Eindimensionale Finite Elemente

Transkript

1 Eindimensionale Finite Elemente

2 Markus Merkel Andreas Öchsner Eindimensionale Finite Elemente Ein Einstieg in die Methode 2., neu bearbeitete und ergänzte Auflage

3 Markus Merkel Zentrum für virtuelle Produktentwicklung Hochschule Aalen Technik und Wirtschaft Aalen Deutschland Andreas Öchsner Griffith School of Engineering Griffith University Southport Australia ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010, 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung desverlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Unseren Vätern gewidmet.

5 Vorwort Vorwort zur 1. Auflage Der Titel des Buches Eindimensionale Finite Elemente, Ein Einstieg in die Methode steht für Inhalt und Ausrichtung. Zum Thema Finite-Elemente-Methode gibt es heute zahlreiche Literatur. Die unterschiedlichen Werke spiegeln die vielfältigen Sichtweisen und Anwendungsmöglichkeiten wider. Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode der Finiten Elemente wird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode anhand eindimensionaler Elemente zu erläutern. Ziel ist es, die vielfältigen Aspekte der Finite- Elemente-Methode vorzustellen und dem Leser das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche zu ermöglichen. Der Leser lernt die Annahmen und Ableitungen bei verschiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und Möglichkeiten und Grenzen der Methode der Finiten Elemente kritisch zu beurteilen. Zusätzliche umfangreiche mathematische Beschreibungsformen entfallen, die lediglich aus der erweiterten Darstellung für zwei- oder dreidimensionale Problemstellungen entstehen. Somit bleibt die mathematische Beschreibung weitgehend einfach und überschaubar. Die Behandlung eindimensionaler Elemente ist jedoch nicht nur eine reine Beschränkung auf eine einfache und übersichtliche formale Darstellung der notwendigen Gleichungen. Im konstruktiven Ingenieurbau gibt es zahlreiche Strukturen zum Beispiel Brücken oder Hochspannungsmasten die üblicherweise mittels eindimensionaler Elemente modelliert werden können. Somit umfasst dieses Werk auch einen,satz von Werkzeugen, der auch in der Praxis seine Anwendung findet. Die Konzentration auf eindimensionale Elemente ist neu für ein Lehrbuch und ermöglicht die Behandlung verschiedenster grundlegender und anspruchsvoller physikalischer Problemstellungen der Strukturmechanik in einem einzigen Lehrbuch. Dieses neue Konzept erlaubt somit das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche (zum Beispiel Plastizität oder Verbundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der Berufspraxis begegnen, jedoch in dieser Form nur selten an Hochschulen behandelt werden. Folglich ist ein einfacher Einstieg möglich, auch in weiterführende Anwendungsgebiete der Methode der Finiten Elemente. VII

6 VIII Vorwort Dieses Buch ist entstanden aus einer Sammlung von Skripten, die als schriftliche Unterlagen für Vorlesungen ausgeteilt wurden, und Schulungsunterlagen für Spezialkurse zur Finite-Elemente-Methode. Besonders bei den durchgerechneten Beispielen und den weiterführenden Aufgaben sind typische Fragestellungen von Studierenden und Kursteilnehmern aufgegriffen. Voraussetzung für ein gutes Verständnis sind Grundlagen in der linearenalgebra, Physik, Werkstoffkunde und Festigkeitslehre, so, wie sie typischerweise im Grundstudium eines technischen Faches im Umfeld des Maschinenbaus vermittelt werden. In den ersten Kapiteln werden die eindimensionalen Elemente vorgestellt, anhand derer sich die Grundbelastungsarten Zug/Druck, Torsion und Biegung abbilden lassen. Hergeleitet werden jeweils die Differenzialgleichung und die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre zur Kinematik, zur konstitutiven Beziehung und zur Bildung des Gleichgewichtes. ImAnschluss daran werden die Finiten Elemente mit den üblichen Definitionen für Kraft- und Verschiebungsgrößen eingeführt. An Beispielen wird die prinzipielle Vorgehensweise präzisiert. Für weiterführende Aufgaben sind Kurzlösungen im Anhang angegeben. Im Kap. 6 werden Fragestellungen unabhängig von der Belastungsart und der damit einhergehenden Elementformulierung aufgegriffen. Behandelt werden ein allgemeines eindimensionales Finites Element, das aus der Kombination von Grundelementen aufgebaut werden kann, die Transformation von Elementen im allgemeinen dreidimensionalen Raum und die numerische Integration als wichtiges Hilfsmittel bei der Implementierung der Finite-Elemente-Methode. In Kap. 7 wird die vollständige Analyse eines Gesamttragwerks vorgestellt. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht aus den Einzelsteifigkeitsbeziehungen der Basiselemente unter Berücksichtigung der Verbindungen zueinander. Mit den Randbedingungen entsteht ein reduziertes System, aus dem die unbekannten Größen ermittelt werden. Beispielhaft wird die Vorgehensweise an ebenen und allgemein dreidimensionalen Tragwerken vorgestellt. In den Kap. 8 bis 12 werden Themen aufgegriffen, die nicht zum Standardrepertoire eines Grundlagenbuches gehören. In Kap. 8 wird das Balkenelement mit Schubanteil vorgestellt. Grundlage ist der Timoshenko-Balken. In Kap. 9 wird in eine Finite-Elemente-Formulierung für eine besondere Werkstoffklasse die Verbundwerkstoffe eingeführt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsformen für richtungsabhängiges Stoffverhalten vorgestellt. Kurz wird auch auf die Faserverbundwerkstoffe eingegangen. Ein Verbundelement wird beispielhaft am Verbundstab und am Verbundbalken demonstriert. In den Kap. 10, 11 und 12 wird auf Nichtlinearitäten eingegangen. In Kap. 10 werden kurz die verschiedenen Arten von Nichtlinearitäten vorgestellt. Tiefer beleuchtet wird der Fall der nichtlinearen Elastizität. Die Problematik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden

7 Vorwort IX die direkte Iteration und die vollständige und modifizierte Newton-Raphsonsche Iteration abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert. In Kap. 11 wird elasto-plastisches Verhalten berücksichtigt, eine der häufig auftretenden Form der materiellen Nichtlinearität. Zuerst werden die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Verfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige, monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist die Beschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt. Zur Integration des elasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle Prädiktor-Korrektor-Verfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten und des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entscheidenden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensionaler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleiteten Verfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten. Mit der Stabilität wird in Kap. 12 ein Thema aufgegriffen, das insbesondere bei der Gestaltung und Dimensionierung von Leichtbaukomponenten Berücksichtigung findet. Die für diese Art der Nichtlinearität entwickelten Finiten Elemente werden zur Lösung der Eulerschen Knickfälle herangezogen. In Kap. 13 wird eine FE-Formulierung für dynamische Probleme vorgestellt. Neben den Steifigkeitsmatrizen werden auch Massenmatrizen aufgestellt. UnterschiedlicheAnnahmen zur Verteilung der Massen, ob kontinuierlich oder konzentriert, führen auf unterschiedliche Formulierungen. Beispielhaft wird der Sachverhalt an Dehnschwingungen des Stabes diskutiert. Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchgerechneten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Aufgaben inklusive Kurzlösungen vertieft. Jedes Kapitel schließt mit einer umfangreichen Literaturliste ab. Vorwort zur 2. Auflage Das grundlegende Konzept zur Behandlung der Finite-Elemente-Methode mit eindimensionalen Fragestellungen ist in der 2. Auflage erhalten geblieben. Zusätzlich aufgenommen wurde die stationäre Wärmeleitung und das Prinzip der virtuellen Arbeit als eine weitere Methode zur Herleitung von Finite-Elemente-Formulierungen. Ergänzt ist das Kapitel 14 mit Spezialelementen für die Modellierung von Singularitäten. Hüttlingen, Southport (Australien), März 2014 Markus Merkel Andreas Öchsner

8 Danksagung Wir danken dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Baumann, für das Eingehen hinsichtlich der Ausrichtung des Buches und für die ansprechende Ausstattung des Buches. Studierenden und Kursteilnehmern sei gedankt, sie haben durch kritisches Hinterfragen zur vorliegenden Form beigetragen. Wir danken herzlich Frau Angelika Brunner für die Unterstützung bei der Anfertigung des Manuskriptes und Frau Gertrud Rubly für die sorgfältige Durchsicht. Abschließend sei unseren Familien für das Verständnis und die Geduld während der Erstellung des Buches gedankt. XI

9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Die Finite-Elemente-Methode im Überblick Grundlagen zur Modellbildung... 2 Literatur Motivation zur Finite-Elemente-Methode Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren Die Matrix-Steifigkeitsmethode Übergang zum Kontinuum Integralprinzipien Die Methode der gewichteten Residuen Verfahren auf Basis des inneren Produktes Verfahren auf Basis der schwachen Formulierung Verfahren auf Basis der inversen Formulierung Beispielprobleme Literatur Stabelement Grundlegende Beschreibung zum Zugstab Das Finite Element Zugstab Herleitung über Potenzial Herleitung über Satz von Castigliano Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Herleitung über das Prinzip der virtuellen Arbeit Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Beispielprobleme Weiterführende Aufgaben Literatur XIII

10 XIV Inhaltsverzeichnis 4 Analogien zum Dehnstab Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab Das Finite Element Torsionsstab Grundlegende Beschreibungen zum Temperaturstab Das Finite Element Temperaturstab Literatur Biegeelement Einführende Bemerkungen Grundlegende Beschreibung zum Balken Kinematik Gleichgewicht Stoffgesetz Differenzialgleichung der Biegelinie Analytische Lösungen Das Finite Element ebener Biegebalken Herleitung über Potenzial Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Herleitung über das Prinzip der virtuellen Arbeit Anmerkungen zur Ableitung der Formfunktionen Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen Ermittlung äquivalenter Knotenlasten Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Beispielprobleme Weiterführende Aufgaben Literatur Allgemeines 1D-Element Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element Beispiel 1: Stab unter Zug und Torsion Beispiel 2: Balken in der Ebene mit Zuganteil Koordinatentransformation Ebene Tragwerke Allgemeine dreidimensionale Tragwerke Numerische Integration eines Finiten Elementes Interpolationsfunktion Einheitsbereich Weiterführende Aufgaben Literatur Ebene und räumliche Rahmenstrukturen Aufbau der Gesamtsteifigkeitsbeziehung Lösen der Systemgleichung

11 Inhaltsverzeichnis XV 7.3 Postprocessing Beispiele in der Ebene Ebenes Tragwerk mit zwei Stäben Ebenes Tragwerk: Balken und Stab Beispiele im Dreidimensionalen Weiterführende Aufgaben Literatur Balken mit Schubanteil Einführende Bemerkungen Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss Kinematik Gleichgewicht Stoffgesetz Differenzialgleichungen der Biegelinie Analytische Lösungen Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil Herleitung über Potenzial Herleitung über Satz von Castigliano Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Herleitung über das Prinzip der virtuellen Arbeit Lineare Ansatzfunktionen für das Durchbiegungs- und Verschiebungsfeld Höhere Ansatzfunktionen für den Balken mit Schubanteil Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Beispielprobleme Weiterführende Aufgaben Literatur Balken aus Verbundmaterial Verbundwerkstoffe Anisotropes Stoffverhalten Spezielle Symmetrien Ingenieur-Konstanten Transformationsverhalten Ebene Spannungszustände Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe Mehrschichtiger Verbund Eine Schicht im Verbund Der vielschichtige Verbund Eine Finite-Elemente-Formulierung Der Verbundstab Der Verbundbalken

12 XVI Inhaltsverzeichnis 9.6 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Literatur Nichtlineare Elastizität Einführende Bemerkungen Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems Direkte Iteration Vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren Konvergenzkriterien Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Beispielprobleme Weiterführende Aufgaben Literatur Plastizität Kontinuumsmechanische Grundlagen Fließbedingung Fließregel Verfestigungsgesetz Elasto-plastischer Stoffmodul Integration der Materialgleichungen Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus Mathematische Ableitung Interpretation als konvexes Optimierungsproblem Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben Beispielprobleme Weiterführende Aufgaben Literatur Stabilität (Knickung) Stabilität im Stab/Balken Große Verformungen Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen Stab mit großen Verformungen Balken mit großen Verformungen Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle Analytische Lösung zu den Eulerschen Knickfällen Finite-Elemente-Lösung Weiterführende Aufgaben Literatur

13 Inhaltsverzeichnis XVII 13 Dynamik Grundlagen zur linearen Dynamik Die Massenmatrizen Modale Analyse Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen Integration nach Newmark Zentrales Differenzenverfahren Beispiele Bereitstellung von Massen- und Steifigkeitsmatrizen Dehnschwingungen im Zugstab Weiterführende Aufgaben Literatur Spezialelemente Elastische Bettung Spannungssingularität Unendliche Ausdehnung Weiterführende Aufgaben Biegebalken mit elastischer Bettung unter Einzelkraft Stabelement mit quadratischen Ansatzfunktionen und außermittigem Knoten: Spannungssingularität Unendliches Element mit linearer Interpolation der Feldgröße Literatur Anhang Sachverzeichnis

14 Formelzeichen und Abkürzungen Lateinische Formelzeichen (Großbuchstaben) A Fläche, Querschnittsfläche B Matrix mit Ableitungen der Formfunktionen C Stoffmatrix, Dämpfungsmatrix C elpl elasto-plastische Stoffmatrix D Durchmesser D Stoffmatrix E Elastizitätsmodul E elpl elasto-plastischer Modul E pl plastischer Modul Ẽ mittlerer Modul F Fließbedingung, Kraft F Spaltenmatrix der äußeren Belastung G Schubmodul I Flächenträgheitsmoment K Kompressionsmodul, Spannungsintensitätsfaktor K Gesamtsteifigkeitsmatrix K T Tangentensteifigkeitsmatrix L Elementlänge L 1 Differenzialoperator 1. Ordnung L n i Lagrange-Polynom L k Knicklänge M Moment M Massenmatrix N Formfunktion N Zeilenmatrix der Formfunktionen, N ={N 1 N 2... N n } Q plastisches Potenzial Q Wärmeleistung Q Stoffmatrix, ebener Fall, Querkraft XIX

15 XX Formelzeichen und Abkürzungen R S S T T V W X Y Z Radius Stabkraft Nachgiebigkeitsmatrix Torsionsmoment Transformationsmatrix Volumen Gewichtsfunktion globale räumliche Koordinate globale räumliche Koordinate globale räumliche Koordinate Lateinische Formelzeichen (Kleinbuchstaben) a b c d e f g h h i j k k s k e m m t m n q q q r r t t ij u x u y u z u geometrische Abmessung geometrische Abmessung, Breite Integrationskonstante geometrische Abmessung Einheitsvektor Funktion Funktion, Erdbeschleunigung geometrische Abmessung, Höhe Funktion der Verfestigungsänderung Inkrementnummer, Variable Iterationsindex, Variable Bettungsmodul, Federsteifigkeit, Fließspannung Schubkorrekturfaktor Elementsteifigkeitsmatrix Elementanzahl, Steigung, Polynomgrad, Masse kontinuierlich verteiltes Torsionsmoment pro Länge Residuenfunktion Knotenanzahl, Variable, Zustand Streckenlast, Integrationsordnung, modale Koordinaten Wärmestromdichte Matrix der inneren Variablen Funktion der Fließrichtung, Radius, Residuum Vektor der Fließrichtung Zeit, geometrische Abmessung Komponente der Transformationsmatrix Verschiebung in x-richtung Verschiebung in y-richtung Verschiebung in z-richtung Spaltenmatrix der Knotenverschiebungen

16 Formelzeichen und Abkürzungen XXI v x y z Argumentvektor (Newtonsches Verfahren) räumliche Koordinate räumliche Koordinate räumliche Koordinate Griechische Formelzeichen (Großbuchstaben) Γ Λ Π Π Π ext Π int Φ Ω Θ Rand Parameter (Timoshenko-Balken) Energie komplementäre Energie Potenzial der äußeren Lasten elastische Verzerrungsenergie Modalmatrix Raum, Volumen Temperatur Griechische Formelzeichen (Kleinbuchstaben) α Temperaturausdehnungskoeffizient, Konstante, Winkel β Winkel, Konstante γ Schubverzerrung δ virtuell ε Verzerrung ε ij Verzerrungstensor ε Spaltenmatrix der Verzerrung ɛ pl eff plastische Vergleichsdehnung κ innere Variable (Plastizität), Krümmung (Balkenbiegung) λ Eigenwert, Wärmeleitfähigkeit dλ Konsistenzparameter ν Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) ξ Einheitskoordinate ( 1 ξ 1) π volumenspezifische Arbeit, volumenspezifische Energie σ Spannung, Normalspannung ρ Dichte σn+1 trial Testspannungszustand σ ij Spannungstensor σ Spaltenmatrix der Spannung τ Schubspannung η Koordinate ζ Koordinate ψ Phasenwinkel

17 XXII Formelzeichen und Abkürzungen φ ϕ ω Drehwinkel, Verdrehung Drehwinkel, Verdrehung Eigenfrequenz Indizes, hochgestellt V e el ext geo glo init k lo pl red trial Verbund Element elastisch äußere Größe geometrisch global Anfangs- (Anfangsfließgrenze) k-te Schicht lokal plastisch reduziert Testzustand (Rückprojektion) Indizes, tiefgestellt Im Re b c eff f k l m p s t w Imaginärteil einer imaginären Zahl Realteil einer imaginären Zahl Biegung Druck (,compression ), Dämpfung Effektivwert Faser im Verbund Knicken Lamina Matrix im Verbund, Trägheit Knotenwert Schub Torsion, Zug (,tension ) Wand Mathematische Symbole ( ) T Transponierte Betrag Norm dyadisches Produkt sgn Vorzeichenfunktion IR Menge der reellen Zahlen

18 Formelzeichen und Abkürzungen XXIII Abkürzungen 1D 2D CAD FE FEM inc SI eindimensional zweidimensional Computer Aided Design Finite Elemente Finite-Elemente-Methode Inkrementnummer Internationales Einheitensystem