2.11. k-auswahlregel für optische Übergänge, reduzierte Zustandsdichte

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1 .. -Auswalgl fü optisc Übgäng, duzit Zustandsdict Optisc Übgäng zwiscn d Litungs- und alnzband sind nict zwiscn blibign ngizuständn und öglic, di Zal d öglicn Übgäng wid duc Auswalgln sta ingscänt. Bi Übgängn zwiscn d Litungs- und alnzband gilt folgnd Auswalgl fü dn Wllnvto d btiligtn Tilcn: (..) Poton d.. di Wllnvton von lton und Loc untscidn sic u dn Wllnvto ds ittitn od absobitn Potons. Wi goß sind nun di btilign Wllnvton? Fü = µ ist 6.3* Poton 6 (i Halblit ist Poton wgn ds von ins vscidnn Bcungsindx göß, ab fü di Abscätzung d Gößnodnung spilt das i in Roll). D Wllnvto d Ladungstäg bwgt sic igndwo zwiscn Null und d Rand d 9 stn Billouinzon bi /a: lton 6.3* fü a =.5 n. a Di Wllnvton d btiligtn Ladungstäg sind also u 3 Gößnodnungn göß als di d Potonn. Optisc Übgäng folgn also snct i Banddiaga, wi in Abb... dagstllt. Abbildung..: Optisc Übgang zwiscn zwi nginivaus i alnz- und Litungsband. Di Bänd sind bis zu dn Quasi-Fingin F, und F, bstzt. Aufgund d -Auswalgl folgt d Übgang snct i Banddiaga

2 Fü in ggbn Übgangsngi sind dait di ngin und duc di -Auswalgl fstglgt: und (..) ist di fftiv Mass d ltonn, di fftiv Mass d Löc. Aus (..) ält an fü di Übgangsngi: G (..3) it d duzitn Mass : (..4) Duc Auflösn bot an dn Wllnvto, bi d d optisc Übgang stattfindt: ) ( G (..5) und daaus di ngin und in Abängigit von d Übgangsngi : G und G (..6) Wivil Zuständ zu in ggbnn Übgang bitagn wid duc di duzit Zustandsdict bstit, in di di Zustandsdictn von Litungs- und alnzband ingn. Zu Hlitung btactn wi noc inal di noal Zustandsdict fü Ladungstäg in dn Bändn. Noal Zustandsdict Fü dn Wllnvto sind nu dist Wt laubt, i -Rau lign di Zuständ da äquidistant it in Abstand von L. Di Ucnung d Zustandsdict vo -Rau in in ngiabängig Zustandsdict folgt wi in Abb... dagstllt üb di Bziung D() = D() (vgl. Abscnitt.6).

3 Abbildung..: Zustandsdict D() Ucnung d onstantn Zustandsdict i -Rau in di Zustandsdict fü optisc Übgäng Hi spilt di Zustandsdict i Litungs- und alnzband in Roll. Fü in ggbnn tagn Zuständ i ngiintvall i Litungsband und i Intvall i alnzband zu optiscn Übgang bi. Abb...3 zigt dn optiscn Übgang i Banddiaga und di ntspcndn Ausscnitt aus dn Bändn. Abbildung..: Banddiaga it optisc Übgang zwiscn und. Fü in ggbns Intvall ds Wllnvtos sind Zuständ innalb bzw. a Übgang btiligt

4 Di Zuständ in dn Bändn sind duc di -Auswalgl paawis gopplt, da gilt: D D (..7) Dabi ist D di Zustandsdict i Litungsband, D di Zustandsdict i alnzband und di duzit Zustandsdict. Aus ält an: D D D D (..8) Fü paabolisc Bänd ann an scibn: 3/ ( ) (..9 ) it d duzitn Mass Fü D und D Syst gltn änlic Bziungn, zu Bcnung d duzitn Zustandsdict ist di fftiv Mass d Ladungstäg duc di duzit Mass zu stztn.. Übgangsatixlnt, topotntial d Potonn Di Übgangsat R in dn Glicungn fü di Absoptions- und issionatn (.9.) ist duc Fis goldn Rgl ggbn: R H ' ( ) ( ) (..) ist dabi di i ltztn Abscnitt bcnt duzit Zustandsdict. Wi üssn nun noc das Matixlnt H ' fü dn optiscn Übgang bcnn. Di quantncanisc Bscibung d Wcslwiung zwiscn Lict und Ladungstägn folgt duc di Scödingglicung Ĥ it ltoagntiscn Potntialn. D Hailtonopato ist in dis Fall: Hˆ pˆ Aˆ ˆ ˆ (..) Dabi ist ˆ d Opato fü das sala Potntial d ltoagntiscn Wll, Â d Opato fü das topotntial d ltoagntiscn Wll und ˆ d Opato fü das

5 Kistallpotntial. Di Mass ist di Mass ds fin ltons, nict di fftiv Mass (d influss ds Kistallgitts auf das Tilcn stct in ˆ ). Wi lösn (..) auf und altn: Hˆ ˆ ˆ ˆ A pa ˆ Apˆ ˆ Hˆ Hˆ ' pˆ ˆ (..3) D Hailtonopato fällt in zwi Til, dn Hailtonopato fü di Ladungstäg i Kistall on xtns Fld: Hˆ pˆ ˆ (..4) und dn Wcslwiungsailtonian ˆ ˆ ˆ A pa ˆ Apˆ ˆ ˆ H ' (..5) Wi bnötign nun noc in Bziung zwiscn d Opato fü das topotntial  und d Potonndict. Dazu dücn wi di ltiscn und agntiscn Fld duc di Potntial aus: (, (, A(, und B(, A(, (..6) t Di Wal von A(, und (, ist dabi nict fst, di ltiscn und agntiscn Fld blibn bi dn folgndn ictansfoationn unvändt: A(, A(, (, und (, (, (, (..7) t Wi wäln fü di folgnd Rcnung di oulob-icung, bi d A ist. Das sala Potntial fü in ltoagntisc Wll ist unt dis icung glic Null (das sala Potntial ds Kistallgitts tauct spaat in d Scödingglicung als ˆ auf). Wält an nun fü di Opaton i Hailtonopato di Otsdastllung, so ist d Ipulsopato duc pˆ i ggbn. Aus d icbdingung A gibt sic dait: ( A) A( ) ( A) A( ) (..8) Man ann also di Opaton pˆ und  vtauscn. Zu witn infacung ds Wcslwiungsailtonians nn wi an, dass di Fld d Wll scwac sind und wi da dn

6 quadatiscn T in (..5) vnaclässign önnn. Wi altn soit fü dn Wcslwiungsailtonian: Hˆ ' Ap ˆ ˆ (..9) od in Otsdastllung: i H ' A (..) Fü das topotntial d ltoagntiscn Wll vwndn wi folgndn Ansatz: A i( i( A(, A cos( (..) Di Polaisation d Wll ist duc dn initsvto ggbn, di Aplitud duc A. Aus (..6) ält an fü das ltisc und agntisc Fld: (, A sin( sin( (..a) B, ( ) A sin( B sin( ) (..b) ( t, B und stn also snct aufinand, di ltoagntisc Wll ist tansvsal. Fü di ngidict u d ltoagntiscn Wll in in dispsivn Mdiu gilt folgnd Glicung: u ngn (..3) n g ist dabi d Guppnindx ds Mdius. Fü in Matial on Dispsion wid n g =n und s gibt sic di twas bannt Glicung: u n (..4) Stzn wi nun (..) in (..3) in, so altn wi: u g n n A (..5) und daaus in Bziung zwiscn d topotntial und d Potonndict: A N P (..6) n n g - 6 -