Elektronik I, Foliensatz Geschaltete Systeme

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1 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 Elektronik I, Foliensatz Geschaltete Systeme G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember 2014

2 1. Geschaltete Systeme G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 Geschaltete Systeme 1.1 Sprungantwort 1.2 Geschaltetes R-Glied 1.3 R-Glied, Abbildung auf 1.4 Geschaltetes R-Glied 1.5 R-Glied, Abbildung auf 1.6 R-Oszillator 1.7 Aufgaben

3 1. Geschaltete Systeme G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 Geschaltete Systeme

4 1. Geschaltete Systeme Geschaltete Systeme Modell für Systeme, deren Eingaben oder Arbeitsbereiche sprunghaft wechseln: digitale Systeme, gepulste Ausgabe, Wechsel zwischen linearen Kennlinienästen, Abschätzung der Dauer von Ausgleichsvorgängen. Rechtecksignal: Signal, dessen Wert sich zu den Zeitpunkten t i sprunghaft ändert und sonst konstant bleibt 1. Einheitssprung: { 0 t < 0 σ (t) = 1 t 0 Sprungantwort Reaktion eines linearen Systems auf einen Einheitssprung: h (t) = f (σ (t)) 1 Theoretisches Modell. Praktisch können sich Ströme und Spannungen wegen der immer vorhandenen 's und 's nicht sprunghaft ändern. G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

5 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Sprungantwort

6 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Bedeutung der Sprungantwort Die Systemreaktion eines geschalteten linearen Systems ist eine inearkombination zeitversetzter Sprungantworten. a) Aufspaltung der Eingabe in Sprünge b) Zusammenfassen der Sprungantworten U 0 σ(t t 1 ) U 0 σ(t t 2 ) U 0 σ(t t 3 ) U 0 σ(t t 4 ) U 0 h(t t 1 ) U 0 h(t t 2 ) U 0 h(t t 3 ) U 0 h(t t 4 ) = Summe = Summe t 1 t 2 t 3 t 4 t 1 t 2 t 3 t 4 f ( X 0 + ) N X i σ (t t i ) i=1 N 1 = f (X 0 ) + i=0 X i h (t t i ) Erlaubt einfache Überschläge und Abschätzungen.. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

7 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Messen der Sprungantwort Signalquelle U 0 σ(t) System (beliebige lineare Schaltung) i a ua Messsignal i a (U 0 σ(t)) u a (U 0 σ(t)) Sprungantwort i a U 0 u a U 0 Anlegen eines Eingabesprungs. Aufzeichnen der Systemreaktion: f (U 0 σ (t)) = U 0 f (σ (t)) = U 0 h (t) Die Sprungantwort ist: h (t) = f (U 0 σ (t)) U 0

8 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Anfangs- und Endwerte Vor dem Sprung (t < 0): I 0 σ(t) U 0 σ(t) U ( ) I ( ) U ( ), I ( ) stationäre Spannungen und Ströme vor dem Sprung. ange nach dem Sprung (t 0): I 0 σ(t) I 0 U 0 σ(t) U I (+) 0 U (+) U (+), I (+) stationäre Spannungen und Ströme nach dem Sprung.

9 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Im Moment des Sprunges (t = 0): u (0) = 1 lim t t 0 0 t i (0) = 1 lim t 0 0 i (t) d τ + U ( ) u (τ) d τ + I ( ) = U ( ) = I ( ) U ( ) I ( )

10 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Anwendung auf ein Schaltungsbeispiel Schaltung R 1 I R 1 I ( ) vor dem Sprung U 0 σ(t) u 1 R 2 U1 U ( ) 1 u 2 R 2 U 1 U ( ) 2 a) b) Sprungmoment R 1 I ( ) U 0 M1 u R1 (0) u R2 (0) U ( ) 1 R 2 U 1 M2 U ( ) 2 c) Stationärer Zustand vor dem Sprung: U ( ) 1 = U ( ) 2 = U 1 R 1 R 1 + R 2 I ( ) = U 1 R 1 + R 2. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

11 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Im Sprungmoment R 1 I ( ) U 0 u R1 (0) M1 U ( ) 1 R 2 u R2 (0) U 1 M2 U ( ) 2 u R1 (0) = U 0 U ( ) 1 u R2 (0) = U 1 + U ( ) 2

12 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 1. Sprungantwort Stationärer Zustand nach dem Sprung U 0 R 1 U (+) 1 I (+) Differenzschaltung zum Zustand vor dem Sprung R 1 I (+) R 2 U (+) I ( ) 2 U 1 U U (+) R2 U (+) 1 U ( ) U ( ) 2 U (+) 1 U ( ) 1 = U (+) 2 U ( ) 2 = U 0 I (+) I ( ) = U 0 R 1 + R 2 R 2 R 1 + R 2

13 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Geschaltetes R-Glied

14 Grundschaltung zur Abschätzung des dynamischen Verhaltens auch vieler anderer Schaltungen. G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Das geschaltete R-Glied u U 0 σ(t) u e R u R U 1 i gesucht: Anfangs- und Endwerte Ausgabeverlauf U ( ) R = u R (0) U (+) R u R (t) = = = U ( ) u (0) U (+) u (t) = = = = Tafel

15 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Anfangs- und Endwert vor dem Sprung (t < 0) lange nach dem Sprung (t 0) U ( ) = U 1 U (+) = U 0 + U 1 U ( ) U 0 U 1 R R = 0 U 1 I ( ) = 0 R U (+) R = 0 I (+) = 0

16 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Ausgleichsvorgang u (n + 1) = u (n) + t i(n) U 0 R u R (n + 1) = u R (n) t i(n) U 1 i = ur R Anfangswerte: Kapazität: u (0) = U 1 (behält Wert) Widerstand: u R (0) = U 0 + U 1 u (0) = U 0 (Sprunghöhe) Zeitdiskrete Berechnung: u (n + 1) = u (n) + t R u R (n) u R (n + 1) = u R (n) t R u R (n) = u R (n) ( 1 t ) R

17 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied ( u R (n + 1) = u R (n) 1 t ) R mit n = t t und u R (0) = U 0 Spannungsverlauf Widerstand für t 0 : u R (t) = U 0 lim t 0 Spannungsverlauf Kapazität: Stromverlauf: ( u R (n) = u R (0) 1 t ) n R ( 1 t R u (t) = U 0 + U 1 u R (t) = U 1 + U 0 i (t) = u R (t) R = U 0 ) t t = U0 e t R R e t R ( ) 1 e t R Beide Spannungsverläufe und auch der Stromverlauf sind abklingende Exponentialfunktion mit der Zeitkonstanten: τ = R

18 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Zusammenfassung Das Ausgabesignal eines geschalteten R-Glieds, egal ob der Strom, die Spannung über R oder die Spannung über ist eine abklingende Exponentialfunktion vom Typ: x (t) = { X ( ) t < 0 X ( ) ( X (+) x (0) ) e t τ t 0 X ( ) stationärer Wert vor dem Sprung; X (+) stationärer Wert lange nach dem Sprung; x (0) Wert im Moment des Sprungs; τ = R Zeitkonstante

19 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Graphische Konstruktion der Sprungantwort (Abschätzung der Ausgabe geschalteter R-Glieder) Anstieg zum Zeitpunkt t 100% 63% d x (t) = X(+) x (t) d t τ Der Betrag des Anstiegs nimmt ab. Nach τ wird 1 e 1 63% des Endwerts erreicht. X (+) τ-element X (+) Zusammensetzen von Zeitverläufen 0% x(t) x(t) t t + τ t 0 t 0 + τ t 0 + 2τ t

20 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Ausgabe für einen einzelnen Schaltvorgang i (t) u R (t) u (t) vor dem Sprung I ( ) = 0 U ( ) R = 0 U ( ) = U 1 Sprungmoment i (0) = U 0 R u R (0) = U 0 u (0) = U 1 stationärer Wert nach dem Sprung I (+) = 0 U (+) R = 0 U (+) = U 0 + U 1 Entwurf an der Tafel Schaltung Ersatzschaltung vor, lange nach und im Sprungmoment Skizze mit τ-elementen

21 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied U (+) = U 0 + U 1 u u (0) = U ( ) = U 1 0 τ 2τ 3τ t 4τ u R (0) = U 0 u R U ( ) R = U (+) R = 0 0 τ 2τ 3τ t 4τ

22 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied Ausgabe für eine Folge von Schaltvorgängen Konstruktionsregeln für u : Anfangswert gleich Endwert im vorherigen τ-element (Stetigkeit). = u e Konstruktionsregeln für u R : Anfangswert resultiert aus der Maschengleichung U (+) u R + u = u e U (+) R = 0 u u e R u R

23 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 2. Geschaltetes R-Glied U (+) = U 0 + U 1 u e u u (0) = U ( ) = U 1 0 τ 2τ 3τ t 4τ u R (0) = U 0 u e u R U ( ) R = U (+) R = 0 0 τ 2τ 3τ 4τ t

24 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf R-Glied, Abbildung auf

25 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Transformation in ein geschaltetes R-Glied Alle linearen (oder abschnittsweise linearen) Schaltungen mit einer wesentlichen Kapazität und ohne (wesentliche) Induktivitäten lassen sich in ein funktionsgleiches R-Glied umrechnen: Rest der linearen Schaltung funktionsgleiches R-Glied R Ers u Ers Wesentlich bedeutet hier, dass die Umladezeit für diese Kapazität viel gröÿer als für alle anderen Kapazitäten und Induktivitäten ist.

26 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Belastetes R-Glied U 0 σ(t) R 1 R 2 u a Tafel Was bewirkt der Widerstand parallel zur Kapazität?

27 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Zweipol vereinfachter Zweipol R 1 R 2 R 1 U 0 σ(t) R 2 U 0 σ(t) R 2 R 1 +R 2 u a Der Widerstand parallel zur Kapazität bewirkt: eine Verringerung der Sprunghöhe: u Ers = U 0 R 2 R 1 + R 2 σ (t) eine Verkürzung der Zeitkonstante: τ = (R 1 R 2 )

28 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Transistor als geschaltete Stromquelle U V R U V R linearer Zweipol Tafel i = I 0 σ(t) + I 1 R u a i = I 0 σ(t) + I 1 R u a Transistor durch lineare Ersatzschaltung ersetzen. Den blau unterlegten Zweipol in eine Reihenschaltung aus einer geschalteten Quelle, einer konstanten Quelle und einem Widerstand umrechnen.

29 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf R R R i = 0 i = 0 R U V i U V u Ers1 i u Ers2 R Ers R u a R u a R u a R u a R Ers R R u Ers = u Ers1 + u Ers2 = U V R (I 0 σ(t) + I 1 ) u a Zeitkonstante: Sprunghöhe von u a : u a (0) = I 0 τ = (R + R ) R R R + R = I 0 (R R )

30 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Abschnittsweise Annäherung durch geschaltete R-Glieder Die Abbildung auf ein geschaltetes R-Glied ist auch für einzelne Arbeitsbereiche möglich. R 2 U Q R 1 U a = U zwei lineare Arbeitsbereiche: Schalter geschlossen, Schalter geönet.

31 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Schalter geschlossen Schalter geöffnet R 2 U Q R 1 u a U Q R 1 R 2 u a U (+) a = U Q τ U a (+) 1 = R 2 = 0 U Q Schalter ein τ 2 = (R 1 + R 2 ) Schalter aus U (+) a u a 0 τ 1 2τ 1 3τ 1 3τ 1 + τ 2 3τ 1 + 2τ 2 t

32 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Gesucht: Zeitkonstante und stationären Endwerte R 1 R 2 U Q u a? D R 3 Arbeitsbereiche: A1 Schalter geschlossen, Diode gesperrt A2 Schalter geschlossen, Diode leitend A3 Schalter geönet, Diode leitend A4 Schalter geönet, Diode gesperrt

33 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf A1 R 1 R 2 R Ers1 = R 1 (R 2 + R 3 ) U Q u a D R 3 U (+) a.1 u a U (+) a.1 = R2+R3 R 1+R 2+R 3 U Q A2 R 1 R 2 R Ers2 = R 1 R 2 U Q u a U F R 3 U (+) a.2 u a U (+) a.2 = R2 R 1+R 2 (U Q U F ) + U F A3 R 1 R 2 R Ers3 = R 2 u a U F R 3 U (+) a.3 = U F u a A4 R 1 R 2 R Ers4 = R 2 + R 3 u a D R 3 U (+) a.4 = 0 u a U (+) a.i, τ i für R 1 = R 2 = R 3 = R und U Q = 4 U F Tafel G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

34 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Ausgabe für: R 1 = R 2 = R 3 = R; U Q = 4 U F A1 A2 A3 A4 Schalter geschlossen geschlossen geönet geönet Diode gesperrt leitend leitend gesperrt u a 1 2 U Q > 1 2 U Q > 1 2 U Q 1 2 U Q τ i 2 3 R 1 U (+) a.i 2 3 U Q 2 R R 2 R 5 8 U 1 Q 4 U 0 Q U (+) a u a A1 A2 A3 A4 3 4 U Q 1 2 U Q 1 4 U Q τ 1 τ 2 τ 3 t τ 4

35 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Glättungskondensators hinter einem Gleichrichter D1 D2 u e D3 R + u a D4 3 V u 0 u e u a < TP 2 U a Ersatzschaltung t E t R + u a 3 V Tafel t E t t in ms Zeit Beginn Entladevorgang (Ende adevorgang) Zeit Beginn adevorgang (Ende Entladevorgang) Entladefunktion: u a (t) = u a (t E ) e t t E R

36 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Die Gröÿe des Kondensators ergibt sich aus der zulässigen Restwelligkeit: U a.rel = U a.max U a.min U a.max Maximalwert: Beginn der Entladephase: U a.max = u a (t E ) Minimalwert: Ende der Entladephase: Relative Restwelligkeit: U a.min = u a (t E ) e t t E R U a.rel = 1 e t t E R Erforderliche Kapazität: t t E R ln (1 U a.rel )

37 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf t t E R ln (1 U a.rel ) Worst ase: t t E T P 2 u a U a.max U a.min betrachteter Zeitabschnitt mit Glättungskondensator t E t ohne Glättungs- t kondensator T P /2 T P Periodendauer Praktische Dimensionierung: T P 2 R ln (1 U a.rel )

38 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 3. R-Glied, Abbildung auf Beispiel Wie groÿ ist der Glättungskondensator zu wählen: R 100 Ω Wechselspannung mit einer Frequenz von 50 Hz maximale relative Restwelligkeit U a.rel 10% 50 Hz Periodendauer T P = 20 ms. 20 ms 950 µf Ω ln (1 10%) Der nächst gröÿere verfügbare Standardwert ist 1000 µf.

39 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Geschaltetes R-Glied

40 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Duale Schaltung zum geschalteten R-Glied Vertauschen der Bedeutung von Strom und Spannung: Kapazität Induktivität: i = d u d t u = d i d t Widerstand eitwert: u = R i i = R 1 u Spannungsquelle Stromquelle Reihenschaltung Parallelschaltung Masche Knoten. R-Glied u R i u e M u i e R-Glied K i R R i u M: u R + u = u e mit: u R = R i u = 1 i d t K: i R + i = i e mit: i R = R 1 u i = 1 u d t

41 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Grundschaltung eines geschalteten R-Gliedes I 0 σ(t) I 1 R u i i R gesucht: Anfangs- und Endwerte I ( ) R i R (0) I (+) R = = = I ( ) i (0) I (+) = = = Ausgabeverlauf i R (t) = i (t) = Tafel

42 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Anfangs- und Endwert vor dem Sprung t < 0 lange nach dem Sprung für t 0 u = 0 u = 0 I 1 R I 0 I 1 R i = i = I 1 i R = 0 I 0 + I 1 i R = 0 u (t) i R (t) i (t) vor dem Sprung U ( ) = 0 I ( ) R = 0 I( ) = I 1 Sprungmoment u (0) = I 0 R i R (0) = I 0 i (0) = I 1 stationärer Wert U (+) = 0 I (+) R = 0 I(+) = I 0 + I 1 nach dem Sprung

43 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Umladevorgang i (n + 1) = i (n) + t u(n) u = R i R i R (n + 1) = i R (n) t u(n) Anfangswerte: Induktivität: i (0) = I ( ) = I 1 Widerstand: i R (0) = I 0 + I 1 i (0) = I 0 zeitdiskrete Berechnung: i (n + 1) = i (n) + R t i R (n) I 0 + I 1 i R (n + 1) = i R (n) R t i R (n) = i R (n) ( 1 R t )

44 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied ( i R (n + 1) = i R (n) 1 R t ) mit n = t t und i R (0) = I 0 Stromverlauf Widerstand für t 0 : i R (t) = I 0 lim t 0 Stromverlauf Induktivität: ( i R (n) = i R (0) 1 R t ) n ( 1 R t i (t) = I 1 + I 0 ) t t ) (1 e R t = I0 e R t Abklingende Exponentialfunktion mit der Zeitkonstanten: τ = R

45 1. Geschaltete Systeme 4. Geschaltetes R-Glied Konstruktion der Sprungantwort I (+) = I 0 + I 1 i i (0) = I ( ) = I 1 0 τ 2τ 3τ t 4τ i R (0) = I 0 i R I ( ) R = I(+) R = 0 0 τ 2τ 3τ t 4τ (Zusammensetzen aus τ-elementen) G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

46 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf R-Glied, Abbildung auf

47 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Transformation in ein funktionsgleiches geschaltetes R-Glied Alle linearen (oder abschnittsweise linearen) Schaltungen mit einer wesentlichen Induktivität und ohne (wesentliche) Kapazität lassen sich durch ein funktionsgleiches R-Glied annähern: Rest der linearen Schaltung funktionsgleiches R-Glied R Ers i Ers Wesentlich bedeutet hier, dass die Umladezeit für diese Induktivität viel gröÿer als für alle anderen Induktivitäten und Kapazitäten ist.

48 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Ansteuerung eines Elektromagneten mit einem MOS-Inverter x u a R i U V x u a 1 0 U V 0 τ 2τ 3τ t Wie lauten die Parameter des funktionsgleichen R-Gliedes? Welchen Signalverlauf hat der Strom i? Das Modell des MOS-Inverters sei: { UV für x = 0 u a = 0 für x = 1

49 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf ösung Ersatz des Inverters funktionsgleiches R-Glied R i i u a = { UV x = 0 0 x = 1 i Q = { UV R x = 0 0 x = 1 R U V R i Q i 0 0 τ 2τ 3τ t

50 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Abschnittsweise Annäherung durch geschaltete R-Glieder Die Abbildung auf ein geschaltetes R-Glied ist auch für einzelne lineare Arbeitsbereiche möglich. Zwei lineare Arbeitsbereiche: i Schalter geschlossen R Schalter geönet. U V u

51 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Funktionsgleiches R-Glied für Schalter geschlossen R i 1 i 1 U V u 1 U V R R u 1 I (+) 1 = U V R τ 1 = R

52 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Funktionsgleiches R-Glied für Schalter geönet i 2 i 2 R R U S U u V V R 2 R S S+R R u 2 I (+) 2 = lim τ 2 = R S lim R S Problem: Ausschaltmoment ( UV ) = 0 R + R S ( ) = 0 R + R S i 2 (0) = I (+) 1 = U V R u 2 (0) = lim R S ((R + R S ) i 2 (0)) Bevor eine Spannung unendlich wird, gibt es einen dielektrischen Durchschlag (Funkenüberschlag am Schaltkontakt).. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

53 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 5. R-Glied, Abbildung auf Freilaufdiode Ersatzschaltung Schalter geöffnet und i > 0 i U F R U F R R R D U V R Schalter geschlossen geöffnet i > 0 i = 0 U V I (+) i 0 0 τ 2τ 3τ 4τ t

54 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator R-Oszillator

55 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Einfacher R-Oszillator Prinzip: Periodisches Umladen eines R-Gliedes. Beispiel: Umladesteuerung mit einem Schwellwertschalter mit Hysterese. u (t) R Entladefunktion: adefunktion: u a (t) U a=1 U trig.r U trig.f U a=0 t off u (t) = U a=0 (U a=0 U trig.r ) e u (t) = U a=1 (U a=1 U trig.f ) e t on t R t R Zeit u a (t) u (t)

56 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Entladefunktion: adefunktion: u (t) = U a=0 (U a=0 U trig.r ) e u (t) = U a=1 (U a=1 U trig.f ) e t R t R Entladezeit t off, in der die Ausgangsspannung 0 ist: U trig.f = U a=0 (U a=0 U trig.r ) e t off R ( ) Ua=0 U trig.r t off = R ln U a=0 U trig.f Die Auadezeit t on, in der die Ausgangsspannung 1 ist: U trig.r = U a=1 (U a=1 U trig.f ) e ton R ( ) Ua=1 U trig.f t on = R ln U a=1 U trig.r

57 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Rechteckgenerator mit einstellbarer Pulsweite D1 D2 Ersatzschaltung aden k R u a = U a=1 Parameter: (1 k) R U (+) M k R = U a=1 U F u(0) = U trig.f D1 U F u(t on ) = U trig.r u a τ = k R adezeit: ( ) Ua=1 U F U trig.f t on = k R ln U a=1 U F U trig.r

58 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Ersatzschaltung Entladen k R D1 u a = U a=0 Parameter: (1 k) R U (+) = U a=0 + U M (1 k) R F D2 u(0) = U trig.r D2 U F u(t off ) = U trig.f u a τ E = (1 k) R ( ) Ua=0 + U F U trig.r t off = (1 k) R ln U a=0 + U F U trig.f Mit ) ( ) (Ua=0 + U F U trig.r Ua=1 U F U trig.f = = konst. U a=0 + U F U trig.f U a=1 U F U trig.r ist die absolute Pulsbreite konstant: T P = t on + t off = R ln (konst.) und die relative Pulsbreite gleich dem Einstellwert: η T = k

59 Auaden über R 1 + R 2 Entladen über R 2 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Rechteckgenerator mit einem NE555 NE555: Standardschaltkreis für die ade-entlade-steuerung eines geschalteten R-Gliedes bestehend aus zwei Komparatoren und einem Transistor zum Entladen der Kapazität des R-Gliedes. (8) U V R 1 R 2 (6) (2) (7) th tr ds Steueralgorithmus wenn ϕ tr UV 3 dann x = 1 wenn ϕ th 2 UV 3 dann x = 0 (1) x (3) Anschlüsse ϕ th Ausschaltschwelle (threshhold) ϕ tr Einschaltschwelle (trigger) ds Entladen (discharge) x Ausgang

60 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 6. R-Oszillator Ersatzschaltung Aufladevorgang (Ausgang ist eins) Ersatzschaltung Entladevorgang (Ausgangs ist null) U V R 1 R 2 u Parameter: U (+) = U V u(0) = UV 3 u(t dr ) = 2 UV 3 τ off = (R 1 + R 2 ) U V R 1 R 2 u U EX Parameter: = U E 0,2 V U (+) u(0) = 2 UV 3 u(t df ) = UV 3 τ on = R 2 u (t off ) = 1 3 U V = ( U EX U EX 2 ) 3 U V e t off R 2 t off = ( UEX 2 3 R 2 ln ) V U EX 1 3 U R 2 ln (2) V u (t on ) = 2 ( 3 U V = U V U V 1 ) 3 U V e ton (R 1 +R 2 ) t on =... = (R 1 + R 2 ) ln (2)

61 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Aufgaben

62 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Allgemeines geschaltetes System U 0 σ(t) U 1 u R1 R 1 1 i 1 u u 1 i 2 i 2 u 2 R 2 u R2 U 0 = U 1 = 1 V R 1 = 1 kω R 2 = 3 kω 1 = 1 nf 2 = 2 nf = 10 mh Schätzen Sie die Werte von u R2 für die stationären Zustände vor und nach dem Sprung (t < 0, t 0) und im Sprungmoment t = 0.

63 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben ineares System mit einer Kapazität u E R 1 u R 2 U 1 3 u E in V t in µs R 1 = 2 kω R 2 = 1 kω = 3 nf U 1 = 1,5 V u (0) = 1 V 1 Rechnen Sie die Schaltung in die Grundschaltung eines geschalteten R-Glieds um. 2 Bestimmen Sie die Zeitkonstante τ. 3 Konstruieren Sie den Spannungsverlaufs von u.

64 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Abschnittsweise lineares System mit einer Kapazität S0 u D U V S1 R 1 U R1 R 2 U R2 Welchen Arbeitsbereiche sind zu unterscheiden? Entwickeln Sie für jeden Arbeitsbereich die Ersatzschaltung. Bestimmen Sie für jeden Arbeitsbereich die Zeitkonstante. Bestimmen Sie den stationären Wert, gegen den u in jedem Arbeitsbereich strebt.

65 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Berechnung des Glättungskondensators U 0 sin(2π f) D i a 100 ma +? u a U 0 = 12 V U a.rel 5% f = 50 Hz Wie groÿ muss der Glättungskondensator hinter der Diode sein, damit die relative Restwelligkeit der geglätteten Spannung nicht gröÿer als 5% ist? G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67

66 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben PWM mit Glättungsinduktivität x u y y u y R u R x Signalperiode η T P T P t = 100 mh R = 100 Ω U V = 10 V η = 0,7 T P = 1 ms u R (0) = 0 Modell für den Inverter: u y = { UV x = 0 0 x = 1 Transformation in ein geschaltetes R-Glied mit demselben Strom durch die Induktivität. Wie groÿ ist die Zeitkonstante τ? Schätzen des Spannungsverlauf über dem Widerstand für das Zeitintervall 0 t 4 ms.

67 G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Schalten induktiver asten U V i R R 1 u S U V = 10 V R 1 = 10 kω R = 100 Ω = 100 mh Wie groÿ ist die Spannung u S über dem Schalter im Ausschaltmoment?

68 . Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität lausthal 18. Dezember /67 1. Geschaltete Systeme 7. Aufgaben Oszillator mit dem NE555 Schaltung U V x 1 0 Soll-Verhalten R 1 R 2 10 µf th tr ds Steueralgorithmus wenn ϕ tr UV 3 dann x = 1 wenn ϕ th 2 UV 3 dann x = 0 x u U V 2 3 U V 1 3 U V 0 t on t off 1 s 3 s t Wie groÿ müssen R 1 und R 2 sein?