Grundlagen der Elektrotechnik B

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1 Prof. Dr. Ing. Joachim Böcker Grundlagen der Elektrotechnik B Name: Matrikelnummer: Vorname: Studiengang: Fachprüfung Leistungsnachweis Aufgabe: (Punkte) (4) 2 (20) 3 (22) 4 (20) 5 (24) Note Klausur Note Tests Note Bearbeitungszeit: 20 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: eine selbsterstellte, handgeschriebene Formelsammlung ( Blatt DIN A4, beidseitig beschrieben, keine Kopien oder Ausdrucke) ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner ohne grafikfähiges Display Zeichenmaterialien (Zirkel, Geodreieck, Lineal, Stifte ) Bitte Studienausweis mit Lichtbild bereitlegen! Bitte beschriften Sie jeden Klausurbogen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Benutzen Sie für jede Aufgabe einen neuen Klausurbogen. Verwenden Sie keine Bleistifte und keine roten Stifte. Alle Lösungswege sind nachvollziehbar zu dokumentieren und zu kommentieren! Die Angabe eines Endergebnisses ohne erkennbaren Lösungsweg wird nicht gewertet. Viel Erfolg! Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 5

2 Aufgabe : Signalkenngrößen (4 Punkte) Gegeben sei ein Wechselstromgleichrichter, der die Netzspannung (U 230 V, f 50 Hz) in eine pulsierende Gleichspannung gleichrichtet. Am Ausgang der Schaltung sei eine 230 V/ 60 W Glühbirne angeschlossen, die vereinfacht als ein ohmscher Widerstand modelliert werden kann. Die Bauelemente werden als ideal angenommen! i 2 (t) u (t) i (t) D D 3 R u 2 (t) D 2 D 4. Wie groß ist die Amplitude des Ausgangssignals u 2(t)? ( Punkt) Û 2 Û U k s , 27 V.2 Geben Sie sowohl den Gleichrichtwert der Eingangsspannung, als auch den Gleichrichtwert der Ausgangsspannung an und vergleichen Sie diese beiden miteinander. Was fällt dabei auf? Geben Sie eine kurze Begründung dazu? (4 Punkte) U 2π 2π 325,27 V sin(ωt) dωt 0 U 2π 2π 325,27 V sin(ωt) dωt U π 325,27 V 2 sin(ωt) dωt 2π 0 0 U 325,27 π V [ cos(π) + cos(0)] U 207,07 V U 2 U 207,07 V Alternativlösung: U T T u(t) dt 2 T/2 T 2U sin(ωt) dt U [( T ω cos(ωt)] T/ Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 5

3 2 2U [ T ω cos (2π T T 2 ) + ω cos(0)] 2 2U 2 T 2π T 2 2U π 0,6366 Û 207,07 V U 2 U 207,07 V Die Spannung u 2 (t) ist die Spannung, die sich durch die Gleichrichtung der Spannung u (t) ergibt. Somit entspricht der Gleichrichtwert von u (t) dem Gleichrichtwert von u 2 (t)..3 Geben Sie den Formfaktor des Ausgangssignals an. (Hinweis: Der Effektivwert muss nicht durch Lösung des Integrals bestimmt werden) (2 Punkte) k f U 2 U 230 V 2 207,07 V, Die Effektivwerte von u (t) und u 2 (t) sind gleich, da der Effektivwert durch die ideale Gleichrichtung nicht beeinflusst wird..4 Welchen Wert hat der Widerstand R? (2 Punkte) P Lampe U 2 N,Lampe R Lampe R Lampe U 2 N,Lampe (230 V)2 P Lampe 60 W 88, 6 Ω.5 Zeichnen Sie in einem Diagramm die Spannung u 2(t), den Strom i 2(t), sowie die Momentanleistung p 2(t) an der Glühbirne für eine Periode ein. Geben Sie dabei auch die Kenngrößen der Signalverläufe (Periodendauer und die jeweiligen Amplituden der drei Signale) an. (5 Punkte) u 2 (t) 325,27 V sin(ωt) i 2 (t) ( u 2(t) R Lampe ) 325,27 V 88,6 Ω sin(ωt) 368,93 ma sin(ωt) p 2 (t) u 2 (t) i 2 (t) 20 W sin(ωt) Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 5

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5 Aufgabe 2: Ausgleichsvorgang (20 Punkte) Gegeben sei folgendes Netzwerk mit den Widerständen R und R 2, dem Kondensator C und der idealen Stromquelle I 0. S Pos. 2 Pos. I 0 i C i R u(t) R C R 2 Der Schalter S sei für t 0 s zunächst in Position geschaltet und die Schaltung befinde sich im eingeschwungenen Zustand. Zum Zeitpunkt t 0 s werde der Schalter S von Position in Position 2 geschaltet. 2. Geben Sie die Werte der Größen u(t 0 ), i R(t 0 ) und i C(t 0 ) an und begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte) u(t 0 ) 0, da Kondensator vollständig über R 2 entladen (Ausgleichsvorgang abgeschlossen) i c (t 0 ) 0, da u(t) 0 und Ausgleichsvorgang abgeschlossen i R (t 0 ) 0, da i R(t) i C (t) Geben Sie die Werte der Größen u(t 0 + ), i R(t 0 + ) und i C(t 0 + ) an und begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte) u(t 0 + ) 0, da u(t) nicht sprungfähig ist i R (t 0 + ) 0, da i R (t) u (t) R 0 R 0 i c (t 0 + ) I 0, da i C I 0 i R I 0 0 I Leiten Sie die Differentialgleichung für u(t) für t 0 s her. (4 Punkte) Knotengleichung: Maschengleichung: Bauteilgleichung: I 0 i C (t) + i R (t) u c (t) u R (t) u(t) u R (t) Ri R (t) i C (t) Cu c(t) Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 5

6 > u(t) u R (t) R 2 i R (t) R 2 (I 0 i C (t) ) R 2 I 0 R 2 i c(t) R 2 I 0 R 2 Cu C(t) R 2 I 0 R 2 Cu (t) > R 2 Cu (t) + u(t) R 2 I Lösen Sie die Differenzialgleichung. Wie groß ist die maßgebliche Zeitkonstante τ der Schaltung? (6 Punkte) a) Lösung der homogenen DGL durch Exponentialansatz: u h (t) U h0 e t τ R 2 C ( τ ) U hoe t τ + U h0 e t τ 0 > τ R 2 C b) Lösung des inhomogenen Teils der DGL: DGL ist für t > stationär > u h (t) U h0 e t R 2 C > partikuläre Lösung: u p (t) R 2 I 0 c) Allgemeine Lösung: u(t) u h (t) + u p (t) u(t) U h0 e R 2C + R 2 I 0 d) Einsetzen des Anfangswertes u(t 0) 0 > u(t 0) U ho e 0 + R 2 I 0 0 t > U h0 R 2 I 0 t ( > u(t) R 2 I 0 ( e R 2 C ) ) Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 5

7 2.5 Skizzieren Sie den Spannungsverlauf u(t) sowie die Stromverläufe i C(t) und i R(t) für t 0 s. Kennzeichnen Sie in Ihrer Zeichnung die Zeitkonstante τ, sowie die Anfangs- bzw. Endwerte der einzelnen Signalverläufe. (4 Punkte) i R (t) u(t) R 2 I 0 ( e t R 2 C ) i C (t) I 0 i R (t) I 0 I 0 ( e R 2 C ) I 0 e t t R 2 C u(t) R 2 I 0 I 0 i R (t) τ t τ i C (t) t Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 5

8 Aufgabe 3: Übertragungsfunktion, komplexe Wechselstromrechnung (22 Punkte) Gegeben sei folgendes Netzwerk: S I I 2 C U R U 2 L Der Ausgang des Zweitors sei unbelastet, sodass für den Strom I 2 0 A gelte. Der Wert des Widerstandes betrage R 0 Ω und die Induktivität der Spule sei L 4 mh. Der Schalter S ist zunächst geschlossen! 3. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H (jω) U 2(jω) U (jω) H (jω) Re{H (jω)} + j Im{H (jω)} dar. (3 Punkte) H(jω) U 2 U R jωl + R + jω L R und stellen Sie diese in der Form + jωτ mit τ L R jωτ H(jω) + jωτ jωτ jωτ + ω 2 τ 2 + ω 2 τ 2 j ωτ + ω 2 τ Bestimmen Sie für allgemeine Kreisfrequenzen ω den Betrag H (jω) und die Phase φ(ω) der Übertragungsfunktion H (jω). (4 Punkte) 2 ωτ 2 H(jω) ( + ω 2 τ 2) + ( + ω 2 τ 2) + ω2 τ 2 ( + ω 2 τ 2 ) 2 + ω 2 τ 2 + (ωτ) Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 5

9 φ(ω) arctan ( I{H(jω)} R{H(jω)} ) arctan ( ωτ ) arctan (ωτ) 3.3 Um was für einen Filtertyp handelt es sich? ( Punkt) ωτ : H(jω) A(jω) 20dB log() 0dB φ(ωτ) 0 ωτ : H(jω) 2 A(jω) 20dB log ( 2 ) 3,0dB φ(ωτ) arctan( ) 45 ωτ : H(jω) ωτ A(jω) 20dB log ( ωτ ) φ(ωτ) arctan( ωτ) π 2 > Tiefpass 3.4 Zeichnen Sie die komplexe Ortskurve des Filters. Markieren Sie die charakteristischen Frequenzen. (4 Punkte) R{H(jω)} + ω 2 τ 2 (immer positiv) ωτ (immer negativ) I{H(jω)} + ω 2 τ 2 ωτ 0 > R{H{jω} ωτ > R{H(jω)} 2 ωτ > R{H(jω)} 0 ωτ 0 > I{H(jω)} 0 ωτ > I{H(jω)} 2 ωτ > I{H(jω)} 0 Im{H(jω)} ωτ 0 ωτ 0 0,5 Re{H(jω)} -0,5 H(jω ) ωτ ω Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 5

10 3.5 Für welche Frequenz ω sind die Beträge des Real- und Imaginärteils gleich groß, d.h. Re{H (jω)} Im{H (jω)}? Zeichnen Sie den Zeiger der Übertragungsfunktion H (jω ) für diese Frequenz in der Zeichnung der komplexen Ortskurve aus Aufgabenpunkt 3.4 ein. (2 Punkte) Nun wird der Schalter S geöffnet! ω τ > ω τ R L 0 Ω 4 mf 2500 s Zudem werde die Schaltung eingangsseitig an das 230 V / 50 Hz Energieversorgungsnetz angeschlossen und der Ausgang sei weiterhin unbelastet. Die Schaltung nehme dabei einen Gesamtstrom von I 6 A auf. Der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom betrage hierbei φ -45,9. Die aus dem Netz entnommene Wirkleistung betrage P Gesamt 2560 W. 3.6 Bestimmen Sie den Leistungsfaktor λ der Schaltung. Hat die Schaltung induktiven oder kapazitiven Charakter? ( Punkt) alternativ: λ cos(φ) cos(φ ) cos( 45,9 ) 0,695 kap. λ cos(φ) P Gesamt S P Gesamt I U 2560 W 0,695 kap. 6 A 230 V 3.7 Bestimmen Sie die Kapazität C des Kondensators. (4 Punkte) Alternativ: Z U 230 V ej0 I 6 A e j45,9 4,375 Ω e j45,9 0 Ω j0,3 Ω jωc + jωl + R > j + jωl j0,3 Ω ωc C 0,3 Ω + ωl ωc 275,4 μf (0,3 Ω + ωl)ω Q U I sin(φ) 230 V 6 A sin( 45,9 ) 2642,7 VA Q I 2 X > X Q I 2 ωl ωc ωc ωl Q 2 I 2π50 ( 2642,7VA) 4 mh s (6 A) 2,58 Ω X C C ωx C Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 0 von 5 2π50 s,58 Ω 274,88 μf 3.8 Bei welcher Frequenz f würde die Schaltung rein ohmsches Verhalten aufweisen? (3 Punkte)

11 jωc jωl > ω2 LC > ω 2 LC > ω LC 4 mh 275,4 μf 952,77 s f ω 5,64 Hz 2π Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 5

12 Aufgabe 4: Magnetischer Kreis (20 Punkte) Gegeben sei der dargestellte Transformator, der bis auf den Luftspalt ideale Eigenschaften besitze, also unter anderem aus aus hochpermeablen Material (µ r ) hergestellt sei. Eingangsseitig liege die Netzspannung (U 230 V, f 50 Hz) an, ausgangsseitig sei die Last R angeschlossen. Primärseitig habe der Transformator die Windungszahl N 300 und sekundärseitig N Der mittlere Eisenweg sei l Fe 50 cm und die Querschnittsfläche A Fe 30 cm 2. Die primärseitige Scheinleistung betrage S 058 VA. d I A Fe l Fe I 2 N N 2 R μ 0 4π 0-7 H m 4. Geben Sie das Übersetzungsverhältnis α an. ( Punkt) α N N , Berechnen Sie den ohmschen Widerstand R der Last. (5 Punkte) I S U 4,6 A I 2 αi 5,75 A S S 2 RI 2 2 > R S 2 I Ω 4.3 Wie groß ist der Scheitelwert des primärseitigen magnetischen Verkettungsflusses ψ? (5 Punkte) U Ψ U 2U sin(ωt) Ψ (t) 2U cos (ωt) ω ψ Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 5

13 2 230 V ψ 2π 50,035 Vs s 4.4 Berechnen Sie die maximale Flussdichte b Fe im Eisen und im Luftspalt b Lu. (2 Punkte) ψ N Φ Fe N b Fe A Fe 2 U ω b Fe 2 U ωn A Fe,5 T b Fe b Lu 4.5 Wie groß ist die Luftspaltlänge d des gegebenen Transformators? (4 Punkte) R magn NI Φ Fe NÎ Φ Fe 2N I b Fe A Fe ,68 A Vs > R magn,fe ist wegen μ r zu vernachlässigen d μ o A Fe R magn 2,3 mm Nun soll ein identischer Transformator mit den gleichen Spezifikationen, aber ohne Luftspalt gebaut werden. Der mittlere Eisenweg l Fe, sowie die Querschnittsfläche A Fe sollen dabei unverändert bleiben. 4.6 Berechnen Sie hierfür die benötigte Permeabilität μ r des Kernmaterials. (3 Punkte) μ r > mögliches Material: FeNi-Pulverkerne l Fe μ 0 A Fe R magn 234, Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 5

14 Aufgabe 5: Gleichstrommaschine (24 Punkte) Gegeben sei eine Gleichstrommaschine mit der dargestellten Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik. Die Nennspannung betrage U N 400 V, die Nenndrehzahl n N 952 min -. T / Nm UU N n / min - 5. Bei welchen Schaltungsarten zeigt der Gleichstrommotor das skizzierte Drehmoment-Drehzahl- Verhalten? Zeichnen Sie das dynamische Ersatzschaltbild einer Schaltungsart. (3 Punkte) Nebenschlussmaschine Fremderregte/ permanenterregte Gleichstrommaschine i A R A L A i i E i A R A L A i E R E U A U E R E L E u i UU A U E L E u i 5.2 Bestimmen Sie den effektiven Erregerfluss Ψ E der sich bei Nennspannung ergibt. (3 Punkte) Ausgangsgleichung: u A R A i A + u i u i Ψ E ω R A T Ψ E + ωψ E T Ψ E i A T U AΨ E R A Ψ 2 E ω R A Bei Aufgabe 5.2 die Leerlaufdrehzahl aus der Kennlinie ablesen und bei 5.3 das Anlaufdrehmoment ebenfalls aus der Kennlinie entnehmen Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 5

15 Ψ E U N U N 230 V 60 ω 0 2πn o 2π 2000,9 Vs s 5.3 Wie groß ist der Ankerwiderstand R A des Motors? (3 Punkte) T 0 Ψ E U R A > R A Ψ E U N A T 0,9 Vs 400 V 8000 Nm 95,5 mω 5.4 Welcher Ankerstrom I AN und welches Drehmoment T N stellen sich im Nennpunkt ein? (4 Punkte) n N 952 min ω N 2π 60 n N 204,4 s U N R A I AN + Ψ E ω N > I AN U N Ψ E ω N R A 00, 22 A T N Ψ E I AN 9, 42 Nm 5.5 Nehmen Sie an, dass Erreger- und Ankerkreis durch dieselbe Spannungsquelle gespeist werden. Dann fließe im Nennpunkt der Gesamtstrom I N 20 A. Wie groß ist der ohmsche Widerstand R E der Erregerwicklung? (3 Punkte) I E I N I AN > R E U E U N U N 400 V 20, 22 Ω I E I E I N I AN 20 A 00, 22 A Nun werde ein zusätzlicher Widerstand R Z 0 Ω in den Erregerkreis eingebracht. 5.6 Geben Sie das Verhältnis V des effektiven Erregerflusses Ψ E nach und vor dem Zuschalten des Zusatzwiderstandes R Z an. (3 Punkte) V Ψ E Ψ L EI E E L E I E U N R E + R Z U N R E Ψ E V Ψ E,28 Vs R E 20,22 Ω R E + R Z 30,22 Ω 0, Welche Drehzahl n liegt jetzt vor, wenn bei Nennspannung U N weiterhin der Gesamtstrom I 20 A fließe? (5 Punkte) U A R A i A + ωψ E U N R A (I I E) + ωψ E R A (I ) + ωψ E R E + R Z U N Klausur Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 5 U N U N R A (I R ω E + R ) Z 304,53 s Ψ E n 60 2π ω 2908,09 min