c) f (t) = 4. Berechnen Sie den exakten Wert des bestimmten Integrals! Runden Sie dann auf Hundertstel! 1 x 2 eine Stammfunktion von

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Uwe Kohl
vor 6 Jahren
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1 Eponntialfunktionn. Vrinfachn Si so wit wi möglich! a) ln.5 b) 4 ln c). Bildn Si di rst Ablitung! Vrinfachn ist nicht rfordrlich. t a) f () = b) f () = c) f (t) = + t 3. Ermittln Si das unbstimmt Intgral! a) ( + ) d b) ( + ) d 4. Brchnn Si dn aktn Wrt ds bstimmtn Intgrals! Rundn Si dann auf Hundrtstl! 3 a) ( )d b) ( + )d 5. a) Wisn Si nach, dass F() = -( + ) in Stammfunktion von f() = ist! b) Ermittln Si di Fläch, di durch dn Graphn von f () und di -Achs bgrnzt wird!

2 Lösungn. Vrinfachn Si so wit wi möglich! a) ln.5 =,5 = b) 4 = (4²) = 6 c) ln = ln =. Bildn Si di rst Ablitung! Vrinfachn ist nicht rfordrlich. a) f () = -+3 f '() = b) f () = =,5 (Quotintnrgl) odr: f () = = -,5 f '() =,5 -,5,5 = -,5 -,5 f '() = + (,5 ) = (Produktrgl) -t -t -t - ( + t) - c) f (t) = f '(t) = +t ( + t)² Slbstvrständlich sind di bidn Trm von b) idntisch: = ² 3. Ermittln Si das unbstimmt Intgral! - a) ( + )d = ² d + - d= ² + c b) ( + ) d = ( ) + + ( ) d = - + d+ -4 d= c = d 4 ³ ³ - -4 ( + + )d ³ 4. Brchnn Si dn aktn Wrt ds bstimmtn Intgrals! Rundn Si dann auf Hundrtstl! a) b) ( - )d = d -3-3,3 d= ( +)d = d+ d = ² = (² ) ( ) = ² G 3,7 = (- 3 + ) (- + ) = J 3 5. a) Wisn Si nach, dass F() = -(+) in Stammfunktion von f() = ist! F '() = - (+) (-) = - + (+) = = = f () w. z. b. w. b) Ermittln Si di Fläch, di durch dn Graphn von f () und di -Achs bgrnzt wird! = = und = (GTR: G-SOLVE / ROOT) A = - ( -)d A,39 FE (GTR: G-SOLVE / d ) odr: ( ) = = odr = ; = ; = ; = A = ( - -)d = F() F() = (-3 ) (-² ) = ² 5,39 FE

3 Anwndungn zu Eponntial- und Logarithmusfunktionn. In inm S vrringrt sich j m Wassrtif di Bluchtungsstärk um 4 %. In m Wassrtif zigt dr Bluchtungsmssr 3 Lu. Wi groß ist di Bluchtungsstärk E in m, 3 m bzw. in Mtrn Tif? Gib di Funktionsglichung E = f() an!. Strontium-9 hat in Halbwrtszit von 8 Jahrn. Zu Bginn dr Bobachtung sind mg vorhandn. Wi lautt di zughörig Eponntialfunktion? Wi vil Strontium ist nach 5 Jahrn noch vorhandn? Hinwis : Di Funktionsglichung bsitzt di Form m = b a t (m: Mass, t: Zit) 3. Ein Radium-Isotop bsitzt in Halbwrtszit von 5 Tagn. Anfangs sind 5 mg vorhandn. Bstimm di zughörig Funktionsglichung! Nach wlchr Zit sind nur noch mg Radium vorhandn? 4. Ein Wassrmlon wigt,3 kg. Si vrdopplt untr idaln Bdingungn all 6 Tag ihr Mass. Für di Mass m in Abhängigkit von dr Zit t gilt: m = b a t. Ermittl a und b! lbtn auf dr Erd ungfähr 4 Mrd. Mnschn. Von 975 bis 98 stig di Erdbvölkrung jährlich um,8 % an. a) Lg für di gnanntn Jahr in Wrttabll an und zichn das Bvölkrungs-Zit-Diagramm! b) Bstimm di Zit, in dr sich di Erdbvölkrung vrdopplt, wnn man glichmäßigs Wachstum annimmt! c) Mit wlchr Bvölkrungszahl wär untr disr Vorausstzung für das Jahr zu rchnn? lbtn in Afrika twa 46 Mio. Mnschn. 98 warn s 469 Mio. Mnschn. a) Um wi vil Proznt wuchs di afrikanisch Bvölkrung jährlich, wnn man ponntills Wachstum vorausstzt? b) 985 lbtn in Afrika 545 Mio. Mnschn. Hat sich di Annahm ponntilln Wachstums bstätigt? c) Mit wi vil Bwohnrn musst man im Jahr rchnn? 7. Miko hatt 97 twa 5 Mio. Einwohnr. Gib di Wachstumsfunktion an, wnn di Bvölkrung jährlich um 3,5% zunimmt! Wann war in Miko mit 75 Mio. Einwohnrn zu rchnn? 8. Di gdämpft Schwingung ins Fdrpndls wurd aufgzichnt. Di Amplitud y ma nimmt mit dr Zit ponntill ab. a) Bstimm di Amplitud nach jwils s! Lg dazu in Wrttabll an! b) Um wi vil Proznt nimmt di Amplitud nach jwils s ab? c) Gib di Funktionsglichung y ma = f(t) an!

4 9. In inm zylindrischn Gfäß wird dr Zrfall von Birschaum untrsucht. Di Höh dr Schaumsäul vrringrt sich all 5 Skundn um 9%. Zu Bginn dr Bobachtung bträgt di Schaumhöh cm. Man spricht von shr gutr Birschaumhaltbarkit, wnn di Halbwrtszit ds Schaumzrfalls größr als Skundn ist. Zichn das Schaumhöh-Zit-Diagramm für 3 s und übrprüf, ob shr gut Birschaumhaltbarkit vorligt!. Ein Guthabn von 7 wird mit jährlich 6% vrzinst. In wi viln Jahrn hat s sich mit Zinsszins vrdopplt?. Ein Pkw vrlirt jährlich twa % sins Wrts. Ein Mrcds hat inn Nupris von Wi lang kann man ihn fahrn, um für dn Gbrauchtwagn noch 5. zu rhaltn?. Dr Luftdruck nimmt j km Höh um twa % ab. In 4 m Höh wird in Luftdruck von 847 hpa gmssn, auf inm Brg 447 hpa. Wi hoch ist dr Brg? 3. Schallstärk J / J o Lautstärk L in Phon Bispil Hörschwll Flüstrn 4 Untrhaltung 6 lauts Sprchn 8 Rasnmähr 9 Motorrad Ksslschmid Prsslufthammr 3 Schmrzschwll a) Um wlchn Faktor ändrt sich di Lautstärk, wnn statt ins Motorrads zhn Motorrädr ghört wrdn? Es gilt L = lg (J : J o ) b) Bstimm di Lautstärk von dri Rasnmährn! 4. An inm gladnn Kondnsator ligt in anfänglich Spannung U o an. Durch inn Widrstand wird dr Kondnsator ntladn. Nach inr Skund bträgt di Spannung am Kondnsator 7,36 Volt, nach zwi Skundn nur noch,7 Volt. Währnd ds Entladvorgangs gilt für di Spannung U = b a -t. a) Gib di Funktionsglichung U = f(t) an! b) Wi groß ist di Spannung U o? c) Nach wlchr Zit bträgt di Spannung nur noch Volt? 5. Für dn Entladvorgang ins Kondnsators gilt: U = Uo t d. Ein Kondnsator mit inr Kapazität von µf wird durch inn Widrstand R = kω ntladn. Nach inr Skund bträgt di Spannung am Kondnsator 6,7 V, nach zwi Skundn noch 3,68 V. a) Bstimm di Konstantn U o und d! b) Vrglich d mit dm Produkt R C! c) Wlch Spannung ligt am Kondnsator nach zwi Skundn an, wnn dr Widrstand nur 4 kω bträgt?

5 Lösungn.) Tif in m Bluchtungsstärk E in l 3,6 - = 5 3,6 = 3 3,6 = 8 3 3,6 = 8 4 3,6 3 = 648 E() = 3,6 - = 3,6,6-3,6 - E() = 5,6.) Jahr : mg = b a b = 8 Jahr : 5 mg 5 = b a 8 a,976 m(t) =,976 t m(5) = 9,7 mg 3.) Tag : 5 mg 5 = b a b = 5 5 Tag : 5 mg 5 = b a 5 a,87 m(t) = 5,87 t = 5,87 t t,7 Tag 4.) Tag :,3 kg,3 = b a b =,3 6 Tag :,6 kg,6 = b a 6 a, m(t) =,3, t 5.) Jahr Zit t in Jahrn Bvölkrung B in Mrd b) B(t) = 4,8 t 976 4,8 = 4,7 8 = 4,8 t 977 4,8 = 4,45 t 39 Jahr ,8 3 = 4, ,8 4 = 4,96 c) B(35) = 4, ,8 5 = 4,373 B(35) = 7,468 Mrd. 6.) Jahr Zit t in Jahrn Bvölkrung B in Mio. B(t) = 46,9 t a),9,9 % Wachstum um,9 % : : : b) B() 54 Mio. (ral : 545 Mio.) 985 B() also: Annahm bstätigt 5 B(5) c) B(5) 83 Mio. 7.) B(t) = 5,35 t 75 = 5,35 t t,8 Jahr 98 (Haack-Atlas, Ausgab 983: 75 Mio. Einwohnr) 8.) t in s y ma in cm 4, 3,,6,,6,3,,8,7 Abnahm a in % 8, 8,3 76,9 8, 8,3 76,9 8, 87,5 b) Mittlwrt a 8 %, also Abnahm um % c) y ma = 4,,8 t

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