Zeitdiskrete Signalverarbeitung

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2 Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck Zeitdiskrete Signalverarbeitung 2., überarbeitete Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

3 312 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen Wie wir in diesem Kapitel sehen werden, sind sowohl der Frequenzgang als auch die Systemfunktion bei der Analyse und der Darstellung von LTI-Systemen außerordentlich wichtig, weil sich daraus viele Eigenschaften der Systemantwort leicht ableiten lassen. 5.1 Der Frequenzgang von LTI-Systemen Der Frequenzgang H(e jω ) eines LTI-Systems ist im Kap. 2.6 als komplexe Verstärkung (Eigenwert), mit der das System die am Eingang anliegende komplexe Exponentialfunktion (Eigenfunktion) e jωn bewertet, definiert worden. Weiterhin haben wir im Kap herausgearbeitet, dass, da die Fourier-Transformierte einer Folge durch eine Zerlegung in eine Linearkombination komplexer Exponentialfunktionen dargestellt werden kann, die Fourier-Transformierten der Ein- und Ausgangsfolge des Systems über die Beziehung Y (e jω ) = H(e jω )X (e jω ) (5.3) verknüpft sind, wobei X (e jω ) und Y (e jω ) die Fourier-Transformierten der Eingangsbzw. Ausgangsfolge des Systems sind. Wird der Frequenzgang in polarer Form ausgedrückt, gelten für die Amplitude und die Phase der Fourier-Transformierten der Eingangsund Ausgangsfolge des Systems: Y (e jω ) = H(e jω ) X(e jω ), (5.4a) Y (e jω ) = H(e jω ) + X (e jω ). (5.4b) H(e jω ) wird als Amplitudengang oder Verstärkung des Systems und H(e jω ) als Phasengang oder Phasenverschiebung des Systems bezeichnet. Die durch Gleichungen (5.4a) und (5.4b) dargestellten Amplituden- und Phaseneinflüsse können, wenn das Signal der Eingangsfolge in nutzbringender Weise modifiziert wird, erwünscht oder wenn das Signal der Eingangsfolge ungünstig verändert wird, unerwünscht sein. Im letzteren Fall werden die Einflüsse eines LTI-Systems auf ein Signal, wie durch die Gleichungen (5.4a) und (5.4b) dargestellt, häufig als Amplituden- bzw. Phasenverzerrungen bezeichnet Ideale frequenzselektive Filter Eine wichtige Auswirkung der Gleichung (5.4a) ist es, dass Frequenzanteile der Eingangsfolge in der Ausgangsfolge unterdrückt werden, wenn H(e jω ) bei diesen Frequenzen klein ist. Ob diese Unterdrückung der Fourier-Komponenten als erwünscht oder unerwünscht anzusehen ist, hängt von der Aufgabenspezifik ab. Im Beispiel 2.19 ist der allgemeine Begriff des frequenzselektiven Filters durch die Definition bestimmter idealer Frequenzgänge formalisiert worden. Beispielsweise ist das ideale Tiefpassfilter als das lineare zeitdiskrete zeitinvariante System definiert worden, für dessen Frequenzgang { H lp (e jω 1, ω <ω c, ) = (5.5) 0, ω c < ω π, gilt und natürlich ist H lp (e jω ) auch periodisch mit einer Periode von 2π. Das ideale Tiefpassfilter lässt niederfrequente Anteile des Signals durch und sperrt hochfrequente

4 5.1 Der Frequenzgang von LTI-Systemen 313 Anteile. Für die korrespondierende Impulsantwort gilt, wie im Beispiel 2.22 gezeigt worden ist, h lp [n] = sin ω cn, < n <. (5.6) πn Analog ist das ideale Hochpassfilter definiert durch { H hp (e jω 0, ω <ω c, ) = (5.7) 1, ω c < ω π, und da H hp (e jω ) = 1 H lp (e jω ), ist, ist seine Impulsantwort h hp [n] =δ[n] h lp [n] =δ[n] sin ω cn. (5.8) πn Das ideale Hochpassfilter lässt das Frequenzband ω c <ω π unverzerrt durch und sperrt Frequenzen unterhalb ω c. Weitere ideale frequenzselektive Filter sind im Beispiel 2.19 definiert worden. Die idealen Tiefpassfilter sind nichtkausal und ihre Impulsantworten liegen im Bereich von bis +. Deshalb ist es nicht möglich, die Ausgangsfolge weder des idealen Tiefpass- noch des idealen Hochpassfilters rekursiv oder nichtrekursiv zu berechnen, d. h. die Systeme sind rechentechnisch nicht realisierbar. Eine weitere wichtige Eigenschaft des idealen Tiefpassfilters gemäß der Definition in Gleichung (5.5) ist, dass der Phasengang Null sein muss. Wäre er nicht gleich Null, hätte das vom Filter durchgelassene niederfrequente Band auch eine Phasenverzerrung. Im Laufe dieses Kapitels wird gezeigt, dass kausale Approximationen idealer frequenzselektiver Filter einen von Null verschiedenen Phasengang haben müssen Phasenverzerrung und Laufzeit Um den Einfluss der Phase eines linearen Systems zu verstehen, wollen wir zunächst das ideale Verzögerungssystem betrachten. Die Impulsantwort ist h id [n] =δ[n n d ], (5.9) und für den Frequenzgang gilt H id (e jω ) = e jωn d, (5.10) oder H id (e jω ) = 1, (5.11a) H id (e jω ) = ω n d, ω <π, (5.11b) wobei wir eine Periodizität von 2π bei ω annehmen. Im Moment setzen wir voraus, dass n d ganzzahlig ist. Bei vielen Anwendungen würde eine Laufzeitverzerrung als eine recht milde Form der Phasenverzerrung betrachtet werden, da ihr Einfluss nur darin besteht, die Folge zeitlich zu verschieben. Das wird häufig keine Konsequenzen haben oder könnte durch die Einführung von Verzögerungen in anderen Teilen eines größeren Systems leicht kompensiert

5 314 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen werden. Wenn wir also Approximationen für ideale Filter und andere lineare zeitinvariante Systeme entwerfen, sind wir oft bereit, einen linearen Phasengang anstelle eines Null-Phasengangs als unser Ideal zu akzeptieren. Beispielsweise ließe sich ein ideales Tiefpassfilter mit linearer Phase definieren als { H lp (e jω e jωn d, ω <ω c, ) = (5.12) 0, ω c < ω π. Seine Impulsantwort ist h lp [n] = sin ω c(n n d ), < n <. (5.13) π(n n d ) Auf ähnliche Weise könnten wir weitere ideale frequenzselektive Filter mit linearer Phase definieren. Diese Filter hätten den gewünschten Effekt, ein Frequenzband im Signal der Eingangsfolge zu unterdrücken sowie den zusätzlichen Effekt, das Signal der Ausgangsfolge um n d zu verzögern. Es ist jedoch zu beachten, dass das ideale Tiefpassfilter stets nichtkausal bleibt, egal wie groß wir n d machen. Ein praktisches Maß für die Linearität der Phase ist die Gruppenlaufzeit. Der Begriff der Gruppenlaufzeit hängt mit dem Einfluss der Phase auf ein schmalbandiges Signal zusammen. Betrachten wir dazu die Ausgangsfolge eines Systems mit dem Frequenzgang H(e jω ) bei einer schmalbandigen Eingangsfolge der Form x[n] =s[n] cos(ω 0 n). Da angenommen wird, dass X (e jω ) nur um ω = ω 0 von Null verschieden ist, kann der Einfluss der Phase des Systems um ω = ω 0 approximiert werden durch die lineare Approximation H(e jω ) φ 0 ωn d. (5.14) Mit dieser Approximation kann gezeigt werden (siehe Aufgabe 5.57), dass die Antwort y[n] auf x[n] =s[n] cos(ω 0 n) näherungsweise y[n] = H(e jω 0) s[n n d ] cos(ω 0 n φ 0 ω 0 n d ) ist. Folglich ist die Zeitverzögerung der Hüllkurve s[n] des schmalbandigen Signals x[n], dessen Fourier-Transformierte bei ω 0 konzentriert ist durch den negativen Anstieg der Phase bei ω 0 gegeben. Im Hinblick auf die lineare Approximation von H(e jω ) um ω = ω 0 nach Gleichung (5.14) müssen wir den Phasengang als stetige Funktion von ω betrachten. Der auf diese Weise angegebene Phasengang wird mit arg[h(e jω )] bezeichnet und kontinuierliche Phase von H(e jω ) genannt. Bei einer Phase, die eine stetige Funktion von ω ist, wird die Gruppenlaufzeit eines Systems definiert als τ(ω) = grd[h(e jω )]= d dω {arg[h(e jω )]}. (5.15) Die Abweichung der Gruppenlaufzeit von einer Konstanten weist auf den Grad der Nichtlinearität der Phase hin.

6 5.1 Der Frequenzgang von LTI-Systemen 315 Beispiel 5.1 Einflüsse der Dämpfung und der Gruppenlaufzeit Zur Darstellung des Einflusses der Gruppenlaufzeit betrachten wir ein Filter mit einer Amplitude des Frequenzgangs und einer Gruppenlaufzeit nach Abb Abbildung 5.2 zeigt das Eingangssignal und dessen Spektrum. In Abb. 5.3 ist das resultierende Ausgangssignal zu sehen. Es ist zu beachten, dass das Eingangssignal aus drei aufeinanderfolgenden schmalbandigen Impulsen bei den Frequenzen ω = 0 85π, ω = 0 25π und ω = 0 5π besteht. Da das Filter bei ω = 0 85 π eine beträchtliche Dämpfung aufweist, ist der Impuls bei dieser Frequenz in der Ausgangsfolge nicht eindeutig zu erkennen. Da auch die Gruppenlaufzeit bei ω = 0 25 π ca. 200 und bei ω = 0 5 π ca. 50 Abtastperioden beträgt, wird der zweite Impuls in x[n] um rund 200 Abtastperioden und der dritte Impuls um 50 Abtastperioden verzögert, wie wir es in Abb. 5.3 sehen. Abbildung 5.1: im Beispiel 5.1. Amplitude des Frequenzgangs und Gruppenlaufzeit für das Filter

7 316 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen Amplitude Abbildung 5.2: Eingangssignal und die sich daraus ergebende Amplitude der Fourier-Transformierten für das Beispiel 5.1. Abbildung 5.3: Ausgangssignal für das Beispiel 5.1.

8 5.2 Systemfunktionen Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Systemfunktionen von Systemen, die durch lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden Obwohl ideale frequenzselektive Filter von der Konzeption her sehr erwünscht sind, können sie mit endlichem Rechenaufwand nicht realisiert werden. Folglich ist es von Interesse, eine Klasse von Systemen zu betrachten, die als Approximation idealer frequenzselektiver Filter realisiert werden kann. Im Kap. 2.5 haben wir die Klasse der Systeme betrachtet, deren Ein- und Ausgangsfolgen eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten folgender Form erfüllen: N M a k y[n k] = b k x[n k]. (5.16) k =0 Wir haben gezeigt, dass, wenn wir weiterhin annehmen, dass das System kausal ist, die Differenzengleichung zur rekursiven Berechnung der Ausgangsfolge verwendet werden kann. Wenn die Randbedingungen dem Anfangsruhestand entsprechen, ist das System kausal, linear und zeitinvariant. Die Eigenschaften und Charakteristiken von LTI-Systemen, bei denen die Ein- und Ausgangsfolge eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten erfüllen, lassen sich am besten durch die z-transformation herausarbeiten. Wenn wir die z-transformation auf beide Seiten der Gleichung (5.16) anwenden und wenn wir den Linearitätssatz (Kap ) und die Zeitverschiebungseigenschaft (Kap ) verwenden, erhalten wir N M a k z k Y (z) = b k z k X (z), oder äquivalent k=0 k =0 k=0 ( ) ( ) N M a k z k Y (z) = b k z k X (z). (5.17) k=0 Aus den Gleichungen (5.2) und (5.17) folgt, dass bei einem System, dessen Ein- und Ausgangsfolge eine Differenzengleichung der Form von Gleichung (5.16) erfüllt, die Systemfunktion folgende algebraische Form hat: H(z) = Y (z) X (z) = k=0 M b k z k k=0. (5.18) N a k z k H(z) in Gleichung (5.18) ist ein Quotient zweier Polynome von z 1, weil die Gleichung (5.16) aus einer linearen Kombination von Termen mit Verzögerungen besteht. k=0

9 318 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen Obwohl die Gleichung (5.18) selbstverständlich so umgeformt werden kann, dass die Polynome als Potenzen von z anstelle von z 1 ausgedrückt werden, ist es allgemein üblich, das nicht zu tun. Häufig ist es auch zweckmäßig, die Gleichung (5.18) in Produktform auszudrücken als M ( ) (1 c k z 1 ) b0 k=1 H(z) =. (5.19) a 0 N (1 d k z 1 ) k=1 Jeder der Faktoren (1 c k z 1 ) im Zähler liefert eine Nullstelle bei z = c k und einen Pol bei z = 0. Ebenso liefert jeder der Faktoren (1 d k z 1 ) im Nenner eine Nullstelle bei z = 0 und einen Pol bei z = d k. Es gibt eine einfache Beziehung zwischen der Differenzengleichung und dem entsprechenden algebraischen Ausdruck für die Systemfunktion. Dabei hat das Zählerpolynom in Gleichung (5.18) dieselben Koeffizienten und dieselbe algebraische Struktur wie die rechte Seite der Gleichung (5.16) (die Terme der Form b k z k korrespondieren mit b k x[n k]), während das Nennerpolynom in Gleichung (5.18) dieselben Koeffizienten und dieselbe algebraische Struktur wie die linke Seite der Gleichung (5.16) hat (die Terme der Form a k z k korrespondieren mit a k y[n k]). Ist also entweder die Systemfunktion in Form der Gleichung (5.18) oder die Differenzengleichung in Form der Gleichung (5.16) gegeben, ist es einfach, die jeweils andere Darstellung zu ermitteln. Beispiel 5.2 System zweiter Ordnung Nehmen wir an, die Systemfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems sei H(z) = (1 + z 1 ) 2 (1 12 z 1 )( z 1 ). (5.20) Um die Differenzengleichung zu ermitteln, die durch die Ein- und die Ausgangsfolge dieses Systems erfüllt wird, drücken wir H(z) in Form der Gleichung (5.18) durch Ausmultiplizieren der Faktoren im Zähler- und Nenner aus, um den Quotienten der Polynome zu erhalten: Folglich gilt H(z) = 1 + 2z 1 + z 2 Y (z) = z z 2 X (z). (5.21) ( z 1 38 z 2 ) Y (z) = (1 + 2z 1 + z 2 )X (z), und die Differenzengleichung ist y[n]+ 1 4 y[n 1] 3 8 y[n 2] =x[n]+2x[n 1]+x[n 2]. (5.22)

10 5.2 Systemfunktionen Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten 319 Zu beachten ist: Wenn die Korrespondenz richtig angewendet wird, ist es möglich, von der Gleichung 5.21 direkt zur Gleichung 5.22 zu gelangen, ohne die dazwischenliegenden algebraischen Operationen auszuführen Stabilität und Kausalität Um Gleichung (5.18) aus Gleichung (5.16) zu erhalten, haben wir angenommen, dass das System linear und zeitinvariant ist, so dass die Gleichung (5.2) benutzt werden konnte, doch wir haben keine weiteren Annahmen bezüglich der Stabilität oder Kausalität getroffen. Entsprechend können wir aus der Differenzengleichung zwar den algebraischen Ausdruck für die Systemfunktion, jedoch nicht den Konvergenzbereich erhalten. So wird der Konvergenzbereich von H(z) nicht durch die zur Gleichung (5.18) führende Ableitung bestimmt, da für die Gültigkeit der Gleichung (5.17) X (z) und Y (z) lediglich überlappende Konvergenzbereiche haben müssen. Das stimmt mit der Tatsache überein, dass, wie wir im Kapitel 2 gesehen haben, die Differenzengleichung die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten Systems nicht eindeutig bestimmt. Für die Systemfunktion nach Gleichung (5.18) oder (5.19) gibt es eine Reihe von Wahlmöglichkeiten für den Konvergenzbereich. Für einen gegebenen Quotienten zweier Polynome führt jede Wahlmöglichkeit für den Konvergenzbereich zu einer anderen Impulsantwort, doch alle korrespondieren mit derselben Differenzengleichung. Wenn wir jedoch annehmen, dass das System kausal ist, folgt daraus, dass h[n] eine rechtsseitige Folge ist und deshalb der Konvergenzbereich von H(z) außerhalb des äußeren Poles liegen muss. Oder aber: Wenn wir annehmen, dass das System stabil ist, muss die Impulsantwort, ausgehend von der Diskussion im Kap. 2.4, absolut summierbar sein, d. h. h[n] <. (5.23) n= Da die Gleichung (5.23) mit der Bedingung, dass h[n]z n < (5.24) n= für z =1 ist, übereinstimmt, hat die Stabilitätsbedingung die gleiche Bedeutung wie die Bedingung, dass der Konvergenzbereich von H(z) den Einheitskreis einschließt. Beispiel 5.3 Bestimmung des Konvergenzbereiches Wir betrachten das LTI-System dessen Ein- und Ausgangsfolge durch die Differenzengleichung y[n] 5 2 y[n 1]+y[n 2] =x[n]. (5.25)

11 320 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme mittels Transformationen verknüpft sind. Aus den vorherigen Betrachtungen ist H(z) gegeben durch H(z) = z 1 + z = 1 ). (5.26) ( z 1 (1 2z 1 ) Abbildung 5.4: Pol-Nullstellen-Diagramm für Beispiel 5.3. Das Pol-Nullstellen-Diagramm für H(z) wird in Abb. 5.4 gezeigt. Es gibt drei Wahlmöglichkeiten für den Konvergenzbereich. Wenn das System als kausal angenommen wird, liegt der Konvergenzbereich außerhalb des äußeren Poles, d. h. z > 2. In diesem Fall ist das System nicht stabil, da der Konvergenzbereich nicht den Einheitskreis einschließt. Nehmen wir an, dass das System stabil ist, ergibt sich für den Konvergenzbereich 1 2 < z < 2. Bei der dritten Wahlmöglichkeit für den Konvergenzbereich, z < 1 2, ist das System weder stabil noch kausal. Wie Beispiel 5.3 zeigt, sind Kausalität und Stabilität nicht unbedingt kompatible Bedingungen. Damit ein lineares zeitinvariantes System, dessen Ein- und Ausgangsfolge eine Differenzengleichung der Form der Gleichung (5.16) erfüllen, sowohl kausal als auch stabil sind, muss der Konvergenzbereich der korrespondierenden Systemfunktion außerhalb des äußeren Poles liegen und den Einheitskreis einschließen. Offensichtlich erfordert dies, dass alle Pole der Systemfunktion innerhalb des Einheitskreises liegen Inverse Systeme Für ein gegebenes lineares zeitinvariantes System mit der Systemfunktion H(z) wird das entsprechende inverse System als ein System mit der Systemfunktion H i (z) definiert, so dass, wenn es mit H(z) in Kette geschaltet wird, die effektive Gesamtsystemfunktion Eins ist, d. h. G(z) = H(z)H i (z) = 1. (5.27) Daraus folgt, dass H i (z) = 1 H(z). (5.28)

12 5.2 Systemfunktionen Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten 321 Die der Gleichung (5.27) entsprechende Bedingung im Zeitbereich ist g[n] =h[n] h i [n] =δ[n]. (5.29) Ausgehend von Gleichung (5.28) ergibt sich der Frequenzgang des inversen Systems, falls er existiert, zu H i (e jω 1 ) = H(e jω ) ; (5.30) d. h. H i (e jω ) ist der Kehrwert von H(e jω ). Dementsprechend haben die logarithmierte Amplitude, die Phase und die Gruppenlaufzeit des inversen Systems das umgekehrte Vorzeichen der entsprechenden Funktionen des Originalssystems. Nicht alle Systeme haben eine Inverse. Beispielsweise hat das ideale Tiefpassfilter keine Inverse. Es gibt keine Möglichkeit, die durch ein derartiges Filter entfernten Frequenzanteile oberhalb der Grenzfrequenz wiederzugewinnen. Viele Systeme haben Inverse und die Klasse der Systeme mit rationalen Systemfunktionen liefert ein sehr nützliches und interessantes Beispiel. Wir betrachten H(z) = ( b0 a 0 ) M (1 c k z 1 ) k=1, (5.31) N (1 d k z 1 ) k=1 mit Nullstellen bei z = c k und Polen bei z = d k, zusätzlich zu möglichen Nullstellen und/oder Polen bei z = 0 und z =. Dann gilt H i (z) = ( a0 b 0 ) N (1 d k z 1 ) k=1 ; (5.32) M (1 c k z 1 ) k=1 d. h. die Pole von H i (z) sind die Nullstellen von H(z) und umgekehrt. Es entsteht die Frage, welcher Konvergenzbereich H i (z) zuzuordnen ist. Die Antwort liefert das Faltungstheorem, das in diesem Fall durch Gleichung (5.29) ausgedrückt wird. Damit Gleichung (5.29) gilt, müssen sich die Konvergenzbereiche von H(z) und H i (z) überlappen. Ist H(z) kausal, ergibt sich dessen Konvergenzbereich zu z > max d k. (5.33) k Jeder geeignete Konvergenzbereich für H i (z), der sich mit dem durch die Gleichung (5.33) angegebenen Bereich überlappt, ist also ein gültiger Konvergenzbereich von H i (z). Eine Reihe einfacher Beispiele soll einige der Möglichkeiten veranschaulichen.

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