Formelsammlung der Matrizenrechnung
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- Alexander Schneider
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1 Formelsammlung der Matrizenrechnung von Christian Voigt und Jürgen Adamy Technische Universität Darmstadt Oldenbourg Verlag München Wien
2 Notation 1 1 Grundlagen Grundlagen der Matrizenrechnung Definition einer Matrix Relationen Nullmatrix Einheitsmatrix Standardmatrix Nichtnegative Matrix Transponierte Matrix Matnxoperatoren Matrixaddition Matrixmultiplikation Skalarmultiplikation Potenz Kronecker-Produkt Kronecker-Summe Elementweise Multiplikation Vektoren Skalarprodukt Dyadisches Produkt Kreuzprodukt Spatprodukt Verallgemeinertes Kreuzprodukt Definitionen Spur Bild Kern Kofaktor Adjungierte Matrix Untermatrix Vec-Operator Diagonale Diagonaloperator 19
3 VIII 2 Determinanten Definition der Determinante Unterdeterminanten Minor Formale Determinante Berechnung x 2-Matrizen x 3-Matrizen - Regel von Sarrus n x n-matrizen - Laplace'scher Entwicklungssatz Rechenregeln Hadamard-Ungleichung 24 3 Lösen linearer Gleichungssysteme Gleichungssysteme mit Matrizen Lineares Gleichungssystem (LGS) Lineare Unabhängigkeit Rang Regularität Singularität Lösbarkeit Eindeutige Lösbarkeit Überbestimmtes Gleichungssystem Unterbestimmtes Gleichungssystem Homogene und inhomogene Lösung Die inverse Matrix Definition Lösen eines LGS mit der inversen Matrix Berechnung Rechenregeln Pseudoinverse Definition Lösen eines LGS mit der Pseudoinversen Berechnung Rechenregeln Cramer'sche Regel Gayß'scher Algorithmus Elementare Zeilenumformungen Pivotelement Stufenformen Gauß'sches Eliminationsverfahren Bestimmung des Ranges einer Matrix Lösen eines LGS Bestim Gauß-I Lösung LR-Zei Choles QR-Ze Eigem Eigenv Snektri
4 IX Bestimmung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus) »Gauß-Elimination mit Spaltenpivotsuche Lösung von LGS mittels Zerlegungen LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung QR-Zerlegung 35 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwertproblem Spektrum Spektralradius Charakteristisches Polynom Minimalpolynom Vielfachheit Algebraische Vielfachheit Geometrische Vielfachheit Eigenschaften Berechnung Matrizen n-ter Ordnung Matrix 2. Ordnung Matrix 3. Ordnung Komplexe Matrizen Rechenregeln Iterative Berechnung des charakteristischen Polynoms Hauptvektoren Definition Berechnung Allgemeines Eigenwertproblem Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems Rayleigh-Quotient Cayley-Hamilton-Theorem Definition Folgerungen Anwendung Singulärwertzerlegung Singulärwerte und Singulärvektoren Berechnung Rechenregeln 48
5 X Inhaltsverzeichni 5 Differentiation * Gradient Hesse-Matrix Jacobi-Matrix Differentiale Einfache Fälle Ableitung von Produkten Ableitung von Determinanten Ableitung von Logarithmen Ableitung von Spuren Ableitung inverser Matrizen Allgemeine Ableitung Definition Kettenregel Ruhelagen Richtung der größten und kleinsten Änderungsrate 56 6 Normen und Störungstheorie Vektornormen Vektornormaxiome p-norm Betragssummennorm Euklidische Norm Maximumnorm Ungleichungen Vektornormrelationen Matrixnormen Definition Matrixnormaxiome ' Zeilensummennorm Spaltensummennorm Spektralnorm Frobeniusnorm Ky-Fan-Norm Matrix-Maximumnorm Matrixnormrelationen Logarithmische Matrixnorm Störungstheorie Fehler und Residuum Kondition einer Matrix Abschätzung der Auswirkungen Eigenwertabschätzung Kurve Transl Rotatii ImR 2 ImR 3 Verallj Homo] Matriz Kegels Quadri Quadn Quadr; Haupte Kurvei Kurver Klassif Bestim Kurvei Fläche: Spezie Quadn Ähnlich Symm< Schiefs Symm< Definit Dreiecl Diagor Diagor Skalan Orthog Idempc Nilpote Involut Zyklisc Permut Kommi Monon Kompli Multip] Konjug Koniua
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