Für den Flächeninhalt des Dreiecks A BEG gilt: A BEG =

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1 008 Pflichtrich Für dn Flächninhalt ds ricks EG gilt: EG = E G i Strckn E und G kann man rchnn, wnn man im rchtwinklign rick EG dn Winkl ε und di Strck EG knnt rchnung ds Winkls ε: n Winkl ε stimmt man mit folgndr Ürlgung (sih ): r Winkl α ist Wchslwinkl zu ϕ = 8, so dass gilt: α = ϕ Wil nun das rick EF laut ufganstllung glichschnklig ist mit dr asis E, sind auch di asiswinkl α und ε glich groß: α = ε Somit folgt: ε = ϕ zw ε = 8,0 F ϕ α = ϕ ε = α = ϕ ε E G rchnung dr Sit EG: Für di Strck EG gilt: EG = EF FG Und mit FG = 4, cm: EG = EF 4, cm i Strck EF rhält man aus dr Vorga EF = F i Strck F kann im rick F rchnt wrdn (sih Figur ),4 arin gilt: sin 8 = F,4 cm F 8 4, cm E Figur G,4 Umstlln nach F rgit: F = = 8,77 cm sin 8 Somit ist auch EF = 8,77 cm amit ist: EG = 8,77 cm 4, cm = 4,7 cm _ rchnung dr Strckn E und G: Im rick EG gilt (sih Figur ): G sin 8 = 4,7 4,7 ϕ F G 4,7 cm 4,7 sin 8 = G zw G =,81 cm 8 E Figur athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 1

2 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich ußrdm gilt (sih Figur ): E cos 8 = 4,7 4,7 4,7 cos 8 = E zw E =,60 cm it G =,81 cm und E =,60 cm rhält man schlißlich für EG = EG =,06 cm E G : ufga P: rchnung ds stands E ds Punkts von : Im rick E gilt (sih ): E sin 47 =,8,8,8 sin 47 = E zw E = 7,90 cm,8 cm γ 47 E rchnung dr Läng : i Strck kann im rick mit dm Satz ds Pythagoras rchnt wrdn, wnn man di Strck knnt Es gilt: = + (6,6 cm) = + 4,6 γ 6,6 cm rchnung dr Strck : Es gilt: = E + E Figur i Strck E kann im rick E mit dm Satz ds Pythagoras rchnt wrdn (s Figur ) Es gilt: (,8 cm) = E + (7,90 cm) 116,64 cm = E + 6,41 cm 6,41 cm 4, cm = E,8 cm 7,90 cm 6,6 cm 7,6 cm = E zw E = 7,6 cm Figur E athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht!

3 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich Zur rchnung dr Strck E muss di Hilfslini F ingzichnt wrdn (sih Figur 4) Es gilt: E = F Für di Strck F gilt im rchtwinklign rick F: F tan γ 1 = F r Winkl γ 1 ist: γ 1 = 1,0 90 = 4,8 cm 7,90 cm F γ 1 = 4 6,6 cm i Strck F ist: F = 7,9 cm 6,6 cm = 1, cm 1, amit folgt: tan 4 = F Figur 4 E Umstlln nach F rgit: F = 1,44 cm Und damit auch: E = 1,44 cm amit rhält man für di Strck = E + E: = 7,6 cm + 1,44 cm = 8,81 cm Somit rhält man schlißlich für di Strck = + 4,6 : = 11,01 cm ufga P: rchnung ds Pyramidnvolumns: Für das Pyramidnvolumn gilt: V = 1 G h S i Grundfläch G stzt sich aus idntischn glichschnklign rickn zusammn (sih ) Es gilt: G = rchnung ds Flächninhalts :, cm 8,4 cm Es gilt: = 1 h 1 a das glichschnklig rick von dr Höh h 1 halirt wird, gilt (sih Figur ): = h 1 amit folgt: = h 1 athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht!

4 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich rchnung dr Strckn und h 1 : i Strckn und h 1 könnn im rick rchnt wrdn, wnn man di Läng ds Schnkls knnt (sih Figur ) γ 6 6 h 1 γ = 7 Es gilt: sin 6 = acht: h und cos 6 = 1 r Winkl γ i trägt 7 (= 60 : ) und wird von dr Höh h 1 halirt rchnung dr Strck : Figur i Strck wird im rick S mit dm Satz ds Pythagoras rchnt (sih ) Es gilt: + (8,4 cm) = (, cm) + 70,6 cm = 4,04 cm 70,6 cm =,48 cm =,79 cm amit folgt für : sin 6 =,79,79,4 = zw =,4 cm Und für h 1 rhält man: h cos 6 = 1,79,79 4,68 = h 1 zw h 1 = 4,68 cm amit rhält man für dn Flächninhalt = h 1 : = 1,91 cm amit folgt: G = 79, cm 1 Und für das gsucht Volumn V = G h rhält man schlißlich mit dr vorggnn Pyramidnhöh h = 8,4 cm: V =,74 cm cm athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 4

5 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich ufga P4: rchnung dr Orfläch ds zusammngstztn Körprs: i Orfläch O ds zusammngstztn Körprs stht aus dm antl K ds Kgls, dm antl Zyl ds Zylindrs und dm Grundkris K ds Zylindrs (sih ) Es gilt also: O = K + Zyl + K Und mit dn ntsprchndn Formln (sih Formlsammlung): O = π r s + π r h zyl + π r i anggn Strck a = 6, cm ist di Höh ds Zylindrs und dr urchmssr ds Grundkriss ds Kgls, da dr chsnschnitt ds Zylindrs in Quadrat ist (sih ) Es gilt also: h zyl = 6, cm und r = 0,a =,1 cm Somit ist di Orfläch O = π,1 s + π,1 6, + π,1 r =,1 cm r =,1 cm d = a = 6, cm a = 6, cm zw O = 9,74 cm s + 10,76 cm + 0,19 cm Zur rchnung dr Orfläch nötigt man also nur noch di antllini s ds Kgls rchnung dr antllini s: i antllini s kann mit dm Satz ds Pythagoras im markirtn rick rchnt wrdn (sih Figur ) Es gilt: s =,1 + h k s = 9,61+ h k rchnung dr Kglhöh h k : h k s,1 cm i Kglhöh h k kann mithilf ds anggnn Flächninhalts gs = 67,0 cm dr chsnschnittfläch rchnt wrdn is chsnschnittfläch stzt sich aus inm Quadrat und inm rick zusammn (sih ufganstllung) Figur Es gilt also: gs = a + a h k Und mit a = 6, cm und gs = 67,0 cm folgt durch Einstzn: 67 = 8,44 +,1 h k 8,44 8,6 =,1 h k :,1 9,1 = h k zw h k = 9,1 cm Somit rhält man für s = 9,61+ h k : s = 9,7 cm urch Einstzn in O = 9,74 cm s + 10,76 cm + 0,19 cm rhält man schlißlich: O = 94,66 cm + 10,76 cm + 0,19 cm O = 4,61 cm athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht!

6 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich ufga P7: rchnung ds Zinssatzs im virtn Jahr: Zunächst muss man wissn, auf wlchn trag das Gld nach Jahrn angwachsn ist rchnung ds Gldtrags K nach dri Jahrn: an nötigt di Forml K = K 0 q 1 q q Es ist K 0 = 00 i Zinsfaktorn q 1, q und q rchnt man aus dn ntsprchndn Zinssätzn mit dr Forml q = p araus folgt: q 1 = 1,0 ; q = 1,07 und q = 1,04 urch Einstzn in di Forml K = K 0 q 1 q q rhält man: K = 798,6 rchnung ds Zinssatzs im virtn Jahr: Es muss jtzt nur noch rchnt wrdn, wi vil Proznt 1,9 (= Zinsn) von K = 798,6 sind 1,9 it dr Forml p % = 0 % rhält man: p % = 4,7 % 798,6 (Hinwis: isn Prozntsatz kann man auch mit inr risatzrchnung stimmn, wnn man 798,6 0 % stzt und auf 1,9 umrchnt) ufga P8: rchnung dr Wahrschinlichkit für das Erignis zwi glichfarig Kugln : Zur Vranschaulichung ds Zufallsxprimnts sollt man zurst in aumdiagramm rstlln: w r w ; p(w; w) = 0,09 r ; p(w; r) = 0,06 ; p(w; ) = 0,1 w ; p(r; w) = 0,06 r ; p(r; r) = 0,04 ; p(r; ) = 0, w ; p(; w) = 0,1 r ; p(; r) = 0, ; p(; ) = 0, i Wahrschinlichkitn auf dn Ästn sind: p(w) = p(r) = p() = ( wiß von Kugln), ( rot von Kugln), ( lau von Kugln) i Wahrschinlichkitn am End dr Äst rgn sich mit dr Pfadrgl, indm man di Wahrschinlichkitn dr Tiläst jwils mitinandr multiplizirt i Erigniss mit dr Eignschaft "zwi glich Farn" sind rot markirt athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 6

7 008 Pflichtrich Lösungn zur Prüfung 008: Pflichtrich i Wahrschinlichkit ds Erignisss zwi glich Farn rhält man, indm man all Wahrschinlichkitn dr Erigniss addirt, di für disn Fall zutrffn lso: p(glich Far) = p(w; w) + p(r; r) + p(; ) = 0,09 + 0,04 + 0, = 0,8 = 8 % rchnung dr Wahrschinlichkit für das Erignis in rot und in wiß Kugl : Jtzt muss man im aumdiagramm di Erigniss (r; w) und (w; r) trachtn und drn Wahrschinlichkitn addirn: w r w ; p(w; w) = 0,09 r ; p(w; r) = 0,06 ; p(w; ) = 0,1 w ; p(r; w) = 0,06 r ; p(r; r) = 0,04 i Wahrschinlichkit für das Erignis "in rot und in wiß Kugl" ist also: p(rot und wiß) = p(w; r) + p(r; w) = 0,1 = 1 % ; p(r; ) = 0, w ; p(; w) = 0,1 r ; p(; r) = 0, ; p(; ) = 0, End dr ustrsitn zum Pflichttil 008 (i Original-ati umfasst 6 Sitn) athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 7

8 008 Wahlrich ufga W1 Lösungn zur Prüfung 008: Wahlrich - ufga W1 ufga W1a: Lösungsürsicht: Zunächst muss man di Hilfslini intragn us dr Zichnung folgt dann, dass dr Winkl α zwimal so groß ist wi dr Winkl α 1 (sih ) Zur rchnung ds Winkls α 1 muss di Hilfslini E ingtragn wrdn (sih Figur ) r Winkl α 1 kann dann mit dr Tangnsfunktion im rick E rchnt wrdn, wnn man di Strckn E und E knnt i Strck E wird im rick E rchnt (sih Figur ) Für di Strck E gilt: E = E it = 8,0 cm i Strck E kann nfalls im rick E rchnt wrdn (sih Figur ) rchnung ds Winkls α: i Winkl α 1 und α sind Wchslwinkl und somit glich groß (sih ): α 1 = α α Wil das rick laut ufganstllung glichschnklig ist, sind auch di Winkl α und α glich groß: α = α Es gilt also: α 1 = α = α araus folgt: α = α 1 α α α 1 β rchnung ds Winkls α 1 : Zur rchnung ds Winkls α 1 muss man di Hilfslini E inzichnn (sih Figur ) Im rick E gilt dann: 4, cm E tan α 1 = E an muss also di Strckn E und E rchnn rchnung dr Strck E: α α 1 E Figur 41 E Im rick E gilt: sin 41 = 4, 4,,76 = E zw E =,76 cm athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 8

9 008 Wahlrich ufga W1 Lösungn zur Prüfung 008: Wahlrich - ufga W1 rchnung dr Strck E: Es gilt: E = 8,0 cm E (sih Figur ) i Strck E kann im rick E rchnt wrdn Es gilt: 4, cm E cos 41 = 4, 4, α α 1 E 8,0 cm 41,17 = E zw E =,17 cm Figur amit rhält man für E: E = 4,8 cm E it E =,76 cm und E = 4,8 cm folgt für di Glichung tan α 1 = : E tan α 1 = 0,71 α 1 = 9,7 Und für dn gsuchtn Winkl α = α 1 folgt schlißlich: α = 9, ufga W1: Lösungsürsicht: Zunächst zichnt man di Höh h ds ricks und di Strck in (sih ) Für dn Flächninhalt gilt dann: = 0, h i Höh h kann man mithilf ds zwitn Strahlnsatzs aus dr Strck rchnt wrdn (sih Figur ) i Strck widrum kann im rchtwinklign rick in hängigkit von stimmt wrdn (sih Figur ) Für di Strck gilt: = + (sih ) Für di Strck gilt =, wil das rchtwinklig rick glichschnklig ist i Glichschnkligkit von rgit sich daraus, dass di idn spitzn Innnwinkl 4 sind (sih Figur 4) i Strck kann im rick in hängigkit von rchnt wrdn (sih Figur 4) rchnung dr Fläch : Zunächst trägt man di Höh h ds ricks und di Strck in (sih ) Für di Fläch gilt: = 0, h Es müssn also di Höh h und di Strck in hängigkit von stimmt wrdn h 0 athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht! 9

10 008 Wahlrich ufga W1 Lösungn zur Prüfung 008: Wahlrich - ufga W1 rchnung dr Höh h: i Höh h kann in dr markirtn Strahlnsatzfigur (mit dm Zntrum i ) rchnt wrdn (sih Figur ) Es gilt: = h a dr Punkt di Strck halirt, h 0 folgt: = 1 = h = 0, h Figur rchnung dr Strck : i Strck kann im rick rchnt wrdn (sih Figur ) acht, dass dr Winkl γ 1 = 60 ist (is folgt aus dr Summ dr Innnwinkl in ) amit ist dr Winkl γ = 60 = 4 γ γ 1 γ = 4 h 0 amit ist: cos 4 = Figur Es gilt: cos 4 = (sih Formlsammlung) amit folgt: = = zw = amit ist h = 0, rchnung dr Strck : Für di Strck gilt: = + Wil di idn spitzn Innnwinkl ds rchtwinklign ricks 4 tragn, ist das rick glichschnklig Somit folgt: = = Und: = Figur 4 0, 0 End dr ustrsitn zum Wahltil 008 (i Original-ati umfasst 6 Sitn) athmatik-vrlag, wwwmathvrlagcom ustrsitn, nur zur nsicht!