Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

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1 Institut für Thortisch Informtik Lhrstuhl Prof. Dr. D. Wnr Üunsltt Vorlsun Thortisch Grundln dr Informtik im WS 67 Aus 2. Oktor 26 A 8. Novmr 26, : Uhr (im Kstn im UG von Gäud 5.34) Auf ( = 4 Punkt) Gn sin zwi Sprchn L, L 2 Σ ür dm Alpht Σ = {, }. Di si L di Sprch dr Wörtr, di mit innn und L 2 di Sprch dr Wörtr mit inr rdn Anzhl n. Gn Si rulär Ausdrück für folnd Sprchn n. () L L 2 () L L 2 (c) L \ L 2 (d) L c Hinwis: Bchtn Si dn fhlndn Klnschn Aschluss von Σ in dr ursprünlichn Aufnstllun. Es soll ntürlich ltn L, L 2 Σ. () ( ) ( ) () ( ) ( ) (c) + ( ) (d) ( ) ɛ Auf 2 (2 Punkt) () Si A = ( )c und B = c c. Zin Si A B = (A B)

2 Wir zin L(A) = L(B). Si w L(A). Dis ilt nu dnn, wnn w = uv mit u = odr u = und v = c. Dis ist äquivlnt zu dr schriwis w = c odr w = c Dis ist nu dnn dr Fll, wnn w L(B). Di idn rulärn Ausdrück schrin somit di lich Sprch. Wir dürfn lso ohn Gwissnsiss A = B schrin. Es ilt somit A B = A = B = (A B). Auf 3 (2 + 2 = 4 Punkt) Gn sin zwi Grmmtikn G i = (Σ, V, S, R i ), i =, 2 mit Σ = {,, c}, V = {S, A, B, C} und folndn Produktionsrln () R = {S ABC, A A, B B, C cc c} () R 2 = {S Sc B c, B Bc c} Ist L(G i ) in rulär Sprch? Wnn j, n Si inn rulärn Ausdruck n. Wnn nicht, ründn Si dis kurz und n si in (informl) Bschriun dr Sprch n. () + + c + () i j c i+j, i, j N, i + j >. Nin, DEA könnn nicht zähln. Auf 4 ( = 5 Punkt) () Gn Si inn dtrministischn ndlichn Automtn n, dr di rulär Sprch L = {w w = 3 w mod 2 = } rknnt. Hinwis: w x it n, wi oft x in w vorkommt, z.b. = 2. () Wi würdn Si inn dtrministischn ndlichn Automtn konstruirn, dr di rulär Sprch L 2 = {w w = 26 w mod 42 = } rknnt? (c) Gn Si in nichtdtrministischn ndlichn Automtn n, dr ll Wörtr ür dm Alpht {, } rknnt, in dnn sowohl ls uch ls Tilwort vorkommt. c i, () d f h

3 () Glich Id wi in Til (), r konstruir sttt inm 2 4 Gittr in Gittr., (c), h i j k l m,, n c d f Hinwis: ll nicht xplizit nnn Ürän führn zu Zustnd o. o Auf 5 ( + 3 = 4 Punkt) () Gn Si di rulär Sprch ür dm Alpht Σ = {, } n, di von dm untn ildtn Automtn rknnt wird. Hinwis: ll nicht xplizit nnn Ürän führn zu Zustnd. () Nutzn Si di Potnzmnnkonstruktion us dr Vorlsun, um dn Automt in inn dtrministischn ndlichn Automtn zu ürführn. c f d, () Dr Automt rknnt nu di Wörtr, di mit innn und mit ndn. () c, d,,, f, f,,,

4 Auf 6 ( = 7 Punkt) Dr nso nil, wi uch vrsslich Wissnschftlr und Supröswicht Doktor Mt ist im Bufir. Dr Huptzun zu sinm untrirdischn Ghimlor soll von inr unürwindrn Sthltür schützt wrdn, di sich nur durch Ein ins ültin Pssworts öffnn lässt. Bi inr flschn Ein wird dr Eindrinlin stttdssn durch in Flltür im Bodn dn Hin vorworfn. D sich Doktor Mt, ufrund sinr Vrsslichkit, nur schlcht n Psswörtr rinnrn knn, ht r di Tür so instllt, dss Si jds Wort us inr zuvor fstltn formln Sprch L ür inm ndlichn Alpht Σ kzptirt. Diss - sichrhitstchnisch frwürdi, r für Doktor Mt shr prktisch - Vrfhrn soll intrn durch inn dtrministischn ndlichn Automtn rlisirt wrdn. D Si ls Doktor Mts nur Sichrhitsxprt instllt wordn sind, solln Si ihm i inin ltztn Konfiurtionn hlfn: () Knn dr Öffnunsmchnismus dr Flltür für jd forml Sprch L durch inn dtrministischn ndlichn Automtn rlisirt wrdn? Wrum? () Si hn sich mit Doktor Mt uf in int Sprch L int. Lidr ht inr ihrr Buritr, nmntlich Ino N. Komptnz, ds Schloss flsch vrut. Di Kontrollinhit dr Tür kommt ds Psswort nu umdrht zur Ürprüfun. D di Buritn rits wit fortschrittn sind, uftrt Doktor Mt Si, sich ntürlich rst nchdm Si Hrrn Komptnz dn Hin vorworfn hn um in Lösun ds Prolms zu mühn. Wi könntn Si dn Automtn mit mölichst wnin Ändrunn umun, sodss r dnnoch di lich Psswortmn rknnt? Wiso funktionirt Ihr Anstz? Ist Ihr Automt dtrministisch odr nichtdtrministisch? Bründn Si! (c) Doktor Mt möcht ini Mitritr unuffälli vrschwindn lssn. Dfür ht r di Psswörtr, di si normlrwis inn, studirt und Mustr drin fundn. Er uftrt si nun, di Kontrollinhit so umzuun, dss rd di Mustr dr Lut, di r loswrdn möcht von dr Kontrollinhit lhnt wrdn. Dr Automt drf lso nur noch in Tilmn dr ltn Sprch L kzptirn. Könnn Si dn Automtn für jds Mustr ntsprchnd umun? Bründn Si Ihr Antwort! () Nin. Dfür muss L rulär sin. () Si A = {Q, Σ, δ, s, F } in dtrministischr Automt, dr L kzptirt. Konstruir NEA A = {Q, Σ, δ, s, F } wi folt: Q = Q {s } mit s Q, Σ = Σ Für jds Σ und ll q, q 2 Q, wnn δ(q, ) = q 2, dnn δ(q 2, ) = q. Follich wrdn ll Zustndsürän umdrht. So knn s zu nichtdtrministischn Üränn kommn. Dr Strtzustnd von A wird dr kzptirnd Zustnd von A : F = s s ist dr Strtzustnd von A mit q(s, ɛ) = f für ll f F. Es it lso ɛ-ürän. Disr NEA knn ntürlich mit dr Potnzmnnkonstruktion in inn DEA ürführt wrdn. Mustr sind lii Mnn von Wörtrn ür dm Alpht Σ.

5 (c) Nin. Dnn di Sprch, di durch di Mustr schrin wird, muss nicht rulär sin. Zum Bispil könntn Mustr dr Form { i i i N }, lso in Tilmn dr rulärn Sprch + + ist, von inm DEA nicht rknnt wrdn knn.