Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1)

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1 Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1) Christian Otto Universität des Saarlandes

2 Gliederung 1 Polynomiale Basissysteme Einleitung Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung Gautschi-Stieltjes-Methode 2 Quadraturformeln Grundsätzliches Lagrange-Interpolation Gaußsche Quadratur

3 3 Spezielle Polynome und deren Eigenschaften Legendre-Polynome Half-range-Legendre-Polynome Assoziierte Legendre-Polynome Fourier-Funktionen Kugelflächenfunktionen Assoziierte Laguerre-Polynome Anwendung: Schrödingergleichung Sonin-Polynome Hermite-Polynome Gegenbauer-Polynome

4 Einleitung Definitionen Seien f, g : [a; b] R. Dann ist deren Skalarprodukt definiert durch f g := mit w(x) > 0 x [a; b]. b a f (x)g(x)w(x) dx (1) Zwei Polynome f, g heißen orthogonal, wenn gilt: f g = 0. (2)

5 Einleitung γ n := Q n Q n (3) P n := Q n γ n (4) wobei die Q n die orthogonalen Polynome sind. Die Polynome P n sind also normiert µ n := b a x n w(x)dx (5) Die µ n heißen Momente von w(x)

6 Einleitung Zielsetzung Verfahren zur Konstruktion eines orthogonales Basissystems zu einer vorgegeben Gewichtsfunktion Ansatz: N 1 Q n (x) = x n + Q nk x k (6) k=0 Herleitung einer Rekursionsbeziehung zwischen den Koeffizienten (Drei-Term-Rekursion )

7 Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung Gram-Schmidt-Verfahren Setze Q n an wie oben und fordere Q n Q k = 0 n, k n (7) LGS mit n Variablen und n Gleichungen sehr umständlich! Effizienter durch Rekursionsformeln

8 Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung Rekursionsformeln für Polynome n x Q n = Q n+1 + c nk Q k Q k (8) k=0 c nk = 1 γ n Q n x Q k (9) c nk 0 genau dann, wenn k = n 1 und k = n. So vereinfacht sich die Summe x Q n = Q n+1 + α n Q n + β n Q n 1 Q n (10) Q n x Q n = α n γ n (11) Merke: α n = 0, wenn w(x) = w( x) Dies ist bei den Legendre- und Hermitepolynomen der Fall!

9 Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung Rekursionsformeln für Polynome Multipliziere nun (10) mit Q n 1 : Q n 1 x Q n = β n γ n 1 (12) Ersetze nun in (11) n durch n 1, multipliziere mit Q n Setze nun (12) und (13) gleich Es folgt die Drei-Term-Rekursion γ n = Q n 1 x Q n (13) β n = γ n γ n 1 (14) Q n+1 = (x α n ) Q n β n Q n 1 (15) x P n = β n+1 P n+1 + α n P n + β n P n 1 (16)

10 Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung Beurteilung des Verfahrens mangelt an Effizienz schlecht konditioniertes Problem! γ n = µ 2n n 1 k=0 c2 nk kann sehr klein werden Wegen β n = γn γ n 1 wird durch solch eine Größe geteilt extreme Fortpflanzung von Rundungsfehlern

11 Gautschi-Stieltjes-Methode Berechnung der Nullstellen Die Gautschi-Stieltjes-Methode beruht auf der numerischen Berechnung von Eigenwerten. Definiere Jacobi-Matrix: Aus (16) folgt: J nm : = P n x P m (17) J nm = β m+1 δ n,m+1 + α m δ nm + β m δ n,m+1 (18) Daher sieht sie (exemplarisch) so aus (n = 3): α 0 β1 0 0 β1 α 1 β2 0 0 β2 α 2 β3 (19) 0 0 β3 α 3

12 Gautschi-Stieltjes-Methode Definiere nun : d 2 h n (x) dx 2 + x 2 h n (x) = (2n + 1)h n (x) (20) R(x) : = [P 0 (x)... P n 1 (x)] (21) Schreibe nun () um: e : = [0,..., 1] (22) xr(x) = J(x) + α n P n (x)e (23) Genau für P n (x i ) = 0 ergibt sich Eigenwertgleichung: x i R(x i ) = J(x i ) (24) Also sind die Nullstellen x i von P n genau die EW von J. stabile und effiziente Berechnung der x i, da es für Diagonalisierung stabile und effiziente Verfahren gibt.

13 Grundsätzliches Was sind Quadraturen? Ziel: Algorithmus gewinnen, um Integral einer Funktion näherungsweise zu berechnen, wenn nur die Funktionswerte an diskreten Stützstellen x i gegeben sind. Methode: Interpoliere Funktion durch Polynom und integriere dieses Wahl der Stützstellen hat entscheidenden Einfluss auf die Genauigkeit

14 Lagrange-Interpolation Lagrange-Interpolation Gegeben: Funktionswerte f(x i ) an den Stellen x 1... x i... x n. Dann wird f(x) durch Polynom n-ten Grades interpoliert: n f (x) f n (x) := f (x i )l i (x) (25) l i (x) := i=1 n j = 1 j n x x j x i x j (26) Man sieht, dass die Interpolation an den Stützstellen exakt ist: Definition: l i (x j ) = δ ij (27) P n (x) := n (x x j ) (28) j=1

15 Gaußsche Quadratur Gaußsche Quadratur: Methode Ziel: Polynom q(x) vom Grade 2n 1 oder kleiner folgendermaßen integrieren b a q(x)w(x)dx (29) Wähle ONB von R n [x] aus Polynomen P n, die bzgl. w(x) auf [a ; b] orthogonal sind. Achtung: Intervall [a ; b] und Gewichtsfunktion w(x) geben eindeutig vor, welche Polynome zu wählen sind! Wähle dessen Nullstellen x i als Stützstellen für Lagrange-Interpolation Dann weiter wie bisher

16 Gaußsche Quadratur Methode Approximiere also wieder q(x) mithilfe von Lagrange-Interpolation: q(x) n q(x i )l i (x) i=1 Integriere nun b a w(x)q(x)dx n q(x i )w i (30) i=1 mit w i := b a w(x)l i (x)dx (31) Frage : Wie bestimmt man die w i und die x i möglichst effizient?

17 Gaußsche Quadratur Fehleranalyse für Gauß-Quadratur Der Vorteil der Gauß-Quadratur ist, dass sie exakt ist! Betrachte Restglied: R(x) := q(x) q n (x) (32) deg R(x) 2n 1 Da R(x i ) = 0 existiert Teilerpolynom d(x), sodass: R(x) = d(x)p n (x) (33) deg d(x) n 1 Also ist d(x) als LK von Polynomen P k mit deg P k n orthogonal zu P n.

18 Gaußsche Quadratur Fehleranalyse für Gauß-Quadratur Daher verschwindet der Fehler ɛ: ɛ := = a b b a R(x)w(x)dx d(x)w(x)p n (x)dx = 0 (34)

19 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Was fehlt noch? Berechnung der Nullstellen schon erledigt durch Gautschi-Stieltjes-Methode! Berechnung der Quadraturgewichte w i Herleitung der Christoffel-Darboux-Relation Man betrachte wieder die Drei-Term-Rekursion (): xp k (x) = β k+1 P k+1 (x) + α k P k (x) + β k P k 1 (x) yp k (y) = β k+1 P k+1 (y) + α k P k (y) + β k P k 1 (y)

20 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Nun multipliziere man mit P k (x) bzw. P k (y): xp k (x)p k (y) = β k+1 P k+1 (x)p k (y) + α k P k (x)p k (y) + β k P k 1 (x)p k (y) yp k (y)p k (x) = βk + 1P k+1 (y)p k (x) + α k P k (x)p k (y) Subtrahiere beide Gleichungen voneinander: + β k P k 1 (y)p k (x) (35) (x y)p k (x)p k (y) = β k+1 [P k (y)p k+1 (x) P k (x)p k+1 (y)] βk [ (P k (x)p k 1 (y)) + P k (y)p k 1 (x)]

21 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Summiere über k von 0 bis n und beachte, dass sich jeweils unterstrichene und überstrichene Terme wegheben! n P k (y)p k (x) k=0 = βn+1 x y [P n(y)p n+1 (x) P n (x)p n+1 (y)] (36) Setze y = x i und beachte P n (x i ) = 0: n βn+1 P k (x i )P k (x) = ( P n (x)p n+1 (x i )) (37) x x i k=0 Multipliziere mit w(x)p 0 (x) und integriere: P 0 (x i ) }{{} 1 = β n+1 P n+1 (x i ) b a P n (x) x x i w(x)dx (38)

22 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Wir betrachten den Integranden genauer: n P n (x) j=1 = (x x j) x x i x x i n = (x x j ) (39) j = 0 j i Außerdem gilt P n(x i ) = n j = 0 j i (x i x j ) (40) Aus (39), (40) und der Definition von l i (x) (26) folgt: P n (x) x x = l i (x) P n(x i ) (41)

23 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Damit lässt sich das Integral (38) auswerten: 1 = b w(x)p n (x) β n+1 P n+1 dx a x x i = b β n+1 P n+1 w(x)l i (x)p n(x i )dx = β n+1 P n(x i )P n+1 (x i )w i a Nun kann man umstellen und erhält: 1 w i = βn+1 P n+1 (x i )P n(x i ) (42) Wir wollen den Nenner auf eine andere Form bringen. Betrachte (37) und bilde mithilfe von L Hopital s Regel den lim x xi.

24 Gaußsche Quadratur Christoffel-Darboux-Relation Es folgt: β n+1 P n+1 (x i )P n(x i ) = n 1 P k (x i ) 2 (43) k=0 Man erhält durch Einsetzen in (42): Christoffel-Darboux-Relation w i = 1 n 1 k=0 P k(x i ) 2 (44) Dieser Ausdruck lässt sich leicht mithilfe der Gautschi-Stieltjes Methode berechnen!

25 Gaußsche Quadratur Gautschi-Stieltjes-Methode (2) Erinnerung (Gautschi-Stieltjes-Methode): R(x) := (P 0 (x)... P n 1 (x)) R(x i ) R(x i ) = n 1 P k (x i ) 2 k=0 = 1 w i (45) ( w i R(x i )) ( w i R(x i )) = 1 (46) Also ist w i R(x i ) ein ganz spezieller Vektor: der normierte Eigenvektor zum Eigenwert x i!

26 Gaußsche Quadratur Gautschi-Stieltjes-Methode (2) Dieser ist numerisch berechenbar und wird im Folgenden als u bezeichnet. Indem man berücksichtigt, dass P 0 (x) = 1 µ 0 und die erste Komponente betrachtet, findet man: wi P 0 = wi µ 0 = (u) 0 Numerische Bestimmung der Quadraturgewichte w i = (u) 0 µ 2 0 (47) fertiger Algorithmus für numerische Quadratur!

27 Legendre-Polynome Legendre-Polynome Wir wollen in diesem Kapitel die wichtigsten Eigenschaften einiger klassischer Polynombasen studieren und beginnen mit den Legendre-Polynomen. Gewichtsfunktion: w(x) = 1 Definitionsbereich [ 1 ; 1] Normquadrat: γ l = 2 2l+1 Rekursionskoeffizienten: α l = 0 und β l = 2l 1 2l+1 Sturm-Liouville-Problem: Legendre-DGL : d dx [ (1 x 2 ) dp l dx ] = l(l + 1)P l (48)

28 Legendre-Polynome Momente der Gewichtsfunktion: µ n = 2 0. n+1 für gerade n, sonst

29 Half-range-Legendre-Polynome Half-range-Legendre-Polynome Gesucht: Polynome, die auf [0 ; 1] bzgl. w(x) = 1 orthogonal sind! Lösung durch Variablensubstitution: P hr l (x) = P l (2x 1) (49) Da die Pl hr auf den P l basieren, lassen sich deren Eigenschaften leicht aus denen der P l gewinnen: Gewichtsfunktion w(x) = 1 Definitionsbereich [0 ; 1] Normquadrat: γ l = 1 2l+1 Rekursion: wie bei Legendre-Polynomen Momente: µ n = 1 n+1

30 Assoziierte Legendre-Polynome Assoziierte Legendre-Polynome Will man Legendres verallgemeinerte DGL lösen, benötigt man ein Orthogonalsystem, das nicht mehr aus Polynomen besteht. Gewichtsfunktion w(x) = 1 Definitionsbereich [ 1 ; 1] Normquadrat: γ n = 2(l+m)! (2l+1)(l m)! Rekursionskoeffizkienten: α n = 0 und β n = 2l 1 l+m 2l+1 l m

31 Assoziierte Legendre-Polynome Assoziierte Legendre-Polynome Sturm-Liouville-Problem (Legendres verallgemeinerte DGL ): d [ (1 x 2 ) dpm l dx dx Momente: wie bei Legendre ] m 2 1 x 2 Pm l = l(l + 1)P m l (50) Bedeutung: VLDG tritt z.b. nach Variablentrennung in Quantenmechanik und Elektrodynamik auf. Außerdem führen die ALP auf die Kugelflächenfunktionen.

32 Fourier-Funktionen Fourier-Funktionen Um im nächsten Schritt die Kugelflächenfunktionen zu konstruieren, brauchen wir noch ein weiteres Orthogonalsystem: Gewichtsfunktion: w(x) = 1 Definitionsbereich: [0 ; 2π] explizite Formel: mit m Z Sturm-Liouville-Problem: Φ m (ϕ) = e imϕ d 2 Φ m (ϕ) dϕ 2 = m 2 Φ(ϕ) (51)

33 Kugelflächenfunktionen Kugelflächenfunktionen Als Funktionen, die von ϕ und cos(ϑ) abhängen und auf [0 ; π] [0 ; 2π] orthonormal sind, definieren wir die Kugelflächenfunktionen: (l m)! ( ) Y lm (ϕ, ϑ) := (2l + 1) (l + m)! Pm l cos(ϑ) e imϕ Eigenschaften: orthonormal: ϕ=2π ϑ=π ϕ=0 ϑ=0 (52) Y lm (ϕ, ϑ)y l m (ϕ, ϑ)sin(ϑ)dϑdϕ = δ ll δ mm Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators Ω Y lm (ϕ, ϑ) = l(l + 1)Y lm (ϕ, ϑ) (53) 1 [ ] 1 2 Ω := sin(ϑ) + sin(ϑ) ϑ ϑ sin 2 (ϑ) ϕ 2(54)

34 Kugelflächenfunktionen Kugelflächenfunktionen Eigenfunktionen des ϕ -Operators: Y lm (ϕ, ϑ) ϕ = my lm (ϕ, ϑ) (55) Daher Anwendungen: Lösungen der Schrödinger-Gleichung der QM oder der Laplace-Gleichung der E-Dynamik

35 Assoziierte Laguerre-Polynome Assoziierte Laguerre-Polynome Gewichtsfunktion: w(x) = x α e x Definitionsbereich [0 ; ) Normquadrat: γ n = Γ(n+α+1) n! Rekursionsformel: L (α) n (x) = (2 + α x 1 n )L (α) n 1 α 1 (x) (1 + n )L (α) n 2 (x) Anwendungen: Radialgleichung der Atomorbitale beim Wasserstoffatom Eigenfunktionen des Kollisionsoperators der Boltzmann-Gleichung

36 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung Die (stationäre) Schrödingergleichung für ein Teilchen mit Masse µ und Energie E im Potential V (r) lautet allgemein: ] [ 2 2µ + V (r) ψ(r) = Eψ(r) (56) Für ein Elektron im Coulompotential des Kerns lautet das Potential V (r) = k r (57) Schreibt man den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, erhält man: ( [ 2 1 2µ r 2 r (r 2 ( r ) + 1 r 2 sin(ϑ) ) sin(ϑ) ϑ ϑ + 1 sin(ϑ) 2 2 ϕ 2 ] + E V (r) ) Ψ = 0 (58)

37 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung Man setze an ψ(r) = R(r)Φ(ϕ)Θ(ϑ) (59) Setzt man diesen Ansatz ein und teilt durch 2 2µ ( 1 d r 2 r 2 dr(r) ) dr dr 1 d + r 2 sin(ϑ) dϑ ( sin(ϑ) dθ(ϑ) dϑ Θ(ϑ)Φϕ ) R(r)Φ(ϕ), erhält man: 1 d 2 Φ(ϕ) + r 2 sin 2 (ϑ) dϕ 2 R(r)Θ(ϑ) + 2µ ( ) 2 E V (r) R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) = 0 (60)

38 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung Nun multipliziere man mit sin 2 (ϑ)r 2 sin(ϑ) 2 d dr + sin(ϑ) d dϑ ( r 2 dr(r) ) dr ( sin(ϑ) dθ(ϑ) dϑ Θ(ϑ)Φ(ϕ) ) R(r)Φ(ϕ) + d 2 Φ(ϕ) dϕ R(r)Θ(ϑ) + 2µ ( ) 2 E V (r) r 2 sin(ϑ)r(r)θ(ϑ)φ(ϕ) = 0 (61) Als nächstes teile man durch RΦΘ. Zur Abkürzung werden Argumente der Funktionen nicht mitangeschrieben.

39 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung sin 2 (ϑ) R d dr ( r 2 dr ) dr + 1 d 2 Φ Φ dϕ 2 }{{} m 2 + sin(ϑ) d Θ dϑ + 2µ ( 2 E V (r) ( sin(ϑ) dθ dϑ ) ) r 2 sin 2 (ϑ) = 0 (62) Da die Gleichung bzgl ϕ komplett separiert ist, muss der unterklammerte Term konstant sein. Daraus ergibt sich für Φ(ϕ) die DGL: d 2 Φ dϕ 2 = m 2 Φ (63) Da die Lösung auch 2π-periodisch sein muss, ergeben sich als Lösungen die Fourierfunktionen und m N.

40 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung Nun setze man also für 1 d 2 Φ Φ den Eigenwert m 2 ein, teile durch dϕ 2 sin 2 (ϑ) und sortiere nach Variablen: 1 R ( d r 2 d 2 R dr dr d sin(ϑ)θ dϑ Beachtet man nun, dass ) + 2µ ( 2 ( sin(ϑ) dθ dϑ ) E V (r) ) m2 r 2 sin 2 (ϑ) = 0 (64) d dϑ = sin(ϑ) d cos(ϑ) (65) und dass sin 2 (ϑ) = 1 cos 2 (ϑ) (66)

41 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung dann erhält man: 1 d ( r 2 d 2 R ) R dr dr 2 + 2m [ ] 1 cos 2 dθ (ϑ) 2 ( ) E V (r) r 2 m 2 1 cos 2 (ϑ) d + d cos(ϑ)θ d cos(ϑ) }{{} =C = 0(67) Da der unterstrichene Teil nur von Θ abhängt, muss er gleich einer Konstanten C sein sein. Diese Bedingung ergibt wieder Legendre s VDG zum Eigenwert C, und die Lösungen sind: Θ(ϑ) = P m l (cos(ϑ)) (68) C = l(l + 1) (69) Man setzt also den Eigenwert für C ein und erhält eine nur noch von r abhängige Gleichung.

42 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingerleichung d ( dr r 2 dr dr Diese hat die Lösung (für gegebene l): ) + 2m ( ) 2 E V (r) r 2 R = CR (70) R nl (r) = e kr (2kr) l L 2l+1 2mE k := n l 1 (2kr) (71) (72) E c n 2 (73) Die Lösung wurde über einen Separationsansatz gewonnen. Ihre Allgemeinheit folgt aus physikalischen Randbedingungen, algebraischen Überlegungen und Konvergenzbetrachtungen.

43 Anwendung: Schrödingergleichung Anwendung: Schrödingergleichung Wir fassen nochmal zusammen: Schrödingergleichung für 1 r -Potential Die Lösungen der stationären Schrödingergleichung lauten [ 2 2m k ] Ψ(r) = EΨ(r) r Ψ nlm (r, ϕ, ϑ) = e kr (2kr) l L 2l+1 n l 1 (r)pm l (cos(ϑ)) (74)

44 Sonin-Polynome Sonin-Polynome Gewichtsfunktion: w(x) = x 2α+1 e x2 Definitionsbereich: [0 ; ) Achtung: Nehme als Variable nicht x, sondern x 2! Normierung Γ(n + α + 1) γ n = (75) 2n! Anwendung in der kinetischen Gastheorie, wobei x die Rolle einer reduzierten Geschwindigkeit spielt

45 Hermite-Polynome Hermite-Polynome Gewichtsfunktion w(x) = e x2 Definitionsbereich ( ; ) Normierung γ n = π2 n n! Rekursionsbeziehungen H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x) (76) H n+1 (x) = 2xH n (x) dh n(x) (77) dx dh n (x) = 2nH n 1 (78) dx Rekursionskoeffizienten: α n = 0 und β n = 2n

46 Hermite-Polynome Hermite-Polynome Sturm-Liouville-Problem d [ ] e x2 H dx n(x) = 2ne x2 H n (x) (79)

47 Hermite-Polynome Orthonormale Hermite-Polynome Aus den Hermite-Polynomen kann man auch die sogenannten orthonormalen Hermite-Polynome ableiten: h n (x) := H n (x) π2 n n! (80) Diese haben folgende Eigenschaften: Gewichtsfunktion w(x) = 1 Definitionsbereich ( ; ) Normierung γ n = 1 Rekursionskoeffizienten: α n = 0 und β n = n 2

48 Hermite-Polynome Orthonormale Hermite-Polynome Anwendung: Die OHP lösen die Schrödingergleichung für einen harmonischen Oszillator. d 2 h n (x) dx 2 + x 2 h n (x) = (2n + 1)h n (x) (81)

49 Gegenbauer-Polynome Gegenbauer-Polynome Gewichtsfunktion: w(x) = (1 x 2 ) λ 1 2 Definitionsbereich: [ 1 ; 1] Normierung γ n = 21 2λ πγ(n+2λ) n!(n+λ)[γ(λ)] 2 Rekursionskoeffizienten: α n = 0 und β n = Γ(l+2λ) Γ(l+2λ 1 l 1+λ 1 l+λ l