Inverse Tschebyscheff Tiefpassfilter

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1 Inverse Tschebyscheff Tiefpassfilter Inverse Tschebyscheff-Tiefpassfilter (Tschebyscheff Typ-) werden dort verwendet wo eine hohe Flankensteilheit bei maximal flachem mplitudengang im Durchlassbereich gefordert wird. Inkauf genommen wird aber eine gleichmässige Welligkeit im Sperrbereich. Der Schaltungsaufwand ist wegen der Implementierung der Nullstellen der Übertragungsfunktion deutlich grösser als bei den herkömmlichen Tschebyscheff-Filtern (Tschebyscheff Typ-). Grundlagen Das inverse Tschebyscheff-Filter lässt sich durch zweimalige Transformation aus dem Tschebyscheff- Typ -Filter ableiten. us dem mplitudengang des Typ- Filters der Ordnung n folgt der mplitudengang. Der Einfachheit wegen wird mit quadrierten Grössen gearbeitet: + Tn Tn () r + Bild : Quadratierter mplitudengang eines Tschebyscheff-Typ- Tiefpass, gezeigt am Beispiel n5. Die Welligkeit im Durchlassbereich wird aus den bekannten Gleichungen bestimmt:.rdb.rdb r r + () Durch Subtraktion wird eine ochpasscharakteristik erzeugt: T n + n Tn Tn ( ) T + (3) Durch Spiegelung bei wird die Tiefpasscharakteristik des Tschebyscheff-Typ erreicht. + Bild : mplitudengang nach dem ersten Transformationsschritt. ' Tn T n + Tn (4) + Bild 3: Typ- -mplitudengang nach erfolgter zweiter Transformation. ' Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. of 8

2 bezeichnet nun das Ende des Sperrbereiches also : Tn( ) + (5) Der mplitudengang des Tschebyscheff Typ- wird daher aus (4): Tn Tn + Tn (6) us der Entwicklung erkennt man sofort, dass das Tschebyscheff Typ- Filter auf Spezifikationen des Sperrbereiches beruht. Somit kann das Typ- Filter nicht direkt auf eine geforderte Dämpfung bei der Durchlassgrenzfrequenz dimensioniert werden. Dies stellt aber in der Praxis keine nennenswerte Einschränkung dar. Mittels Untersuchung von T n () im Sperrbereich findet man mit yperbelfunktionen die Durchlassgrenzfrequenz für eine geforderte Dämpfung bei gegebenem Welligkeitsfaktor und Filterordnung n: ' cosh arcosh n - (7) Soll eine Dimensionierung bezüglich der Durchlassgrenzfrequenz erfolgen, muss die Sperrfrequenz als Grundlage zur Rechnung aus der Durchlassgrenzfrequenz gebildet werden. Dies wird durch Multiplikation mit dem Faktor k erreicht. Die zur realisierende Sperrfrequenz wird: k f k f arcosh k cosh n. db arcosh cosh db : Dämpfung bei f in db als positiver Wert n Der Faktor k verschiebt die Sperrfrequenz so, dass bei der Durchlassgrenzfrequenz genau die geforderte Dämpfung erreicht wird. ls Folge wird die Sperrdämpfung bei der Sperrfrequenz Η erhöht. Die so erhaltene Dimensionierungsperrfrequenz (f ) wird dann zur Synthese nach ()-(5) verwendet. (8) (9) Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. of 8

3 Welligkeitsfaktor us (5) kann durch Umstellung der Welligkeitsfaktor direkt bestimmt werden:.db db : Welligkeit im Sperrbereich in db als positiver Wert () Man beachte die Welligkeit beim Typ- Filter. Sie beschreibt das Verhalten im Sperrbereich und ist daher nicht gleich wie beim Typ- Filter. Lage der Pole und Nullstellen Im Nenner von (4) erkennt man, dass praktisch kein Unterschied zum Typ- besteht ausser, dass die Pole invers liegen. Die Nullstellen sind die Nullstellen des Tschebyscheffpolynoms T n (). Daher gilt für die Pole und Nullstellen: S S + k + k sin π sinh arsinh j cos π cosh arsinh n n + n n j + k cos π n PTyp N n : Filterordnung k: n () () Durch die Inversion folgt für quadratische Glieder, dass die Polfrequenz P im Vergleich zum Tschebyscheff Typ- ebenfalls invertiert erscheint, die Polgüte Q P hingegen bleibt gleich. P S Q Q mit: Q Re( S ) PTyp PTyp PTyp PTyp P PTyp P (3) Die Entnormierung erfolgt bezüglich der Sperrfrequenz f wo die Welligkeit im Sperrbereich überschritten wird: ωp π f P ωz π fz (4) Wenn bezüglich Durchlassspezifikationen wo die die mplitude bei der Frequenz f erstmals den Wert unterschreitet erfolgt die Entnormierung mit (8),(9): ω π f k ω π f k P P Z Z (5) Die minimal notwendige Filterordnung ist hingegen bei beiden Tschebyscheff-Typen gleich. Es gilt: db db arcosh arcosh db n arcosh ( ) arcosh( ) db db : Sperrdämpfung in db bei f (als positiver Wert) : Dämpfung bei Grenzfrequenz f in db f : f (6) Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 3of 8

4 Zusammenfassung Gezeigt wurde die erleitung und Berechnung der Pole/Nullstellen inverser Tschebyscheff-Tiefpässe basierend auf der Grundlage herkömmlicher Tschebyscheff-Tiefpässe. Inverse Tschebyscheff-Filter werden dort eingesetzt, wo maximal flacher mplitudengang mit zulässiger Welligkeit im Sperrbereich gefordert wird. Die Berechnung ist an sich nicht wesentlich aufwändiger als herkömmliche Tschebyscheff-Filter, die Implementierung aber wegen der Nullstellen der Übertragungsfunktion hingegen schon. Passive Filter benötigen L-Resonanzkreise, aktive Filter arbeiten häufig mit Brücken-T-Rückführungen. usblick Die Bestimmung des -3.dB Punktes und der erreichten Sperrdämpfung wenn bezüglich Durchlassgrenzfrequenz dimensioniert wurde, wären eine sinnvolle Ergänzung des Formelsatzes. Diese erleitungen sind an sich unkompliziert. Zum grundsätzlichen Vorgehen möchte ich auf die usführungen in [KRU-] verweisen. Notation P, Z : Normierte Pol-/Nullstellenfrequenzen, d.h. f z π ωp, ωz : Entnormierte Pol-/Nullstellenfrequenzen in rad/s, ωp πf P, ωz πf Z : Welligkeitsfaktor, : Dämpfung bei Durchlass-/ Sperrfrequenz in absoluten Grössen db, : Dämpfung bei Durchlass-/ Sperrfrequenz in db (Werte immer positiv) db f, f : Durchlass-/ Sperrgrenzfrequenzen in z T ( ) : Tschebyscheff-Polynom des Grades n n Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 4of 8

5 Beispiele Beispiel : PN-Diagramm eines Tschebyscheff Typ- Filters. Zu zeigen ist PN-Diagramm eines normierten inversen Tschebyscheff-Tiefpass der Ordnung 5 und minimaler Sperrdämpfung von 3dB. Lösung: Die Berechnung erfolgt direkt mit () und (). Die numerische Rechnung und Grafik erfolgt mit Mathad. Vorgaben: db : 3 n : 5 Berechnung: Pole,Nullstellen normierter inverser Tschebyscheff-Tiefpässe: : db.3639 S P kn,, : S Z kn,, : sin + n k π sinh n arsinh + k + i cos π cosh n n arsinh cos i + k n π k:.. n S P kn,, S Z kn,, i.5i i.7i i i -.7i i -.5i <- Nullstelle bei unendlich PN-Diagramm Tschebyscheff-TP Typ-, n5 Im Im S P ( k, n, ) Im S Z ( k, n, ).5.5 Re( S Z ( k, n, ) ) Re S P ( k, n, ), Re Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 5of 8

6 Beispiel : Inverser Tschebyscheff Tiefpass 4. Ordnung. Man dimensioniere einen inversen Tschebyscheff-Tiefpass 4. Ordnung als aktives Filter mit den nforderungen db, f kz, db, 4dB. Die Schaltung ist als Kaskade zweier quadratischer Glieder mit der Schaltung nach Boctor zu realisieren. Die wählbaren Komponenten sind mit k resp. nf einzusetzen. Weitere Kondensatoren sind aus der E6-Reihe zu wählen. Lösung Zuerst werden die normierten Pol-/ Nullstellenfrequenzen für n4 und 4dB gemäss ()-(3) berechnet: Vorgaben: f : kz db : db : 4 n : 4 db : R : k : nf (wählbare Elementwerte) Berechnung Polfrequenzen,Nullfrequenzen und Polgüten: :. db. k:.. n Indizes für Pole S Pk : sin + n k π sinh n arsinh + k + i cos π cosh n n arsinh S Zk : cos i:.. n i + k n π.8i.63i S Z.63i.8i Index der quadratischen Teilfilter.7.476i.55.4i S P i i Pi : S Pi.56 P.559 Zi : S Zi Q Pi : S Pi ReS ( Pi ).8 Z Q P.554 Wir wählen 8 und R 7 als frei wählbare Elemente und ordnen die Vorgabewerte zu. Da eine Sperrforderung bezüglich der Durchlassgrenzfrequenz vorliegt, werden mit ilfe des Faktors k nach (9) die entnormierten Dimensionierungssperrfrequenzen ω und Nullstellenfrequenzen ω Z bestimmt. Mit den Polgüten Q P bilden sie die Grundlage für die Berechnung der Elementwerte der aktiven Boctor-Teilfilter. Die minimal zulässigen Kondensatoren werden nach [KRU-]: Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 6of 8

7 Boctor-Tiefpass-Stufen berechnen: Wählbare Werte zuordnen: 8i : R 7 : R. db. db arcosh k : cosh k.3499 n Entnormierte Pol-/Nullstellenkreisfrequenzen bestimmen ω P : π f P k ω Z : π f Z k ω P z ω Z z Q P ω Z ω P + ω P min : min F ω Z QP ( ) + ω Z ωp Q P ( ) + ω P ω Z ω P.66 9 Nächstgrösseren Normwert für wählen: 33nF : 3.3nF Die Widerstände ergeben sich nach [KRU-]: Berechnung der Widerstände: R 7 ω Z ω P R 4 : R ω P D 4 ωz 4 8 ω P ω P + Q P ωz s 4 4 : D (ilfsgrösse) 6.77 kg m 4 ω Z D R : R Q P ω P R 3 : R R ω P Q P R R 5 : R Q P + R 8 Q P ω P R ω P R 7 Q P R 6 : R ω P ( R R 4 Q P ω P R 7 ) R 7i : R 7 3 R 7 3 In der Rechnung verkörpern die Elemente in der ersten Zeile der Vektoren diejenigen Werte des Teilfilters mit der höheren Polgüte (Q P.478). Nach gängiger Lehre wird es dem Teilfilter mit der niedrigeren Polgüte nachgeschaltet. Die Problematik der austeuerungsoptimalen Pol-/ Nullstellenpaarung wurde hier nicht näher betrachtet (siehe hierzu auch [S]). Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 7of 8

8 Eine Simulation mit PSpice bestätigt die Dimensionierung mit vernachlässigbar kleinen bweichungen. Für eine praktische Implementierung Normwiderständen wäre es ev. günstiger das Teilfilter mit der grösseren Güte mit einer höheren nfangsverstärkung (z.b. ) zu betreiben und diesen Fehler vorgängig oder nachfolgend mit einem Spannungsteiler zu korrigieren. Bild 4: Detailschema der Lösung zum inversen Tschebyscheff-Tiefpass 4. Ordnung nach Beispiel. Literatur Referenziert: [KRU-] Skript Elektronik, Kapitel 3, G. Krucker usgabe, Download von [KRU-] ktives elliptisches TP-Glied zweiter Ordnung nach Boctor, G. Krucker, Download von [S] Design of nalog Filters, R. Schaumann/ M. E. van Valkenburg, Oxford University Press, ISBN Weiterführend oder ergänzend: [DN74] pproximation Methods for Electronic Filter Design, R. Daniels, Mc Graw ill 974, ISBN [ELL94] Electronic Filter nalysis and Design, Michael G. Ellis Sr., rtech ouse 994 ISBN [ER84] ktive R-Filter, M. erpy/ J. Berka, Franzis Verlag 984, ISBN X [ZVE67] andbook of Filter Synthesis,. Zverev, John Wiley & Sons 967, ISBN Gerhard Krucker, -33 Rubigen,.. 8of 8