5.9.1 Brechung von Wasserwellen ******

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1 5.9.1 ****** 1 Motivation Ein periodisch ins Wasser eintauchender Stab erzeugt ebene Wasserwellen, die an im Wasser liegenden Hindernissen gebrochen werden. Experiment Abbildung 1: an einer Kante bzw. an einer Linse. Linkes Bild: Niedere Frequenz. Rechtes Bild: Höhere Frequenz. Ein Metallkamm taucht periodisch in ein flaches Wasserbad ein und erzeugt damit ebene Wellen. Diese geraten an Hindernisse aus Plastik, welche die Wassertiefe verringen und damit die Wellengeschwindigkeit v = λν (1) gemäss Gl. (36) verringern. Da die Frequenz ν gleich bleibt, verringert sich auch die Wellenlänge λ. Die Wellen werden deshalb an den Hindernissen gebrochen. Abb. 1 zeigt die Verkleinerung der Wellenlänge und die damit verbundene Richtungsänderung der ebenen Welle am 1

2 t = 6 t t = 4 t v t = t t = 0 Abbildung 6.1: : Huygenssches Prinzip bei bei einer ebenen Wellenfront. Beispiel einer schräg verlaufenden geraden Kante für zwei verschiedene Frequenzen (obere Bilder). Die beiden unteren Bilder zeigen die Brechung an einer Sammellinse. Man beobachtet auch in diesem Fall, dass die Wellenlänge in der durch die Linse erzeugte Untiefe kleiner wird. 3 Theorie 3.1 Das Prinzip von Huygens Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfläche wird als Zentrum einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst. Die Umhüllende dieser Elementarwellen ergibt dann die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Eine Wellenfläche wird folgendermassen definiert. Alle Punkte der Wellenfläche genügen der Beziehung: k r ωt = δ, () wobei δ eine beliebige, aber fest vorgegebene Phase ist. Abb. und Abb. 3 zeigen diese Elementarwellen für eine ebene bzw. eine Kugelwelle. Falls sich beim Übertritt einer Welle in ein anderes Medium die Phasengeschwindigkeit v = ω/k ändert, ändert sich entsprechend auch der Radius r = v t der sich in der Zeit t neu ausbreitenden Kugelwellen. Das Huygensche Prinzip ist über 300 Jahre alt. Heute wissen wir, dass die Atome der Materie die Quellen darstellen. Im Fall von Licht beispielsweise absorbieren die Photonen, schwingen eine gewisse Zeit als harmonische Oszillatoren und emittieren wieder Licht als Kugelwelle. Die Phasenbeziehung der einzelnen Punktquellen bewirkt, dass sich die Welle weiterhin in der ursprünglichen Richtung bewegt.

3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS v v Q v v Abbildung 6.1: 3: Huygenssches Prinzip bei bei einer Kugelwelle (Quelle Q). Q). Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum sind die Quellen abwechselnd die elektrischen und magnetischen Felder der Welle. Es seien Q 1,...,Q n in einer Reihe angeordnete Quellen kohärenter Kugelwellen gleicher Amplitude a und im Abstand δ voneinander (siehe Abb. 4). Die Phasendifferenz ϕ zweier benachbarter Quellen in Richtung α ist gleich ϕ = π λ s = kδ sin α für δ r (3) Ferner sei auch d (N 1)δ r, (4) wobei r der Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt der Anordnung ist, an dem die Interferenz aller von den N Quellen ausgehenden Kugelwellen berechnet werden soll (siehe Abb. 5). Die Überlagerung dieser Wellen im Punkt P ergibt die Amplitude: ξ(α) = N n=1 a r ei(krn ωt) (5) Ohne Verlust der Allgemeinheit wählen wir N ungerade, also N = M + 1. Damit gilt r n = r + (M + 1 n) s (6) kr n = kr + (M + 1) ϕ n ϕ (7) { ξ(α) = a M+1 r ei(m+1) ϕ n=1 e in ϕ } e i(kr ωt) (8) 3

4 Ebene Welle y s = δ sin α Q 5 Q 4 Wellenfront Q 3 Q δ Q 1 α s α x Abbildung Abbildung 4: Überlagerung 6.1: Überlagerung der von Nder Quellen von Nauslaufenden Quellen auslaufenden Kugelwellen Kugelwellen in Richtung des in Winkels α. Richtung des Winkels α. Die Summe der Exponentialfunktionen können wir umformen, da sie eine endliche geometrische Reihe in x = e i ϕ darstellt. Aus der Identität folgt nämlich M+1 n=1 e in ϕ = e i ϕ(m+) e i ϕ e i ϕ 1 Damit ergibt sich für die Amplitude: x + x x k = xk+1 x x 1 (9) (10) = e i ϕ/ e i ϕ(m+1) e i ϕ(m+1) e i ϕm e i ϕ/ e i ϕ/ (11) = e i ϕ(m+1) e in ϕ/ e in ϕ/ e i ϕ/ e i ϕ/ = e i ϕ(m+1) sin N ϕ/ sin ϕ/ (1) ξ(α) = a r sin N ϕ/ sin ϕ/ ei(kr ωt) (13) 4

5 y Q M+1 r M+1 P Q M 1 r Q M α r 1 Q 3 δ Q 1 x Abbildung 6.1: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. Abbildung 5: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. und für die Intensität I = a r sin N ϕ/ sin ϕ/ (14) Abb. 6 zeigt verschiedene Intensitätsverteilungen. Bei Abb. 6 a) und b) ist die gesamte Breite d gleich gross, aber die Zahl der Quellen unterscheidet sich um einen Faktor 10. Man beachte den unterschiedlichen Winkelmassstab! Bei Abb. 6 b) und c) ist dagegen die Zahl N der Quellen gleich gross, dafür ist der Abstand δ und damit die gesamte Breite d bei c) verdoppelt. Wir halten fest: a) Bei α = 0 liegt ein Maximum der Intensität, welche für grosse α stark abfällt. Die Breite des Maximums ist proportional zu 1/N. b) Für δ > λ gibt es mehrere Maxima, und zwar für die Winkel sin α n = n λ δ, n = 0, 1,,..., p < δ λ (15) Entscheidend ist also das Verhältnis δ/λ! 5

6 c) Man beachte: Es gilt stets: r d. Deshalb spielt der r 1 -Term der Kugelwelle keine Rolle, da er für alle Punktquellen gleich gross ist. Wenn man nun bei konstantem Abstand r die Breite d vergrössert, tragen zunehmend mehr Quellen zur Amplitude am, allerdings mit kleinerer Amplitude wegen des r 1 -Terms der Kugelwelle. Für d verschwindet die Interferenzerscheinung. 3. Beugung Was geschieht nun, wenn man die Zahl der Quellen gegen unendlich gehen lässt, aber gleichzeitig den Abstand δ zwischen ihnen derart verkleinert, dass die Breite d konstant bleibt? Es sei also N und δ 0 mit N δ = d = konst. (16) und (Na) := A = konst. a 0 (17) Wir untersuchen dazu das Ergebnis Gl. (14) und vernachlässigen dabei den Faktor 1/r : lim N δ 0 I = lim N δ 0 lim N δ 0 =d a sin 1 k {}}{ Nδ sin α sin 1 k d N sin α (18) a sin 1 kd sin α 1 k 4N d sin α (19) = (Na) sin 1 ϕ ( 1 ϕ) = A sin 1 ϕ ( 1 ϕ) (0) wobei wir dieses Mal ϕ nicht mehr auf den Abstand δ, der ja gegen null geht, sondern auf die Spaltbreite d beziehen: Wir halten das wichtige Ergebnis gesondert fest: ϕ := kd sin α = π d sin α (1) λ I = A sin 1 ϕ ( 1 ϕ) Beugung am Spalt () Wiederum sehen wir, dass die Beugungsfunktion vom Verhältnis d/λ abhängt! Wir können drei verschiedene Fälle unterscheiden (siehe Abb. 7): a) d < λ: Diese Bedingung ergibt ein breites Beugungsmaximum um den Winkel α = 0 herum. b) d < λ: Man erhält ein starkes Maximum bei α = 0, aber auch weiter Maxima bei grösseren Winkeln. Die Welle wird an der Blende gebeugt! Das ist auch der Grund, weshalb man um die Ecke hören, aber nicht sehen kann! Wasserwellen haben eine typische Wellenlänge in der Grössenordnung von λ = 1 m (Denken Sie an die Grösse von Musikinstrumenten!); die Wellenlänge von Licht ist dagegen λ 500 nm. 6

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V c) I (α) N = 10 δ = 5λ α/mrad I (α) N = 10 b) δ = 5λ a) I (α) α/mrad N = 100 δ = λ/4 α/mrad Abbildung Abbildung 6: Intensität 6.1: Intensität im PunkteimP Punkte als Funktion P alsdes Funktion Winkelsdes α. Eine Winkels ebeneα. Welle Einefällt ebene ein, und N kohärente Welle fällt Quellen ein, imund gleichmässigen N kohärenteabstand Quellenδ im voneinander gleichmässigen emittieren Abstand Kugelwellen, δ voneienander Abstand emittieren r interferieren. Kugelwellen, welche in grossem Abstand r welche in grossem interferieren. c) d λ: Diese Bedingung ergibt ein scharfes Maximum bei α = 0, was einem geometrischen Schattenwurf entspricht. Die in andere Richtungen laufenden Wellen löschen sich gegenseitig vollständig aus. 7

8 d λ = 1 4 I (α) α/mrad Abbildung 6.1: Beugung am Spalt. Abbildung 7: Beugung am Spalt. Sowohl Reflexion als auch Brechung von Wellen können mit dem Huygensschen Prinzip erklärt werden. 3.3 Reflexion Das Prinzip der Reflexion ist in Abb. 8 dargestellt. Wenn eine Wellenfront den Punkt A erreicht, geht von dort eine Kugelwelle aus. Wenn dieselbe Wellenfront den Punkt B erreicht, hat sich die 1. Elementarwelle bereits bis zum Punkt C ausgebreitet. Da sich dabei weder Wellenlänge noch - geschwindigkeit ändern, folgt aus Symmetriegründen das Reflexionsgesetz: Bei der Reflexion einer ebenen Welle an einer ebenen Grenzfläche ist der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel. 3.4 Brechung In entsprechender Weise kann man die Brechung von Wellen erklären (siehe Abb. 9). Im Unterschied zur Reflexion ändert sich im allgemeinen die Wellengeschwindigkeit v = λν beim Eindringen der Welle in ein anderes Medium. Da die Frequenz sich nicht ändert, ändert sich die Wellenlänge entsprechend. Bei einer Verlangsamung der Welle im neuen Medium dreht sich der Wellenzahlvektor zur Flächennormalen hin. Das Snelliussche Brechungsgesetz lautet damit sin α 1 sin α = v 1 v (3) bzw. sin α 1 sin α = λ 1 λ (4) 8

9 y λ Physik II, Prof. W. Fetscher, FS α α λ C A B Abbildung 6.1: Huygenssches Prinzip und Reflexionsgesetz. Abbildung 8: Huygenssches Prinzip und Reflexionsgesetz. y sin α 1 sin α = λ 1 λ λ1 α 1 A x α D C 1 B λ Abbildung 6.1: Huygenssches Prinzip und Brechungsgesetz. Abbildung 9: Huygenssches Prinzip und Brechungsgesetz. 9

10 r 1 Φ 1 y sin α 1 sin α = λ 1 λ s 1 α 1 r x α 1 s r Φ 3.5 Fermatsches Prinzip Abbildung 6.1: Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz. Abbildung 10: Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz. Die Reflexion und die Brechung kann man auf ein allgemeines Prinzip zurückführen, das sogenannte Fermatsche Prinzip. Demnach läuft eine Welle bei Reflexion und Brechung stets den Weg, bei der die Laufzeit einer Phasenfläche Φ zwischen zwei Punkten minimal wird (siehe Abb. 10). Die Zeit, welche eine Phasenfläche Φ 1 mit Mittelpunkt r 1 benötigt, um über den Punkt r = (0, y) auf der Trennfläche zum Mittelpunkt r einer Phasenfläche Φ zu gelangen, muss minimal sein. Für unser Beispiel bedeutet das: t = s 1 + s = 1 x 1 v 1 v v + (y y 1) + 1 x 1 v + (y y ) (5) Die Minimalbedingung bedeutet: Mit folgt wieder das Brechungsgesetz d t dy = 1 y y 1 v 1 x 1 + (y y 1 ) + 1 y y := 0 (6) v x + (y y ) sin α 1 = y 1 y s 1 und sin α = y y s (7) sin α 1 sin α = v 1 v (8) 10

11 y n 1 = 3 n = 1 α max 1 x Abbildung Abbildung 11: Brechung 6.1: Brechung und Totalreflexion und Totalreflexion beim Übergang beim Übergang vom optisch vom dichteren optischzum dichterenmedium. zum optisch Blaue Fläche: dünneren DasMedium. Licht trittblaue in dasfläche: optischdas dünnere LichtMedium tritt inein. dasgrüne Fläche: optisch Das Licht dünnere wird totalreflektiert! Medium ein. Grüne Fläche: Das Licht wird optisch dünneren totalreflektiert! 3.6 Wasserwellen Eine Reihe verschiedener Wellenphänomene lässt sich besonders gut bei Wasserwellen beobachten. Wir behandeln dieses Kapitel erst jetzt, weil diese Wellen viel komplizierter sind als alle andern, die wir bis jetzt kennen gelernt haben, und wir verzichten fast vollständig auf Ableitungen. Wir beginnen mit der Besprechung der sogenannten Tiefseewellen. Bei diesen ist die Wassertiefe h sehr gross verglichen mit der Wellenlänge λ, h λ. Die Beobachtung zeigt, dass ein einzelner, ursprünglich ruhender Punkt r 0 auf der Oberfläche eine annähernd kreisförmige Bewegung r(t) mit Radius a durchführt (siehe Abb. 1). Für die Koordinaten des Punktes r(t) gilt somit näherungsweise: r(t) = r 0 + a ( cos(k x0 ω t) sin(k x 0 ω t) ) = ( x0 + a cos(k x 0 ω t) z 0 + a sin(k x 0 ω t) Die Bahngeschwindigkeit v 0 der einzelnen Wasserteilchen beträgt demnach: ) (9) v 0 = ω a (30) Diese ist zu unterscheiden von der Phasengeschwindigkeit v p, die (wie immer) der folgenden Gleichung genügt: v p = ω (31) k Auf dem Wellenbuckel hat v 0 die gleiche Richtung wie v p, im Wellental ist v 0 antiparallel zu v p. Dazwischen ist der Winkel zwischen v p und v 0 beliebig. Wasserwellen sind somit eine Superposition von Transversal- und Longitudinalwellen. 11

12 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS z λ/4 x Abbildung 1: 6.1: Nach Nach rechts rechts wandernde Wasserwelle Wasserwelle zu denzuzeiten Zeiten t = 0 und t = t = 0 T/4. und t = T/4. Die Form der Wasseroberfläche erhalten wir, indem wir in Gleichung 9 den Parameter x 0 eliminieren. Je nach dem Verhältnis von Wellenhöhe H zu Wellenlänge λ H λ = a λ (3) sieht das Wellenbild ganz verschieden aus. Nur für (H/λ) 1 finden wir den gewohnten sinusförmigen Wellenzug (siehe Abb. 13). Bei grösserem H/λ werden die Wellenberge schmaler und die Wellentäler breiter. Im Grenzfall (H/λ) = 1/π 0,3 erhalten wir eine Zykloide (Abb. 13): Mit zunehmender Windstärke und länger andauerndem Wind, nehmen sowohl λ wie auch H zu. Bei eigentlichen Tiefseewellen bleibt das Verhältnis von (H/λ) aber meist im Bereich 1/10 bis 1/13. Die Phasengeschwindigkeit 1 der Tiefseewellen beträgt: v p = ω g λ g k = π = k (33) Daraus finden wir auch leicht die Gruppengeschwindigkeit: v g = dω dk = d dk (g k)1/ = 1 g k = 1 v p (34) Wir haben also in diesem Fall eine ausgeprägte Dispersion, die Gruppengeschwindigkeit ist nur halb so gross wie die Phasengeschwindigkeit. 1 Wir können dieses Resultat (bis auf einen konstanten Faktor) aus einer Dimensionsanalyse ableiten. Der gleiche Trick funktioniert auch bei Wellen in seichten Wasser und für Kapillarwellen! 1

13 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS a a a a z z x z z λ Abbildung 6.1: Wasserwellen. Abbildung 13: Wasserwellen unterschiedlicher Amplitude. 13

14 1 10 v/(m s 1 ) v p ( ) v p (5 m) v g (5 m) v g ( ) 0 λ/m Abbildung 14: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit von Wasserwellen als Funktion von λ bei σ = 0 und h bzw. h = 5 m. Ganz anders sind die Verhältnisse bei Wellen in seichtem Wasser (Wassertiefe h klein gegenüber der Wellenlänge, (H/λ) 1): v g = v p = g h (35) Im Übergangsgebiet gilt: ( ) g λ π h v p = π tanh λ (h 0) g h (36) In Abb. 14 sind v g und v p für verschiedene Wassertiefen (h = 5 m und h ) aufgezeichnet. Läuft eine Welle von tieferem Wasser in weniger tiefes, so bleibt natürlich die Periode T oder die Frequenz ν der Welle gleich. Da aber v p = ω k = ν λ (37) kleiner wird, wird auch λ kleiner. Das hat zur Folge, dass H/λ zunimmt und wir die typischen brechenden Brandungswellen erhalten. Für ganz kleine Wellenlängen ist auch dieser Ausdruck (Gleichung 36) nicht korrekt. Wir müssen noch die Oberflächenspannung σ mitberücksichtigen. Diese beträgt bei einer Wasser/Luft- Oberfläche etwa σ = 0,073 N/m. Für die Phasengeschwindigkeit in diesem Bereich gilt v p = g λ π + π σ λ ρ, (38) 14

15 0,5 v/(m s 1 ) 0,4 v p 0,3 0, v g 0,1 λ/mm 0, Abbildung 15: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit als Funktion von λ bei σ = 0,07 N/m und h. wobei ρ die Dichte des Wassers ist und wir diesmal h als gross angenommen haben. Es zeigt sich (vgl. Abb. 15), dass u p ein Minimum bei λ 17 mm hat. Im Minimum sind v g = v p λ dv p dλ = v p (39) Gruppen- und Phasengeschwindigkeit gleich gross: v p = v g 0, 3 m/s. Diese Dispersionserscheinungen lassen sich besonders gut bei Schiffswellen beobachten. Bei einem Schiff mit der Wasserlinienlänge L, das sein eigenes Wellensystem nicht verlassen kann, erhalten wir für die maximale Schiffsgeschwindigkeit v max : v max v p (λ = L) = g L π 1,5 m1/ s L (40) Man spricht hier von einem sog. Verdränger (Jachten, Dampfschiffe,...). Die Überlegungen gelten aber nicht für Turngeräte (Gleitjollen, Surfbretter,...). 15