3. Quantenoptik 3.1. Welle Teilchen Dualismus Das Photon

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1 3. Quantnoptik 3.. Wll Tilchn Dualismus 3... Das Photon Photon: - lktomagntisch Stahlung, also auch Licht, ist aus Engiquantn (Photonn) zusammngstzt - Engi ds Photons: E = h mit Planck schn Wikungsquantum h = Ws a) Quantisiung Photolktisch Effkt (Einstin) - K ggnüb M licht ngativ gladn - Mssung d kintischn Engi d ausglöstn Elktonn: E kin = V stop

2 Rsultat: - Elktonn wdn nu mittit fü Lichtfqunzn di göß sind als in chaaktistisch Gnzfqunz: h h Til d Lichtngi ist notwndig, um Elktonn aus Mtall zu lösn, ntspicht Austittsabit W A g Engibilanz: V stop m v h W A V stop - Stopppotntial - Engi d mittitn Elktonn (V stop ) hängt nicht von Lichtintnsität ( E ) ab - Zahl d mittitn Elktonn ist popotional zu Lichtintnsität ( E ) Egbniss sind nicht kläba mit Wllnignschaft ds Lichts ab kläba wnn Licht aus Photonn (Lichtilchn Quantn) mit Engi h bstht Exp.: Photolktisch Effkt

3 b) Impuls ds Photons Photon ist Tilchn mit Impuls p mv mc und Ruhmass m = Engi ds Photons: E mc (spz. Rlativitätsthoi) h E Impuls ds Photons: mc p p c c h c pc h p K 3

4 Bwis: Compton Effkt Stuung ins Röntgnstahls an Fstköpn - unlastisch Stoß zwischn Photon und Valnzlkton ' p ' p E ' E - Analys mit Engi- u. Impulshaltungssatz sowi lativistisch Gschwindigkit ds Elktons gibt: Vgößung d Wllnläng ds Photons infolg Stuung ' C cos mit Compton-Wllnläng Engiabnahm h C =,46 m c - m Exp.: Compton Effkt 4

5 3.. Matiwlln Bugungsffkt an Tilchnstahln Röntgnbugung an Al Elktonnbugung an Al Exp.: Davidson-Gm Expimnt, Elktonnbugung Ekläung: Tilchnstahln habn Wllnignschaftn (in umgkht Analogi zum Photon) d-bogli-wllnläng h h p - Impuls ds Tilchns ins Tilchns: p m v m - Mass ds Tilchns v - Gschw. ds Tilchns Wllnfunktion ds Tilchns: mit Impuls p K und Wllnzahlvkto K / und Engi E h Wllnfunktion ins Tilchns: Et p i tk, t i 5

6 3.. Schöding - Glichung 6

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8 8

9 9 t t E m t H t t i pot, ψ,, ˆψ, ψ Et i E ψ - Eignwt (Engi) - Eignfunktionn (Wllnfunktionn) E m E H E pot ψ ψ ψ ˆ ψ zitunabhängig Schöding-Gl.: Gsamtngi kin. Engi pot. Engi

10 * * - Wahschinlichkitsamplitud (kin phys. Bdutung) - Wahschinlichkitsdicht dx dy dz dv - Wahschinlichkit in Tilchn dx dy dz dv an d im Volumnlmnt Position zu findn Wllnfunktionn sind nomit: Wllnfunktionn zu vschidnn Eignwtn sind othogonal sind: volum * dv * volum dv Das sind di mssba physikalisch Gößn! * * Ot: x x dv Gsamtngi: E Hˆ dv Impuls: Kintisch Engi: * * p dv Ekin dv i m

11 3.3 Das Wassstoffatom Bispil fü Bwgung unt Zntalkaft hi Coulomb-Kaft zwischn Poton und Elkton Voaustzung: m p >> m btachtn nu Bwgung ds Elktons (Rduzin Zwitilchnpoblm auf infachs Eintilchnpoblm) Potntill Engi ist Coulombngi von Elkton im lkt. Fld ds Potons. Z E pot ( ) (hi Z = ) Hamiltonian ds H-Atoms: Hˆ m E pot ( ) m 4 Z

12 Bacht: Lösung zfällt in zwi gtnnt Schitt, Bstimmung ds Winkl- und Radialtils

13 Lösung von Hˆ E mit Hˆ Hˆ ad Hˆ ang und,, X Y, H ˆ ad XY H ˆ ang XY EXY Bacht: ˆ, H ad Hˆ ang, Y, Hˆ X X Hˆ Y, EX Y, ad ang Winkltil: Hˆ ang Y, E Y, ang mit glöstn Winkltil folgt fü Ĥ : Y Hˆ, Hˆ adx X EangY, EXY, X X E EX ad ang / : Y(,) Hˆ E X EX ad ang Radialtil muss nun noch spaat glöst wdn fü di vschidnn von unabhängign Lösungn mit E ang ds Winkltils. 3

14 Lösung d Schöding-Gl. ds H-Atoms: (sih z. Bsp. Hakn, Wolf: Physik d Atom und Quantn) - Winkltil: E ang l l m Eignwt: mit l =,,,... m im Eignfunktionn: Y, P l cos mit m = -l, -l+,..., l Kuglflächnfunktionn 4

15 - Radialtil: Eignwt: E n m Z 4 4 n mit n =,,... Engi ds of H Atoms hängt nu ab von n! Bacht: Das sind di Engin di sich aus Boh schn Modll ds H-Atoms gbn. da Hˆ E X EX ad ang und E ang l l m hängt ab in d Lösung ds Radialtils di Zahl n von l ab n l l = : l = : l = : E, E, E 3, E 4, E, E 3, E 4, E 3, E 4, 5

16 - Radialtil: Eignwt: E n m Z 4 4 n mit n =,,... Engi ds of H Atoms hängt nu ab von n! Bacht: Das sind di Engin di sich aus Boh schn Modll ds H-Atoms gbn. Eignfunktionn: nl X R mit l =,..., n- R nl Nnl L l n N nl na l L l n na ist Nomalisiungsfakto na R d Ablitungn d Lagu-Polynom L n+ a 4 m Z Z = Bohsch Radius, a =,53 nm 6

17 - Kombination bid Lösungn gibt Gsamt-Wllnfunktion (Eignfunktion) ds H Atoms: Wllnfunktion: nlm nlm X Y, m im R P cos nl l Radialtil Winkltil (Kuglflächnfunktionn) l n 7

18 P cos Kuglfunktionn m im l Atomobital m l = 8

19 Kuglfunktionn im P cos m l Atomobital P P P i P P P 3 4 cos p z 3 4 cos symmtisch bzgl. z-achs 3 i 3 sin p x P P sin cos P 8 4 symmtisch bzgl. x-achs Kuglkoodinatn p y i 3 P P sin sin 4 symmtisch bzgl. y-achs 9

20 Kuglfunktionn m l im P cos Atomobital P P P i P P

21 R nl R nl N nl na l L l n na

22 nlm m im R P cos nl l m l = P m l cos im R nl Wahschinlichkit, Elkton ntlang Richtung zwischn und + d zu findn Wahschinlichkit, Elkton zwischn und + d zu findn

23 3.4. Absoption und Emission lktomagntisch Stahlung (Photonn) Optischs Spktum ds H-Atoms Engi ds H-Atoms: E n m Z 4 4 n n = n = n = 3 - Emission: bi Übgang ds H-Atoms von inm Zustand mit n = n a nach n = n mit n a > n Fqunz ds mittitn Photons: n, n a E na h E n n, n a 4 m 3 8 h n na - Absoption: bi Übgang ds H-Atoms von inm Zustand mit n = n a nach n = n mit n a < n Fqunz ds absobitn Photons: n, n a n, n a E n E h na 4 m 3 8 h na n 3

24 Sin-Spktn ds H-Atoms n, n a 4 m 3 8 h n na Exp.: Sin-Spktn ds H-Atoms 4

25 3.4.. Röntgnstahlung 5

26 6

27 7 Emission: bi Übgang ins Elktons aus höh Schal (n a ) in tif Schal (n ) ist Fqunz ds mittitn Photons: ' ' 3 4, 8 Z n n c R Z n n h m a a n n a m 8 c h m R Rydbg-Konstant: ffktiv Knladung: Z ' (Knabschimung duch vblibn Elktonn auf tifn Schaln)

28 Mosly-Gstz: fü K -Stahlung: n =, n a = n, n a R c n n a Z ' 4 ' R c Z hi Z Z K K 3 4 R c Z da Atomkn duch das zwit Elkton in d K-Schal abgschimt wid 8

29 Absoption und Emission im Zwi-Nivau-Systm - Einstins Ablitung ds Planck schn Stahlungsgstzs - wichtigst Voausstzung: Tilchnignschaft ds Lichts (Photon) - Gundlag fü LASER di Pozss: Absoption spontan Emission stimulit Emission B - Einstin Koffizint d Absoption A - Einstin Koffizint d spontann Emission B - Einstin Koffizint d stimulitn Emission E E h Übgangsatn: B u N Bu N A N u - spktal Engidicht d lktomagntischn Stahlung 9

30 E E h Übgangsatn: A N B u N Bu N a) Absoption von : Zahl d Übgäng von in Zit dt: u dn Bu Ndt - spktal Engidicht d lktomagntischn Stahlung b) Emission : zwi Pozss fü Übgäng von in Zit dt: spontan Emission: stimulit Emission: ' dn ANdt '' B u N dt dn 3

31 dn Bu Ndt ' dn Bu Ndt dn ANdt '' Glichgwicht: Zahl d Übgäng von ist glich d von dn ' '' dn dn N dt A N dt B u N dt Bu daaus gibt sich Bstzungszahlvhältnis d bidn Enginivaus mit E und E : N N A B u B u Diss muß im Glichgwicht Boltzmannvtilung ntspchn: A Bu B u E E / kt / kt h / kt mit E E h N N E / kt E / kt daaus folgt spktal Engidicht d lktomagntischn Stahlung u B A h / kt B 3

32 Bstimmung d Emissions- und Absoptionskoffizintn B, A und B in u B A h / kt B - fü T muss u() gltn Zähl muss ggn Null ghn: B h / kt T B B = B Absoptionskoffizint = Koffizint fü stimulit Emission u B A h / kt (#) - Raligh-Jans Gstz: 3 ntwickln h / kt somit gibt sich fü h << kt : 8v kt u, gilt fü h << kt c in (#) fü h << kt in Taylo-Rih: u A B kt h 8v 3 h / kt c kt h... kt Glichstzn mit Raligh-Jans Gstz A B 8 hv 3 c 3 Popotionalität zwischn Wahschinlichkitn fü spontan Emission und Absoption 3

33 u B A h / kt und A B 8 hv 3 c 3 lift Planck schs Stahlungsgstz ds schwazn Köps: u 8h 3 c 3 h / kt Exp.: Schwaz Stahl 33

34 D Las Light Amplification by Stimulatd Emission of Radiation Las Optisch Vstäkung optisch Rsonato, z. Bsp. Faby-Pot, mit sthndn lktomagn. Wlln Optisch Vstäkung duch stimulit Emission All stimulitn Photonn habn glich Fqunz und glich Phas Ezugung kohäntn Lichts 34

35 Las Bstzungsinvsion duch optischs Pumpn Pinzip ds Di-Nivau Lass Bstzungsinvsion zwischn E und E N N Bsp.: Rubin Las (Al O 3 :C 3+ ) C 3+ -Ionn 35

36 N Las - Pinzip Exp.: N Las 36

37 N Las Expimntll Aufbau Exp.: N Las 37