(i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) neutrales Element, (iv) inverses Element

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1 Zusammenfassung: L1 Vorlesung 1 Gruppe: Verknüpfung: (i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) neutrales Element, (iv) inverses Element Körper: (zwei Verknüpfungsregeln: Addition & Multiplikation, beide liefern jeweils eine kommutative Gruppe) Algebraische Struktur, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt. Beispiele: Komplexe Zahlen: Zusammenfassung: C1-C2 Vorlesung 2 C1: Ableitung 1-dimensionaler Funktionen Definition d. Ableitung: Jede Ableitung stellt eine lokale Näherungen einer Funktion durch eine lineare Funktion dar! Produktregel: Kettenregel: Ableitung d. Umkehrfunktion:

2 C2 Integrale Vorlesung 2 'Riemann-Summe' Fläche unter Kurve: 'Hauptsatz': Bestimmtes Integral: 'Variablen- Substitution': 'Partielle Integration' Zusammenfassung: L2 Vektorräume Vorlesung 3 -Vektorraum: Vektoraddition: Skalare Multiplikation: Axiome: (i)-(v): kommutative Gruppe (vi,vii) distributiv (viii) assoziativ (ix) Identitätselement Wichtigstes Beispiel: Vektoraddition: Skalare Multiplikation:

3 Weiteres Beispiel: Diskretisierte Funktionen: Vorlesung 3 Diskretisierte Funktion: Vektoraddition: Skalarmultiplikation: Vektorraum: Basis und Dimension Vorlesung 3 alle möglichen Linearkombination der Vektoren 'Linear unabhängig', falls S ist 'vollständig', falls S bildet 'Basis', falls S vollständig und linear unabhängig ist. Standardbasis in : i-position j-komponente v. i-tem Basisvektor: 'Kroneckerdelta' Symbol: falls falls

4 Zusammenfassung L3 Vorlesung 4 Euklidische Vektorräume (V: reeller Vektorraum) Inneres Produkt: (i) Symmetrie, (ii-iii) Linearität bzgl. und (iv) Positiv definit Zahl Wichtigstes Beispiel: Skalarprodukt in Norm: Cauchy-Schwarz Ungleichung (CSU): Dreiecksungleichung: Winkel: Vorlesung 4 Einheitsvektor: 'Projektion' v. auf 'Orthogonales Komplement' zu Orthonormalbasis: vollständig, normiert, orthogonal: Gram-Schmidt-Verfahren liefert Orthonormalbasis:

5 Zusammenfassung: L4 Vektorprodukt Vorlesung 5 Geometrische Def: Daumen: Mittelfinger: Zeigefinger: Levi-Civita: komplett antisymmetrisch Eigenschaften: antisymmetrisch, distributiv, nicht assoziativ, Identitäten... Spatprodukt: Volumen v. Parallelepiped Zusammenfassung V1: Kurven Vorlesung 6 'Kurve': wobei Ort entlang Kurve: Kurvengeschwindigkeit: liegt 'tangential' zur Kurve Kurvenlänge: unabhängig von Parametrisierung des Weges Bogenlänge nach Zeit t: Natürliche Parametrisierung durch Bogenlänge: Für Vektorfeld: Linienintegral: unabhängig von Parametrisierung des Weges

6 Zusammenfassung V2: Konzept eines Feldes Vorlesung 7 Zusammenfassung V3: Skalarfelder, Gradient Totales Differential: differentielle Änderung von bei durch einen -Schritt: Gradient: zeigt in Richtung maximaler Steigung v. steht auf den 'Höhenflächen' v. Zusammenfassung C3: Partielle Ableitungen Vorlesung 7 Partielle Ableitung: Satz v. Schwarz: Totales Differential: Kettenregel:

7 Zusammenfassung V4.1: Gradientenfeld Vorlesung 8 Gradientenfeld: ist ein Gradientenfeld ist ein Gradientenfeld ist wegunabhängig und U ist einfach zusammenhängend für geschlossenen Weg Konkret: Konservatives Kraftfeld ist ein Gradientenfeld: Arbeit von x nach x' ist unabhängig vom Weg! geschlossener Weg: Zusammenfassung V4.2,3: Nabla, Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace Skalarfeld: Vektorfeld: Vorlesung 8 Partielle Ableitung: Totales Differential: Gradient: Nabla-Operator: (Vektor-Diff.-Operator) Laplace-Operator: Divergenz: Rotation: (alle Indizes unten) Gradiententelder sind 'wirbelfrei': Wirbelfelder sind 'quelfrei':

8 Zusammenfassung: C4 Mehrdimensionale Integration (Kartesisch) Integration in Vorlesung 9 Fubini: Integrationsreihenfolge ist egal: Gebiet Für das "innere" (zweite) Integral sind die Grenzen abhängig von der "äußeren" (ersten) Integrationsvariable. Analog in 3D: Reihenfolge dieser Integrale ist beliebig Zusammenfassung: V5 Krummlinige Koordinaten Vorlesung 10 Cartesisch: Polar (2D): Zylinder (3D): Kugel (3D); Koordinatenlinie: Kurvengeschwindigkeit entlang KL, wird variert werden konstant gehalten erinnert an Ortsabhängigkeit, wird meist nicht explizit angezeigt Lokale Basis:

9 Cartesisch: Vorlesung 10 Polar: Zylinder (3D): Kugel (3D); Alle diese lokalen Basen sind orthonormal: Zusammenfassung: Allgemeine Koordinatentransformation in 2D Vorlesung 11 Jakobi-Determinante Polar: für krummlinig-orthogonale Koord. Zusammenfassung: Allgemeine Koordinatentransformation in 3D Jakobi-Determinante für krummlinig-orthogonale Koord. Zylinder: Kugel:

10 Zusammenfassung: L Lineare Abbildungen und Matrizen Vorlesung 12 ist 'lineare Abbildung', falls Für hat eine lineare Abbildung die Form: mit m x n Matrix: Spalte j: Reihe i: Abbildung der Standardbasis: = Spalte j Reelle (mxn)-matrizen bilden dim. Vektorraum, Vorlesung 12 mit Matrixaddition, (elementenweise) und Skalarmultiplikation, (elementenweise) Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen Matrixmultiplikation (5e.3,4) (Zeile k von B) (Spalte j von A) Matrixmultiplikation ist assoziativ & distributiv, aber nicht kommutativ!

11 Zusammenfassung: L5.5-6 Basistransformationen Vorlesung 13 Zwei Vektorräume: Allgemeine lineare Abbildung: Matrixdarstellung v. A: In Standardbasis: A bildet Basisvektor Zwei Basen für denselben Raum: Basistransformation: Matrixdarstellung v. T: ab auf: Spalte j von A Darstellung v. altem Basisvektor in neuer Basis: Spalte j von T Inverse Transformation: Darstellung v. neuem Basisvektor in alter Basis: Spalte i von T Bezug zwischen und Zusammenfassung: L6 Determinanten Vorlesung 14 Determinante: diagnostiziert lin. Unabhängigkeit d. Spaltenvektoren einer nxn-matrix Leibniz-Regel: Laplace-Regel: (j fest) (i fest) (hier keine Summenkonvention!) 2x2: 3x3: Kofaktor: Unterdeterminante: (streiche Zeile i, Spalte j aus A, bilde dann die Determinante) Diagonalmatrix: Transponierte:

12 Vorlesung 14 Multilinearität: j-te Stelle j-te Stelle Antisymmetrie: Vorzeichenwechsel beim Vertauschen v. zwei Zeilen oder zwei Spalten. Zwei gleiche Spalten oder Zeilen: Konstruktion des Inversen: A invertierbar Spaltenvektoren v. A sind lin. unabhängig Multiplikationstheorem: Det. des Inversen Zusammenfassung: L7.1 Diagonalisieren, Eigenwerte, Eigenvektoren Eigenwertgleichung: Eigenwert Eigenvektor Vorlesung 15 Bedingung an EW: charakteristisches Polynom Für ist ein Polynom v. Grad, mit Nullstellen. diese entsprechen den n Eigenwerten v. Wenn EW bekannt ist, finde dazugehörigen EV durch Lösen des linearen Gleichungsystems: Falls n linear unabhängige EV existieren, wird diagonalisiert durch, wobei die EV als Spaltenvektoren hat:

13 Zusammenfassung: L5.6 Symmetrische und hermitesche MatrizenVorlesung 16 Reelles Skalarprodukt: Komplexes Skalarprodukt: Komplexe Matrix: Transponierte hermitesch Konjugierte: ist 'symmetrisch', falls Für symmetrische Matrizen gilt: ist 'hermitesch', falls Für hermitesche Matrizen gilt: und Zusammenfassung: L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen ist 'orthogonal' falls Vorlesung 16 (äquivalent) Reelles Skalarprodukt invariant: ist 'unitär' falls (äquivalent) Komplexes Skalarprodukt invariant: Spalten (oder Zeilen-)vektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. 'Unitäre Gruppe': 'Orthogonale Gruppe': 'spezielle orthogonale Gruppe': 'spezielle unitäre Gruppe':

14 Zusammenfassung: L7.2 Diagonalisierung v. symm. und hermiteschen Matrizen Vorlesung 16 ist 'symmetrisch', falls (oder ) ist 'hermitesch', falls Für alle hermiteschen (insb. auch für alle reelle symmetrischen) Matrizen gilt: - sie sind immer diagonalisierbar - alle Eigenwerte sind reell: - es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden - Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal: Für hermitesche Matrizen ist unitär: reell symmetrische orthogonal: Zusammenfassung: C5.1 Taylorreihen Vorlesung 17 'Taylor-Reihe' v. f(x') um x'=x: Wichtige Beispiele: für für Euler - de Moivre: Euler: Polardarstellung einer komplexen Zahl: Multidimensionale Taylor-Reihe:

15 Zusammenfassung: C5.2 Asymptotische Entwicklungen Vorlesung 18 Reihenentwicklungen in Gleichungen: links = = rechts Koeffizientenvergleich: Zusammenfassung: C5.3 Extrema mit Nebenbedingungen: Lagrange-Multiplikatoren Finde Extrema von mit Nebenbedingungen, wobei Lösungstrategie: Führe Lagrange-Multiplikatoren ein, Anzahl Nebenbedingungen und betrachte Kandidaten für Extrema müssen folgende Gl. erfüllen: Zusammenfassung: C7.3' Separable Differentialgleichungen Vorlesung 19 Separable DG: (x- und t-abhängigkeit faktorisiert) Lösungsweg: Trennung der Variablen Trennen: Integrieren: Stammfunktionen: Nach x auflösen:

16 Zusammenfassung: C7 Homogene lineare Differentialgleichungen Vorlesung 19 Superpositionsprinzip (SP) für lineare, homogene DG: falls dann SP ist nützlich für Lösung v. Anfangswertproblem mit nämlich: wobei Für konstanten Koeffizienten: exp-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: mit Eigenwertproblem! Zusammenfassung: Inhomogene lineare DG 1. Ordnung Lineare DG: Vorlesung 20 falls =0: homogen falls =0: inhomogen Allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DG: Allgemeine homogene Lösung: (irgendeine) Partikuläre Lösung: 1D (n=1): homogene Lösung (Trennung d. Variablen): partikuläre Lösung (Variation d. Konstanten): mit:

17 Zusammenfassung: Inhomegene lineare DG mit konstanten Koeffizienten Vorlesung 20 (i) Suche Lösung für homogene DGL per Exponential-Ansatz: e-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: mit durch Anfangsbedingungen bestimmt Eigenwertproblem! (ii) Partikuläre Lösung für inhomogene DGL: per Variation der Konstanten (zerlegt in Eigenbasis von ) mit und (iii) Allgemeine Lösung: Zusammenfassung C6.2 delta-funktion Vorlesung 21 Definierende Eigenschaft: ist ein unendlich hoher, infinitesimal scharfer Peak bei x = 0 : Werte: für für Normierung: Beliebte Darstellungen: Lorentz-Peak: Exp.-Peak: Wichtige Eigenschaften: Gauß-Peak: wobei die einfachen Nullstellen von sind.

18 Zusammenfassung C6.1 Fourier-Reihen Vorlesung 21 Fourier-Reihen- Ansatz für f(x): 'Fourier-Moden' 'Fourier-Komponenten' Rücktransformation: Eigenschaften der 'Fourier-Moden': Periodisch, mit Wellenlänge Orthonormalität: Vollständigkeit: periodische delta-funktion Parseval-Identität: Zusammenfassung C6.1 Fourier-Reihen für periodische Funktionen Vorlesung 22 Sei periodisch, mit Periode L: (b.3) (c.5) beliebige Periode Faltung: Ableitung in Fourier-Darstellung: Zeit-Darstellung: Für Fourier-Reihen- Ansatz: Ableitung:

19 Zusammenfassung: C6.3 Fourier-Transformation Vorlesung 23 Vorzeichen ist Konvention, in Mathe: + 'Fourier-Rücktransformation' mit Fourier- Koeffizienten: 'Fourier-Transformation' Wichtige Eigenschaften der Fourier-Exponenten: "Vollständigkeit" : "Orthonormalität" : Wichtige Beispiele: Exponentialfunktion Lorenzfunktion Gauß-Funktion Gauß-Funktion Vorlesung 23 Physikerkonvention: Merkregel: Parseval: Plancherel: Faltung: Faltungstheorem:

20 Zusammenfassung: C6.3 DGL mit konstanten Koeffizienten - Fourier, Green Vorlesung 23 Kurznotation: Fourier-transformiert: (ZC6.3b.1) (ZC6.3b.2) mit Aufgelöst: mit Green'sche Funktion erfüllt: Fourier-tr. mit Faltungstheorem, angewandt auf (6): (ZC6.3b.5) = allgemeine Lösung für beliebigen Antrieb! Zusammenfassung: C7.6 Fluss einer DG Vorlesung 24 Autonome DGL in zwei Dimensionen: DGL für Feldlinie eines Vektorfelds Zusammenfassung: C7.7 Fixpunkte, Linearisierung von Differentialgleichungen hat Fixpunkt bei falls Für n=1: instabile Fixpunkte: stabile Fixpunkte:

21 Lineare Stabilitätsanalyse (n=1): Vorlesung 24 Lösung für kleine Auslenkungen: mit charakteristischen Zeitskala: Stabilität von Fixpunkten in höheren Dimensionen: Lösung für kleine Auslenkungen ist Summe über Eigenmoden von A: nur falls "A negativ definit" ist: Zusammenfassung: C6.4 Fourier - Konzeptionelle Grundlage Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im Funktionenraum Zur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in Element: Skalarprodukt: Invariante Größe Vorlesung 25 In Komponenten ausgedrückt Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit:

22 Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Element: Skalarprodukt: Standardbasis: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Entwicklung: Koeffizienten: Basis- Wechsel Basis- Wechsel Vollständigkeit: Zusammenfassung: V4.2 Flächen- und Flussintegrale Vorlesung 26 Gerichtetes Flächenelement: "Fluss" durch Flächenelement: "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung: Fläche über C:

23 Zusammenfassung: V4.2 Divergenz, Satz v. Gauß Vorlesung 27 Divergenz (cartesisch): Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Divergenz: "Ausfluss pro Volumenelement" Divergenz in krummlinigen Koordinaten (d=3): Zusammenfassung: V.4.3 Satz von Stokes Vorlesung 28 Satz v. Stokes: Flussintegral der Rotation = Linienintegral Fläche Rand der Fläche = Linie Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Rotation: "Zirkulation pro gerichteter Fläche" Rotation in krummlinigen Koordinaten: analog für u & v Komponenten, zyklisch permutiert

24 Zusammenfassung: C8.1-2 Analytische Funktionen I Vorlesung 29 Def: Komplexe Funktion ist analytisch in, falls überall in existiert. Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen (CRG): Def: Komplexes Wegintegral: Substitution: Wichtiges Beispiel: falls falls Satz v. Cauchy: falls analytisch ist auf einfach zusammenhängendem Gebiet, gilt: Geschlossener Weg liefert 0: Wegunabhängigkeit: mit Zusammenfassung: C8.3 Analytische Funktionen II Vorlesung 30 Reihenentwicklungen: - wenn f analytisch ist: Taylor - wenn f einen Pol d. Ordnung p bei hat: Laurant habe mehrere isolierte Pole, und der Weg umschließe Pole, bei Residuensatz: Residuenformel:

25 Kontur schließen: Vorlesung 30 falls Pole innerhalb Diese Strategie funktioniert insbesondere für Integrale folgender Form: mit falls: falls falls