Grundlagen der Elektrotechnik B

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1 Prof. Dr. Ing. Joachim Böcker Grundlagen der Elektrotechnik B Name: Matrikelnummer: Vorname: Studiengang: Fachprüfung Leistungsnachweis Aufgabe: (Punkte) 1 (11) 2 (17) 3 (14) 4 (12) 5 (13) Punkte Klausur Punkte Tests Note Bearbeitungszeit: 120 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: eine selbsterstellte, handgeschriebene Formelsammlung (1 Blatt DIN A4, beidseitig beschrieben, keine Kopien oder Ausdrucke) ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner ohne grafikfähiges Display Zeichenmaterialien (Zirkel, Geodreieck, Lineal, Stifte ) Bitte Studienausweis mit Lichtbild bereitlegen! Bitte beschriften Sie jeden Klausurbogen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Benutzen Sie für jede Aufgabe einen neuen Klausurbogen. Verwenden Sie keine Bleistifte und keine roten Stifte. Alle Lösungswege sind nachvollziehbar zu dokumentieren und zu kommentieren! Die Angabe eines Endergebnisses ohne erkennbaren Lösungsweg wird nicht gewertet. Viel Erfolg! Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 1 von 15

2 Aufgabe 1: Signalkenngrößen (11 Punkte) An einem idealen Kondensator mit der Kapazität von C = 100 mf liege für eine Dauer von T = 10 s der im Bild dargestellte Strom i c (t) an. Zum Zeitpunkt t = 0 s betrage die Spannung über den Kondensator u(t = 0) = 0 V. i(t) in A 2,0 1,5 1,0 0,5 i(t) u(t) -0, t in s C -1,0 1.1 Geben Sie allgemein die Spannung u c (t) in Abhängigkeit des Stroms i c (t) an einer Kapazität C an. i C (t) = Cu C = C dd(t) dd u C(t) = u C(t0 ) + 1 C i C(t)dd 1.2 Bestimmen Sie den Gleichrichtwert der Spannung im Intervall [0;T]. ı C = 1 T T 0 i C(t) dd 2s 6s = 1 2A 2A dd + 1A dd + t dd T 0 2s 6s 2s = 1 [4AA + 6AA 2AA + 32AA 18AA] 10s = 1 [22 AA] = 2, 2 A 10s 8s 1.3 Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung u(t) in das unten angegebene Diagramm. Bitte achten Sie auf geeignete Achsenbeschriftungen und -skalierung. 1.4 Wie groß ist die innere Energie W C der Kapazität zum Zeitpunkt t 1 = 2 s und t 1 = 6 s? Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 15

3 w C (t) = 1 2 Cu 2 C(t) w C(t1 =2 s) = mm (20 V)2 = 20 J w C(t2 =6 s) = mm (0 V)2 = 0 J 1.5 Skizzieren Sie den Verlauf der inneren Energie. i C (t) 2,0 A 1,5 A 1,0 A 0,5 A u c (t) 40 V 80 J 20 V 20 J -0,5 A -1,0 A t/s Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 15

4 Aufgabe 2: Ausgleichsvorgang/Schwingkreis (17 Punkte) Gegeben sei folgendes Netzwerk mit dem Widerstand R, der Spule L, dem Kondensator C und der idealen Spannungsquelle U 0. S u R (t) U 0 R i L u L (t) L u C (t) i C C 2.1 Geben Sie für die geöffnete Schalterstellung die Formeln für: a) die Kennfrequenz f 0 des aus L und C bestehenden Schwingkreises und 1 f 0 = 2π LL b) dessen Kennwiderstand Z 0 an. Z 0 = L C Der Schalter S sei nun zunächst für t < 0 geschlossen. Alle Ausgleichsvorgänge seien abgeklungen. 2.2 Geben Sie die Werte folgender Größen mit Begründung an: a) Spannung über der Spule L: u L (t = 0 - ), u L (t = 0 ) = 0 V (Ausgleichsvorgänge sind abgeklungen und daher gilt: ı L(t = 0 ) = 0 u L (t = 0 ) = L ı L(t = 0 ) = 0 V) b) Spannung über dem Kondensator C: u C (t = 0 - ), u C (t = 0 ) = 0 V (Maschenregel) c) Kondensatorstrom i C (t = 0 - ), i C (t = 0 ) = 0 A (Kapazität sperrt Strom) d) Spulenstrom i L (t = 0 - ). i L (t = 0 ) = U 0 R, (u L(t = 0 ) = u C (t = 0 ) = 0 u R (t) = U 0 und Ohmsches Gesetz) Der Schalter S werde nun zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. 2.3 Geben Sie die Werte folgender Größen direkt nach dem Schaltvorgang an (mit Begründung): a) Spannung über der Spule L: u L (t = 0 + ), Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 15

5 u L (t = 0 + ) = 0 V (Maschenregel unter Berücksichtigung von u C (t = 0 + ) = 0) b) Spannung über dem Kondensator C: u C (t = 0 + ), u C (t = 0 + ) = 0 V (Spannung über der Kapazität kann sich nicht sprunghaft ändern) c) Kondensatorstrom i C (t = 0 + ), i C (t = 0 + ) = U 0 R (Knotenregel unter Berücksichtigung von i L(t = 0 + ) = U 0 R ) d) Spulenstrom i L (t = 0 + ). i L (t = 0 + ) = U 0 R (Strom in der Induktivität kann sich nicht sprunghaft ändern) 2.4 Bestimmen Sie die zeitlichen Mittelwerte folgender Größen, die sich für t > 0 einstellen (mit Begründung): a) Spannung über der Spule L: u L, u L = 0 V (über der Induktivität darf im Mittel keine Spannung anliegen, da ansonsten gelten würde: i L = 1 L u Ldd ± innere Energie der Spule W L = 1 Li 2 L 2, obwohl dem Schwingkreis für t>0 keine Energie zugeführt wird) b) Spannung über dem Kondensator C: u C, u C = 0 V (Maschenregel) c) Kondensatorstrom i C, i C = 0 A (durch die Kapazität darf im Mittel kein Strom fließen, da ansonsten gelten würde: u C = 1 C i Cdd ± innere Energie des Kondensators W C = 1 Cu 2 C 2, obwohl dem Schwingkreis für t>0 keine Energie zugeführt wird) d) Spulenstrom i L. i L = 0 A (Knotenregel) 2.5 Stellen Sie die Differenzialgleichung (DGL) für die Kondensatorspannung u C (t) für Zeiten t > 0 auf. u Ċ (t) = i C (t) u C C(t) = ı C (t) C ı C(t) = C u C(t) (1) u C (t) = u L (t) = L ı L(t) = L ı C(t) ı C(t) = 1 L u C(t) (2) (1) und (2) gleichsetzen: C u C(t) = 1 L u C(t) 0 = LL u C(t) + u C (t) 2.6 Lösen Sie die Differentialgleichung: a) Geben Sie den allgemeinen Ansatz zur Lösung der DGL an. Exponential-Ansatz: u(t) = U e ss u(t) = U C cos(ω 0 t) + U S sin(ω 0 t) b) Stellen Sie die Anfangsbedingungen zur Lösung der DGL auf. u C (0) = 0 V u C(0) = i C(0) C = i L(0) C = U 0 RR c) Ermitteln Sie die Schwingungsgleichung für die Spannung u C (t) für Zeiten t > 0 durch Einsetzen der Anfangsbedingungen Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 15

6 u C (0) = U C cos(0) + U S sin(0) = U C = 0 u C (t) = U S sin(ω 0 t), mit ω 0 = 1 u C(t) = U S ω 0 cos(ω 0 t) u C(0) = U S ω 0 = U 0 RR U S = U 0 R L C u C (t) = U 0 R L C sin t LL LL 2.7 Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Ströme i C (t) und i L (t) sowie der Spannung u C (t) für -T/4 < t < 5/4 T in dem nachfolgend gegebenen Diagramm. Geben Sie die Maximalwerte der Ströme und der Spannung an. (T sei die Periodendauer) Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 15

7 Aufgabe 3: Übertragungsfunktion, komplexe Wechselstromrechnung (14 Punkte) Gegeben sei der abgebildete Zweig einer Wien-Brückenschaltung. Der Brückenzweig lässt sich auch mit Hilfe des rechts angegebenen Ersatzschaltbildes darstellen. I 1 R 1 Erstazschaltbild Z 1 U 1. L 1 I 2 U 1 Z 2 U 2 L 2 R 2. U 2 Der Ausgang des Brückenzweigs sei unbelastet, sodass für den Strom I 2 = 0 A gelte. Bekannt seien außerdem folgende Werte: j 0 U 1 = 230 V e L 1 = 150 mh R 1 = 100 Ω f = 50 Hz L 2 = 100 mh R 2 = 40 Ω 3.1 Berechnen Sie die komplexen Widerstände Z 1 und Z 2 des Ersatzschaltbildes. Z 1 = R 1 + jjl 1 = R 1 + j 2ππL Ω + j 47,12 Ω 110,55 e j 25,23 Ω Z 2 = R 2 jjl 2 = 1 R = R 2 (ωl 2 ) 2 jjl 2 R (ωl 2 ) + j R 2 2 ω L 2 2 R (ωl 2 ) 2 Z 2 15,26 Ω + j 19,43 Ω 24,71 e j 51,85 Ω 3.2 Berechnen Sie die Spannung U 2. Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen U 2 und U 1? I 1 = U e j 0 V Z 1 + Z Ω + j47,12 Ω + 15,26 Ω + j19,43 Ω 1,728 e j 30 A U 2 = Z 2 I 1 24,71 e j 51,85 Ω 1,728 e j 30 A 42,70 e j 21,85 V Phasenverschiebung zwischen U 2 und U 1 : 21,85 alternativ als Spannungsteiler zu betrachten: U 2 = Z 2 Z 1 + Z 2 U 1 24,71 e j 51,85 Ω 100 Ω + j 47,12 Ω + 15,26 Ω + j 19,43 Ω 230 ej 0 V Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 15

8 U 2 24,71 ej 51,85 Ω 133,09 e j 30,00 Ω 230 ej 0 V 42,70 e j 21,85 V 3.3 Zwischen welcher unteren und oberen Schranke kann die Phasenverschiebung zwischen U 2 und U 1 liegen, wenn beliebige Variationen von Induktivitäts- und Widerstandswerten bei dieser Schaltung erlaubt wären? Phasenverschiebung - untere Schranke (z. B. falls L 2 L 1 und R 2 R 1 ): obere Schranke (z. B. falls L 2 L 1 und R 2 R 1 ): Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm für die Spannungen in der Schaltung. Als Maßstab ist hier 5 mm 10 V zu wählen. Ermitteln Sie anhand des Zeigerdiagramms die Spannungszeiger U R1, U R2, U L1 sowie U L2, die an den entsprechenden Bauelementen anliegen. Zeichnen Sie zuvor die Zählpfeile dieser Größen in die Schaltungsskizze ein. Geben Sie die Spannungen nach Betrag und Phase an Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 15

9 U 2 = U R2 = U L2 24,71 ej 51,85 Ω 133,09 e j 30,00 Ω 230 ej 0 V 42,70 e j 21,85 V U R1 173 e j 30 V ; U L1 81 e j 60 V 3.5 Welche Frequenz (f > 0 Hz) wäre statt des oben gegebenen Werts zu wählen, damit keine Phasenverschiebung zwischen U 2 und U 1 auftritt? keine Phasenverschiebung zwischen U 2 und U 1, sofern: Im U 2 U 1 = 0 bzw. Im U 1 U 2 = 0 U 1 U 2 = Z 1+Z 2 Z 2 = 1 + Z 1 Z 2 = 1 + R 1 +jx L1 1 R2 + 1 j X L2 1 = 1 + (R 1 + jx L1 ) 1 R 2 j 1 X L2 U 1 U 2 = 1 + R 1 R 2 + j X L1 R 2 j R 1 X L2 X L1 X L2 = R 1 R 2, mit X L = ωω + X L1 X L2 Im U 1 U 2 = X L1 R 2 R 1 X L2 und Im U 1 U 2 = 0: ωl 1 ωl 2 = R 1 R 2 f = 1 2π R 1R 2 = Hz 82,19 Hz L 1 L 2 2π 0,15 0,10 Der Ausgang des Brückenzweigs werde nun bei f = 50 Hz mit einer realen Spule belastet. Diese habe eine Reaktanz von 31,42 Ω und einen Scheinwiderstand von 32,97 Ω. 3.6 Geben Sie die Induktivität L sowie den Innenwiderstand R L dieser Spule an. X L = ωω = 2πππ L = X L = 31,42 Ω = 100 mh 2ππ 2π 50 Hz Z L = R L 2 + X L 2 R L = Z L 2 X L 2 = (32,97 Ω) 2 (31,42 Ω) 2 10,0 Ω 3.7 Bestimmen Sie den Eingangsstrom I 1 sowie den eingangsseitig Leistungsfaktor und die aufgenommene Wirk-, Schein- und Blindleistung. Z: komplexer Ersatzwiderstand der Schaltung Z = Z 1 + Z 2 (R L + jx L ) = Z Z R L + jx L Z = 100 Ω + j 47,12 Ω + Z 122,5260 e j 29,1182 Ω ,71 e j 51,85 Ω 10,0 Ω+j 31,42 Ω 1 I 1 = U 1 Z = 230 V e j 0 122,5260 e j 29,1182 Ω 1,8772 e j 29,12 A S = U 1 I 1 = 230 V e j 0 1,8772 e j 29,12 A Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 15

10 S 431,76 e j 29,12 VA 377,18 W + j 210,11 VA P = 377,18 W; Q = 210,11 VA; S = 431,76 VA Leistungsfaktor: λ = P S = 377,18 W 431,76 VA 0, Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 10 von 15

11 Aufgabe 4: Magnetischer Kreis (12 Punkte) Gegeben sei der dargestellte magnetische Kreis, bestehend aus zwei Eisenkernen mit unterschiedlichen Querschnittsflächen. Die Wicklung auf dem U-Kern habe N = 3000 Windungen und werde vom Strom I = 10 A durchflossen. An den Übergangsstellen seien Luftspalte zu berücksichtigen. Die Spaltbreite d darf dabei aber als klein gegenüber den anderen geometrischen Abmessungen angenommen werden. Für die Eisenkerne gelte (l Fe,1 = 50 cm, l Fe,2 = 30 cm, A Fe,1 = 150 cm², A Fe,2 = 60 cm², µ r = 10). U I μ 0 = 4π 10-7 H m l Fe,1 g 9,81 m s 2 l Fe,2 N d A Fe,1 l Fe,1 A Fe,2 m 4.1 Skizzieren Sie das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises und vereinfachen Sie dieses, soweit es geht. N I R FE,1 N I R FE,ges R FE,2 R FE,2 R L (d) R L (d) R L,ges (d) R FE, Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 11 von 15

12 4.2 Geben Sie den magnetischen Gesamtwiderstand R M (d) als Funktion der Variable d an. R FF,1 = R ggg = R FF, R FF,2 + R FF,3 + 2 R L(d) R ggg = R FF,ggg + R L,ggg l FF,1 A FF,1 μ 0 μ r = 0,5 m m 2 4π 10 7 H m = 2,65 M A VV R FF,2 = 1,59 M A VV l FF,1 0,5 m R FF,3 = = A FF,2 μ 0 μ r m 2 4π 10 7 H = 6,63 M A VV m R FF,ggg = R FF,1 + 2 R FF,2 + R FF,3 = 12,467 M A VV d R L = A FF,1 μ 0 R ggg = 11, 444 M A VV + 2 d A FF,1 μ Berechnen Sie den verketten Fluss Ψ. Ψ = N φ = N2 I R ggg Ψ = A R_ggg(d = 1mm) = A 12,573 M A = 7, 111 VV VV Geben Sie hier eine Formel ein. 4.4 Geben Sie die Luftspalthöhe d an, in der sich eine magnetische Flussdichte b L = 100 mt einstellt. b L = φ L N I = A FF,1 A FF,1 R ggg N I R ggg = A FF,1 b L N I R FF,ggg + 2 R L = A FF,1 b L 2 d N I = R A Fe,1 μ 0 A FF,1 b FF,ggg L d = 1 2 A N I FF,1 μ 0 R A FF,1 b FF,ggg L d = m A μ m 2 0, 1 T 11, 444 M A = 0, 000 m VV Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 12 von 15

13 4.5 Bei welcher Luftspalthöhe d 1 schwebt das Werkstück m=20 kg? Beachten Sie µ r = 10 F = 2 A FF,1 p F = 2 A FF,1 1 2 (b L h L b FF h FF ) F = 2 A FF,1 1 2 b L 2 b 2 2 L b L = A μ 0 μ 0 μ FF, = A r μ 0 μ FF,1 φ r μ 0 A FF,1 μ r 2 1 N I F = A FF,1 1 1 μ 0 A FF,1 R ggg μ r 1 1 μ R ggg = R FF,ggg + 2 R L = I N r A FF,1 μ 0 m g d = A FF,1 μ μ 2 I N r A FF,1 μ 0 m g R FF,ggg] d = 0, Es gilt nun µ r : Wie groß darf jetzt die Masse m sein, dass sie bei der Luftspalthöhe d 1 schwebt? F = 2 A FF,1 p F = 2 A FF,1 1 2 (b L h L ) F = 2 A FF,1 1 2 b L 2 μ 0 F = 2 A FF,1 1 I N 2μ 0 R L,ggg (d = 2,2mm) A FF,1 F = 2 A FF,1 1 I N 2μ 0 R L,ggg (d = 2,2mm) A FF,1 F = 8778 N m = F = 888, 88 kk g Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 13 von 15

14 Aufgabe 5: Gleichstrommaschine (13 Punkte) Ein Gleichstrom-Reihenschlussmotor werde mit einem Strom von I = 10 A gespeist. Das im Stillstand (ω = 0) gemessene Losbrechdrehmoment betrage T = 2,3 Nm bei U = 5 V Klemmenspannung. 5.1 Zeichnen Sie das dynamische Ersatzschaltbild des Motors und geben Sie die Maschengleichung für den instationären Fall an. (2 Punkte) i R E L E R A L A U U i = Ψ E ω = L E i ω Maschengleichung: U = R E i + L E ı + R A i + L A ı + U i 5.2 Bestimmen Sie den Innenwiderstand R i und die wirksame Erregerinduktivität L E. (2 Punkte) Im Stillstand: U = R i i R i = U i = 5 V 10 A = 0,5 Ω T = L E i E i A = L E i 2 L E = T 2,3 Nm i2 = (10 A) 2 = 23 mh Im Folgenden werde der Motor mit einer Klemmenspannung U = 50 V betrieben. Das Drehmoment betrage T = 15 Nm. 5.3 Welche Drehzahl n stellt sich ein? (5 Punkte) i = T L E 15 Nm = 23 mh = 25,54 A ω = U i L E i = U R i i 50 V 0,5 Ω 25,54 A = = 63,38 1 L E i 23 mh 25,54 A s n = ω 2π 60 s 1 min = 63,38 1 s 2π 60 s = 605 min 1 1 min Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 14 von 15

15 5.4 Bestimmen Sie die mechanische Leistung P mmmm und die elektrische Leistung P ee. (2 Punkte) P mmmm = ω T = 63, Nm = 950,7 W s P ee = U I = 50 V 25,54 A = 1,28 kw 5.5 Welchen Wirkungsgrad η hat der Motor? (2 Punkte) η = P mmmh P ee = 950,7 W 1,28 kw = 0, Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 15 von 15