1. Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises an die Parabel y = x 2 in ihrem Scheitelpunkt.

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1 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5--. Bstimmn Si Radius und Mittlpunkt ds Kümmungskiss an di Paabl y in ihm Schitlpunkt. Allgmin Glichung d Schitlpunktfom in Paabl y yo a(, y Koodinatn ds Schitlpunkts symmtisch zu Y-Achs, di Paabl ist nach obn hin göffnt. Vgl. Papula, Bd., S. 85 u.. py y p * p Koodinatnsystm im Schitlpunkt a * a p Voggbn Paabl y a a a p p Radius p Mittlpunkt Bnnpunkt F,

2 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Allgmin Fom y p + p + y da bi und y Wi stzn fü und y p p p p * + + * + p p p + + p + p + p + p. Bstimmn Si all lativn Etmwt d Funktion y Ablitungn y y 6 y 6 y Nullstlln y Substitution: z z 8z + 6 PQ-Foml z ± 6 6 / z + und z Rücksubstitution und und Dopplt Nullstlln d Funktion sind bi und Etmwt y 6 und 6 / und + und

3 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Gfundn Nullstlln d stn Ablitung in di zwit Ablitung instzn um Etmwt (Minima und Maima fstzustlln. Vgl. Papula, Bd., S. 65. y ( * 6 6 < Maimum y (- *( > Minimum y ( * > Minimum Nullstlln sind bi, und y( * 8 * Hochpunkt (,6 Ma. y( * 8 * + 6 Tifpunkt (, Min. y(- * Tifpunkt (-, Min. Di Funktion hat inn Hochpunkt bi HP (,6 und zwi Tifpunkt bi (, und (-,.. Wlchs d Rchtck, dn Eckpunkt all auf inm Kis mit Radius lign, hat dn gößtn Flächninhalt? Gbn Si in Foml fü di Sitnläng und dn Flächninhalt diss Rchtcks an. F Fläch F F(,y F(ϕ Radius F(ϕ sin(ϕ * cos(ϕ Ablitung nach Poduktgl F (ϕ u * v + v * u u cos(ϕ u sin(ϕ v sin(ϕ v cos(ϕ Waagcht Tangnt suchn F (ϕ sin(ϕ * sin(ϕ + cos(ϕ * cos(ϕ sin (ϕ + cos (ϕ cos (ϕ sin (ϕ cos (ϕ sin (ϕ 5 y

4 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Di Sitnläng btägt cos 5 sin 5 a b * * F a * b * * *. Si sind Bsitz in Blchfabik und habn dn Auftag haltn, in Chag von zylindfömign Dosn mit inm Volumn von Lit zu poduzin. Wi müssn Si di Maß d Dosn wähln, damit Ih Blchvbauch möglichst ging wid? Ggbn Radius d Dos V * π * h h *π h Höh d Dos F Mantlfläch + Bodn + Dckl V Volumn d Dos Lit F Obfläch d Dos F * π * h + * π * Wi habn obn di Höh duch Vaiabln abhängig ist: h ausgdückt, damit F nu noch von d *π F( π * * + * π * * * π * * π +. Ablitung bildn Um in Minimum hauszufindn, müssn wi di Funktion ablitn. F + * π * An d Stll wo das Minimum auftitt muss di Tangntnstigung Null sin. Dshalb müssn wi di st Ablitung Null stzn und nach auflösn: + π * * + π * π * π π Nbnchnung y y' Ablitung nach Quotintngl u y v u u v v u'* v v'* u v * * y'

5 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5--. Ablitung bildn Wnn di zwit Ablitung am Punkt o > ist, dann π ligt in lativs Minimum vo: F + * π F + π F ( >, Minimum F (,5 * 8,85 >,5 + π Nbnchnung y y ' Ablitung nach Quotintngl u'* v v'* u y' v u - u v v y' * *( ( Kontoll,59,5,5,59 π V * π * h h, 8 * π,5 * π V,5 * π *,8, Nbnchnung,6,5 hab ich duch Pobin haltn wi folgt 8 ; 8 * *,6, wil, *,,6,6,5,5,5,55,55,66,5,5,57,5 dm 5, cm,5,59 5

6 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: Diskutin Si dn Vlauf d folgndn Funktionn: Abb. 5a Abb. 5b Aufgab 5a Dfinitionsbich D ], [ Ablitungn bildn ln y y' * *ln ln y'' * [ *( ln ] + *ln *[ + *ln ] * + ln Nullstlln d Stammfunktion ln y ln ln Di Funktion hat in Nullstll bi und y. 6

7 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Polstlln d Funktion Es istit in Polstll mit snkcht Asymptot bi. Bchnung d Nullstlln d. Ablitung ln y ' * ln ln ln Nullstlln bi,78 nu bi,78 ist ln, dann ist di Glichung füllt da, ln Bchnung d Nullstlln d. Ablitung + *ln y'' + *ln + * ln ln,5, 87 * (fü Kuvndiskussion Hinwis log log a b k a k b Etmwt (Nullstlln d stn Ablitung ln y,679 Ein lativs Maimum bfindt sich bi am Punkt (,78,679. Wndpunkt (Nullstlln d zwitn Ablitung y ln Ein Wndpunkt mit chts-links Kümmung bfindt sich am Punkt (,87,7. Wtbich Asymptot im Unndlichn W ], [ Asymptot ist di -Achs (y 7

8 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Aufgab 5b Dfinitionsbich D ], [ Ablitungn bildn * ( t Foml y -t y - -t [ * ] + ( t *( + ( t *( ( t * + ( t *( + ( * * *[ + ( t *+ (] *[ + + t] ( t * bzw. + ( *( t ( t * Nullstlln d Stammfunktion ( t * t t Di Funktion hat in Nullstll bi t und. Polstlln d Funktion Es istin kin Polstlln Bchnung d Nullstlln d. Ablitung ( t * t t 8

9 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: 5-- Bchnung d Nullstlln d. Ablitung ( t * t t Etmwt (Nullstlln d stn Ablitung ( *,5 Ein lativs Minimum bfindt sich bi am Punkt ( -,5. Wndpunkt (Nullstlln d zwitn Ablitung ( *, Ein Wndpunkt mit links-chts Kümmung bfindt sich am Punkt ( -,. Asymptot im Unndlichn Di Asymptot fü Asymptot. t ist di t-achs ( und fü t istit kin Wtbich W [, [ 9

10 Mathmatik I Übungsaufgabn Lösungsvoschläg von T. My Eta-Mathmatik-Übung: Bstimmn Si mit dm Nwtonschn Tangntnvfahn dn Schnittpunkt d bidn Kuvn f( + g( mit inm Fhl klin als -. Püfn Si dafü zunächst, ob d Punkt,5 als Statwt gignt ist. Rchnn Si jwils mit mindstns vi Nachkommastlln. f ( f ( Nwtonsch Nähungsfoml: f '( f '( Bim Nwtonsch Vfahn wid von inm Punkt P (, y ausggangn, d nah an d -Achs (snkcht auf -Achs, namns A ligt. Di Tangnt im Punkt P (, y schnidt di -Achs in inm zwitn Punkt B und gibt di Nähungslösung. Di Göß von wid aus inm Dick BAP mittlt, indm man di Stigung ds Winkls tan alpha bstimmt. tan alpha f ( f( /( - Einstzn in Foml und Widholung ds vfahn. Conta-Mthod zu gula falsi. Kusch, L., Mathmatik fü Schul und Buf. Til Diffntialchnung, S Umfomn d Glichungn: h( f( + g( h( h( + Übpüfn ob d Wt,5 als Statwt gignt ist mit folgnd Foml: f ( * f ''( [ f '( ] f ( + f '( f ''( f (,5,7 f '(,5,87 f ''(,5,87 Einstzn in Foml f ( * f ''( [ f '( ] (,7 *(,87 (,87,69 Daduch gbn sich duch di Nwtonsch Nähungsfoml (Itationsfoml folgnd Nähungswt: n n- f( n- f ( n- f ( n-,5 -,7 -,87,6,6 -,76 -,56,95,95 -,5 -,6,9,9, Di inzig Lösung d zusammngstztn Glichung h( + ligt an d Stll,9. Vgl. Papula, Bd., S

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