INSTITUT FÜR TECHNISCHE ELEKTRONIK

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1 INSTITUT FÜR TECHNISCHE ELEKTRONIK der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Hill Korrespondenzen zur Laplacetransformation F(s) f(t) s s + α s + β ε(t) α e - α t - β e - β t α - β + δ(t) s s + α ε(t) α α t - e - α t + δ(t) s s + α ε(t) - α t e - α t s s + α δ(t) - ε(t) α e - α t s s + α s + β ε(t) α e- α t - β e - β t α - β s + α s + β ε(t) e- α t - e - β t β - α s + α ε(t) t e - α t s + α ε(t) e - α t P. Herzog 0-00

2 INSTITUT FÜR TECHNISCHE ELEKTRONIK der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Hill Idealer Operationsverstärer UD + R i v 0 UD R a U + - U U - R i, R a 0, v 0 U D = U + - U - Realer Operationsverstärer U + + R UD U UD D v 0 U D Ze H(s) = U (s) U D (s) = v 0 - s s 0 Z a U - U -

3 INSTITUT FÜR TECHNISCHE ELEKTRONIK der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Hill Rücopplung Z Z Z -U B Z +U B U D U D U +U B U U -U B U Die Differenzspannung wird im linearen Bereich durch die Rücopplung zu null ompensiert. UD = 0 Die Differenzspannung wird verstärt zur Ausgangsspannung, die ihrerseits durch Rücopplung UD vergrößert. UD 0 stabiles Netzwer; linearer Verstärer mit: ein stabiles Netzwer; OP geht in die Begrenzung H δ (s) = U U = - Z Z UD = 0 Prinzip der verschwindenden Eingangsspannung Analyse mit Maschen-Strom-Verfahren Da die Ausgangsspannung einer Änderung der Eingansspannung entgegenwirt: Gegenopplung UD > 0 U = + UB UD < 0 U = UB Da die Ausgangsspannung eine Änderung der Eingangsspannung unterstützt: Mitopplung

4 INSTITUT FÜR TECHNISCHE ELEKTRONIK der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Hill Invertierender Verstärer = - R R Schaltungen mit Operationsverstärern Nichtinvertierender Verstärer = + R R R R R R Summierender Verstärer U a = -R U R + U R + + U n R n R U n R U U Integrator u a (t) = - R C R n u e (t) dt R Subtrahierender Verstärer = R U - U R U R R U R R Differentiator (Prinzip) du u a (t) = -R C e (t) dt C R R C Spannungsfolger U a = U e Differentiator (technisch verwendbar) jωr = -U C E +jωr C +jωr C für ω «; R C R C du u a (t) -R C e (t) dt C R C R

5 Impulstechni: Hilfsblätter Filter Butterworth Filter Alle Pole liegen auf einem Kreis H 0 R cosϕ jω S ϕ (n) = π + π ( ; ; n) n R sinϕ ϕ ϕ R Σ = π + ϕ ( ; ; n) S = R cosϕ (n) = R e jϕ + j Rsinϕ (n) ϕ = π n Übertragungsfuntion: mit H n (S) = H 0 = H 0 n ; Rn (S ; S ) B SR n = ; x ; e jϕ B n (x)= n = B (x)= + x B (x)= + p x + x B 3 (x)= + x + x + x 3 Butterworth Polynome jh n ( jω)j = jh 0 j Frequenznormierung: r R n + Ω n beliebig, zwecmäßigerweise auf die Grenzfrequenz (3dB, 6dB,... )! ω 0 = ω g Amplitudennormierung: Eigenschaften: H N (S)= H(S) H(0) Ein vorgegebener Betragsgang wird ohne Überschwinger approximiert. Dies bedeutet: glatter Verlauf, der Betragsgang verläuft möglichst lange horizontal.

6 Ergänzung: Herleitung der Übertragungsfuntion: Allgemeine Form eines TP n-ter Ordnung: jh n (Ω)j = H 0 j + Ω + + n Ω n j O.b.d.A. setze n = jh(ω)j soll unterhalb der Grenzfrequenz möglichst lange horizontal verlaufen. Für jωj < führen niedrige Potenzen zu einem höheren Abfall der Verstärung ) glattesterverlauf, wenn nur die höchste Potenz vorommt ) jh n (Ω)j = H 0 j + Ω n j Die Gleichung ist erfüllt, wenn alle Pole auf einem Kreis in äquidistanten Winelschritten ϕ voneinander entfernt liegen. ϕ = π n mit n = Filterordnung ) jh n (Ω)j = H 0 R n + Ω n Tschebyscheff Filter Herleitung aus dem Butterworth-Filter: jω R cosϕ bei R =: cosh γ H 0 S R sinϕ ϕ R cosh γ Σ ϕ (n) = π + π ( ; ; n) n = π + ϕ ( ; ; n) sinh γ ϕ = π n Butterworth: S = R cosϕ (n) + jrsinϕ (n) Tschebyscheff: S = sinhγ cosϕ (n) {z } =: x ) cosϕ (n) = x sinhγ Es gilt: sin α + cos α = ) + j coshγ sinϕ (n) {z } =: y ; sinϕ (n) = y coshγ x (sinhγ) + y (coshγ) = Ellipsengleichung

7 Übertragungsfuntion: H(S)= H 0 n (S ; S ) = mit Ω = ω ω D ; S = s ω D ) (nach längerer Rechnung) Betragsquadrat: 8 H0 >< ; n; jh n ( jω)j = sinh nγ + cos (n arccosω) H0 >: ; n; sinh nγ + cosh (n ArcoshΩ) Tschebyscheff Polynome: T n (x)= = H 0 ; n; sinh nγ + T n (Ω) Ω IR cos(n arccos x) jxj cosh(n Arcoshx) jxj > jxj :jt n (x)j <! Welligeit jxj > :jt n (x)j monoton steigend! Dämpfung jωj jωj > n x x ; 3 4x 3 ; 3x 4 8x 4 ; 8x + T (x) Literatur: oft jh(ω)j = ε = sinh nγ K H 0 + ε T M(x) Maß für Welligeit Amplituden Normierung: Normierung auf Maximum (liegt i.a. nicht bei Ω = 0!) Maximum: cos muß = 0 sein! für n ungerade bei Ω = 0 jh n ( j Ω)j max! = ) H 0 = sinhnγ n; ) jh n ( jω)j = + sinh nγ T n (Ω) jmaxj = jminj = + sinh nγ = tanh nγ 3

8 tanh nγ 0.5 n 3, Γ 0.3 n 4, Γ Frequenznormierung: MUSS hier auf die Grenzfrequenz erfolgen (es ist normalerweise Welligeit = Durchlaßdämpfung) Eigenschaften: Bei gleicher Welligeit im Durchlaßbereich besitzt der Tschebyscheff Filter die größte Steilheit im Übergangsbereich Besselfilter H(S) = B i (T 0 S) B i (x) : Besselpolynome B (x) = + x B (x) = + x + 3 x B 3 (x) = + x + 5 x + 5 x3 Umdruc S. 99 mit Frequenz Normierung: T 0 = normierte Gruppenlaufzeit T 0 = τ 0 ω 0 T 0 = ; dφ dω = ;ω 0 dφ dω beliebig, zwecmäßigerweise auf Grenzfrequenz, also ω 0 = ω g Eigenschaften: geringst mögliche Änderung der Gruppenlaufzeit mit der Frequenz ) Beste Approximierung des Filters linearer Phase Amplitudennormierung: H N (S) = H(S) H(0) Vorsicht: Beim Besselpolynom ist der Vorfator des höchsten Exponenten 6=! H 0! 4

9 Verlustlose Leitungen Z l u 0 (t) T L Z Fortpflanzungsmaß γ(s) = s p L 0 C 0 = s γ l = s v ph l v ph = s T L! e ;γl = e ;st L Verschiebefator Reflexionsfator r(s) = Z ; Z + Hier: r = Z ; Z + ; r = Z ; Z + Sonderfälle: Z = ) r = 0 Anpassung Z = 0 ) r = ; Kurzschluß Z! ) r =+ Leerlauf Reflexionsfatoren bei Abschluß mit Spule oder Kondensator werden entweder omplex oder zeitabhängig angegeben t = +0 : C wie Kurzschluß ) r = ; t! : C wie Leerlauf ) r = + C refletierte Welle: τ = C U r τ t t = +0 : L wie Leerlauf ) r = + t! : L wie Kurzschluß ) r = ; L refletierte Welle: τ = L U r τ t

10 Zusammenschluß von Leitungen: 3 U U 3 Z r l r r 3 r l = ; + ; r r = ; + = ; r l Transmittierte Welle (von lins nach rechts): U tr = ( + r l ) {z } Transmissionsfator U h = U Ersatzschaltbilder Anfang: Ende: Z U 0 U = U h U h e ;γl Z Die Ersatzschaltbilder gelten jeweils für eine Welle und berücsichtigen nicht deren Reflexionen Hilfsmittel: Reflexionsdiagramm = Fahrplan aller hin- und rüclaufenden Wellen. Da die Leitung ein lineares System ist, ann die Spannung an jeder Stelle der Leitung durch Superposition aller einzelnen Spannungswellen ermittelt werden.

11 Hilfsblatt Diode & Leitung P. Herzog I h ) U h ) ( I r = U r ( U r i (t) U D u (t) Betrachtet werde eine sprungförmige Welle, die zum Zeitpunt t = t das Ende der Leitung erreicht. o.b.d.a. t = 0 Diode leitet: U D = 0 ; I D 0 Diode sperrt: U D» 0 ; I D = 0 U h = V ε(t) ; I h = U h Welche Spannung stellt sich am Ende der Leitung ein? Fall : u ( 0) = V Diode sperrt) r = + ) u (+0) = u ( 0) + U h + U r = V + V + V = 3V > 0 O.K. Fall : u ( 0) = 0V ; i ( 0) = 0 U h > 0 ) Diode sperrt ) r = + u (+0) = V > 0 O.K. Fall 3: u ( 0) = 0V ; i ( 0) = Uh < 0 Diode leitet ) r = U r = U h ) u (+0) = 0 O.K. I h + I r = U h U r = Uh i (+0) = i ( 0)+I h + I r = Uh + Uh = 0 O.K. 9 >= >; Grenzfall Fall 4: u ( 0) = 0V ; i ( 0) = = U h < 0 (i.) Diode leitet ) r = ) U r = U h ) u (+0) = 0V O.K. Strom? I h + I r = U h U r = Uh ) i (+0) = i ( 0)+I h + I r = 3 U h > 0 Strom ann nicht > 0 sein!

12 (ii.) Annahme: Diode sperrt ) r = + ) U r = +U h ) u (+0) = V > 0 O.K. Strom: i (+0) = i ( 0)+ U h U r = i ( 0) = = U h < 0 Widerspruch zur Annahme! (iii.) Lösung: Aufteilung von U h in Teilwellen so, daß die. Welle die Diode gerade in den Grenzfall U D = 0 = I D = 0 bringt. Für die. Teilwelle ann dann die Fallunterscheidung neu erfolgen. U h = U h + U h Hier: U h = =4U h = 0:5V Zunächst leitet die Diode! r = ) U r = U h ) u () (+0) = 0 O.K. I r + I h = = U h ) i () (+0) = = U h + = U h = 0 O.K. Grenzfall Dann U h = 3=4U h > 0 ) Diode sperrt! siehe Fall (iv.) Alternative Lösung: Diode geht vom leitenden in den Sperrzustand über Diode sperrt ) r = U r = +U h ) u (+0) = V > 0 O.K. i (+0) = i ( 0)+ U h U r = i ( 0) = U h < 0 Strom muss 0 sein ) Es wird eine Kompensationswelle erzeugt: I Komp = + U h ; U Komp = I Komp ) I r = r I h + I Komp = U r + U h = U h

13 Vorgehensweise bei nichtlinearen Bauelementen Kondensator: Spule: I L (t ) 0 I L (t ) = 0 I L (t ) ε(t-t ) Zustände des Transistors Bereich Aufteilen in lineare Bereiche Bestimmung der ESB der einzelnen Bereiche Aufspaltung in Konstant- und Wechselanteil Berechnung für Konstant- und Wechselanteil Überlangerung der Lösungen Gültigeitsberich des ESB im Zeitbereich überprüfen Bereichswechsel: geladene Energiespeicher werden durch ungeladene Speicher und entsprechende, eingeschaltete Quellen ersetzt U c (t ) 0 U c (t ) = 0 U c (t ) ε(t-t ) Basis-Emitter- Diode Basis-Kolletor- Diode U CE Diodenspannungen sperrend gesperrt gesperrt > 0 U BE < U DN normal leitend gesperrt > 0 U DN < U BE < U CE + U DI gesättigt leitend leitend > 0 U BE > U CE + U DI invers gesperrt leitend < 0 U DI < U BC < U CE + U DN für npn-transistor P. Herzog