Sprachen und Automaten. Diskrete Ereignissysteme 3.1 Sprachen und Automaten. Reguläre Ausdrücke. Definitionen

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1 Sprchn und Automtn Diskrt Erignissystm 3.1 Sprchn und Automtn Institut für Tchnisch Informtik und Kommuniktionsntz Lothr Thil Es wrdn in dr Vorlsung zwi Möglichkitn gzigt, ds logisch Vrhltn DES zu schrin: Sprchn und Automtn (jtzt) Ptri-Ntz (spätr) Ein DES knn ls Systm trchtt wrdn, ds forml Sprchn vrritt. Von Intrss ist dhr in kompkt Drstllung von Sprchn sowi Wrkzug zur Vrritung und Gnrirung von Sprchn. Vrglichr mit funktionln Ausdrückn in kontinuirlichn Systmn zw. Algrn und Klküln. 1 2 Dfinitionn Rgulär Ausdrück Erignismng E wird ls Alpht modllirt. Erigniss ntsprchn Buchstn ds Alphts. Squnz von Erignissn ildt in Zichnktt. Ein Sprch L ür inm Alpht E ist in Mng von Zichnkttn us Buchstn in E. u L DES v L E E u= 12L L Buchst Alpht Wort Oprtionn uf Zichnkttn (Wörtr): Konktntion zwir Wörtr u und v: uv uε = εu= umit dm lrn Wort ε. Oprtionn uf Sprchn: Konktntion: AB = {w: w = uv, u A, v B} Kln-Oprtor (closur): Mngnoprtionn: {} ε A * n 0 n n 1 = U A woi A = und A = AA, n 1 n= 0 c A B, A B, A ( Komplmnt von A züglich E ) * 3 4

2 Rgulär Ausdrück 1. Ø ist in rgulärr Ausdruck für { }, ε ist in rgulärr Ausdruck für {ε}, E ist in rgulärr Ausdruck für {}. 2. Flls r und s rgulär Ausdrück sind, dnn uch rs (Konktntion), (r+s) (Vrinigung), r * und s * (Kln Oprtor). Ein Sprch, di durch inn rgulärn Ausdruck schrin wrdn knn, hisst rgulär Sprch. Nicht ll Sprchn sind rgulär. Bispil E = {,,c}, L 1 ={ε,, }, L 2 ={c} L 1 L 2 = {c, c, c} L 2* = {ε, c, cc, ccc,... } L 1* = {ε,,,,,,,... } L 1 L 2 = {ε,,, c} E = {,,c} (+)c * = {,, c, c, cc, cc,... } () * + c = {ε, c,,,...} 5 6 Endlichr Automt Ein ndlichr Automt ist in 5-Tupl (E, X, f, x 0, F) mit E ist in ndlichs Alpht X ist in ndlich Zustndsmng f ist in Urgngsfunktion, f: X E X x 0 ist in Anfngszustnd, x 0 X F ist in Mng von Endzuständn, F X Zustndsdigrmm: x = f(x, ) : x x Endlichr Automt und Sprchn Ein Zichnktt u wird durch inn ndlichn Automtn rknnt, flls f (x 0, u) F. Di Funktion f mit u= L dutt hiri: f '( x, u) =L f( f( f( x, ), ), ) L Di von inm ndlichn Automtn A rknnt Sprch L(A) ist di Mng dr Zichnkttn L(A) = {u: f (x 0, u) F} 7 8

3 Endlichr Automt und Sprchn Intrprttion 1: Bstimmt Folgn von Erignissn dfinirn stimmt Aufgn, di uszuführn sind. Dhr ist in DES zu stimmn, ds dis Erignisfolgn dtktirt. 1 2 L F u x0 x1 x 1 2 L L(A) DES A = Intrprttion 2: Ds DES ist in utonomr Automt, dr in Wort (Folg von Erignissn) us L(A) rzugt. 0 1 x 1 x 2 L x F DES A v = 1 2L L(A) Prolmstllungn Spzifiktion rgulärr Ausdruck Zustndsutomt zustndsminimlr Automt (sih zusätzlich usgtilts Skript) (sih Digitltchnik: Zustndsminimirung... ) 9 10 Bispil Stz L = (+c) (++c)* (z.b. Tstsqunz) Möglichr Automt A: E = {,, c}, X = {0, 1, 2, 3, 4}, F = {4}, x 0 = 0. z.b.: 0 = Rst, 1 = Rdy, 2 = OK 3 = Error, 4 = Don, 5 = Fhlr im Aluf Zustndsdigrmm: +c ++c 5 +c 0 1 +c c c Flls in Sprch rgulär ist, so knn si von inm ndl. Automtn rknnt wrdn; flls si durch inn ndl. Automtn rknnt wurd, so ist si rgulär. Til dr Komplxitätsthori in dr Informtik, sih z.b. ds shr gut Buch von Ppdimitriou, Stiglitz. Sih uch ds Skript von Smrjit Chkrorty

4 DES und Zustndsutomtn Ein Zustndsutomt ist in 5-Tupl (E, X, Γ, f, x 0 ) mit E ist in zählrs Alpht X ist in zählr Zustndsmng Γ(x) ist in Mng zulässigr Erigniss im Zustnd x f ist in Ürgngsfunktion, f: X E X, nur dfinirt für Γ(x) x 0 ist in Anfngszustnd, x 0 X Zustndsutomtn Im Vrglich mit ndlichn Automtn: kin ndlichn Erignis- und Zustndsmngn kin usgzichntn Endzuständ xplizit Drstllung möglichr Erigniss in inm Zustnd Intrprttion 1: Automt führt ufgrund inr xtrnn Erignisfolg Zustndsürgäng durch. Γ(x) zichnt di xtrnn Erigniss, di im Zustnd x zulässig sind. Intrprttion 2: Automt führt utonom Zusndsürgäng durch und gnrirt di Erignisfolgn. Γ(x) zichnt di Erigniss, di in inm Zustnd x gnrirt wrdn könnn Bispil Wrtschlng: E = {, d}, X = {0, 1, 2,...} (Läng dr Schlng), Γ(0) = {}, Γ(x) = {, d} für ll x > 0 f(x, ) = x+1, f(x, d) = x -1 für ll x > 0 Srvr: E = {s,, d, r}, X = {idl, usy, down} i r s d k d s = Srvic strtt = Srvic ndt k = Srvr kputt r = Srvr rprirt Zustndsutomt mit Ausgng Ein Zustndsutomt mit Ausgng ist in 7-Tupl (E, X, Γ, f, x 0, Y, g) mit inm Zustndsutomtn (E, X, Γ, f, x 0 ) und Y ist in zählr Ausgnsmng g ist in Ausgngsfunktion, g: X E Y, nur dfinirt für Γ(x) Zustndsmodll ins DES {...,,...} y = g(x, ) x = f(x, ) Zustndsdigrmm /y x x Γ(x), x = f(x, ) y = g(x,) 15 16

5 Bispil Einfchs Kommuniktionsprotokoll Nchricht kommt n und Sndr ist idl, dnn wird si vrritt, nsonstn ght si vrlorn. Bi dr Vrritung wird in Kopi dr Nchricht gspichrt, uf Anfordrung di Nchricht ürtrgn und in Timr gstzt. Flls in Bstätigung mpfngn wird, wird di Nchricht glöscht. Flls dr Timr glufn ist, wird di Nchricht uf Anfordrung rnut ürtrgn. Bispil Modllirung: E = {, s, t, r}, X = {i, m, p}, Y = {0,1} : Nchricht kommt n i: Sndr idl s: Nchricht ürtrgn m: Nchricht vorhndn t: Timr glufn p: Nchricht wird ürtrgn r: Bstätigung mpfngn 1: Nchricht rfolgrich ürtr. r/1 s/0 i m p /0 t/0 /0 /