Gewöhnliche Di erentialgleichungen

Transkript

1 Gewöhnliche Di erentialgleichungen

2 Gewöhnliche Di erentialgleichung Gewöhnliche Di erentialgleichung Eine gewöhnliche Di erentialgleichung n-ter Ordnung für eine Funktion y = y(x) ist eine Gleichung der Form F(x, y, y 0, y 00,...,y (n) )= (implizite Form). Lässt sich diese Gleichung nach der höchsten Ableitungen von y au ösen bzw. liegt sie so aufgelöst vor, so spricht man von der expliziten Form: y (n) = f(x, y, y 0, y 00,...,y (n ) ) (explizite Form). Als Lösung oder Integral einer Di erentialgleichung bezeichnet man jede Funktion, die die Di erentialgleichung erfüllt.

3 Was ist eine gewöhnliche Di erentialgleichung. Ordnung? y 0 (x) =f(x, y) bedeutet, dass in jedem Punkt (x, y) 2 R der Ansteig der Lösungskurve angegeben ist.

4 Richtungsfeld Das Richtingsfeld gibt in jedem Punkt (x, y) den Anstieg tan = y 0 = f(x, y) Abbildung : Richtungsfeld an. Es wird ein kleiner Anstieg Richtungselement gezeichnet.

5 Isoklinen sind Kurven gleichen Anstiegs, keine Lösungkurven! y 0 = f(x, y) = x y Abbildung : Isoklinen Kurven mit konstanten Anstieg bezeichnet man als Isoklinen, d.h. f(x, y) = x y = C () y = cx. Die Isoklinen sind Geraden durch den Ursprung (grün). Blau ist das Richtungsfeld und rot ist eine Lösungskurve gekennzeichnet.

6 Richtungsfeld, Isoklinen und Lösungen Abbildung : Isoklinen gleicher Anstieg Abbildung : Lösungskurven mit Anfangspunkt

7 Euler-Polygonzug-Verfahren Startpunkt (x, y ) 2 R, d.h. y(x )=y. Schrittweite h >, x n+ = x n + h = x + nh, Lösungskurve wird durch Polygonzug angennähert. zugehörige y-werte auf dem Di erenzenquotienten y n+ y n x n+ x n y 0 (x n ) = f(x n, y n ) bzw. y n+ = y n + hf(x n, y n ).

8 Warum ein Auto bei Glätte schleudert Modellbildung Vereinfachung: Das Auto fährt entlang der x-achse in der x-y-ebene, es bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = dx dt > fort, t ist dabei die Zeit. Physikalisches Grundgesetz: Kraft = Masse Beschleunigung ~ F = m ~a Dabei ist die Beschleunigung ~a = T d x dt, d y dt.

9 Kräfte, die auf das Fahrzeug wirken Motorkraft ~ J in Richtung der Fortbewegung, also der x-achse, Seitenkraft ~ K in Richtung der y-achse, die durch den Seitenwind, Gefälle, schiefe Fahrbahn oder ähnliches verursacht wird, Reibungskraft ~ R in Richtung der Fortbewegung, also in Richtung T dx ~v = dt, dy dt und proportional zur Gewichtskraft ist, also der Kraft senkrecht zur x-y-ebene. Weiterhin ist µ die dimensionslose Reibungszahl. Den Geschwindigkeitsvektor normieren wir zu, somit ist! dx ~ G µ dt R = r dy dx dt + dy dt dt

10 Zusammenfassung Wir fassen nun alles zusammen und beachten dabei, dass die Reibungskraft der Bewegung entgegengerichtet ist:!! 0 1 dx d x J G µ dt dt r K = A. dy d y dx dt + dy dt dt dt Anfangsbedingung. Wir beginnen mit der Untersuchung zur Zeit t =. Das ist der Zeitpunkt, zu dem das Fahrzeug seitlich zu rutschen beginnt, d.h. y( )=. Zu diesem Zeitpunkt soll das seitliche Rutschen beginnen, eine Änderung der Seitenbewegung hat also auch noch nicht begonnen, d.h. dy dt ( )=.

11 Anfangswertproblem Zumindest zu Beginn des Rutschvorgangs, also für kleine Zeiten t sei die seitliche Rutschbewegung sehr viel kleiner als die Geradenbewegung: dy dt < dx dt ) dy dt << dx dt Damit können wir den Nenner vereinfachen, er ist gleich v := dx dt. Da wir nur das seitliche Wegrutschen untersuchen wollen, müssen wir nur die. Komponente betrachten:. K G µ v dy dt = m d y dt () d y dt + G µ dy m v dt = K m mit y( )= und dy dt ( )=.

12 Reduktion auf Di erentialgleichung. Ordnung Di erentialgleichung d y dt Anfangsbedingung y( )=, + a dy dt = k dy dt ( )=. mit a = G µ mv und k = K m. Da die Funktion y selbst nicht in der Di erentialgleichung auftaucht, können wir die Gleichung auch als Gleichung. Ordnung aufschreiben. Es sei u(t) = dy dt, dann lautet die entsprechende Di erentialgl.. Ordnung für u du dt + au = k.

13 Di erentialgleichung du dt + au = k. Ordnung, linear, inhomogen, mit konstanten Koe zienten.

14 Lösung des Anfangswertproblems Lösung des AWP du dt + au = k mit u( )= ist u(t) =u spez (t)+u hom (t) = k a ( e at ). Um y(t) zu erhalten integrieren wir u(t) nach t : Z y(t) = u(t) dt = k a e at + k a t + c, die Integrationskonstante c wird nun mit der Anfangsbedingung y( )= bestimmt, es gilt = k a + c () c = k a.

15 Interpretation der Lösung Folglich ist y(t) = k a = k a = k a e at + at at + (at) a t a t! (at)! ±... = K m t G µ K m v t ±... ±...+ at = kt kat! ±... Für kleine Zeiten t wirkt noch keine Reibung, deshalb rutscht das Auto weg.

16 Wiederholung Differentialgleichung. Ordnung r y y y0 = x x y0 (x) = f (x, y) definiert für (x, y) 2 Df R (Definitionsbereich) Interpretation: tan( ) = y0 (x) = f (x, y) Abbildung : Richtungsfeld, Lösungen, Isoklinen Richtungsfeld, Isoklinen f (x, y) = const, Lösungen, Lösungskurven. Näherungsweise Lösung: Euler-Polygonzug-Verfahren

17 Spezielle Di erentialgleichungen. Ordnung Trennbare Di erentiagleichungen Exakte Di erentialgleichungen Ähnlichkeitsdi erentialgleichungen Lineare Di erentialgleichungen

18 Trennbare Di erentialgleichungen. Art Trennbar bedeutet, dass x und y getrennt werden. In der additiven Form bedeutet es N(x)+M(y)y 0 =. In der multiplikativen Form bedeutet es y 0 = g(x)h(y). Partikuläre Lösungen sind alle Nullstellen y k von h, d.h. h(y k )= und y(x) =y k ist eine partikuläre Lösung. Danach trennen und integrieren Z y 0 (x) h(y(x)) dx = Z dy h(y) = Z g(x)dx. Ergibt die allgemeine implizite Lösung der Di erentialgleichung.

19 Beispiel: y 0 = xy Partikuläre Lösung y(x) = (Rot) Allgemeine Lösung y(x) = x + C, C 2 R. Abbildung : C =,,,,, partikuläre Lösung Vollständige Lösung: partikuläre Lösung und allgemeine Lösung.

20 Kettenlinie Herleitung der Di erentialgleichung Beteiligte Kräfte: F v = G(x) Gewichtskraft, F h = k = const (Ketteneigenschaft). y 0 (x) =tan( ) = F h F v () F h y 0 (x) =F v. bzw. G(x) =ky 0 (x). Abbildung : Kettenlinie y 00 (x) =a p +(y 0 (x)) mit a = gr k Längenstückchen s = p ( x) +( y) führt auf ds dx = p +(y 0 (x)). Mit der Längendichte r = m l = const ist dg = g dm = gr ds und dg ds dx = gr dx = ky00. Damit ergibt sich bzw. u 0 = a p + u.

21 Kettenlinie Parabeln Kettenlinie Spezialfall a = x y(x) =a cosh, a >. a ist keine Parabel, da die Taylorreihe ergibt cosh(x) = + x! + x! +...= 1 X n= x n ( n)!. x a cosh = a + a x! a + x 1! a +...= a X n= x a n ( n)!.

22 Beispiel Geradlinige Bewegung Ein Schi (Masse m) hat beim Abschalten des Motors die Geschwindigkeit v. Die Widerstandskraft beim Gleiten im Wasser sei durch F w = k p v gegeben. Gesucht ist der Geschwindigkeitsverlauf bei geradliniger Fahrt. m v + k p v =, v( )=v. Gross, Hauger, Schröder, Wall, Technische Mechanik, Springer-Vieweg, (. Au age)

23 Lösung Di erentialgleichung. Ordnung: v + k mp v =. ( v steht für die erste Ableitung nach der Zeit.) partikuläre Lösung: v(t) =. v p v = Trennen: Integrieren: R Allgemeine Lösung: v(t) = k m v pv dt = R dv p v = p v = R k k m t + C. m dt = k m t + C. Die Anfangsbedingung v( )= ergibt als Lösung v(t) = (entspricht der partikulären Lösung), dagegen ergibt v( )=v > k die Lösung v(t) = m t + p v.

24 De nition: Exakte Di erentialgleichung Es sei G ein Gebiet (o ene und zusammenhängende Menge) im R und P(x, y), Q(x, y) :G! R stetige Funktionen. Die Di erentialgleichung P(x, y)+q(x, y)y 0 = bzw. P(x, y)dx + Q(x, y)dy =,! heißt exakt, falls das zugehörige Vektorfeld ~v := P(x, y) Q(x, y) eine Stammfunktion (Potential) besitzt, d.h. es gibt eine C -Funktion F(x, y) (Stammfunktion) mit P(x, y) =F x (x, y) und Q(x, y) =F y (x, y).

25 Folgerung Falls die Stammfunktion F(x, y) zweimal stetig di erenzierbar ist, folgt aus F x = P und F y = Q, dass die gemischten. partiellen Ableitungen von F gleich sein müssen, d.h. F xy (x, y) =P y (x, y) =Q x (x, y) =F yx (x, y).

26 Exakte Di erentialgleichung Die Integrabilitätsbedingung P y (x, y) =Q x (x, y) ist nur notwendig, sie ist auch hinreichend, wenn das Gebiet einfach zusammenhängend ist. Damit erhält man den Exaktheitstest Sei G R ein einfach zusammenhängendes Gebiet und P, Q : G! R einmal stetig di erenzierbar. Dann ist die Di erentialgleichung P(x, y)+q(x, y)y 0 = genau dann exakt auf G, wenn die Integrabilitätsbedingung für alle (x, y) 2 G erfüllt

27 Exakte Di erentialgleichung Ansatzmethode Vorgehen. Exaktheitstest: (a) Man überprüfe ob das Gebiet einfach zusammenhängend ist, ist dem so, dann geht es weiter mit (b) Man überprüfe ob die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist: P y (x, y) =Q x (x, y) Falls die.a) und.b) erfüllt sind, ist die Di erentialgleichung exakt und man kann sie mit der Ansatzmethode lösen:

28 Exakte Di erentialgleichung Ansatzmethode Berechnung. Ansatzmethode: Über den Ansatz F x = P, F y = Q bestimmt man eine Stammfunktion wie folgt: (a) P unbestimmt nach x integrieren: Z F(x, y) = P(x, y) dx + c(y). (b) F partiell nach y di erenzieren und mit Q gleichsetzen: Z F y (x, y) = P(x, y) dx + c 0 (y) =Q(x, y). (c) c(y) durch Integration nach y bestimmen. Die allgemeine implizite Lösung ist F(x, y) =const. y

29 Exakte Di erentialgleichung: xy +( y + x )y 0 =. Allgemeine, implizite Lösung y + x y = C = const. Allgemeine, explizite Lösung y = x ± r x + C. Abbildung : Lösungskurven

30 Beispiel x + y +( xy +cos(y))y 0 =. G = R ist einfach zusammenhängend P(x, y) = x + y, Q(x, y) = xy + cos(y) und P y = y = Q x, d.h. die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Die Di erentialgleichung ist exakt. F x = P integrieren F(x, y) = R x + y dx = x + y x + C(y). F y = Q di erenzieren F y (x, y) = xy + C 0 (y) =Q(x, y) = xy + cos(y) () C 0 (y) = cos(y). In dieser Di erentialgleichung für y darf x nicht explizit vorkommen. C(y) =sin(y) (auf die Integrationskonstante kann man hier verzichten).

31 Beispiel Fortsetzung Die allgemeine implizite Lösung ist F(x, y) = x + y x +sin(y) =C = const. Probe: Anwendung der Kettenregel und Di erentiation von F(x, y) nach x: d dx F(x, y(x)) = d x + y x +sin(y) dx = x + y + xyy 0 + cos(y)y 0 = x + y +( xy + cos(y))y 0 =. Wir erhalten die Ausgangsdi erentialgleichung und damit ist gezeigt, dass F(x, y) =const Lösung der Di erentialgleichung ist.

32 Anfangswertproblem Wie üblich erhält man als Lösung der Di erentialgleichung eine Kurvenschar. Mit Hilfe einer Anfangsbedingung ergibt sich die Lösungskurve mit y(x )=y. Anfangswert: y( )=. Das müssen wir in die implizite Lösung einsetzen: y = und x = : F(, )= + +sin( )= = C. Die implizite Lösung des Anfangswertproblems ist deshalb F(x, y) = x + y x +sin(y) =.

33 Beispiel Lösungskurven Abbildung : Lösungskurven Dargestellt sind die Lösungskurven für C = n mit n =,,...,,. Die rote Kurve entspricht C = und auf ihr liegt die Anfangsbedingung A =(, ). Durch die Anfangsbedingung ist genau eine Lösungskurve bestimmt. Der fehlende Stückchen in einer Kurve ist ein numerisches Problem.

34 Exakte Di erentialgleichung: y x +y + x x +y y0 =, x >. Allgemeine, implizite Lösung x F(x, y) = tan = C = const. y Anfangswertproblem y( ) =. Lösung: y(x) =x Abbildung : Lösungskurven

35 Beispiel: Anwendung des integrierenden Faktors (xy + xye x ) dx +( x y + xe x ) dy =, (x, y) 2 R. P(x, y) =xy + xye x, Q(x, y) = x y + xe x, ist nicht exakt, weil P y (x, y) 6= Q x (x, y). Ausweg: Integrierender Faktor m(x, y) : m(x, y)(xy + xye x ) dx + m(x, y)( x y + xe x ) dy = m(x, y) =. Allgemein schwierig zu bestimmen, einfacher ist der Ansatz m(x) bzw. m(y). Ergebnis: Wählen m(x) = x, erhalten die exakte Di erentialgleichung x (xy + xyex ) dx + x ( x y + xe x ) dy = () (y + ye x ) dx +( xy + e x ) dy =.

36 Ähnlichkeitsdi erentialgleichung y 0 = f y, x 6=, fstetig. x Substitution v(x) = y(x) x ergibt Vorgehen: v 0 (x) = x (f(v) v) (trennbare Di erentialgleichung). Partikuläre Lösungen v(x) =v k mit den Nullstellen v k ergibt die Lösungen y(x) =v k x.. Bestimme die allgemeine Lösung von v 0 (x) = x (f(v) v) x >,. y(x) =xv( x ) ist die allgemeine Lösung von y 0 = f und x <. y x für x >

37 Lineare Di erentialgleichung. Ordnung Lineare Di erentialgleichungen. Ordnung sind von der Form y 0 + a(x)y = f(x) mit auf einem Intervall I erklärten stetigen Funktionen a und f. Man nennt die rechte Seite f auch Störfunktion bzw. Störglied. Man nennt die Di erentialgleichung homogen, wenn f = ist, andernfalls inhomogen. Bsp.: y 0 + xy =sin(x) inhomogene, lineare Dgl.,. Ordnung, yy 0 = nichtlineare Di erentialgleichung,. Ordnung, y 0 sin(x)y = homogene, lineare Dgl.,. Ordnung.

38 Allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung Betrachten die zugeordnete homogene Di erentialgleichung: y 0 + a(x)y =. Trennbare Di erentialgleichung mit einer partikulären Lösung y(x) = und der allgemeinen Lösung Z Z dy y =ln y = a(x)dx + C () y(x) = e C e R a(x)dx () y(x) =Ce R a(x)dx, C 2 R. (Mit C = ist auch die partikuläre Lösung erfasst.)

39 Wie ndet man eine spezielle Lösung? Variation der Konstanten Ausgangspunkt ist die allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung: y hom (x) =Cy h (x), die die Di erentialgleichung y 0 + a(x)y = erfüllt. Ansatz: y inh (x) =C(x)y h (x), d.h. die Konstante C wird als Funktion von x betrachtet ( die Konstante variiert ). Einsetzen in die Di erentialgleichung ergibt C 0 (x) = f(x) Z () C(x) = y h (x) f(x) y h (x) dx.

40 Beispiel y 0 tan(x) y =, < x <. y hom (x) = C cos(x), C 2 R. Variation der Konstanten: Ansatz y(x) = C(x) cos(x) C 0 (x) = cos(x), C(x) =sin(x) Lösung: y inh (x) = sin(x) cos(x) =tan(x). y(x) = C cos(x) +tan(x), C 2 R.

41 Beispiel y 0 y x = x cos(x), x >. I. Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.: y 0 y x =. Trennbare Dgl.: partikuläre Lösung y =. Z Z dy =ln y =ln x + C = y x dx () ln y x = C. Die allgemeine Lösung ist y hom (x) =Cx, C 2 R. II. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl. Variation der Konstanten Ansatz: y inh (x) =C(x)x. Einsetzen in die inhomogene Dgl. ergibt (C(x)x) 0 C(x)x x = C 0 (x) x + C(x) C(x) =xc 0 (x) =x cos(x) =f(x).

42 Folglich ist eine Lösung C(x) =sin(x) und y inh (x) =C(x) x = x sin(x). Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Di erentialgleichung. Ordnung y 0 = x cos(x), x >, ist y(x) =y hom (x)+y inh (x) =Cx + x sin(x) =x(c +sin(x)). y x

43 Lösung der linearen Dgl.. Ordnung y 0 + a(x)y = f(x) Lösungsstruktur y allg (x) = y hom (x) + y inh (x) allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgl. = allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgl. + eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl. y hom (x) ist die allgemeine Lösung von y 0 + a(x)y = eine spezielle Lösung von y 0 + a(x)y = f(x). und y inh (x) ist

44 Beispiel Es gibt unendlich viele Lösungen der Dgl. Eine spezielle Lösung kann mit Hilfe einer Anfangsbedingung gefunden werden. Abbildung : Funktionen x(c +sin(x)) In einer Umgebung von x = ist keine Lösung de niert, da alle Lösungskurven durch den Ursprung verlaufen.

45 Lineare Di erentialgleichung. Ordnung y 0 + a(x)y = f(x). Eigenschaften linearer Di erentialgleichungen: Lösungsstruktur Superpositionsprinzip: Jede Linearkombination y (x)+ y (x) von Lösungen y (x), y (x) der homogenen linearen Di erentialgleichung ist wieder Lösung der homogenen linearen Di erentialgleichung.

46 Wiederholung: trennbare Di erentiagleichungen y 0 = g(x) h(y), mit stetigen Funktionen g, h.. Sämtliche Nullstellen y k von h bestimmen. y(x) =y k ist jeweils eine partikuläre Lösung.. Trennung der Veränderlichen dy = g(x) dx. h(y). Unbestimmte Integration: Z H(y) := dy, G(x) := h(y) Die allgemeine implizite Lösung lautet: Z g(x) dx. H(y) G(x) =c = const 2 R.

47 Wiederholung: exakte Di erentialgleichungen. Exaktheitstest: (a) Man überprüfe ob das Gebiet einfach zusammenhängend ist, ist dem so, dann geht es weiter mit (b) Man überprüfe ob die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist: P y (x, y) =Q x (x, y). Ansatzmethode: F x (x, y) =P(x, y), F y (x, y) =Q(x, y) (a) P unbestimmt nach x integrieren: F(x, y) = R P(x, y) dx + c(y). (b) F partiell nach y di erenzieren und mit Q gleichsetzen: Z F y (x, y) = P(x, y) dx + c 0 (y) =Q(x, y). (c) c(y) durch Integration nach y bestimmen. Die allgemeine implizite Lösung ist F(x, y) =const. y

48 Wiederholung: Ähnlichkeitsdi erentialgleichung y 0 = f y, x 6=, fstetig. x Substitution v(x) = y(x) x ergibt Vorgehen: v 0 (x) = x (f(v) v) (trennbare Di erentialgleichung). Partikuläre Lösungen v(x) =v k mit den Nullstellen v k ergibt die Lösungen y(x) =v k x.. Bestimme die allgemeine Lösung von v 0 (x) = x (f(v) v) x >,. y(x) =xv( x ) ist die allgemeine Lösung von y 0 = f und x <. y x für x >

49 Zusammenfassung: Lineare Di erentialgleichung. Ordnung Form: y 0 + a(x)y = f(x), a(x), f(x) stetig auf (a, b). (homogeninhomogen, konstanterveränderlicher Koe Eigenschaften als Folge der Linearität: Lösungsstruktur, Superpositionsprinzip. Lösung: zient). Bestimmen die allgemeine Lösung y hom (x) der (zugeordneten) homogenen Dgl. y 0 + a(x)y =. (trennbare Dgl.).. Bestimmen eine spezielle Lösung y inh (x) der inhomogenen Dgl durch Raten, Variation der Konstanten, bei konstantem Koe zienten: Ansatz vom Typ der rechten Seite.. Lösung: y(x) =y hom (x)+y inh (x).

50 Ansatz vom Typ der rechten Seite rechte Seite f(x) Ansatz y(x) =... p m (x) =a m x m a x + a Polynom vom Grad m P m (x) Polynom vom Grad m mit unbestimmten Koe zienten p m (x)e kx P m (x)e kx (gleiches k) p m (x)sin(kx) oder q m (x) cos(kx) P m (x)sin(kx)+q m (x) cos(kx) Immer Sinus und Kosinus ansetzen!

51 . Ordnung mit konstan- Beispiel: Lineare Di erentialgleichung tem Koe zienten y 0 + y =sin( p x)+x y hom (x) =Ce x, C 2 R. Gemäß Superpositionsprinzip genügt es für jede rechte Seite einzeln eine spezielle Lösung zu nden. Gemäß dem Ansatz y(x) =A sin p x + B cos p x vom Typ der rechten Seite erhalten wird für die rechte Seite sin( p x) die spezielle Lösung y hom, (x) = sin p p p x cos x und für x mit dem Ansatz y(x) =A x + A x + A die Lösung y inh, (x) = x x +. Die Lösung ist damit p p p y(x) =Ce x + sin x cos x + x x +.

52 Lineare Dgl.. Ordnung mit konstanten Koe zienten Homogene Di erentialgleichung: y 00 + ay 0 + by =. Lösung mittels -Ansatz y(x) =e x charakteristisches PolynomGleichung: + a + b =. Es gibt immer ein Fundamentalsystem: {y (x), y (x)} linear unabhängiger Lösungen. reelle Nullstellen 6= : y (x) =e x, y (x) =e x eine doppelte reelle Nullstelle = : y (x) =e x, y (x) =xe x. ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen = + i, = i, 6= y (x) =e x cos( x), y (x) =e x sin( x). Allgemeine Lösung der homogenen Dgl. konstanten Koe zienten:. Ordnung mit y(x) =c y (x)+c y (x), c, c 2 R.

53 Fundamentalsystem Jede lineare gewöhnliche Di erentialgleichung. Ordnung (mit konstanten oder auch veränderlichen Koe zienten) besitzt ein Fundamentalsystem linear unabhängige Lösungen der homogenen Di erentialgleichung. Linear unabhängig Zwei Funktionen y (x), y (x) sind auf (a, b) linear unabhängig, wenn die Gleichung y (x)+ y (x) = für alle x 2 (a, b), genau dann erfüllt ist, wenn = = gilt. Spezialfall n = : Zwei Funktionen y (x), y (x) sind linear abhängig, wenn es eine Konstante 2 R gibt mit y (x) = y (x).

54 Inhomogene Dgl.. Ordnung mit konstanten Koe. y 00 + ay 0 + by = f(x) Man bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl. mittels Raten, Ansatz vom Typ der rechten Seite (Resonanzfall beachten), Reduktion der Ordnung.

55 Ansatz vom Typ der rechten Seite rechte Seite f(x) Ansatz y(x) =... p m (x) =a m x m a x + a Polynom vom Grad m P m (x) Polynom vom Grad m mit unbestimmten Koe zienten p m (x)e kx P m (x)e kx (gleiches k) p m (x)sin(kx) oder q m (x) cos(kx) P m (x)sin(kx)+q m (x) cos(kx) Immer Sinus und Kosinus ansetzen!

56 Resonanzfall Ansatz y(x) =Q m (x)e wx Vielfachheit der Nullstelle w w ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, y(x) =xq m (x)e wx y(x) =x Q m (x)e wx w ist eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, w ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms,

57 Mathematisches Pendel Di erentialgleichung in der Bahn: m` ' = mg sin ' () '+ sin ' =. g` Für kleine Winkel ' gilt sin ' '. Lineare Di erentialgl.. Ordnung '+ ' = mit '( )=', '( )=v. g` Lösung: s '(t) = mit =arcsin ' + ` g v sin q ' ' + ` g v r! g ` t +!.

58 Homogene Di erentialgleichung. Ordnung y 00 + a(x)y 0 (x)+b(x)y(x) =, a(x), b(x) stetig. Es gibt immer linear unabhängige Lösungen Fundamentalsystem. Kennt man eine Lösung, dann kann eine weitere Durch Reduktion der Ordnung ( Variation der Konstenten) erhalten werden. Das Verfahren ist auch auf Gleichungen n-ter Ordnung (n ) anwendbar, es liefert dann eine gewöhnliche Di erentialgleichung (n )-ter Ordnung (Reduktion der Ordnung).

59 Reduktion der Ordnung Ansatz y(x) =C(x)y (x), wobei y (x) eine Lösung der homogenen Di erentialgleichung ist. Ableitungen bilden: y 0 (x) =C 0 (x)y (x)+c(x)y 0 (x), y 00 (x) =C 00 (x)y (x)+ C 0 (x)y 0 (x)+c(x)y 00. Einsetzen und berücksichtigen, dass y 00 + a(x)y 0 + b(x) (x) = C 00 (x)y (x)+c 0 (x)( y 0 (x)+a(x)y (x)) = f(x), ergibt eine lineare gewöhnliche Dgl.. Ordnung für u(x) =C 0 (x). Oft kann man aus dieser Dgl. sofort C(x) bestimmen. Homogene Di erntialgleichung: Umformen: u0 (x) = u(x) Lösung: u(x) = y (x) e y 0 (x) y (x) R a(x) dx a(x).. Nochmalige Integration ergibt C(x) = R u(x) dx und y(x) =C(x)y (x).

60 Kriterium für linear unabhängige Lösungen Wronski-Determinante Für zwei di erenzierbare Funktionen y (x) und y (x) heißt W(y, y )(x) mit! y y W(y, y )(x) =det y 0 y 0 = y (x)y 0 (x) y (x)y 0 (x) Wronski-Determinante von y und y an der Stelle x.

61 Kriterium für linear unabhängige Lösungen Wronski-D. W(y, y )(x) =det y y y 0 y 0! = y (x)y 0 (x) y (x)y 0 (x). Eigenschaften Es seien y, y Lösungen von y 00 + a(x)y 0 + b(x)y =, wobei a(x), b(x) stetig auf dem o enen Intervall (a, b) R sind, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:. y, y sind ein Fundamentalsystem von Lösungen,. y, y sind linear unabhängige Lösungen auf (a, b),. W(y, y )(x ) 6= für ein x 2 (a, b),. W(y, y )(x) 6= für alle x 2 (a, b).

62 Gewöhnliche Di erentialgleichung. Ordnung x y 00 + xy 0 y =, x >. Eine Lösung ist y (x) = x. Eine weitere Lösung erhält man mittels Reduktion der Ordnung y (x) =x. Die Lösungen y (x) = x und y (x) =x bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen. Die lineare Unabhängigkeit kann man z.b. mit der Wronski-Determinante nachweisen:! W(y, y )=det x x = x + x = p 6= x x x x x für x >. Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Di erentialgleichung ist y(x) = c x + c x, c, c 2 R.

63 Variation der Konstanten: Eine spezielle Lösung der inhomogenen Di erentialgleichung. Ordnung Ansatz ergibt sich aus der allgemeinen Lösung der homogenen Di erentialgleichung, wobei die Konstanten varieren : y(x) =C (x)y (x)+c (x)y (x). Man bestimmt die erste Ableitung y 0 (x) und die zweite Ableitung y 00 (x). Einsetzen in die Di erentialgleichung und berücksichtigen, dass y (x) und y (x) Lösungen der homogenen linearen Di erentialgleichung sind, und der Zusatzbedingung C 0 (x)y (x)+c 0 (x)y (x) = erhält man das lineare Gleichungssystem: C 0 (x)y (x)+c 0 (x)y (x) =, C 0 (x)y 0 (x)+c 0 (x)y 0 (x) =f(x).

64 bzw. y (x) y 0 (x)! y (x) y 0 (x)!! C 0 (x) C 0 = (x) f(x) Das lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, da! y y W(y, y )(x) =det y 0 y 0 = y (x)y 0 (x) y (x)y 0 (x) 6= ist und die Lösung des linearen Gleichungssystems kann mittels Cramerscher Regel bestimmt werden:! y C 0 (x) = f(x) y 0 (x) f(x)y (x) = W(y, y ) W(y, y )! C 0 (x) = y y 0 (x) f(x) W(y, y ) f(x)y (x) = W(y, y ). Durch Integration nach x ergeben sich C (x) und C (x)..

65 Beispiel: Allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung y 00 (x)+ y 0 (x)+ y(x) =e x. I. Die allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung ergibt sich aus der charakteristischen Gleichung: + + =( + )( + )= zu y hom (x) =C e x + C e x, C, C 2 R.

66 Beispiel: Eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl. II. Variation der Konstanten: Wronski-Determinante: e x e x e x e x = e x + e x = e x, e x f(x) e x = e x e x e x = e x e x =, e x e x f(x) = e x e x e x = e x e x = e x, C 0 (x) = e x = e x, C (x) = e x, C 0 (x) = ex e x = e x, C (x) = e x. (Integrationskonstanten müssen nicht berücksichtigt werden, da nur eine spezielle Lösung gesucht ist.)

67 Allgemeine Lösung von y 00 (x)+ y 0 (x)+ y(x) =e x. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Di erentialgleichung ist y inh (x) =C (x)y (x)+c (x)y (x) = e x e x e x e x = e x und die allgemeine Lösung der inhomogenen Di erentialgleichung: y(x) =C e x + C e x + e x.

68 Potenzreihenansatz y(x) = 1X a k x k, y 0 (x) = 1X ka k x k, y 00 (x) = 1X (k )ka k x k k= k= k= Einsetzen und Koe zienten bestimmen, Konvergenzradius? Hierdurch wird eine Lösung bestimmt. Eine weitere erhält man mit Reduktion der Ordnung.

69 Wiederholung: Di erentialgleichungen. Ordung Nicht lineare Di erentialgleichungen. Ordnung: trennbare Di erentialgleichungen (partikuläre Lösungen), exakte Di erentialgleichungen Exaktheitstest: einfach zusammenhängendes Gebiet, Integrabilitätsbedingung Substitutionsmethoden: Ähnlichkeitsdi erentialgleichung Begri e: implizite Lösung F(x, y) =const, explizite Lösung y(x) =..., partikuläre Lösung (Teillösung), allgemeine Lösung (enthält eine Konstante Parameter), vollständige Lösung (alle Lösungen), Cauchy-Problem Anfangswertproblem y(x )=y. Eine Di erentialgleichung ist nicht eindeutig lösbar, das Cauchy-Problem Anfangswertproblem ist eindeutig lösbar.

70 Wiederholung: Lineare Di erentialgleichung. Ordnung Lösungsstruktur, Superpositionsprinzip (i) Allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung trennbare Di erentialgleichung (ii) Eine spezielle Lösung der inhomogenen Di erentialgeichung mittels Variation der Konstanten (Ansatz vom Typ der rechten Seite, Raten) Die Di erentialgleichung ist nicht eindeutig lösbar. Das Cauchy-Problem Anfangswertproblem ist eindeutig lösbar.

71 Wiederholung: Lineare Di erentialgleichung. Ordnung... mit konstanten Koe zienten Allgemeine Lösung der homogenen Di erentialgleichung: -Ansatz charakteristisches Polynom, charakteristische Gleichung linear unabhängige Lösungen in Abhängigkeit von den Nullstellen 6= 2 R : y (x) =e x, y (x) =e x, 2 R einzige Nullstelle: y (x) =e x, y (x) =xe x, Paar konjugiert komplexer Zahlen = + i, = : y (x)e x cos( x), y (x) =e sin( x). Eine spezielle Lösung der inhomogenen Di erentialgleichung Ansatz von Typ der rechten Seite (Störgliedansatz) Variation der Konstanten

72 Wiederholung: Lineare Di erentialgleichung... mit veränderlichen Koe zienten Allgemeine Lösung der homogene Di erentialgleichung: Es gibt immer linear unabhängige Lösungen Fundamentalsystem y (x), y (x). Hat man eine Lösung y (x) bestimmt (Raten, Potenzreihenansatz), dann kann eine weitere durch Reduktion der Ordnung Variation der Konstanten y (x) =C(x)y (x) bestimmt werden. Test auf lineare Unabhängigkeit Wronski-Determinante W(y, y )(x) = y (x) y (x) y 0 (x) y 0 (x) = y (x)y0 (x) y (x)y 0 (x) 6=. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Di erentialgleichung Variation der Konstanten

73 Lineare homog. Dgl. n-ter Ordnung mit konst. Koe zienten y n + a n y n a y 0 + a y = -Ansatz, charakteristisches Polynom P( ): P( )= n + a n n +...a + a + a charakteristische Gleichung P( )= hat n komplexe Lösungen, in Abhängigkeit davon ob es sich um reelle oder komplexe Nullstellen handelt und wie groß die Vielfachheit der Nullstelle sind ergeben sich analoge Ansätze wie im Fall der Di erentialgleichung. Ordnung (siehe Zahlentafel).

74 Klassi kation von Di erentialgleichungen Ordnung, linearnicht linear, homogeninhomogen, konstanteveränderliche Koe zienten y 0 = x:. Ordnung, linear, inhomogen, konstante Koe. x + yy 0 = :. Ordnung, nicht linear, trennbar y xy 00 = cos(x): Koe.. Ordnung, linear, inhomogen, veränderliche y ( ) y ( ) + y 00 = e x :. Ordung, linear, inhomogen, konstante Koe. x + y + +( x + y + )y 0 =,:. Ordnung, nicht linear, exakt