1, x 1 = 1 + 1/4, x 2 = 1 + 2/4, x 3 = 1 + 3/4, x 4 = 2 und T 4 = 1 ( ) = = Zum Vergleich: 2 1 x 2 dx = = = R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 15 / 21

16 Newtonsche Inerpolationspolynom Wir wählen die Indizierung der Stützstellen wie folgt: x j = x 0 + jh, 0 j n mit der festen Srittweite h. Das Inerpolationspolynom nach dem Ansatz von mit Newton nimmt die Gestalt p(x) = f (x 0 ) + y 0 h (x x 0) + + n y 0 n!h n (x x 0)... (x x n 1 ) an, wobei 0 y j := y j m y j := m 1 y j+1 m 1 y j, (m 1). Beispiel: Für die Stützstellen ( 1, 0), (0, 2), (1, 0) erhält man p(x) = y 0 + y 0 h (x x 0) + 2 y 0 2!h 2 (x x0)(x x 1) = y 0 + y 0 h (x x 0) + y 1 y 0 2!h 2 (x x0)(x x 1 ) = (0 2) (2 0) (x ( 1)) (x ( 1))(x 0) = 2 2x 2. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 16 / 21

17 Die Simpsonsche Regel. I Ene Näherung höheren Grades könnte man dadurch erreichen, dass der Integrand f über dem Doppelintevall [x 2k, x 2k+2 ] durch ein quadratisches Polynom interpoliert wird (unter Annahme n ist gerade). Dann gilt p(x) = y 2k + y 2k h (x x 2k) + 2 y 2k 2h 2 (x x 2k)(x x 2k+1 ) für x [x 2k, x 2k+2 ] und daher x2k+2 x 2k p(x)dx = h 3 (y 2k + 4y 2k+1 + y 2k+2 ). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 17 / 21

18 Die Simpsonsche Regel. II Damit erhalten wir eine Näherung für das bestimmte Integral mit Simpsonsche Regel x2k x 0 f (x)dx = S 2k f + R 2k f S 2k f = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + 4y 2k 1 + y 2k ) und Fehlerabschätzung R 2k f h4 180 max x [a,b] f (4) (x) (b a). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 18 / 21

19 Die Simpsonsche Regel. III R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 19 / 21

20 Die Simpsonsche Regel. IV Beispiel: Wir berechnen eine Näherung für 2 1 x 2 dx mit der Simpsonregel Q b f für 4 Teilintervale. Wir erhalten h = (2 1)/4 = 1/4, x 0 = 1, x 1 = 1 + 1/4, x 2 = 1 + 2/4, x 3 = 1 + 3/4, x 4 = 2 und S 4 = h 3 (y 0 + 2y 1 + 4y 2 + 2y 3 + y 4 ) ( ( ) ( ) 6 2 ( ) ) 7 2 = = = Zum Vergleich: 2 1 x 2 dx = = 7 3 = R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 20 / 21

21 Keplersche Fassregel Auf die Idee, sich mit der Berechnung von Flächeninhalten unter einer Fasskurve und dem entsprechenden Fassvolumen zu befassen, kam Johannes Kepler, als er einige Fässer Wein, die er für seine zweite Hochzeit brauchte, bezahlen musste. Er erkannte dabei, dass der Preis, welcher sich nach dem Volumen des Fasses richtete, auf Grund von Ungenauigkeiten beim Errechnen des Volumens des gefüllten Fasses nicht exakt war. (Quelle: R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 21 / 21