Mathcad Funktionen für Electronic Engineering

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1 Mathcad unktionen für Electronic Engineering erhard Krucker aunackerstrasse 9 C-33 Rubigen krucker@krucker.ch usgabe: usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

2 nhaltsverzeichnis NLTSVERECNS...2 ENLETUN...3 WECK...3 COPRT...3 BENUTUN...3 UNKTONEN...5 NORME(WERT,EREE)...5 CELNORME(WERT,EREE)...6 LOORNORME(WERT,EREE)...7 LNRNE(X STRT,X END,N)...8 LORNE(X STRT, X END,N)...0 DB(V), DB0(V)... PSE()...2 MX2(,B), MN2(,B)...3 BUTTERWORT(N TP )...4 BUTTERWORTPOL(N)...5 TSCEBSCE(N TP, RDB )...6 NVTSCEBSCE(N TP, DB )...7 ERO2POL(S P )...8 PRMETERUMRECNUN...9 E2B(E), E2C(E), B2E(B), B2C(B), C2E(C), C2B(C)...9 2C(), 2C(), 2(), 2(), 2(), 2()...2 2(), 2C, 2(), 2(), 2()...2 C2(C), C2(C), C2(C), C2(C)...2 2(), 2(), 2(), 2()...2 2(), 2C(), 2(), 2(), 2()...2 2(), 2C(), 2(), 2(), 2()...2 KONSTNTEN...23 PSKLSCE KONSTNTEN...23 E-NORMWERTE...24 usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

3 Einleitung weck Das vorliegende Paket stellt eine Erweiterung für Mathcad dar. Es beinhaltet unktionen, Einheiten und Dimensionen sowie Konstanten, die im Umfeld der Berechnung elektronischer Schaltungen benötigt werden. egenüber der Vorgängerversion für MathCad2000 wurde die Einheitentabelle für elektrische Einheiten weggelassen. Sie ist mittlerweile integrierter Bestandteil von MathCad. Das Paket ist aber um zusätzliche unktionen ergänzt worden. Das volliegende Paket wurde nur mit deuschen Version von MathCad getestet. ur unktionsfähigkeit mit anderen Versionen kann keine ussage gemacht werden. Copyright lle Rechte liegen beim Verfasser. Private Verwendung und Weitergabe mit Quellenangabe ist erlaubt. lle nformationen wurden nach bestem Wissen zusammen gestellt. ehler und rrtümer sind nicht ausgeschlossen. Die Verwendung erfolgt auf eigene efahr. Die unktionen linrange(), logrange, phase(), db(), db0() wurden von der dee her und in Teilen des Codes von eorge Chien der University of California at Berkeley mit Dank übernommen. nstallation Das ile EE MCD.MCD wird in ein Verzeichnis der Wahl kopiert und in EE.MCD umbenannt. Ebenso die Dokumentation EE MCD.PD. Die Referenzierung im rbeitsblatt erfolgt über einen Verweis. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

4 Benutzung Das Paket muss in jedem benutzten rbeitsblatt mittels Verweis eingefügt werden. ur einheitenbehafteten Rechnung sollten S-Einheiten gewählt werden. ür eine formatierte usgabe der Einheiten bedarf es zusätzlich : usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

5 unktionen norme(wert,ereihe) unktion: Retourniert den E-normierten Wert, der über den Parameter Wert übergeben wurde. Wert u normierender Wert. st die össe mit Einheiten behaftet, wird diese an das Resultat weiter gegeben. EReihe u verwendende E-Normreihe, festgelegt mit symbolischem oder numerischen Wert: Symbolischer Numerisches Wirkung Wert Äquivalent E0 0 Keine Normung E Wert wird nach E normiert E3 2 Wert wird nach E3 normiert E6 3 Wert wird nach E6 normiert E2 4 Wert wird nach E2 normiert E24 5 Wert wird nach E24 normiert E48 6 Wert wird nach E48 normiert E96 7 Wert wird nach E96 normiert E92 8 Wert wird nach E92 normiert Die Mitte zweier olgenglieder wird über das geometrische Mittel bestimmt. n der Praxis wird aus Einfachheitsgründen vielfach das arithmetische Mittel benutzt. Beispiele: ( ) = norme 0.2Ω, E2 norme( 3.9n, E3) = ( ) = norme 99kΩ, E2 norme 34mΩ, E6 ( ) = norme 34.23MΩ, E0 ( ) = ( ) = norme 34.23MΩ, 2 Bemerkungen: Die Bestimmung der Normwerte erfolgt für die Reihen E bis E24 mit Tabellen. Die Reihen E48 bis E92 werden als Element der geometrischen olge mit einer ormel berechnet. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

6 ceilnorme(wert,ereihe) unktion: Retourniert den nächst grösseren E-Normwert. Wert Wert, der auf den nächst grösseren Normwert aufgerundet werden soll. st die össe mit Einheiten behaftet, wird diese an das Resultat weiter gegeben. Liegt der Wert exakt auf einem Normwert, wird nächst grössere Normwert retourniert. EReihe u verwendende E-Normreihe, festgelegt mit symbolischem oder numerischen Wert: Symbolischer Numerisches Wirkung Wert Äquivalent E0 0 Keine Normung E Wert wird nach E normiert E3 2 Wert wird nach E3 normiert E6 3 Wert wird nach E6 normiert E2 4 Wert wird nach E2 normiert E24 5 Wert wird nach E24 normiert E48 6 Wert wird nach E48 normiert E96 7 Wert wird nach E96 normiert E92 8 Wert wird nach E92 normiert Beispiele: ( ) = ceilnorme 0.2Ω, E2 ceilnorme( 3.9n, E3) = ( ) = ceilnorme 99kΩ, E2 ceilnorme 34mΩ, E6 ( ) = ceilnorme 34.23MΩ, E0 ( ) = ( ) = ceilnorme 34.23MΩ, 2 ceilnorme( 00, E2) = Bemerkungen: Die Bestimmung der Normwerte erfolgt für die Reihen E bis E24 mit Tabellen. Die Reihen E48 bis E92 werden als Element der geometrischen olge mit einer ormel berechnet. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

7 floornorme(wert,ereihe) unktion: Retourniert den nächst kleineren E-Normwert. Wert Wert, der auf den nächst kleineren Normwert abgerundet werden soll. st die össe mit Einheiten behaftet, wird diese an das Resultat weiter gegeben. Liegt der Wert exakt auf einem Normwert, wird nächst kleinere Normwert retourniert. EReihe u verwendende E-Normreihe, festgelegt mit symbolischem oder numerischen Wert: Symbolischer Numerisches Wirkung Wert Äquivalent E0 0 Keine Normung E Wert wird nach E normiert E3 2 Wert wird nach E3 normiert E6 3 Wert wird nach E6 normiert E2 4 Wert wird nach E2 normiert E24 5 Wert wird nach E24 normiert E48 6 Wert wird nach E48 normiert E96 7 Wert wird nach E96 normiert E92 8 Wert wird nach E92 normiert Beispiele: floornorme( 0.2Ω, E2) = floornorme( 3.9n, E3) = ( ) = floornorme 99kΩ, E2 floornorme 34mΩ, E6 ( ) = floornorme 34.23MΩ, E0 ( ) = ( ) = floornorme 34.23MΩ, 2 floornorme( 00, E2) = Bemerkungen: Die Bestimmung der Normwerte erfolgt für die Reihen E bis E24 mit Tabellen. Die Reihen E48 bis E92 werden als Element der geometrischen olge mit einer ormel berechnet. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

8 linrange(x start,x end,n) unktion: Erzeugt einen Vektor mit N äquidistant angeordneten Werten zwischen x start und x end. x start Startwert = Erstes Element des Vektors x end Endwert = Letztes Element des Vektors. N nzahl Elemente im Vektor. Muss ganzzahlig positiv sein. mplementierung: ( ) := a N linrange x start, x end, N x end x end x start delta N for i 0.. N 2 a a i x start + i delta Beispiel: linrange( 20, 200, 0) = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

9 inweis: Eine zugehörige Bereichsvariable ii zur ndizierung kann wie folgt definiert werden: a := linrange( 20, 20, 0) ii := 0.. letzte( a) ii = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

10 logrange(x start, x end,n) unktion: Erzeugt einen Vektor mit N logarithmisch angeordneten Werten zwischen x start und x end. x start Startwert = Erstes Element des Vektors x end Endwert = Letztes Element des Vektors. N nzahl Elemente im Vektor. Muss ganzzahlig positiv sein. mplementierung: ( ) := a N logrange x start, x end, N Beispiele: g x end N x end x start for i 0.. N 2 a a i x start g i logrange( z, kz, 0) = z Ω := logrange( 0., 0, 200) ii := 0.. letzte Ω ( ) Ω, n ( ) := mplitudengang des normierten + Ω 2n ButterworthTiefpass der Ordnung n 0 3 ( ( )) db Ω ii, Ω ii usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

11 db(v), db0(v) unktion: Berechnen des Spannungsverhältnis (db) und Leistungsverhältnis (db0) in Dezibel. v Dimensionslose Spannungs- oder Leistungsverhältniszahl. Werte v<0-25 werden auf 500dB begrenzt. Es wird immer der Betrag von v verwendet. Somit ist eine Betragbildung bei negativen oder komplexen rgumenten nicht notwendig. mplementierung: db( v) := p v v 500 if p < log( p) otherwise db0( v) := 0.5 db( v) Beispiele: db( 00) = db( 333) = ( ) = db 2 db = db0( 00) = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

12 phase(g) unktion: Berechnung der Phase eines komplexen Vektors g in Radian. Das Resultat wird in einem neuen Vektor derselben rösse retourniert. Unstetigkeitsstellen bei Vielfachen von π werden bei dieser unktion vermieden. g Komplexer Vektor mit 2 Elementen. mplementierung: phase ( g) := φ arg( g) return g if wrap 0 for letzte( g) < 2 i.. letzte( g) ( ) > 3 ( + wrap) < 3 wrap wrap 2 π if φ i φ i + wrap wrap wrap + 2 π if φ i φ i φ i φ i + wrap return φ Beispiele: Ein raph eines requenzganges eines Tiefpassfilters kann wie folgt gezeichnet werden. (Tschebyscheff normiert, 5. Ordnung, db Welligkeit): S P := tschebyscheff ( 5, ) Pole bestimmen ( ) Ω := logrange( 0., 0, 200) ii := 0.. letzte Ω ( ) s, S P := länge( S P ) s S Pi i = 0 ( ) fv ii := jω ii, S P (normierte) requenzachse Übertragungsfunktion Komplexer requenzgang 80 ii := db( fv ii ) P := phase ( fv) mplituden- und Phasenvektor berechnen π db(fv) Φ(Ω) Ω usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

13 max2(a,b), min2(a,b) unktion: Bestimmen des grösseren Wertes (max) oder kleineren Wertes (min) aus dem Paar a, b. a,b u vergleichende skalare Werte. mplementierung: max2( a, b) := a if a > b min2( a, b) := a if a < b Beispiele: b otherwise b otherwise min2( 3, 5) = min2( 3, 5) = max(, 3) = max( 6p, n) = 0 9 usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

14 butterworth(n TP ) unktion: Retourniert die komplexen Pole des normierten Butterworth Tiefpass der Ordnung n TP. n TP Ordnung des Tiefpass als positive anzzahl. mplementierung: ( ) butterworth n TP := for k 0.. n TP S Pk sin + 2 k π + j cos 2 n TP return S P + 2 k 2 n TP π Beispiele: butterworth ( 3) j 0 3 = j 0 3 butterworth ( 6) j j j 0 3 = j j j 0 3 usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

15 butterworthpoly(n) unktion: Retourniert die Koeffizienten b 0..b n des normierten Butterworth-Polynoms B n (S) der Ordnung n. B n (S). Es wird zur Bildung der Butterworth-Tiefpassübertragungsfunktion (s) benutzt. 2 n Bn( S) = b0 + bs + b2s + + bns s () = B ( S) n n Ordnung des Butterworth-Polynoms als positive anzzahl. mplementierung: butterworthpoly( n) := zero2poly( butterworth( n) ) Beispiele: butterworthpoly ( 3) butterworthpoly ( 6) 2 = = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

16 tschebyscheff(n TP, rdb ) unktion: Retourniert die komplexen Pole des normierten Tschebyscheff Tiefpass der Ordnung n TP. mit Welligkeit rdb im Durchlassbereich. n TP Ordnung des Tiefpass als positive anzzahl. rdb Welligkeit im Durchlassbereich in db als positive reelle ahl >0.0 mplementierung: tschebyscheff ( ) ε 0 0. rdb := n TP, rdb for k 0.. n TP S Pk sin + 2 k π sinh arsinh 2 n TP n TP ε + 2 k S Pk S Pk j cos π + cosh arsinh 2 n TP n TP ε return S P Beispiele: tschebyscheff ( 3, ) j 0 3 = j 0 3 tschebyscheff ( 4, 0.0) j j 0 3 = j j 0 0 usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

17 invtschebyscheff(n TP, db ) unktion: Retourniert die komplexen Pole und Nullstellen des normierten inversen Tschebyscheff Tiefpass der Ordnung n TP.und Welligkeit db. n TP Ordnung des Tiefpasses als positive anzzahl. db Welligkeit im Sperrbereich in db als positive reelle ahl >0.0 Resultat: Die erste Spalte der Matrix beinhaltet die Nullstellen. Die zweite Spalte beinhaltet die Polstellen. mplementierung: ( ) := ε invtschebyscheffpn n, db 0 0. db for i 0.. n S Pi sin + 2 n i π sinh 2 n arsinh + 2 i i cos π cosh ε 2 n n arsinh + ε S i cos for i 0.. n S S i0, i S S i, Pi return S i + 2 i 2 n π Beispiele: invtschebyscheffpn ( 5, 30) =.05i.70i.633i i.05i i i i i invtschebyscheffpn ( 4, 60).082i i 2.63i i = 2.63i i.082i i Bemerkung: nverse Tschebyscheff-Tiefpässe ungerader Ordnung haben ein Nullstelle bei unendlich. Sie wird hier als verhältnismässig grosse ahl angenähert. Die endlichen Nullstellen sind immer rein imaginär. Referenz: nverse Tschebyscheff Tiefpassfilter,. Krucker 2002, usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

18 zero2poly(s P ) unktion: Polynom in Linearfaktordarstellung, definiert durch Nullstellen in Normalform ausmultiplizieren. Das Resultat wird als Koeffizientenvektor p retourniert. ( s + S )( s+ S ) ( s+ S ) = p + p s+ p s + + p s 2 2 P0 P Pn 0 2 n nwendung z.b. bei der Bestimmung der Übertragungsfunktion eines Polynomfilters anhand der berechneten Pole-Nullstellen. S P Vektor mit Nullstellen des Polynoms. Die Dimension des Vektors muss sein. mplementierung: Synthetische Polynommultiplikation. zero2poly( ) := p 0 0 p pdeg return if for p j+ p j p 0 0 länge( ) for i.. länge( ) j pdeg.. 0 for j 0.. pdeg p j p j p j+ i pdeg pdeg + return p Beispiel: Butterworth-Polynomkoeffizienten der Ordnung 5: n := 5 Sp := butterworth ( n) Koeffizienten Potenzen j j 0 3 Sp = 0 0 zero2poly( Sp) = j j s 0 s s 2 s 3 s 4 s 5 nterpretation: Die Übertragungsfunktion eines normierten Butterworth Tiefpassfilters der Ordnung 5 ist daher: s () = = + s s s s j j j ( s) s s s s s j usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

19 Parameterumrechnung E2B(he), E2C(he), B2E(hb), B2C(hb), C2E(hc), C2B(hc) unktion Umrechnung der Transistorparameter für andere rundschaltungen. Das Resultat wird als 2x2- Matrix retourniert. E2B(he) E2C(he) B2E(he) B2C(he) C2E(he) C2B(he) he-parameter in hb-parameter umrechnen he-parameter in hc-parameter umrechnen hb-parameter in he-parameter umrechnen hb-parameter in hc-parameter umrechnen hc-parameter in he-parameter umrechnen hc-parameter in hb-parameter umrechnen Parameter u wandelnde Transistorparameter in eine 2x2 Matrix der jeweiligen rundschaltung. Die Parameter müssen einheitenlos sein. mplementierung B2E( hb) := E2B( he) := hb 2, hb 2, + + hb he 2, he 2, + + he hb, ( hb + hb 2, ) he, ( he + he 2, ) hb hb 2, hb 22, he he 2, he 22, E2C( he) := C2E( hc) := he, ( ) + he 2, hc, ( ) + hc 2, he 2, he 22, hc 2, hc 22, C2B( hc) := hc hc, ( hc hc 2, ) hc + hc 2, hc 22, B2C( hb) := + hb hb 2, + hb 2, hb, hb 2, + hb 2, hb 22, inweise Nach Konvention werden die Matrizen mit den ndizes,2 indiziert. Damit das erste Element den ndex erhält, muss in Mathcad ORN gesetzt werden. Die Einheiten können nicht direkt in die Matrix eingebracht werden, da Mathcad in Matrizen (anscheinend) nur skalare Komponenten zulässt. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

20 Beispiele ORN 0 3 he := hb := E2B( he) hb = hc := E2C( he) hc = C2E( hc) = B2E( hb) = C2B( hc) = B2C( hb) = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

21 2C(a), 2C(a), 2(a), 2(a), 2(a), 2(a) 2(h), 2C, 2(h), 2(h), 2(h) C2(c), C2(c), C2(c), C2(c) 2(g), 2(g), 2(g), 2(g) 2(y), 2C(y), 2(y), 2(y), 2(y) 2(z), 2C(z), 2(a), 2(z), 2(z) unktion Umrechnen der Vierpolmatrizen in andere Parameterformen. Das Resultat wird immer als 2x2 Matrix retourniert. Parameter a, h. c, g, y, z 2x2 Matrix mit den umzurechnenden Parameter. Die Parameter müssen einheitenlos sein. mplementierung Der mplementierung liegen folgende formalen usammenhänge zu runde: det 2 2 det det det C,, - 2 det 2 K det det det det K det K det K 2 det K det det det det K 2 2 det K det K 22 det det K K det 22 2 C det C K K 2 2 det det K K det det det det K det det det det K usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

22 Bemerkung: C, und - Parameter sind identisch. Referenz: W. Weissgerber, Elektrotechnik für ngenieure, S. 8, 99, SBN inweise Nach Konvention werden die Matrizen mit den ndizes,2 indiziert. Damit das erste Element den ndex erhält, muss in Mathcad ORN gesetzt werden. Beispiele ORN 0 3 h := ( h) = ( h) = 2( 2( h) ) = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

23 Konstanten Physikalische Konstanten Elementarladung Elektron Boltzmann Konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Permeabilität im Vakuum Dielektrizitätskonstate des Vakkums Plancksche Konstante Normfallbeschleunigung bsoluter Druck Schallgeschwindigkeit bei p 0 Ruhemasse des Elektrons Ruhemasse des Protons Klassischer Elektrononenradius q e := C k B := K c := m s µ 0 := 4 π 0 7 m ε 0 := µ 0 2 c 0 h P := s 2 g := m s p 0 := Pa c sound := 33.2 m s m e := kg m p := kg 2 q e r e := 2 4 π ε 0 m e c 0 µ 0 = m ε 0 = m r e = m Referenz: Taschenbuch der Physik,. Kuchling,Verlag arry Deutsch 982, S.659, S.52, S. 322,S.659. usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen

24 E-Normwerte Sie beinhalten als Vektor eine vollständige Dekade von [00,000] Normwerten der E-Reihe: E-Normreihen E..E TabE := TabE3 := TabE6 := TabE2 := 330 TabE24 := E-Normreihen E48..E92 TabE48 = TabE96 = TabE92 = inweis: Die Vektoren TabE48..TabE92 zeigen nur die ersten 6 Werte. Beispiele: TabE2 0 = TabE24 24 = 0 3 TabE92 33 = usgabe: , erhard Krucker, C-33 Rubigen