Wechselstromkreise. Eine zeitlich periodische Wechselspannung = (1) lässt sich mit der Eulerschen Beziehung (2)

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1 E4 Wchslstromkris Es soll di Frqunzabhängigkit von kapazitivn und induktivn Widrständn untrsucht wrdn. Als Anwndung wrdn Übrtragungsvrhältniss und Phasnvrschibungn an Hoch-, Tif- und Bandpässn gmssn.. Thortisch Grundlagn. Komplx Darstllung priodischr Größn Ein zitlich priodisch Wchslspannung ( t) cosωt () lässt sich mit dr Eulrschn Bzihung ix cos x + i sin x () Bild : Komplxs Zigrdiagramm inr harmonisch oszillirndn Spannung (t) darstlln als Raltil inr komplxn Größ: iωt ( t) ( ) R. (3) Dis komplx Größ kann in dr Gaußschn Zahlnbn (Bild ) vranschaulicht wrdn als in mit dr Krisfrqunz ω in mathmatisch positivr Richtung rotirndr Zigr dr Läng. Es ist nun üblich, statt dr Glichung (3) di Spannung durch di komplx Größ slbst zu bschribn: iω t (4) ( ) t und di physikalisch Spannung nur als Raltil von Glichung (4) zu intrprtirn. m dis zu knnzichnn, wrdn solch komplxn Größn mit inr Tild ( Schlang ) vrshn. Dr Vortil disr komplxn Darstllung ggnübr dr trigonomtrischn Schribwis priodischr Größn ligt in rhblich vrinfachtn Rchnungn, in dnn man bispilswis auf Additionsthorm für trigonomtrisch Funktionn ganz vrzichtn kann. Bi Kapazitätn und nduktivitätn im Wchslstromkris trtn ggnübr Ohmschn Widrständn nu Phänomn auf, z.b. in Phasnvrschibung zwischn Spannung und Strom odr di Tatsach, dass Vrhältniss von Tilspannungn frqunzabhängig sind. Dis Phänomn wrdn in dn folgndn Abschnittn bschribn.. Kapazität im Wchslstromkris Ein Kondnsator mit dr Kapazität ligt an inr Wchslspannung (4). Dann gilt mit dr zitabhängign Ladung Q ( t) ds Kondnsators: (5) ( t) Q( t) Diffrnzirt man nach dr Zit, so rhält man Q t ( ) ( t). (6) 5

2 E4 Wchslstromkris Daraus rgibt sich mit (4) di zitabhängig Stromstärk iωt ( t) iω ( t) i mit dr Amplitud ω (7) (8) Bild a: Phasndiagramm ins rin ohmschn Widrstands Vranschaulicht man sich diss Ergbnis widr in dr komplxn Zahlnbn, so rknnt man, dass zur Zit t dr Zigr für in Richtung dr rlln Achs, dr Zigr für in Richtung dr imaginärn Achs zigt. Das hißt, dr Strom ilt dr Spannung bim Kondnsator mit inr Phasnvrschibung von 9 voraus (Bild b). Bild b: Phasndiagramm ins Kondnsators Man dfinirt im Wchslstromkris dn Quotintn aus Momntanspannung und -strom als komplxn Widrstand Z und rhält für inn Kondnsator ( t) Z i. (9) t i ω ω - - ( ) Dr Btrag von Z hißt Schinwidrstand (hir Z ). ω Wär statt ds Kondnsators in ohmschr Widrstand R im Stromkris, so wär dr Strom in Phas mit dr Spannung ( ) ( t) t () R und s rgäb sich für dn Quotintn dr rll Wrt Z R R Ein komplxr Widrstand Z vrursacht also in Phasnvrschibung zwischn Strom und Spannung. st dr maginärtil von Z null, so ist auch di Phasnvrschibung null..3 nduktivität im Wchslstromkris Lgt man an in nduktivität L in Form inr Spul in Wchslspannung (4), so muss nach dm zwitn Kirchhoffschn Gstz di Summ dr Spannungn im Kris stts null sin: t + ind t () ( ) ( ) Di in dr Spul induzirt Spannung ist ind t L t (3) ( ) ( ) Stzt man (4) und (3) in () in, so rhält man L iωt (). (4)

3 E4 Wchslstromkris Dr zitlich Vrlauf dr Stromstärk rgibt sich dann durch ntgration: ωl iωt iωt ( t) i i mit dr Amplitud (5) (6) ωl Zurzit t zigt jtzt in Richtung dr ngativn imaginärn Achs, dr Strom hinkt dr Spannung mit inr Phasnvrschibung von 9 nach (Bild c). Dr komplx Wchslstromwidrstand dr Spul ist Bild c: Phasndiagramm inr Spul.4 Rihnschaltung von R, L und Bild 3a: Rihnschaltung von R, L, und wobi Z L Z L ( t) ( t) ω iωl, (7) L ihr Schinwidrstand ist. Bi dr Rihnschaltung ins ohmschn Widrstands R, inr nduktivität L und inr Kapazität (Bild 3b) an in tribnd Spannung ( t) gilt zu jdr Zit das zwit Kirchhoffsch Gstz in dr Form: R ( t) + Q( t) ( t) L ( t). (8) Di zitlich Ablitung von (8) rgibt R ( t) + L ( t) + ( t) ( t). (9) Bild 3b: Addition dr komplxn Widrständ Bild 3c: Zigrdiagramm für di Tilspannungn Als Lösung disr Diffrntialglichung nach dm Abklingn ds Einschwingungsvorgangs rhält man für dn hir nur btrachttn schwach gdämpftn Fall in sinusförmig Funktion, di ggnübr dr Errgrfunktion um dn Winkl ϕ phasnvrschobn ist. Entsprchnd flißt auch in dr Schaltung in harmonisch oszillirndr Strom i ωt ϕ t. () ( ) ( ) Durch Einstzn von () und (4) in (9) rhält man dn komplxn Wchslstrom-Widrstand dr Schaltung als Summ dr komplxn Einzlwidrständ: Z R + i ωl. () ω - 3 -

4 E4 Wchslstromkris Dis Summ lässt sich auch gomtrisch in dr komplxn Ebn darstlln (Bild 3b). Da di Stromstärk im Kris übrall glich ist, kann Bild 3b auch als Zigrdiagramm für di Spannungssumm im Kris aufgfasst wrdn (Bild 3c). Dr Strom ist in Phas mit dr Tilspannung am ohmschn Widrstand, dr Winkl ϕ gibt dmnach di Phasnvrschibung zwischn dm Strom und dr äußrn Spannung an. Er lässt sich brchnn aus ωl ω tanϕ. () R ntrssirt man sich nur für dn Quotintn dr Amplitudn von ( t) und ( t) di Bträg btrachtn:, so muss man in () Z ( ωl ) R + ω. (3) Dr Btrag ds komplxn Wchslstromwidrstands Z wird als Schinwidrstand dr Schaltung bzichnt..5 Wichtig Sondrfäll: RL- und R-Kris Schaltt man inn ohmschn Widrstand ntwdr mit inr nduktivität odr mit inr Kapazität in Rih, so rhält man inn RL- bzw. inn R-Kris, dn man jwils als frqunzabhängign Spannungstilr btrachtn kann, wobi di Eingangsspannung di Gsamtspannung dr Rihnschaltung und di Ausgangsspannung a in Tilspannung ist Bild 4a: Hochpass-Schaltungn Bild 4b: Tifpass-Schaltungn Bispilswis gilt für di R-Schaltung von Bild 4a: R a R R (4) i Z R i ω ω R Für das Übrtragungsvrhältnis V und für di Phasnvrschibung ϕ zwischn Eingangs- und Ausgangsspannung rmittlt man V ( ω) : a + ω R tanϕ (5) ωr

5 E4 Wchslstromkris Für ω wird V(ω) shr klin und ght für ω ggn. Dis Schaltung lässt also vorwignd hoh Frqunzn passirn, dshalb di Bzichnung Hochpass. Di analog Rchnung für dn R-Tifpass führt auf i i a ω ω Z + i ω R (6) V ( ω) + ω R tanϕ (7) ωr V(ω) wird jtzt maximal für ω. n bidn Fälln ist für ω ωg di Phasnvrschibung ϕ zwischn dm Eingangs- und dm R Ausgangssignal grad 45 und das Übrtragungsvrhältnis ist V. Di Frqunz f g π R (8) hißt Grnzfrqunz ds Passs. Durch Rihnschaltung ins Hoch- und Tifpasss rhält man inn Bandpass (Bild 5), dr hoh und tif Frqunzn sprrt und nur inn bgrnztn Frqunzbrich passirn lässt. Di Ausgangsspannung ds Bandpasss ist a i ωr + iωr (9) und damit das Übrtragungsvrhältnis V ( ω) + R R + i ( ωr ) ωr (3) Bild 5: Schaltung ins Bandpasss V wird maximal, wnn gilt ω (3) R R.6 Effktivwrt Mit Drhspul- und Digitalmssgrätn wird im Allgminn nicht di Amplitud inr Wchslspannung odr ins Wchslstroms gmssn, sondrn dr Effktivwrt. ntr dm Effktivwrt vrstht man di Glichstromstärk, di im zitlichn Mittl am glichn Widrstand R di glich Listung rzugn würd. Di Momntanlistung ins sinusförmign Wchslstroms ist P ( t) R ( t) R sin ωt. (3) - 5 -

6 E4 Wchslstromkris Dr zitlich Mittlwrt übr in ganz Anzahl vollr Priodn von sin ωt ist ½ und damit P R. (33) Durch Vrglich mit P R rgibt sich ff ff bzw..vrsuch. Vorbtrachtung ff (34) Aufgab: Zu zwi Kondnsatorn mit dn Kapazitätn 5µF und 7,5µF soll in drittr nach dr nbn sthndn Schaltung hinzugschaltt wrdn, so dass sich in Gsamtkapazität von 9µF rgibt. Bstimmn Si di Kapazität von 3. Wlch Effktivspannungn lign dann an dn dri Kondnsatorn an, wnn an dr Schaltung in ffktiv Gsamtspannung von V anglgt wird?. Vrsuchsdurchführung.. Vrwndt Grät Sinusgnrator, Oszilloskop, Vilfachmssgrät, Widrständ, Spuln, Kondnsatorn.. Vrsuchshinwis Hinwis zu Aufgab und : Aufgab : Schinwidrstand von Kondnsatorn Bstimmn Si in inm Wchslstromkris mit inm Kondnsator di Abhängigkit dr Stromstärk von dr Kapazität. Aufgrund dr Mssrih mit bkanntn Kapazitätn soll in unbkannt Kapazität bstimmt wrdn. Baun Si di Mssschaltung ntsprchnd Bild 7 auf. Bstimmn Si di Stromstärk in Abhängigkit von dr Kapazität durch Wchsl dr Kondnsatorn. (ggbn: nf, 47nF,,µF,,47µF, µf, 4,7µF, µf und x ) Bild 6: Schaltung zur Aufgab Mssn Si di Effktivwrt dr Stromstärk und dr Spannung mit Vilfachmssgrätn. Brücksichtign Si, dass di Wchslstrom- und Wchslspannungsmssbrich disr Grät nur für in bstimmts Mssintrvall ausglgt sind. Dadurch sind di im Exprimnt zu vrwndndn Frqunzn bschränkt ( Hz khz). Durch di Vrändrung dr Blastung ds Funktionsgnrators ist bi Kondnsatorwchsl in Nachrgln dr Ausgangsspannung notwndig! Bild 7: Mssschaltung Aufgab - 6 -

7 E4 Wchslstromkris Aufgab : Frqunzabhängigkit ins induktivn Schinwidrstands Mssn Si bi inr Spul di Abhängigkit ds induktivn Schinwidrstands von dr Frqunz und bstimmn Si daraus di nduktivität dr Spul. Erstzn Si dn Kondnsator durch in Spul mit Wdg. (nach Mssschaltung Bild 7). Variirn Si di Frqunz (5Hz, 75Hz, khz,,5khz, 5kHz, 7,5kHz, khz) und mssn Si di Stromstärk ff. Haltn Si dabi di Spannung ff,v konstant. Hinwis: Bi dn Aufgabn 3 und 4 wrdn di Spannungn mit dm Oszilloskop gmssn. Ein Zwistrahl-Oszilloskop ist von Vortil, da damit und a glichzitig gmssn wrdn könnn. Dabi ist di Mssung dr Spannung SS (Spitz - Spitz) und drn Vrwndung zur Erarbitung ds Diagramms sinnvoll. Aufgab 3: R-Kris als Hoch- und Tifpass Bstimmn Si in j inm R-Hoch- und Tifpass in Abhängigkit von dr Frqunz f das Übrtragungsvrhältnis V zwischn Ausgangsspannung a und Eingangsspannung ( konst.). Mssn Si di Spannungn mit inm Oszilloskop. Bstimmn Si di Phasnvrschibung zwischn dn Eingangs- und Ausgangsgrößn für dri Frqunzn aus dm gsamtn Spktrum (z.b. Hz, khz und khz) mittls Lissajous- Figurn. Baun Si zur Mssung dn jwilig Pass (sih Bild 4a und 4b) auf inm Stckbrtt auf. Schlißn Si an di Eingangsbuchs ( ) dn Frqunzgnrator und inn Kanal ds Oszilloskops sowi an di Ausgangsbuchs ( a ) dn zwitn Kanal ds Oszilloskops an. Passwrt: Hochpass: µf; R 33Ω Tifpass R kω nf Vrbindn Si zur Stabilisirung ds Oszilloskopbilds dn Gnrator dirkt mit dm Oszilloskop ("xtrn Triggrung ). Mssn Si im Frqunzbrich von Hz bis khz (Stufnfolg, 5, ) di Ein- und Ausgangs-Amplitud mit Hilf dr Kalibrirung dr Eingangskanäl ds Oszilloskops als Spannungswrt Spitz Spitz. Aufgab 4: Frqunzgang ins Bandpasss aus R-Glidrn Schaltn Si dn Hoch- und Tifpass von Aufgab 3 zu inm Bandpass und vrfahrn Si wi in Aufgab 3. Di Phasnvrschibung zwischn bidn Signaln kann durch dirktn Vrglich am Zwikanal-Oszilloskop nur ungnau rmittlt wrdn. Ein bssr Mthod ist di Vrwndung inr Lissajous-Ellips (Bild 8). Dazu wird das in Signal auf dn y-eingang, das andr auf dn x-eingang (x-ablnkung auf xtrn ) ggbn. Aus dr Lag dr ntsthndn Ellips kann di Phasnvrschibung bstimmt wrdn. Aus dr Paramtrdarstllung für in Ellips mit nicht achsnparallln Halbachsn folgt p sin ϕ (35) q Bild 8: Lissajous Figur zur Bstimmung dr Phasnvrschibung - 7 -

8 E4 Wchslstromkris Bstimmn Si dis Phasnvrschibung bi alln dri Pässn jwils bi dn Frqunzn Hz, khz und khz. Hinwis: Ein Bdinungsanlitung ds Oszilloskops bfindt sich am Praktikumsplatz..3 Vrsuchsauswrtung Aufgab : Schinwidrstand von Kondnsatorn Stlln Si di Abhängigkit ff f () auf dopplt logarithmischm Papir dar. Tragn Si di auf dn Kondnsatorn anggbn Tolranz als Fhlrbalkn in. Bstimmn Si aus disr Darstllung x inschlißlich dr Mssunsichrhit. Aufgab : Frqunzabhängigkit ins induktivn Schinwidrstands Stlln Si di Mssrgbniss auf dopplt logarithmischm Papir als Funktion ff f(f) und Z L f(f) dar. Blgn Si di y-achs dopplt ( ff und Z L ). Brchnn Si untr Vrwndung ds Anstigs dr Kurv Z L f (f) di nduktivität dr Spul. Tragn Si bi dr maximaln Abwichung u( ff ), dn Fhlrbalkn in und schlißn Si aus dr damit rmittltn rlativn Abwichung u( ff )/ ff auf di rlativ und absolut Mssunsichrhit dr nduktivität L durch in Fhlrrchnung. Aufgab 3 und 4: Hoch-, Tif- und Bandpass Stlln Si di Übrtragungsvrhältniss als Funktionn V (f)f auf halblogarithmischm Papir graphisch dar ( f logarithmisch und V a / linar). Bstimmn Si aus disr Darstllung di jwilig Grnzfrqunz. Vrglichn und diskutirn Si di Ergbniss mit dm aus (8) bstimmtn Wrt. 3. Ergänzung Was vrstht man untr inr Bandsprr und wi kann man si mit R-Glidrn aufbaun? Man zig, dass bi maximalm Übrtragungsvrhältnis bim Bandpass di von Hoch- und Tifpass vrursachtn Phasnvrschibungn ntggngstzt glich groß sind. Aus R-Glidrn aufgbaut Bandfiltr sind zum Ausfiltrn bsondrs schmalr Frqunzbrich ungignt. Man vrwndt stattdssn Filtr, di aus L-Schwingkrisn aufgbaut sind. Obwohl in inm Wchslstromkris mit rin imaginärm Widrstand in Strom flißt, ist aufgrund dr Phasnvrschibung zwischn Strom und Spannung di Listung im zitlichn Mittl glich. Dr Strom in inm solchn Wchslstromkris wird dshalb Blindstrom, dr imaginär Widrstand auch Blindwidrstand gnannt. Für das zitlich Mittl dr Listung, Wirklistung gnannt, gilt: P cosϕ (36) Wirk ff ff - 8 -

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