Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B

Transkript

1 Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 4 Version vom 6. Mai 2

2 Aufgabe : Ausgleichsvorgang 2 Punkte). Spannung vor Schalten in S i L t ), Induktivität ist über den Widerstand R 2 entladen 2. Spannung nach Schalten in S i L t + ), Strom an der Induktivität kann sich nicht sprunghaft ändern 3. Abklingen des Ausgleichsvorgangs in S i L t ) U, Stationärer Zustand: Es fällt keine Spannung an der Induktivität ab. 4. Aufladevorgang S): Aufstellen der Differentialgleichung Bauteilgleichungen: Maschengleichung: Für den Strom gilt: Einsetzen und Umformen: u R t) i R t) u L t) L i L t) U u R t)+u L t) i R t) i L t)it) U i R t)+u L t) i L t)+l i L t) U i L t)+ L i L t) inhomogene DGL. Ordnung) 5. Aufladevorgang S): Lösen der Differentialgleichung Lösung der homogenen DGL Exponentialansatz: i Lh t) I Lh e t τ L ) τ Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: i L t)+ L i L t) I Lh e t τ + I Lh e t τ L τ ) + τ L i Lh I Lh e L t i Lp i L t )i L t )+ L i L t ) }{{} U Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 4

3 Gesamtlösung der DGL: i L t)i Lp + i Lh U + I Lh e L t Bestimmung der Konstanten I Lh über Anfangsbed. i L t ): U + I Lh e I Lh U i L t) U ) e L t 6. Verhältnis der Zeitkonstanten für Auflade- und Entladevorgang In Schalterposition 2 fließt der Strom über R 2 und L. τ 2 L τ L R 2 R 2 τ 2 R,5 L,5 L L 7. Entladevorgang S2): Lösen der Differentialgleichung Endwert des Aufladevorganges: i L t τ ) U e L t ) U e ),632 U Spannungsverlauf i L t > τ ) während des Entladevorganges: Direktes Aufstellen der DGL mit Hilfe folgender Überlegungen: Exponentieller Stromabfall von i L t) analog zum exponentiell steigenden Stromverlauf während des Aufladevorganges) Zeitkonstante: τ 2 R L 2 Endwert des Aufladevorganges i L t τ ) entspricht dem Anfangswert des Entladevorganges i L t τ + ), da sich der Strom in der Induktivität nicht sprunghaft ändern kann. Endwert des Endladevorganges: 8. Strom- und Spannungsverläufe i L t > τ ),632 U e t τ ) τ 2 i L t 2τ ),632 U e,5,4 U Stromverläufe i L t): i L t τ ) U e t τ ) I i L t τ ),632 U i L τ t 2τ )I e t τ τ 2 I 2 i L t 2τ ),4 U Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 4

4 .8 i L t) u L t).6 [ VU] ],ult)/.4.2 A U [ ilt)/ t/τ i L 2τ t 3τ )I 2 + U I 2 ) e t 2τ τ ) I 3 i L t 3τ ),684 U Spannungsverläufe u L t): u L t < τ ) U e t τ U u L t τ ),368 U u L τ t< 2τ ) I R 2 e t τ τ 2 U 2 u L t 2τ ),632 U R 2 e,5,2 U u L 2τ t< 3τ )U I 2 ) e t 2τ τ U 3 u L t 3τ ),859 U e,36 U Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 4

5 Aufgabe 2: Komplexe Wechselstromrechnung, Blindleistungskompensation 2 Punkte) I A C I L I R I C U U CD L R 2 C B D Y CD R 2 + jωl + jωc R 2 + jωc ωl ) Z AB + Z CD + Y CD + + R 2 R 2 ) 2 +ωc jωl )2 j R 2 + jωc ωl ) ωc Z CD 5,397+ j26,69 Ω Z AB 55,397+ j26,69 Ω ωl R 2 ) 2 +ωc ωl )2 U CD Z CD Z AB U 93,67+ j64,459 V I C U CD jωc,2+ j,29 A I L U CD jωl,25 j,298 A I R2 U CD,56+ j,7 A R 2 I I C + I L + I R2,34 j,6 A 4. ϕ U ϕ I arctan ImI ) ReI ),442 ϕϕ U ϕ I, Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 4

6 5. P U I cosϕ)78,42 W Q U I sinϕ)37,64 VA S P + jq 78,42+ j37,64 VA86,738e j,842 VA oder S U I 78,42+ j37,64 VA86,738e j,842 VA 6. Da die Spannung dem Strom vorauseilt Induktive) und die Leistungsfaktor sei is ein Kondensator dafür zu wählen. cosϕ P S 78,42W 86,738VA,94<cosϕ,93, Vor der Kompensation: Nach der kompensation: P 78,42 W, Q 37,64 VA ϕ arccos,93,376 P P 78,42 W, Q P tanϕ 3,994 VA Q Komp Q Q 6,7 VA C Komp Q Komp ωu 2 365,3 nf 7. Im Q Komp -6,7VA S S Q 37,64VA P P 78,42W Re Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 4

7 Aufgabe 3: Übertragungsfunktionen 3 22 Punkte). a) uz ir+ jωl) i H jω) i u R+ jωl mit T L + jωt R b) Tiefpassverhalten 2. a) uz i R+ ) i jωc H 2 jω) i u R+ jωc b) Tiefpassverhalten 3. a) uz i R+ jωl+ ) i jωc H 3 jω) i u R+ jωl+ jωc Koeffizientenvergleich mit liefert: H 3 jω)... + j2dω Ω 2 Man erhält: 2dΩωRC und Ω 2 ω 2 LC jωc + jωrc jωt 2 mit T 2 RC + jωt 2 Ωω LC ω ω ω LC jωc + jωrc ω 2 LC R jωrc + jωrc ω 2 LC d ωrc 2Ω 2 ω RC 2 H 3 jω) j2dω + j2dω Ω 2 b) Bandpassverhalten RC R C LC 2 L 4. Die Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit zwischen einem Strom und einer Spannung und hat deshalb die Einheit [ Ω ] [ AV ]. 5. Für z 2 gilt: z z 2 z z2 H4 jω) 2dΩ) 2 Ω 2 ) 2 +2dΩ) 2 4d 2 Ω 2 Ω 2 ) 2 + 4d 2 Ω Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 4

8 6. H 4 jω) j2dω Ω 2 )+ j2dω Ω 2 ) j2dω Ω 2 ) j2dω 4d2 Ω 2 + j2dω Ω 2 ) Ω 2 ) 2 + 4d 2 Ω 2 2dΩ Ω 2 ) ) Ω 2) H 4 jω)arctan 4d 2 Ω 2 arctan 2dΩ 7. H4 jω) 4d 2 Ω 2 Ω 2 ) 2 + 4d 2 Ω 2 + Ω2 ) 2 4d 2 Ω 2 Ω<< : lim H4 jω) lim Ω Ω + 2dΩ Ω2 2dΩ ) 2 2d Ω + 2dΩ Ω2 2dΩ ) 2 AΩ) 2lg2dΩ)2lg2d)+2lgΩ) Ω: lim Ω H 4 jω)arctan ) π 2 H4 jω) + 2d 2d Geradennäherung: AΩ) 2 lg2d) Ω>> : ) 2 ) H 4 jω)arctan 2d lim H4 jω) lim ) Ω Ω 2 + 2dΩ Ω 2dΩ Ω2 2d AΩ) 2lg 2d Ω )2lg2d) 2lgΩ) lim Ω H 4 jω)arctan ) π Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 4

9 Amplitude in db log2d) π 2 π 2 π Phase π 2 π Normierte Frequenz Abbildung 3.: Bode-Diagramm der Übertragungsfunktion H 4 jω) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 4

10 Aufgabe 4: Gleichstromsteller 3 Punkte). Der Effektivwert berechnet sich wie folgt: I T s Ts i 2 t)dt 6µs ) 5A 2 I t+ A dt µs 6µs 6µs ) 25A 2 I µs 6µs t2 + A2 t+ A dt 6µs 25A I 2 ) µs 3 6µs t3 + 5A2 6µs 6µs t2 + At 25A I 2 ) µs 3 6µs 6µs)3 + 5A2 6µs 6µs)2 + A6µs I µs 5A2 µs+ 3A 2 µs+ 6A 2 µs) I 95A 2 I 9,75A 2. Der Strom it) und die Spannung ut) werden am Transistor gemessen. Bei der Schaltungstopologie handelt es sich um eine Hochsetzsteller. 3. Die Größen lassen sich aus dem Diagramm ablesen oder berechnen. T s µs f s T s khz T e 6µs T a T s T e 4µs D T e T s,6 U 2 2V U U 2 D)48V Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 4

11 4. Die Induktivtät der Drossel berechnet sich aus der der Maschengleichung für den eingeschalteten Transistor: U U L U U L L di Lt) dt L U t i L 48V6µs 5A L576µH 5. Der maßstäbliche Stromverlauf ist in der Abbildung?? zu finden. 6. Der Mittelwert des Diodenstromes ergibt sich aus: i D Ts i D t)dt T s i D µs 4µs 5A t+ 5A 4µs ) dt i D 5A ) 4µs µs 2 4µs t2 + 5A t i D 5A ) µs 2 4µs 4µs)2 + 5A 4µs i D A 2 µs+ 6A 2 µs ) µs i D 5A 7. Der Lastwiderstand R kann aus der Ausgangsspannung U 2 und dem Mittelwert des Diodenstromes I D berechnet werden. R U 2 I 2 R U 2 i D R 2V 5A R24Ω 8. Der zeitliche Verlauf der Leistung p L t) ist in?? dargestellt Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 4

12 9. Die Schaltung befinde sich an der Lückgrenze. Für den Spulenstrom gilt hierbei: i L T S ) i D T S ). i D Ts i D t)dt T s i D µs 4µs i D µs i D µs 5A t+ 5A 4µs 5A 2 4µs t2 + 5At ) dt ) 4µs 5A 24µs 4µs)2 + 5A 4µs i D µs A2 µs+ 2A 2 µs) i D A R 2V A R2Ω ). i D T s U L i,67a oder i D D) T s U 2 L i,67a,2 µs 48V 576µH,2,2) µs 6V 576µH beachte die Ausgangsspannung ist in diesem Fall nicht U 2 2V, sondern U 2 D U 6V Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 4

13 u 2V ut) 6V 2µs 4µs 6µs 8µs µs 2µs 4µs 6µs 8µs 2µs t i 5A it) A 5A i D 2µs 4µs 6µs 8µs µs 2µs 4µs 6µs 8µs 2µs t 5A A 5A t p L 72W 48W t -72W -p L -8W Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 4

14 Aufgabe 5: Gleichstrommaschine 8 Punkte). Ersatzschaltbild rot gilt für Aufg.4) R A I n L A U n R E L E ωψ E ψ E 2. Ersatzschaltbild-Parameter π ω n 34 6s 3 π ω n n n 3 57,8s ψ E U n ω 76,4mVs R A U n ω n ψ E I n,6ω L A τ T R A 6mH 3. Drehmoment im Arbeitspunkt: T n,53nm 4. Auslegung des Erregerkreises: a) R E U n I E,n 48Ω b) L E τ E R E 48mH; L E ψ E In c) N E c m L E L E Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 4