Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil IV: Lineare Algebra

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1 Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil IV: Lineare Algebra Christian Leibold 17. November 2014 Lineare Gleichungen und Matrizen Zwei-Dimensionale Lineare Gleichungssysteme Matrizen Determinanten Inverse Matrix Einführung in die Lineare Algebra Vektorräume Lineare Abbildungen Eigenvektoren

2 Zwei-Dimensionale Lineare Gleichungssysteme Bisher haben wir nur Probleme mit einer Unbekannten x untersucht. In vielen Fällen sind aber mehr als eine Größe zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung einer Geraden durch zwei Punkte. Gegeben seien zwei Punkte (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ). Wie lautet die Gleichung der Gerade y = a 1 x + a 2, die durch beide Punkte verläuft? Diese Frage läßt dich in die beiden folgenden Gleichungen übersetzen: y 1 = x 1 a 1 + a 2, y 2 = x 2 a 1 + a 2. Die beiden Zahlen a 1 und a 2 sind die zu bestimmenden Unbekannten, die Koordinaten x, y der Punkte sind die bekannten Koeffizienten des Gleichungssystems. Allgemeine Formulierung: Allgemein schreiben wir ein Gleichungsystem mit zwei Unbekannten x 1 und x 2 wie folgt: x 1 m 11 + x 2 m 12 = b 1 x 1 m 21 + x 2 m 22 = b 2 Die Koeffizienten m?? und b? sind dabei zunächst reelle Zahlen. Dieses lineare Gleichungssystem läßt sich folgendermaßen lösen. Wir nehmen an, dass einer der Koeffizienten m 11 oder m 21 von Null verschieden ist. Im anderen Fall ist das System sowieso nur 1-dimensional. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir die beiden Gleichungen so anordnen, dass m 11 = 0 ist und damit die erste Gleichung durch m 11 geteilt werden kann. Damit erhält man x 1 = b 1 m 12 x 2 m 11 m 11

3 Nach Einsetzen in die zweite Gleichung erhält man m 11 b 2 m 21 b 1 = x 2 (m 11 m 22 m 12 m 21 ) det. Der letzte Term (det) heißt Determinante, weil er bestimmt, ob die Gleichung lösbar ist oder nicht: Ist die Determinante von Null verschieden (det = 0) lautet die Lösung x 1 = m 22 b 1 m 12 b 2 det x 2 = m 11 b 2 m 21 b 1 det und diese Lösung ist eindeutig. Das heißt, es gibt keine andere Lösung des Gleichungssystems. Andererseits, falls die Determinante verschwindet (det=0), gibt es keine Lösung, wenn entweder der Zähler m 22 b 1 m 12 b 2 = 0 oder der Zähler m 11 b 2 m 21 b 1 = 0. Die Gleichung hat hingegen unendlich viele Lösungen, falls beide der Zähler verschwinden. In letzterem Fall ist jeder Punkt auf der Geraden eine Lösung. x 1 = b 1 m 11 x 2 m 12 m 11

4 Matrizen Lineare Gleichungssysteme können allerdings auch mehr als zwei Unbekannte enthalten. Um mit derartigen Glsys. bequemer umgehen zu können, führen wir eine Kurzschreibweise mittels Matrizen ein. Definition (Matrix) Seien m ij IR, mit 1 i m und 1 j n. Die Darstellung M = m m 1n.. m m1... m mn heißt reelle m n-matrix. Die Zahl (M) ij = m ij bezeichnet man als das Matrixelement der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Definition (Vektor, IR n ) Die Menge aller reellen n 1 Matrizen heißt IR n. Ihre Elemente werden (Spalten-)vektoren bezeichnet. Elemente des IR n sind somit n-tupel reeller Zahlen x = Diese können elementweise addiert, subtrahiert und mit einer Konstanten multipliziert werden. Das heißt, mit a IR und x,y IR n ist auch x + a y IR n. x 1 x 2. x n

5 Definition (Matrixmultiplikation) Sei A eine reelle m n-matrix und B eine reelle n k-matrix. Als Matrixprodukt definiert man die m k-matrix n n (A) 1i (B) i1... (A) 1i (B) ik C = A B =.. n n (A) mi (B) i1... (A) mi (B) ik Die Anzahl n der Summanden bezeichnet man als innere Dimension der Multiplikation. Mittels Matrixmultiplikation erhält man eine einfachere Notation eines Lineares Gleichungssystems Sei A eine reelle m n- Matrix, b IR m und x IR n. Dann heißt das Gleichungssystem A x = b linear und von Dimension n (Anzahl der Unbekannten). Eine lin. Glsys. heißt homogen, wenn b = 0. Es heißt inhomogen, wenn b = 0.

6 Ehe wir uns weiter um die Lösung derartiger linearer Glsys. bemühen, wollen wir uns zunächst näher mit Matrizen, insbesondere dem Rechnen mit Matrizen auseinandersetzen. Die elementweise Addition der Matrixelemente definiert die Summe (bzw. Differenz) zweier Matrizen M = M 1 ± M 2. Die elementweise Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl k definiert eine Skalarmultiplikation der Matrizen k M. Eine weitere wichtige Matrixmanipulation ist die Transposition. Definition (transponierte Matrix) Sei A eine m n-matrix. Die transponierte Matrix A T ist eine n m-matrix, die aus A durch das Vertauschen von Zeilen mit Spalten hervorgeht, d.h., (A) ij = (A T ) ji Eine spezielle Matrixmultiplikation ist das Skalarprodukt. Definition (Skalarprodukt, Spaltenvektoren) Seien u,v IR n. Der Ausdruck u v = u 1 v u n v n = n u i v i IR heißt Skalarprodukt. Man kann das Skalarprodukt auch mittels der Transposition wie folgt schreiben: u v = u T v

7 Bemerkungen: 1) Das Skalarprodukt erlaubt die Berechnung der euklidischen Norm eines Vektors b = b b 2) Das Skalarprodukt erlaubt die Berechnung des Winkels α zwischen Vektoren a b cos α = a b 3) Das Skalarprodukt erlaubt die Feststellung der Orthogonalität: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, a b = 0. Für Vektoren in IR 3 existiert das Kreuzprodukt Definition (Kreuzprodukt) Sei u,v IR 3. Der Ausdruck heißt Kreuzprodukt. u v = u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Die Länge des Kreuzprodukts u v bemißt den Flächeninhalt des von den Vektoren u und v aufgespannten Parallelograms. Der Ausdruck w (u v) heißt Spatprodukt und bemißt das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.

8 Allgemein gelten folgende Matrix-Rechenregel i) A (B C) = (A B) C (Assoziativität) ii) (A + B) C = A C + B C, bzw. A (B + C) = A B + A C (Distributivität) iii) (A B) T = B T A T iv) x (Ay) = (A T x) y v) 1l A = A 1l = A Folgende Matrizen sollte man schon einmal gesehen und in ihrer Wirkung verstanden haben, da sie immer wieder auftreten und eine ganz spezielle (und speziell einfache) geometrische Deutung haben. Spezielle Matrizen Die Matrix l = heißt Einheitsmatrix. damit gilt A = 1lA = A 1l. Eine Matrix d d 2 0 diag(d1,..., d n ) = d n heißt Diagonalmatrix.

9 Die Matrix D 2 cos(α) (α) = sin(α) sin(α) cos(α) heißt 2-dimensionale Drehmatrix. Die Matrix cos(α) sin(α) 0 Dz 3 (α) = sin(α) cos(α) beschreibt eine Drehung um die z-achse in 3 Dimensionen. Die Matrizen cos(α) 0 sin(α) Dx 3 (α) = 0 cos(α) sin(α) Dy 3 (α) = sin(α) cos(α) sin(α) 0 cos(α) beschreiben Drehungen um die x- bzw. y-achse in 3 Dimensionen. Determinanten Die Determinante wurde bisher nur für 2 2-Matrizen definiert. Ein wesentliches Element zur Verallgemeinerung der Determinante auf beliebig große quadratische Matrizen ist die Permutation. Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen von 1 bis n auf sich selbst, d.h., jede Zahl darf nur einmal angenommen werden. Beispiel: Die Abbildung ist eine Permutation, wohingegen keine ist. (1, 2, 3, 4) (3, 2, 4, 1) (1, 2, 3, 4) (3, 3, 1, 2)

10 Jede Permutation σ hat ein Vorzeichen (sgn(σ) = ±1). Es bemisst wieoft zwei benachbarte Zahlen vertauscht werden müssen, bis die ursprüngliche Reihenfolge wiederhergestellt ist. Beispiel: (1, 2, 3, 4) (3, 2, 4, 1) ist eine gerade Permutation (sgn = +1): Die 1 nach vorne zu bringen braucht drei Vertauschungen, danach muss nur noch die 3 und die 2 vertauscht werden. (1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) ist eine ungerade Permutation (sgn = 1), weil nur eine Vertauschung von 3 und 4 nötig ist. Dies führt auf die allgemeine Definition nach Leibniz (Determinante) Sei A eine reelle n n-matrix und P n die Menge aller Permutationen σ : {1,..., n} {1,..., n}. Als Determinante von A bezeichnet man dann det(a) = n sgn(σ) (A) iσ(i). σ P n Geometrische Interpretation: Für n = 3 gilt a ( b c) = det(a, b,c) Damit können Determinanten als Volumina der von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipede interpretiert werden.

11 Bemerkungen: Die Determinante ist somit eine Summe von Produkten. Jedes dieser Produkte besteht aus n Faktoren, die allesamt Matrixelemente sind. In jedem dieser Produkt tritt jeder Zeilenindex, sowie jeder Spaltenindex genau einmal auf. Klammert man in jedem Summanden den Faktor der k-ten Zeile aus, so erhält man: det(a) = sgn(σ) (A) kσ(k) σ P n = n (A) kl ( 1) k+l l=1 i=k (A) iσ(i) σ P n 1 sgn(σ) i=k (A) iσ(i) wobei der Faktor ( 1) k+l den Beitrag zum Signum der Permutation beschreibt, den man durch das Herausnehmen des Indexes l in sgn(σ) verliert. Da diese Überlegung für beliebige Zeilen und Spalten gilt, führt diese auf eine alternative Definition der Determinante, die für die Praxis zur Berechnung der Determinante nützlicher ist: der Laplacesche Entwicklungssatz. Laplacescher Entwicklungssatz: Sei A eine reelle n n-matrix. Für jedes k mit 1 k n gilt det(a) = n (A) ki ( 1) k+i Minor(A) ki = n (A) ik ( 1) k+i Minor(A) ik wobei Minor(A) ki die Determinante der Matrix bezeichnet, die man aus A durch streichen der k-ten Zeile und i-ten Spalte erhält. Diese Definition ist somit rekursiv. Die erste Summe der Definition wird als Entwicklung nach der k-ten Zeile bezeichnet, die zweite Summe als Entwicklung nach der k-ten Spalte.

12 Aus der Definition ergeben sich folgende Rechenregeln (Determinanten) i) Die Determinante einer Matrix A verschwindet (det A = 0), wenn eine Zeile oder eine Spalte nur aus Nullen besteht. ii) Für eine Matrix A, die aus einer Matrix A durch Vertauschen zweier Zeilen oder zweier Spalten hervorgeht, gilt det(a ) = det(a). iii) Die Determinante einer Matrix A verschwindet (det A = 0), wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten identisch sind. iv) Die Determinante einer Matrix A verschwindet (det A = 0), wenn eine Spalte (oder Zeile) aus einer Linearkombination anderer Spalten (bzw. Zeilen) hervorgeht. v) Sei A eine n n-matrix, dann gilt: det(a T ) = det(a). vi) Sei k IR und A eine n n-matrix, dann gilt det(k A) = k n det(a). vii) det(ab) = det(b) det(a) = det(ba). (Diese Eigenschaft kann im Rahmen des Skripts nicht bewiesen werden). Inverse Matrix Eine einfache Art die Lösung eines linearen Glsys. aufzuschreiben ist mittels der inversen Matrix. Definition (inverse Matrix) Sei A eine n n-matrix. Existiert eine Matrix A 1 mit 1l = A A 1 = A 1 A dann heißt A 1 die zu A inverse Matrix. Damit gilt für ein lin. Glsys. A x = b mit einer invertierbaren Matrix A: x = A 1 A x = A 1 b.

13 Konstruktion der inversen Matrix Sei A eine n n-matrix. Wenn det(a) = 0, so existiert die inverse Matrix und lautet A 1 = adj(a) (det A) 1 wobei die zur Matrix A adjunkte Matrix adj(a) die folgenden Matrix-Elemente besitzt: adj(a) ij = ( 1) i+j Minor(A) ji Beweis: Nach dem Laplace schen Entwicklungssatz sind alle Diagonalelemente der Matrix X = A adj(a) identisch und gleich det(a). Für die Ausserdiagonal-Elemente entspricht der Ausdruck X kk = n (A) ki ( 1) k+i Minor(A) k i der Determinante einer Matrix, die aus A entsteht in dem man die k -te Zeile durch die k-te Zeile ersetzt. Die k-te Zeile tritt somit zweimal auf und demnach ist X kk = 0. q.e.d.

14 Eine einfache Merkregel für die Lösung eines n n-gleichungs systems folgt aus dem Laplace schen-entwicklungssatz x i = (det A) 1 n ( 1) i+j Minor(A) ji b j. j=1 Die Summe auf der rechten Seite kann wiederum als Determinante interpretiert werden (Entwicklung nach der i-ten Spalte): die zugehörige Matrix erhält man aus A, indem die i-ten Spalte durch den Vektor b ersetzt wird. Damit folgt unmittelbar die Cramersche Regel. Cramersche Regel Sei A eine n n-matrix. Das lin. Glsys. Ax = b hat folgende Lösungseigenschaften: Gilt det A = 0, so berechnet sich die eindeutige Lösung (mit 1 i n) über (A) (A) 1(i 1) b 1 (A) 1(i+1)... (A) 1n x i = (det A) (A) n1... (A) n(i 1) b n (A) 1(n+1)... (A) nn Die Determinanten, in denen die i-te Spalte durch di Inhomogenitäten b j, j = 1,..., n ersetzt sind bezeichnen wir mit A i und damit schreibt man x i = (det A) 1 A i.

15 Bemerkung: Ist det A = 0, so hat das lin. Glsys. keine Lösung, wenn nur eine der Determinanten A i ungleich Null ist. Sind für det A = 0 alle Determinanten A i gleich Null wird das lin. Glsys. durch unendlich viele Vektoren x gelöst. Ist das Gleichungsystem derart unterbestimmt, löst man es i.d.r. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, bei dem eine Unbekannte nach der anderen durch Auflösen einer der Gleichungen eliminiert wird. Vektorraumaxiome Die Vektordefinition kann über die Spaltenvektoren hinaus verallgemeinert werden: Eine Menge V heißt linearer Raum oder Vektorraum bezügliche der Addition + und der Skalarmultiplikation, falls für Elemente a, b,c V und die komplexen Zahlen λ und µ gilt λ a + b V für alle λ, a und b. a + ( b + c) = (a + b) + c a + b = b + a Es gibt eine 0 V, so dass a + 0 = 0 + a = a für alle a V. Für jedes a V existiert ein b V, so dass a + b = 0. λ (a + b) = λ a + λ b (λ + µ) a = λ a + µ a (λ µ) a = λ (µ a) Für alle a gilt 1 a = a.

16 Bemerkung: Beispiele für Vektorräume sind neben den Spaltenvektoren auch die Matrizen die Funktionen die elektrischen Felder (Licht) im Vakuum der Schall (näherungsweise) A vector is a vector is a vector is a vector... In gleicher Weise kann man eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts definieren, welche nicht auf Spaltenvektoren beschränkt ist. Skalarprodukte (allgemein): Eine Abbildung : V V IC heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: a b = b a c (λa + b) = λ (c a) + c b. a a 0 und a a = 0, genau dann wenn a = 0 (positiv Definitheit). Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm auf V : V IR, a a = (a a) 1/2 Diese spezielle Norm, nennt man 2-Norm oder Euklidische Norm. Für Spaltenvektoren a = (a 1,..., a d ) gilt a = a a2 d.

17 Aus den Skalarprodukt-Eigenschaften folgt die Cauchy-Schwarz Ungleichung a b a b Sie kann elementar aber etwas länglich bewiesen werden. Die (2-)Norm hat folgende Eigenschaften (allgemeine Norm-Definition): a 0 und a = 0 genau dann wenn a = 0. a + b a + b (aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung) αa = α a. Jede Norm induziert eine Metrik d : V V IR, a, b d(a, b) = a b Mit Metriken kann man Distanzen zwischen zwei Punkten berechnen. Im Fall der 2-Norm für Spaltenvektoren gilt d(a, b) = d (a i b i ) 2 Dies entspricht dem verallgemeinerten Satz von Pythagoras. Eigenschaften der Metrik: d(a, b) = d( b,a) (Symmetrie) d(a, b + c) d(a, b) + d(a,c) (Dreieckungleichung) d(a, b) 0 und d(a, b) = 0 genau dann wenn a = b (positiv Definitheit).

18 Lineare Uabhängigkeit: Eine Menge von Vektoren {a 1,...,a l } heißt linear unabhängig, falls aus l a i λ i = 0, λ i IC folgt λ i = 0 i = 1,..., l Bemerkungen: 1) Bei den Spaltenvektoren bedeutet dies die Vektoren müssen in unterschiedliche Richtungen zeigen (ausgenommen genau entgegengesetzt). 2) Sind Vektoren nicht linear unabhängig, so heißen sie linear abhängig. Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren heißt Dimension des Vektorraums. Sei V ein d-dimensionaler Vektorraum. Jede Menge {a 1,...,a d } von d linear unabhängigen Vektoren heißt Basis. Satz (Eindeutigkeit der Koordinaten) Sei {a 1,...,a d } eine Basis des d-dimensionalen Vektorraums V. Für jedes x V gibt es eindeutige Zahlen {ξ 1,..., ξ d }, so dass x = d ξ i a i Die Summe heißt Linearkombination von x, Die Zahlen ξ i heißen Koordinaten von x bezüglich der Basis {a 1,...,a d }.

19 Beweis: Wir nehmen an es gibt eine weitere Menge von Zahlen {η 1,..., η d } mit der Eigenschaft x = d η i a i. Damit wäre 0 = x x = d (ξ i η i )a i Da {a 1,...,a d } eine Basis ist folgt aus der linearen Unabhängigkeit ξ i η i = 0 und damit ξ i = η i. Die beiden Koordinatenmengen wären somit nicht verschieden und damit sind die Koordinaten eindeutig. Basistransformation: Seien {a 1,...,a d } und { b 1,..., b d } zwei Basen von V. Damit gibt es für jedes x V eindeutige Koordinaten {ξ 1,..., ξ d } und {η 1,..., η d }, so dass x = d ξ i a i = d η i bi. Wie nehmen nun das Skalarprodukt mit a j : a j x = d ξ i (a j a i ) = d η i (a j b i ) Für j = 1,..., d kann man diese Gleichungen effizient in Matrixform schreiben. Dazu führen wir die Matrizen A = (a j a i ) i,j=1,...,d und X = (a j b i ) i,j=1,...,d ein

20 Weiterhin identifizieren wir die Koordinaten ξ i und η i durch entsprechende Spaltenvektoren ξ und η. Damit gilt A ξ = X η A ist invertierbar, da wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren a i die Determinante von A nicht 0 sein kann. Damit gilt ξ = A 1 X η Die Koordinaten bezüglich zweier Basen lassen sich somit durch eine einfache Matrixmultiplikation ineinander umrechnen. Orthonormalbasen: Ein in der Praxis sehr wichtiger und bequemer Typ von Basen sind Orthonormalbasen. Sie sind durch die Eigenschaft A = (a i a j ) i,j=1,...,d = 1l gekennzeichnet. Für Orthognormalbasen gilt ξ i = a i x. Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis in IR 2 ist 1 0 a 1 =, a 0 2 = 1 aber auch a 1 = cos α sin α, a 2 = sin α cos α.

21 Lineare Abbildungen Wir betrachten zwei Vektorräume V und W der Dimensionen d V und d W. Eine Abbildung L : V W, V v L(v) W heißt linear falls für alle v 1, v 2 V und für alle µ IC gilt: L(v 1 + µ v 2 ) = L(v 1 ) + µ L(v 2 ). Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in W, die man erhält wenn man eine Basis in V mit L nach W abbildet, heißt Rang von L. Der Rang ist min(d V, d W ). Sei nun d V = d W = d. Die Abbildung L hat vollen Rang falls sie jede Basis von V auf d linear unabhängige Vektoren in W abbildet. Hat L vollen Rang, heißt L (Vektorraum-) Isomorphismus. Konstruktion der linearen Abbildungen: Wir betrachten die Basen A = {a 1,..., a dv } von V und B = {b 1,..., b dw } von W. Ferner bezeichnen wir w k := L(a k ) W, k = 1,..., d V. Für jeden Vektor x V gibt es eindeutige Koordinaten α i, so dass x = d V α i a i. Ebenso gibt es für alle Vektoren w i eindeutige Koordinaten X ji, so dass w i = d W j=1 X ji b j. Aus der Linearität folgt nun L(x) = d V α i w i = d W j=1 b j ( d V X ji α i ). Damit sind die Koordinaten des Vektors L(x) W gegeben durch eine Matrixmultiplikation X α. Lineare Abbildungen sind somit äquivalent zu einer Matrixmultiplikation der Koordinatenvektoren. Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Spalten von X.

22 Eigenvektoren Eine Möglichkeit, sich eine bessere Vorstellung von dem Effekt einer Matrixmultiplikation zu machen, ist die Eigenvektoren und -werte der Matrizen zu berechnen. Die Idee hierbei ist nach Richtungen zu suchen, in denen eine Matrix sich wie eine Zahl verhält. Alle Operationen, die man mit Zahlen machen kann, kann man dann so auf Matrizen verallgemeinern. Insbesondere das Verhalten mehr-dimensionaler dynamischer Systeme wird, wie wir sehen werden, fundamental durch die Eigenvektoren und -werte der jeweiligen Matrizen bestimmt. Definition (Eigenvektor, Eigenwert) Sei A eine n n-matrix. Ein Vektor v = 0, der die Eigenwert- Gleichung A v = λv für ein λ IC erfüllt, heißt Eigenvektor. Die zugehörige Zahl λ heißt Eigenwert. Um Eigenvektoren zu bestimmen, schreiben wir die Eigenwertgleichung um und erhalten [A λ 1l]v = 0 Ein Eigenvektor ist somit die Lösung eines homogenen linearen Glsys. Wir wissen, dass dieses Glsys. genau dann eine eindeutige Lösung hat, wenn die Determinante der Matrix [A λ 1l] nicht verschwindet. In diesem Fall ist diese eindeutige Lösung aber der Null-Vektor. Da Eigenvektoren aber laut Definition von Null verschieden sein müssen, muss die Determinante der Matrix [A λ 1l] notwendigerweise gleich Null sein also det(a λ 1l) = 0. Die Determinante auf der linken Seite dieser Gleichung ist ein Polynom in λ vom Grade n. Es heißt charakteristisches Polynom der Matrix A. Die Eigenwerte sind demnach die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. In der Regel gibt es deshalb n Eigenwerte. Diese können, müssen aber nicht, unterschiedlich sein, da ein Polynom auch mehrfache Nullstellen besitzen kann (z.b. (λ + 1) 2 = 0 hat die doppelte Nullstelle 1).

23 Sobald man die Eigenwerte einer Matrix gefunden hat, können die Eigenvektoren einfach durch Lösen des Glsys. [A λ 1l]v = 0 gefunden werden und zwar hintereinander für alle Eigenwerte λ. Tritt ein Eigenwert mehrfach auf, so gibt es zu ihm i.d.r. auch mehrfache Eigenvektoren, und zwar höchstens genau so viele wie die Vielfachheit des Eigenwerts. Findet man soviele unterschiedliche (eigentlich linear unabhängige) Eigenvektoren wie Eigenwerte (inklusive deren Vielfachheit), so heißt die Matrix diagonalisierbar. Falls nicht, ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Ein Beispiel für eine nicht diagonalisierbare Matrix ist Der Ausdruck Diagonalisierbarkeit rührt von folgendem Zusammenhang her: Man nehme an, eine Matrix A hat n Eigenwerte {λ 1,..., λ n } und n dazugehörige Eigenvektoren {v 1,...,v n }, wobei A v k = λ k v k und k = 1,..., n. Man kann nun die n Vektoren in einer Matrix B zusammenfassen, derart dass B = (v 1... v n ), d.h., die Vektoren v k die Spalten der Matrix B bilden. Da B n linear unabhängige Spalten hat, ist detb = 0. Damit ist B invertierbar und es existiert B 1. So gilt B 1 A B = B 1 (λ 1 v 1,..., λ n v n ) = B 1 B 1l diag(λ 1,..., λ n ) Anschaulich wird die Matrix A durch die Matrix B zu einer Diagonalmatrix der Eigenwerte diag(λ 1,..., λ n ). Man spricht von einer Diagonalisierung der Matrix A.

24 Man nehme nun einen beliebigen Vektor x und betrachte das Produkt A x. Aufgrund der Invertierbarkeit von B kann man schreiben y = A x = B B 1 A B B 1 x = B diag(λ 1,..., λ n ) B 1 x Diese Gleichung kann man nun stark vereinfachen, wenn man anstelle der Vektoren x und y transformierte Vektoren ξ = B 1 x und η = B 1 y benutzt. Damit lautet sie nämlich η = diag(λ 1,..., λ n ) ξ. Das gekoppelte n-dimensionale Glsys. y = A x wird somit zu n unabhängigen linearen Gleichungen. Sind diese gelöst kann man die Vektoren wieder mittels x = B ξ und y = B η zurücktransformieren. Dieser Trick funktioniert nun nicht nur beim Auflösen von Gleichungssystemen, sondern kann immer angewandt werden, wenn man Manipulationen auf Matrizen anwenden will, die wir von den reellen Zahlen kennen. So kann man z.b. Funktionen von Matrizen definieren: f (A) = B diag (f (λ 1 ),..., f (λ n )) B 1 Damit kann man z.b. effizient Potenzen von Matrizen A t = A A einfach berechnen t Mal A t = B diag λ t 1,..., λ t n B 1 oder die Matrix Exponentialfunktion exp(a) = B diag e λ 1,..., e λ n B 1.

25 Eigenvektoren und Eigenwerte reell-symmetrischer Matrizen Sei A eine reelle symmetrische (A T = A) n n-matrix, so ist diese orthogonal diagonalisierbar. Das heißt, sie hat n reelle Eigenwerte λ 1,..., λ n und die dazu-gehörigen Eigenvektoren v 1,...,v n stehen paarweise aufeinander senkrecht. Sie bilden eine Orthonormalbasis! Beweis: Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom n-ter Ordnung mit reellen Koeffizienten n Nullstellen λ 1,..., λ n. Somit hat das charakteristische Polynom der Matrix A auch n Nullstellen, die Eigenwerte. Zu jedem dieser Eigenwerte gibt es nun einen Eigenvektor. Wir nehmen an dass die Eigenvektoren o.b.d.a normiert sind. Zunächst folgt aus Av i = A T v i λ i = λ i und damit dass λ i reell ist. Man betrachte nun weiter die Eigenvektoren v j und v i zu zwei Eigenwerten λ j = λ i und berechne die Skalarprodukte λ j (v i v j ) = v i (Av j ) = A T v i v j = (Av i ) v j = λ i λ i (v i v j ) Da λ j = λ i müssen v j und v i orthogonal sein. Falls λ j = λ i, gilt für alle Linearkombinationen w = a v i + b v j, A w = A (a v i + b v j ) = a λ j v i + b λ j v j = λ j w. Somit kann man v j und v i immer so wählen, dass Sie orthogonal sind.

26 Beispiel: Gegeben sind drei reelle Zahlen a, b, und c, sowie die Matrix a b A = b c Die Eigenwerte lauten λ 1,2 = a+c (a c) 2 ± b 2 und sind somit reelle Zahlen. Die Eigenvektoren erhalten wir aus c a 2 ±... b a c b 2 ± v = Dies führt zu v 1,2 = Die Orthogonalität folgt aus b a c 2... v 1 v 2 = b 2 + (a c)2 4 (a c) b 2 = 0.