Wenn mindestens eine Bedingung verletzt ist, dann liegt Biegezustand vor (s. u.)

Transkript

1 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi. (Rottions-)Scln Scl gkümmts Fläcntgwk mit blibig Blstung Rottionsscl Midinkuv (Ezugnd) ist von Dwinkl um fst Acs unbängig Vousstzungn: sinngmäß di glicn wi bi Scibn und Plttn. Mmbnzustnd Annm: Nomlsnnungn glicmäßig üb Wndstäk vtilt, d unbängig von z-oodint (nlog zu Scib) in Scubsnnungn (bn Hutsnnungszustnd) Vousstzungn fü Mmbnzustnd: Mittlfläc vläuft sttig gkümmt Sclndick nict sungft vändlic sttig Vtilung d Fläcnlstn Rndkäft tngntil zu Mittlfläc ngifnd Rndbdingungn binflussn Fomändungn nu in tngntil Rictung Wnn mindstns in Bdingung vltzt ist, dnn ligt Bigzustnd vo (s. u.) Hi: Blstung nu duc Innnduck (Bälttoi) nu szill Gomtin (kin Hlitung d llgminn Toi).. uglscl ϑ ϕ : π + π ϑϑ (.9) Rdil Aufwitung u us: π + u π u ν ε ( ν ϑϑ ) π E E ν u E (.) 68 5 /..7

2 l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Tgwksbcnung.. Zylindscl Anwndung: Flugzugumf in goß Hö Rdil Aufwitung u ϕ us: l : l+ l : π π (.) u ν ε ( ν ) E E u ν E (.).. glscl ξ Gomti: cot ϑ sin ϑ ξ ϑ : π sinϑ + π ϑϑ ϑϑ Ø ϑϑ ϑϑ sinϑ (.) ϑϑdϕ ξ dϕ d d dξ ϑ ϑdϕ+( d ϑϑdϕ) : dξdϕsinϑ+ dϕdξ cot ϑ sin ϑ sin ϑ 5 /..7 69

3 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi. Bigzustnd d iszylindscl Di Bigtoi ist u.. bi dm so gnnntn Rndstöoblm nzuwndn. Diss titt z. B. bi d ombintion vscidn Fläcntgwk (Scl/ Scl, Scl/Pltt, Scl/Scib) uf, z. B.: uglscl Zylindscl Unsttigkitn n dn Scnittn: Aufttn von Momnt und Qukft isltt Hlitung in Dgl. fü di dil Aufwitung w d Zylindscl Gomti: u u zw, ε u u zw, ε,, ε zz, u, z,w w u w, w, + w+ z π + z π w + z π + z + + w w z z z... Rinntwicklung fü z HOOEscs Gstz: E E w z z ( ε +νε ) u, z w, +ν +... ν ν E E w z z ε +νε + +ν ν ν u z ( )... ( u, zw, ). 7 5 /..7 w, u zw, il Vscibung d Mittlfläc vgl. Pltt

4 l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Tgwksbcnung Scnittgößn ( s. (.), S. ): z m z + dz, E w z w z u +ν z+ w, +ν z +... dz ν Tm mit z und z lifn kinn Bitg, Tm b z wdn vnclässigt: E u,, w w u, m + w w, ν ν ν mit: E Bigstifigkit (s. Pltt) (.) ν z E w z w z n + dz u w, z dz +ν + +ν +, ν Tm mit z und z lifn kinn Bitg, Tm b E w w n u +ν D u +ν n ν z,, konst. (s. u.). wdn vnclässigt: E mit: D D Dnstifigkit (.5) ν n : u, ν D w E w w nϕ dz +ν u D +νu ν,,. folgt üb di Glicgwictsbdingungn (s. u.) zu: u m w,,, 5 /..7 7

5 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Glicgwictsbdingungn: ϕ dϕ dϕ m n z, w d n ϕ nd ϕ ϕ n ϕ n ϕ m ϕ d m+dm n+dn m ϕ dϕd +d n ϕ Blstung nu duc Innnduck (Bält) : dn dϕ : d dϕ n ddϕ+ dϕ d ϕ : dm dϕ dϕ d. ϕ Folgungn: n n konst. nϕ, + m, nϕ m, +. Einstzn d Scnittgößn in di obig Glicgwictsbdingung lift n w D w n w ν w +ν ν + D D, Mit 7 n w und : wid dus IV w n w w D ν + Dν + IV n w D ( ν ) w ν + 5 /..7

6 l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Tgwksbcnung ν n w k w IV + vgl. Blkn: Biglini Dgl.. Odnung (.6) mit: ( ν ) E ( ν ) ( ν ) D k E k ν k k Abklingfkto (.7) Rndbdingungn: Im Allgminn gilt, dss n jdm d Ränd (ins Bics) Rndbdingungn zu Bstimmung d Intgtionskonstntn nggbn wdn könnn. ingsnnt Rnd glnkig glgt Rnd fi Rnd : w w : w m : m Lösung d Dgl.: Allgmin Lösung: w w +w Anstz fü omogn Lösung ( nlog [/] ): w A λ i i Cktistisc Glicung und dn Lösungn: λ + k i... λ ± ± i k. 5 /..7 7

7 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Homogn Lösung: ( + ) ( ) ( + ) ( ) w A + A + A + A ik ik ik ik A + A + A + A k ik k ik k ik k ik ( ) ( ) A + A + A + A k ik ik k ik ik ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) + A ( cos k isin k) k A k + i k + A k i k k A k i k k ( cos sin ) ( cos sin ) k C k C k C k C k Stz von MOIVRE [/6] ( cos sin ) ( cos sin ) w C k C k C k C k kl k l Sclnläng (.8) Abklingvltn d Rndstöungn: ( cos sin ) ( cos sin ) kl w k C k + C k + C k + C k Abklingnmit wcsndml Abklingnmit wcsndm -k -k(l-) l l: ussclißlic Vwndung dstms l: ussclißlic Vwndung dstms k k( l ) Wnn ist in Scl lng? kl π: l π π k,... ( zum Vglic : ) π ( ν ) l,5 fü ν, (.9) Bisil: mm l mm mm 7 5 /..7

8 l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Tgwksbcnung Szill Ptikulälösungn: offn Bält (kin Innnduck) unt Längskft (Ringkft) F n F : n π F π n IV w A w ν F k A A w ν F ν F k E F ν F E gsclossn Bält (Innnduck ) unt Längskft (Ringkft) F n F : n π π + F π n + F IV w A w ν k A + F ν ν A F + + F k k E E ν w ν F E Anmkung: Di dil Aufwitung w in Zylindscl unt Innnduck ( F ) nc d Mmbntoi btägt ( s. (.), S. 68 ): w ν E. Di Ptikulälösung nc d Bigtoi stimmt lso mit d Lösung nc d Mmbntoi übin. 5 /..7 75

9 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Bisil: iszylindscl unt Rndlstn l m m Gg.: m,, l m, 9 mm, ν, Gs.: Abklingvltn d Gößn w, w, m, D l mm mm mm mm,5,5 9,5 75 l mm > 75 mm, knn di Scl ls lng btctt wdn. D wd Innnduck noc zusätzlic Ailkäft wikn, buct nu di omogn Lösung d lngn Scl bücksictigt zu wdn: k w C cos k+ C sin k. Üb di bidn Rndbdingungn: m () m w () k C () w () k ( C + C ) wdn di Intgtionskonstntn bstimmt zu: C C m + k k m. k Dmit lutn di Egbniss: k w k m ( cos k sin k) + cos k k w k k m cosk ( cosk sink) k + + w k k m ( cos k+ sin k) + sin k m k k w k m sin k+ ( sin k+ cos k) /..7

10 l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Tgwksbcnung Szill m fin Rnd (bi ) gilt dnn: w() + k ( k m ) w () + k w () m w (). ( k m ) Di llgmin Lösung wid in di zwi duc di Blstung bdingtn Antil ufgsltt: ; m : m ; : k k w cos k w m ( cos k sin k ) k k k k w ( cosk+ sink) w m cosk k k k k w sin k w m ( cos k + sin k) k k k k w ( sin k + cos k) w m sin k. Dis Bziungn wdn nomit: k k w w cos k k k w w cosk+ sin k k w w sin k ( k) k w w sin k+ cos k k k w w k k k w w cosk ( cos sin k) k w w cos k+ sin k k w w sin k. k Fü di gfisc Dstllung wdn bcnt: ( ν ),9 k, 8 m mm m 75 mm: k,. 5 /..7 77

11 Tgwksbcnung l. Doz. D.-Ing. bil. G. Gogi Blstung duc :.5 w( k) w( k) w( k) w( k) Blstung duc m :.5 wm( k) wm( k) wm( k) wm( k) k Wi us bidn Digmmn sictlic, klingn di duc di Rndstöungn vo gufnn Scnittgößn in Fom gdämft Scwingungn vom Rnd sc b. Bi 75 mm btgn si nu noc c. % /..7