Sommersemester 2012 W. Huyer

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1 Übungen zu Numerische Mathematik Sommersemester 0 W. Huyer ) Bestimmen Sie mit Matlab (format short) den Wert der folgenden arithmetischen Ausdrücke und erklären Sie die Ergebnisse. Welche Klammern sind überflüssig? a) 8/-6 e) (e3-5e)*(0-50e-) i) (((4.6e*3)/)-.77e)^ b) 0//0.5e f) (-)^(-.) j) (8-3)^(3^(/3)) c) (5^4)/ g) 4*3^*^3 k) (8-3)^3^(/3) d) 5^(4/) h) (*5)/(3^-4)*6-9.6 l) ((8-3)^3)^(/3) ) Exekutieren Sie in Matlab die folgenden Befehle und erklären Sie ihren Zweck und die Resultate: x = [ 3 4 5] y = -: x.^y x.*y x./y A = rand(3) B = [A zeros(size(a)); eye(size(a)) ones(size(a))] C = sqrt(a) D = C*C E = C.*C 3) Geben Sie möglichst elegante Matlab-Anweisungen zum Abspeichern folgender Vektoren an: a) (, 0.8,..., 0.6, 0.8, ) b) (,, 4, 4, 6, 6,..., 6, 6) c) (,,..., 8, 0, 3, 4, 5,..., 9, 0) d) (,, 4, 5, 7, 8, 0,,..., 9, 0,, 3) 4) Geben Sie möglichst elegante Matlab-Befehle zum Abspeichern der folgenden Matrizen an: , ) Geben Sie Matlab-Anweisungen an, um eine obere bzw. eine untere Dreiecksmatrix der Dimension 0 zu generieren, die auf der Hauptdiagonale und 3 auf der zweiten oberen (bzw. unteren) Diagonale hat. (Hinweis: help diag.) Vertauschen Sie zuerst die dritte und siebenten Zeile dieser Matrizen und dann die vierte und achte Spalte. 6) Überprüfen Sie mit Matlab, ob die folgenden Vektoren im R 4 linear abhängig sind: v = (0,, 0, ), v = (,, 3, 4), v 3 = (, 0,, 0), v 4 = (0, 0,, ).

2 7) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Matlab: x + y + 5z = 5 x + y + 3z = 7 x + 3y + 3z = 6 8) Beweisen Sie, dass i i eine reelle Zahl ist, und überprüfen Sie das mit Matlab. 9) Plotten Sie die Funktionen f(x) = (sin x) und g(x) = (cos x) 3 im Intervall [0, π]. Setzen Sie dazu die x-grenzen auf [0, π] und die y-grenzen auf vernünftige Werte. 0) Das Integral I n = 0 xn e x dx, n = 0,,,..., genügt der Rekursion (partielle Integration!) I 0 = e, I n+ = (n + )I n, n = 0,,.... Beweisen Sie lim n I n = 0 und vergleichen Sie mit dem numerischen Resultat, indem Sie I n, n = 0,..., 80, mit einem Matlab-Programm mit der obigen Rekursion berechnen. ) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion für die Berechnung des Binomialkoeffizienten ( n k) = n!, wobei n und k zwei nichtnegative ganze Zahlen mit k n sind. Hinweis: Mit k!(n k)! der Matlab-Funktionen mod oder rem kann man überprüfen, ob eine Zahl eine ganze Zahl ist. ) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, die zu einer natürlichen Zahl n (Eingabeparameter) einen Vektor der Primzahlen zwischen und n ausgibt (also z.b. function p = prim(n)). Hinweis: Ein natürliche Zahl m ist genau dann eine Primzahl, wenn sie keinen Teiler k [, m ] N besitzt (verwenden Sie die Matlab-Funktion rem oder mod). Das Programm kann z.b. mit Hilfe einer doppelten for-schleife mit geeignetem break realisiert werden. 3) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, um die quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 zu lösen. Die Funktion soll drei Eingabeparameter a, b, c haben und die Werte der zwei Wurzeln ausgeben. Sie sollten die folgenden Fälle berücksichtigen: a) keine reellen Wurzeln, b) reelle und verschiedene Wurzeln, c) gleiche Wurzeln, d) lineare Gleichung, e) a = b = 0 (sinnlose Eingabe). 4) Plotten Sie mit Matlab die Funktionen, die durch die folgenden drei arithmetischen Ausdrücke definiert sind: a) f (x) = + x x + x für < x und für x 0 5, b) f (x) = x + /x x /x für x 0 und für 0 7 x 0 8, tan x sin x c) f 3 (x) = für 0 < x und für 0 8 x 0 7. x Beachten Sie die starke Ungenauigkeit jeweils für die zweite Wahl. Hinweis: Nicht über Singularitäten drüber zeichnen (Intervall teilen), sinnvolle y- Grenzen wählen!

3 5) Berechnen Sie die folgenden Funktionen und ihre Ableitungen an den Punkten x = mit Hilfe von Differentialzahlen. Berechnen Sie für c) zur Probe einen Ausdruck für f (x) an x =. a) f(x) = ex + x, b) f(x) = ex (x + ) x, i=0 c) f(x) = (x + 3)(x ) + x x (x + 4) x +. n 6) Das Polynom f(x) = a i x n i werde am Punkt z mit Hilfe des Hornerschemas ausgewertet (mit den Bezeichnungen wie in der Vorlesung). Zeigen Sie, dass n f (z) wenn x = z, f i x n i = f(x) f(z) i=0 x z sonst. Hinweis: Zeigen Sie zuerst rekursiv, dass f i = i a j z i j für i = 0,..., n. j=0 7) Sei f(x) = a 0 x n + a x n + + a n ein Polynom n-ten Grades. Das vollständige Hornerschema ist gegeben durch f (0) i := a i (i = 0,..., n), f (j) j := a 0 (j =,..., n + ), f (j) i := f (j) i z + f (j ) i (j =,..., n +, i = j +,..., n + ). Zeigen Sie, dass für die Polynome gilt: g j (x) := n i=j f (j) i x n i (j = 0,..., n) a) g j (x) g j (z) = g j+ (x)(x z) (j = 0,..., n ), j b) f(x) = g 0 (x) = g k (z)(x z) k + g j (x)(x z) j k=0 c) f (j+) n+ = g j (z) = f (j) (z) j! (j =,..., n). (j =,..., n), Hinweis: a) erhält man, indem man Bsp. 6 auf das Polynom g j (x) anwendet. Durch wiederholte Anwendung von a) auf g j (x)(x z) j folgt b). Teil c) erhält man, wenn man die Taylorentwicklung von f(x) um z mit b) mit j = n vergleicht. Das vollständige Hornerschema kann zur Berechnung von höheren Ableitungen verwendet werden. 3

4 8) Schreiben Sie ein Programm für das vollständige Hornerschema und berechnen Sie damit für das Polynom p(x) = 4x 4 8x + 5x die Werte p(x), p (x) und p (x) für x =.5 und für x = 4/3. 9) Ein Dualbruch der Form r := (0.a a... a k ) mit a ν {0, } (ν =,..., k) kann dargestellt werden als r = k a ν 0.5 ν ν=0 mit a 0 = 0. Wandeln Sie den Dualbruch ( ) mit Hilfe des Hornerschemas in eine Dezimalzahl um. 0) Auf einem Rechner mit L-ziffriger Mantisse, Basis B {, 0} und optimaler Rundung werde der folgende Algorithmus durchgeführt: x = /3, y = 3(x 0.5) 0.5 /5, falls y = 0, z = e y sonst. y a) Welcher Wert ergibt sich für z? Was erhält man mit Matlab? Begründen Sie die Abweichung vom exakten Ergebnis z =. b) Konvergieren die numerisch ermittelten Werte von z für L gegen die Lösung z =? Hinweis: Wenn x der durch optimale Rundung von x, B e < x < B e (e Z), mit L-ziffriger Mantisse zur Basis B erhaltene Wert ist, so gilt x x Be L. ) Berechnen Sie die Inverse der Matrix (Hilbertmatrix der Dimension 3) A = a) genau; b) indem alle Operationen auf 3 Stellen gerundet werden. ) Für einen Vektor v der Dimension n kann man mit c=poly(v) die Koeffizienten des Polynoms n k= (x v(k)) generieren. In exakter Arithmetik gilt v = roots(poly(v)). Durch Rundungsfehler kann das verletzt sein. Überprüfen Sie das, indem Sie roots(poly(:n)) für n =,..., 5 berechnen. Der Fall n = 0 ist das berühmte Beispiel von Wilkinson. 4

5 3) Es seien w 0, x R, w 0, x > 0, n N, n, und für i = 0,,,... definieren wir Zeigen Sie, dass für w 0 n x w i := x/w n i, w i+ := ((n )w i + w i )/n. w < w < < w i < < n x < < w i < < w < w gilt und dass die Folgen {w i } und { w i } gegen w := n x konvergieren. Hinweis: Gleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel. 4) Seien die Folgen {w i } und { w i } wie in Bsp. 3 gegeben. a) Berechnen Sie für x = 4, w 0 =, n = 3, 4 in jedem Fall w i, w i (i 7) und drucken Sie die Werte von i, w i und w i in format long aus. b) Berechnen Sie für x = 4, w 0 =, n = 5, 50, 75, 00 in jedem Fall w i, w i (i n) und drucken Sie die Werte von i, w i und w i in format long aus. Schließen Sie aus diesen Resultaten, dass die Iteration für die praktische Berechnung von n x für große n ungeeignet ist. x n 5) Für n N 0 sei y n := 0 x + 5 dx. Zeigen Sie, dass für alle n 0 gilt: y n+ = n + 5y n, und berechnen Sie die y n für 0 n 5 mit dieser Rekursion. Was fällt dabei auf? 6) (Wie man e x nicht berechnen soll.) Zu gegebenem x R soll der Wert e x mit Hilfe der Reihenentwicklung e x x ν = näherungsweise bestimmt werden. Dazu berechnet ν! ν=0 n x ν man die Partialsummen s n (x) := für n = 0,,,.... Für x = 0 soll durch eine ν! ν=0 Restgliedabschätzung ein n angegeben werden, für das der absolute Fehler s n (x) e x < 0 6 wird. Berechnen Sie u = s n ( 0) für dieses n, v=exp(-0) und v-u mit Matlab. Wie ist das schlechte Ergebnis zu erklären? 7) Formen Sie die arithmetischen Ausdrücke von Bsp. 4 so um, dass ein möglichst kleiner Genauigkeitsverlust entsteht für x für a), für x für b) und für 0 < x für c). Berechnen Sie f (x) für x = 0 3, B = 0 und L =,, 4, 8 mit der Hand und vergleichen Sie die erhaltenen Werte für den ursprünglichen und den umgeformten Ausdruck. 8) Betrachten Sie die Folge z =, z n+ = n / 4 n z n, n =, 3,..., die für n gegen π konvergiert. Berechnen Sie z n und z n π für n = 3,..., 3 mit Matlab und drucken Sie es in format long aus. 9) Welche der folgenden Ausdrücke sind instabil? Geben Sie im instabilen Fall eine stabile Version des Ausdruckes an. a) x + x, x positiv und klein b) sin(x + c) sin(x), x π, c klein 5

6 c) arctan(a + ) arctan(a), a klein d) + 3x x + x, x groß e) cos x, x π x f) cosh x sinh x, x positiv und groß g) cosh x sinh x, x negativ und groß h) (ex e x ), x groß i) n π, n N groß j) tan x sin x, x klein 30) Für die Lösungen x und x einer quadratischen Gleichung der Form a 0, gilt bekanntlich ax + bx + c = 0, x, = ( b ± b 4ac)/a. Bestimmen Sie mit Hilfe von dieser Formel die kleinere Lösung der Gleichung x = ( αx) (α > 0). Warum ist diese Formel instabil für kleine Werte von α? Leiten Sie eine bessere Formel für kleine α her. 3) Zu gegebenen Messwerten x i (i =,..., n) kann man die Standardabweichung σ n = tn /n entweder mit Hilfe von ( n t n = i= x i ) ( n ) x i n berechnen oder mit der folgenden Rekursion: Wir setzen s = x, t = 0 und berechnen für i =,..., n δ i = x i s i, s i = s i + δ i /i, i= t i = t i + δ i (x i s i ). a) Verifizieren Sie, dass man mit der Rekursion tatsächlich denselben Wert t n erhält. b) Berechnen Sie σ 0 für die Werte x i = ( i)/3000 (i =,..., 0) mit beiden Methoden und vergleichen Sie beide Ergebnisse mit dem exakten Wert, den man durch analytische Summation erhält. Hinweis: Verwenden Sie n i = i= n(n + ) und n i = i= n(n + )(n + ). 6 6

7 3) Eine Feder mit angehängter Masse m schwinge um die Ruhelage, wobei das Hooke sche Gesetz K(t) = Dx(t) erfüllt sei. Zusätzlich wirke auf die Masse m die äußere Kraft K a (t) := A cos(ω a t). Mit ω 0 := D/m lautet die Bewegungsgleichung Sie hat die Lösung ẍ(t) + ω 0x(t) = A m cos(ω at). x(t) = A/m cos(ω ωa ω0 a t). Für welche ω a ist das Problem schlecht konditioniert (t > 0 und ω 0 > 0 fest)? 33) Gegeben sind die beiden linearen Gleichungssysteme Ax = b (l), l =,, mit 0 3 A = , b() = 5 35, b() = a) Berechnen Sie von Hand die Dreieckszerlegung A = LR und berechnen Sie daraus die (exakten) Lösungen x (l) (l =, ), indem Sie die entsprechenden dreieckigen Gleichungssysteme lösen. b) Berechnen Sie die Fehler x (l) x (l) der Approximation x (l) = A\b (l), die mit der Standardlösung x = A\b von Ax = b in Matlab berechnet wurde. 34) Verwenden Sie den Backslash-Operator in Matlab, um die Gleichungssysteme Ax = b mit rechter Seite b = Ae (e := (,,, ) T ) und A = B k, k =,, 3, 4, 5, für B = zu lösen. Wie genau sind die Lösungen? 35) Schreiben Sie ein Matlab-Programm, das die Dreieckzerlegung ohne Pivotsuche durchführt, wenden Sie es auf die Matrix A = an, berechnen Sie A LR und begründen Sie das Resultat. 36) Es sei eine Dreieckszerlegung A = LR der Matrix A C n n gegeben. Sei B = A + uv T mit u, v C n. Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem Bx = b (b C n ) mit nur O(n ) zusätzlichen Operationen gelöst werden kann. Hinweis: Wenn in der Gleichung (A + uv T )x = b die Abkürzung λ := v T x eingeführt wird, kann man x durch A, u, v und λ ausdrücken. Indem man diesen Ausdruck für x in die Definition von λ einsetzt, kann man λ explizit berechnen. Dann kann man x durch A b und A u ausdrücken, d.h. durch die Lösungen von zwei Gleichungssystemen mit Koeffizientenmatrix A. 7

8 37) a) Zeigen Sie, dass die Matrix A := 3 invertierbar ist, aber keine Dreieckszerlegung besitzt. b) Geben Sie eine Permutationsmatrix P an, sodass P A eine nichtsinguläre Dreieckszerlegung hat, und geben Sie diese Dreieckszerlegung an. 38) a) Finden Sie eine explizite Formel für die Dreieckszerlegung der Blockmatrix I 0 0 I B I 0 0 A = 0 B.... R nd nd, B I wobei die Einheitsmatrizen und die Matrizen B in R d d sind. Hinweis: Machen Sie den Ansatz I 0 0 I 0 0 C. B I I... C L = 0 B , R = I I Cn 0 0 B L 0 0 R mit C,..., C n, L, R R d d, L linke untere Dreiecksmatrix, R rechte obere Dreiecksmatrix. b) Zeigen Sie, dass die Spaltenpivotsuche in den ersten (n )d Zeilen keine Zeilenvertauschungen produziert, wenn alle Einträge von B vom Betrag < sind. c) Zeigen Sie, dass für eine Matrix B mit konstanten Einträgen β mit d < β < einige Einträge des oberen Dreiecksfaktors R exponentiell mit n wachsen. d) Überprüfen Sie die Gültigkeit von a) c) mit einem Matlab-Programm für selbst gewählte Matrizen dieser Form, indem Sie lu von Matlab verwenden. 39) Eine (nicht notwendigerweise symmetrische) n n-matrix A heißt diagonal dominant, wenn A jj > k j A jk für j =,..., n. Zeigen Sie: Eine symmetrische, diagonal dominante Matrix A mit A jj > 0, j =,..., n, ist positiv definit. 40) Bestimmen Sie eine Gerade p (x) := a 0 + a x und eine Parabel p (x) := b 0 + b x + b x so, dass 7 j= (p i(x j ) y j ) minimal wird für i =,. Dabei entnehme man die Werte (x j, y j ), j =,..., 7, der folgenden Tabelle: x j y j ) a) Zeigen Sie, dass man die Schritte und 3 im Algorithmus für Matrixinversion mit nur 4 3 n3 + O(n ) Operationen realisieren kann. 8

9 b) Verwenden Sie den Algorithmus, um (mit der Hand) die Inverse der Matrix aus Bsp. 33 zu berechnen, ausgehend von der berechneten Dreieckszerlegung. Hinweis zu a): Siehe Hinweis zu Bsp. 3. 4) a) In Schritt 4 des Algorithmus für die Matrixinversion müssen die Vertauschungen, durch die man die Permutationsmatrix erhält, auf die Spalten und in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Warum? b) Schreiben Sie ein Matlab-Programm, das den Algorithmus verwirklicht (verwenden Sie Bsp. 4) und wenden Sie es an, um die Inverse der Matrix zu berechnen. Bestimmen Sie dabei die LR-Zerlegung mit [L,R,P]=lu(A). Vergleichen Sie mit der eingebauten Matlab-Routine inv(a). 43) Zeigen Sie, dass alle Normen auf C n äquivalent sind, d.h., wenn und zwei beliebige Normen auf C n sind, dann gibt es immer Konstanten 0 < c, d R, sodass für alle x C n c x x d x. Was sind die bestmöglichen Konstanten (größtmögliches c, kleinstmögliches d) für Paare von p-normen (p =,, )? 44) Beweisen Sie für eine Matrix A C n n Folgendes: a) Wenn Ax γ x für alle x C n mit einem γ > 0 und einer beliebigen Vektornorm, dann existiert A, und es gilt A γ für die zur Vektornorm gehörige Matrixnorm. b) Wenn x H Ax γ x für alle x C n mit einem γ > 0, dann gilt A γ. c) Wenn der Nenner auf der rechten Seite der folgenden zwei Ausdrücke positiv ist, dann gilt: ( A / min A ii ) A ik, i k i ) ( A / min A kk A ik k i k Hinweis: Für x, y C n gilt x H y x y. 45) Sei x die Lösung des linearen Gleichungssystems 3 x + 7 x = 0, 4 x x = 99 () 80. a) Berechnen Sie (mit der Hand) die Konditionszahl der Koeffizientenmatrix für die Zeilensummennorm ( -Norm). b) Bei Darstellung der Koeffizienten A ik mit drei Stellen hinter dem Dezimalpunkt möge () die folgende Gestalt haben: x x = 0.477, 0.50x x = ()

10 Die Lösung von () sei x. Berechnen Sie den relativen Fehler x x / x aus den exakten Lösungen x und x von () bzw. () (Rechnung mit der Hand mit Brüchen). Bemerkung: Mit optimal gerundeter rechter Seite (0.476 und 0.354) erhält man x als Lösung von (). 46) Verwenden Sie die Matlab-Funktion cond, um die Konditionszahlen der Matrizen A mit A ik = f k (x i ) (k =,..., n +, i =,..., n + ), x i = (i )/n für n = 5, 0 und 5 und die folgenden Polynombasen (für den Raum der Polynome vom Grad n) zu berechnen: a) f k (x) = x k, b) f k (x) = (x )k, c) f k (x) = T k (x ), wobei T k (x) := cos(k arccos x) das k-te Tschebyscheff-Polynom ist, d) f k (x) = n+k j=n+3 k, j gerade (x x j/). Plotten Sie in jedem Fall einige Basisfunktionen auf [0, ]. (Nur die Basen mit kleinen Konditionszahlen sind geeignet, um für einen Kleinste-Quadrate-Fit verwendet zu werden.) 47) a) Implementieren Sie eine auf der Matlab-Operation x = A\b zur Lösung von Ax = b basierende Nachiteration. b) Testen Sie das Programm mit den Hilbert-Matrizen A ik = /(i+k ) (vgl. Bsp. ) der Dimension n = 5, 0, 5, 0 (hilb(n)) und der rechten Seite b = e (Vektor mit nur Einsern). Nach wievielen Schritten Nachiteration ist das Abbruchkriterium in diesen Fällen erfüllt? c) Sei x = A\b und x der nach der Nachiteration erhaltene Vektor. Vergleichen Sie die Qualität dieser Lösungen von Ax b (z.b. durch Berechnung von Ax b und A x b für eine Norm Ihrer Wahl oder Vergleich mit der exakten Lösung; für n = 5, 0 ist invhilb(n) noch einigermaßen exakt, bzw. Verwendung von Mathematica). d) Die Hilbertmatrizen sind ein Paradebeispiel für schlecht konditionierte Matrizen. Für wachsendes n sind sie immer schlechter konditioniert. Verifizieren Sie das, indem Sie die Konditionszahlen für die Dimensionen n = 5, 0, 5 und 0 berechnen. Wie erklärt das die Resultate von c)? 48) Schreiben ein Programm, das für eine gegebene Funktion und n gegebene paarweise verschiedene Stützpunkte das Newton-Interpolationspolynom vom Grad n (d.h. die dividierten Differenzen) berechnet, und ein zweites Programm, das das Newton- Interpolationspolynom auswertet. 49) Verwenden Sie die Programme aus Bsp. 48 für die folgenden Fragestellungen. a) Interpolieren Sie die Funktion f(x) = e x/0 an den äquidistanten Stützstellen x i := 5 + 0i/n, i = 0,..., n, und plotten Sie für n =, 4, 8, 6 f und das Interpolationspolynom p n auf [ 5, 5]. b) Berechnen Sie durch Auswertung von p n und f an 0 äquidistanten Stellen ein Maß für den maximalen Fehler max p n(x) f(x) x I für die Intervalle I = [, ] und I = [ 5, 5]. 50) Sei f : R R hinreichend differenzierbar. 0

11 a) Zeigen Sie, dass für die dividierten Differenzen gilt: d dx i f[x 0, x,..., x n ] = f[x 0, x,..., x i, x i, x i, x i+,..., x n ] für i = 0,..., n. b) Finden und beweisen Sie einen analogen Ausdruck für dk f[x dx k 0, x,..., x n ]. i 5) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Polynome als L j (x) = q[x, x j ]/q[x j, x j ] geschrieben werden können mit q(x) = (x x 0 ) (x x n ). 5) Sei d i := f[x 0,..., x i ] und x 0 0 d 0 x d A n := , D n := diag(,...,, d n ) R n n. x n d n 0 d n x n d n Zeigen Sie, dass das Newton-Interpolationspolynom für f an x 0,..., x n durch p n (x) = det(d n x A n ) gegeben ist (n ). 53) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom p 0 (x) für die Funktion f(x) = sin(πx) mit den äquidistanten Stützstellen x i := + i/0, i = 0,..., 0 und das Interpolationspolynom p 0 (x) für die gestörten Daten f(x i ) := sin(πx i ) + ( ) i+ 0 4, i = 0,..., 0. Plotten Sie die Graphen von f, p 0 und p 0 auf dem Intervall [, ] und berechnen Sie mit Hilfe der Auswertung an 00 äquidistanten Punkten Schätzwerte für max x [,] f(x) p 0 (x) und max x [,] f(x) p 0 (x). 54) Gegeben seien (x 0, y 0, y 0) := (, 3, 9), (x, y, y ) := (0, 0, ) und (x, y, y ) := (, 3, 9). Bestimmen Sie (mit der Hand mit dividierten Differenzen) das Hermite-Interpolationspolynom p(x) vom Grad 5 mit p(x i ) = y i und p (x i ) = y i, i = 0,,. 55) Die Tschebyscheff-Punkte minimieren den Ausdruck x j := cos j + π, j = 0,..., n, (n + ) max q n(x), x [,] wobei q n (x) := (x x 0 ) (x x n ). Zeigen Sie das für n = und drücken Sie x 0 und x mit Hilfe von Wurzelausdrücken aus. 56) Es sei f(x) :=, x [, ]. + 5x a) Bestimmen Sie für n = 4, 6, 8, 0 das Interpolationspolynom p n zu den äquidistanten Stützstellen x i := + i/n, i = 0,..., n. Plotten Sie f und p n, n = 4, 6, 8, 0, und berechnen Sie wie in Bsp. 53 ein Maß für den maximalen Fehler. b) Analog für die Tschebyscheff-Punkte x i = cos( i+ π), i = 0,..., n. (n+)

12 57) Sei f(x) := e x. Berechnen Sie mit Hilfe von a) Vorwärts-Differenzenquotienten und b) zentralen Differenzenquotienten Näherungswerte für f () für die Schrittweiten h = 0 i, i =,..., 5, und die Fehler f[, + h] e bzw. f[ h, + h] e. Was ist jeweils die optimale Schrittweite? 58) Es sei S(x) ein kubischer Spline über dem durch x < x < < x n gegebenen Gitter mit S(x) = α j + β j (x x j ) + γ j (x x j )(x x j+ ) + δ j (x x j ) (x x j+ ) (3) für x [x j, x j+ ]. Schreiben Sie ein Programm, das zu gegebenen α j, β j, γ j, δ j, j =,..., n, und gegebenem Gitter die Splinefunktion S(x) an einer beliebigen Stelle x R auswertet. Pro Argument sollen dabei nur 3 Multiplikationen verwendet werden. Hinweis: Imitieren Sie das Horner-Schema! 59) Zu einem gegebenen Gitter x < x < < x n und gegebenen Funktionswerten f(x j ), j =,..., n, soll ein kubischer Spline S(x) der Form (3) mit S(x j ) = f(x j ), j =,..., n, bestimmt werden. Die Koeffizienten α j, β j, γ j, δ j (j =,..., n ) kann man aus den f(x i ) und den Momenten m i := 6 S (x i ) berechnen, und zwar gilt α j = f(x j ), β j = f[x j, x j+ ], γ j = m j + m j+, δ j = (m j+ m j )/h j, h j = x j+ x j, j =,..., n, wobei die Momente m j dem Gleichungssystem ( q j )m j + m j + q j m j+ = f[x j, x j, x j+ ], j =,..., n, (4) genügen mit q j := h j /(h j + h j ), j =,..., n. Zusätzlich sei S(x) bei x und x n knotenfrei, was zu den zusätzlichen Bedingungen ( h ) ( m + + h ) m = f[x, x, x 3 ] h h und ( + h ) ( n m n + h ) n m n = f[x n, x n, x n ] h n h n führt, und insgesamt erhält man ein tridiagonales Gleichungssystem Am = d für m := (m,..., m n ) T. a) Schreiben Sie ein Programm, das zum Gitter x j und den Funktionswerten f(x j ), j =,..., n, die Koeffizienten α j, β j, γ j, δ j, j =,..., n, berechnet (γ j und δ j aus den Momenten, wobei das Gleichungssystem Am = d einfach mit dem Backslash- Operator gelöst werden soll). b) Testen Sie das Programm durch Interpolation der Funktion f(x) = cosh x, x [, ], an den äquidistanten Punkten x j := + (j )h für h = 0.4 und j =,...,. Plotten Sie f(x) und S(x) mit Hilfe von Bsp. 58 und berechnen Sie mit Hilfe der Auswertung von f(x) S(x) an einem engen äquidistanten Gitter (z.b. mit Schrittweite 0.0) einen Schätzwert für den Fehler max x [,] f(x) S(x). 60) Ein kubischer Spline S, der auf einem Gitter x < x < < x n interpoliert, heißt natürlicher Spline, wenn für die Momente gilt: m = m n = 0 (bzw. S (x ) = S (x n ) = 0). Auch hier erhält man die Momente m i aus einem linearen tridiagonalen Gleichungssystem und daraus die Koeffizienten α j, β j, γ j, δ j, j =,..., n, in (3) wie in Bsp. 59. a) Schreiben Sie das aus (4) und m = m n = 0 resultierende Gleichungssystem für m,..., m n hin. b) Analog zu Bsp. 59 a) für den natürlichen Spline.

13 c) Berechnen Sie für f(x) =, x [, ], eine natürliche kubische Spline- + 5x Interpolierende zum äquidistanten Gitter x i = + (i )/n, i =,..., n, für n = 6, und plotten Sie f, S 6 und S. 6) Auf dem Intervall [, ] seien die Knoten x =, x = 0 und x 3 = gegeben. Welche Eigenschaften eines natürlichen kubischen Splines bezüglich der zugehörigen Zerlegung besitzt die folgende Funktion, und welche besitzt sie nicht? { (x + ) + (x + ) 3 für x 0, f(x) = 4 + (x ) + (x ) 3 für 0 < x. 6) Wiederholen Sie Bsp. 53 mit den natürlichen kubischen Spline-Interpolierenden S und S und schließen Sie daraus, dass der kubische Spline weniger empfindlich auf kleine Störungen reagiert als das Lagrange-Interpolationspolynom. 63) Beweisen Sie die Fehlerabschätzung b a ( a + b ) f(x) dx = (b a)f + (b a)3 f (ξ), 4 ξ [a, b], für die Rechteckregel (oder Mittelpunktsregel), wenn f als zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall [a, b] vorausgesetzt wird. 64) Eine Quadraturformel vom Typ n j= αf(x j) für b f(x) dx, bei der alle Gewichte gleich a sind und die für Polynome p(x) vom Grad n exakt ist, heißt Tschebyscheff sche Quadraturformel. Bestimmen Sie Stützstellen und Gewichte solcher Quadraturformeln für n =,, 3. (Solche Quadraturformeln existieren nur für n 7 und n = 9.) Hinweis: Die Stützstellen müssen immer symmetrisch um den Mittelpunkt liegen. Machen Sie also für n = den Ansatz x = a+b δ, x = a+b + δ und für n = 3 den Ansatz x = a+b δ, x = a+b, x 3 = a+b + δ. 65) Seien das Intervall [a, b] und die Knoten x j := a + jh, j = 0,,, 3, mit h := (b a)/3 gegeben. Leiten Sie eine Quadraturformel Q(f) = 3 i=0 α if(x i ) her, die Polynome vom Grad 3 exakt integriert (Newton sche 3 -Regel). Ist Q(f) auch für Polynome vom Grad 8 4 exakt? 66) Zur näherungsweisen Berechnung von b f(x) dx, f a C6 [0, ], können die folgenden Verfahren angewendet werden (h := (b a)/n): ( ) b N f(x) dx = h f(a) + f(a + νh) + f(b) (b a)h f (ξ ), a (zusammengesetzte Trapezregel), ( b a f(x) dx = h 6 f(a)+ N ν= (zusammengesetzte Simpsonregel), ( b a f(x) dx = h 90 7f(a) + 3 N + 4 ν= ν= f(a+νh)+4 N ν= N ν= ( f a + f(a + νh) + 7f(b) ( f a+ ) ) (ν )h +f(b) ) (ν )h + 4 ) (zusammengesetzte Milne-Regel) mit ξ i [a, b], i =,, 3. 3 N ν= (b a)h f (6) (ξ 3 ) ( f a + (b a)h4 f (4) (ξ ) 880 ) (ν )h

14 a) Sei f(x) := x 3/. Bestimmen Sie für jedes der drei Verfahren das kleinste N derart, dass die Absolutbeträge der Restglieder 0 4 sind. Wieviele Funktionsauswertungen sind mit diesem N bei der numerischen Berechnung jeweils auszuführen? b) Schreiben Sie ein Programm für das gemäß a) günstigste Verfahren und berechnen Sie damit eine Näherung für das Integral 0 x3/ dx mit der gewünschten Genauigkeit. Vergleichen Sie mit dem exakten Wert von 0 x3/ dx. 67) Schreiben Sie ein Programm, um eine Approximation des Integrals b a zusammengesetzten Simpsonregel zu berechnen, und benutzen Sie es, um π = 4 f(x) dx mit der mit einem absoluten Fehler 0 5 zu berechnen. Wieviele äquidistante Punkte sind hinreichend, wenn Rundungsfehler vernachlässigt werden? Berechnen Sie auch S N (f) π. 4 68) Schreiben Sie auch noch ein Programm für die zusammengesetzte Trapezregel. Bestimmen Sie jeweils ein N, um die folgenden Integrale mit der zusammengesetzten Trapezund Simpsonregel mit einem absoluten Fehler 0 4 zu berechnen. Berechnen Sie die zugehörigen Fehlerschranken gemäß Bsp. 66 und die Approximationen und vergleichen Sie sie mit den exakten Werten für b f(x) dx. a a) ex dx, b) 0 e x dx, c) π/ sin x dx, d) π/3 x cos(x) dx ) Gegeben sei das Anfangswertproblem y = y, y(0) =. 0 dx +x a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an. b) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Näherungswerte y i beim Euler- Verfahren mit Schrittweite h an. c) Wie groß ist n zu wählen, damit der relative Fehler 0 4 in [0, ] ist für h = n? d) Führen Sie n Schritte mit dem in c) bestimmten n und h durch, lassen Sie sich y i und y i y( i n ) für i =,..., 0 ausgeben und bestimmen Sie max i n y i y( i n ). 70) Die Funktion y(t) = t /4 ist eine Lösung des Anfangswertproblems y = y, y(0) = 0. Die Anwendung des Euler-Verfahrens liefert jedoch y i = 0 für alle i und h > 0. Verifizieren Sie dieses Verhalten und erklären Sie es. 7) Gegeben sei das Anfangswertproblem y (t) = y(t), y(0) =, y (0) = 0. Berechnen Sie eine Näherung für y(0.4) und vergleichen Sie sie mit dem wahren Wert, indem Sie a) die Differentialgleichung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung umformen und das Euler-Verfahren mit Schrittweite h = 0. anwenden; b) die folgende Rekursion verwenden, die von einer abgeschnittenen Taylorentwicklung abgeleitet ist: y 0 := y(0), z 0 := y (0), y i+ := y i + hz i + h F (t i, y i ), z i+ := z i + hf (t i, y i ), i = 0,..., 3, h = 0., wobei F (t, y) := y. Interpretieren Sie diese Regel geometrisch. 4

15 7) Das Adams-Bashforth-Verfahren der Ordnung 3 (mit konstanter Schrittweite h) für ein Anfangswertproblem y = F (t, y), y(t 0 ) = y 0, ist gegeben durch y i+ := y i + h (3F (t 0 +(i )h, y i ) 6F (t 0 +(i )h, y i )+5F (t 0 +(i 3)h, y i 3 )) für i. Wenden Sie dieses Verfahren auf das Anfangswertproblem aus Bsp. 69 für h = 0.0 auf dem Intervall [0, ] an mit a) y 0 =, y = e h, y = e 4h (korrekte Werte), b) y 0 =, y = ( + h 3 ) 0000, y = ( + h 3 ) 0000 (Euler-Näherungen mit Schrittweite h 3 für y und y ). Tabellieren Sie jeweils die Näherung y 0i, den exakten Wert y( i ) und den Fehler 0 y0i y( i ) für i =,..., 0 und berechnen Sie den maximalen Fehler max 0 i 00 y i y( i ) ) Gegeben sei das Anfangswertproblem y = t t 3, y(0) = 0. Bestimmen Sie die exakte Lösung y(t) und die mit dem Euler-Verfahren und mit dem Adams-Bashforth-Verfahren aus Bsp. 7 (mit exakten Anfangsdaten) bestimmten Näherungslösungen für die Schrittweite h = 0.0 auf dem Intervall [0, ]. Tabellieren Sie y( i ) 0 und die zugehörigen Approximationen (4 Nachkommastellen) und bestimmen Sie die maximalen Fehler beider Verfahren. 74) Benutzen Sie zur Bestimmung der Nullstelle x = von f(x) := x im Intervall [0, ] die folgende Variante des Sekantenverfahrens: % Setzen der Startwerte x 0 = 0; x 0 = ; i = 0; while x = x i f( x i )/f[ x i, x i ] if f(x i )f(x) > 0 x i+ = x; x i+ = x i ; else x i+ = x i ; x i+ = x; end i = i + ; end Drucken Sie i, x i und x i für i =,,..., 6 zu 5 Dezimalen aus und führen Sie die Iteration durch, bis x 0 9. Interpretieren Sie die Resultate! 75) a) Bestimmen Sie die Nullstelle von f(x) = log x + e x 00x im Intervall [, 0] mit dem Sekantenverfahren und dem Sekantenbisektionsverfahren mit x = und x = 0. Verwenden Sie für das Sekantenbisektionsverfahren das Programm secbis.m von (von Prof. Neumaier) und schreiben Sie für das Sekantenverfahren selbst ein Programm. Drucken Sie für beide Verfahren i und x i (i =,,... ) aus, bis der Fehler (bzw. für das Sekantenverfahren x i x i ) 0 9 ist. Interpretieren Sie die Ergebnisse. b) Wählen Sie für die obige Funktion x = 6 und x = 7 und iterieren Sie mit dem ursprünglichen Sekantenverfahren, bis x i x i 0 9. Drucken Sie die Werte von i und x i aus. 5

16 76) Welche Nullstelle von sin x wird mit dem Sekantenbisektionsverfahren secbis mit x = und x = 8 gefunden? 77) Führen Sie für die Funktionen f (x) = x 4 7x +x+ und f (x) = x 999x sechs Schritte des Newton-Verfahrens durch, wobei für f (x) der Startwert x 0 = 3 und für f (x) der Startwert x 0 = 365 gewählt werden soll. Interpretieren Sie die Ergebnisse. 6