Metrische Probleme und das Skalarprodukt

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Oldwig Althaus
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1 V Mtrisch Prolm und ds Sklrprodukt Bishr: Prolm wi Schnittgrd, usw. könnn glöst wrdn. Jtzt: Winkl, Astnd von Grdn und zwir Punkt, usw. durch Einführung ds: Astnd zwir Punkt - Btrg ins Vktors Sinnvoll Fordrungn n in Astndsnorm: r r. v > für ll Vktorn mit dr Ausnhm r r. sv s v mit inm Sklr s. r r r r. Dricksunglichung v w v w v r r r v w w r Dr Astnd zwir Punkt lässt sich dnn dfinirn ür: d(a,b) AB Aus dm zwitn Zusmmnhng folgt für m -, dss Vktor und Ggnvktor glich lng sind. ) Euklidisch Norm im IR ) Im IR Es gilt: Es gilt: Bispil: ) Astnd d zwir Punkt A und B mit dn Ortsvktorn und : ) Wlchr Glichung müssn di Koordintn llr Punkt X uf dr Kugl um P(4 -) gnügn? ) Brchn dn Astnd ds Schwrpunkts ds Dricks ABC von A(4 -), B( -8 9) und C(4 ). Sitnhlirnd tiln sich im Vrhältnis :! d d d o d d ( ) ( ) ( ) ( ) Dfinition: Ist, so hißt Einhitsvktor odr normirtr Vktor. Jdm Vktor lässt sich in Einhitsvktor : mit glichr Richtung zu zuordnn durch: Umgkhrt gilt für dn Vktor : 4

2 Dfinition und Rchngstz ds Sklrprodukts Wrum so ähnlich wi di Sklrmultipliktion (IR x V -> V)? Wil in Sklr hruskommt! Bknnt us dr Physik: Brchnung dr Arit F r Arit Wg Krft in Wgrichtung W s Fs W s (F cos α) α F r s s r W : s r r o F r r Ist s F, so ist W J In dr Mthmtik fnd mn zur ntsprchndn Dfinition: Si ϕ [,8 ], dr klinr dr idn Winkl zwischn und. Wir dfinirn ds Sklrprodukt o von und durch: o cos ϕ Grundlgnd Gstz (Axiom): ) o o Kommuttivgstz ) o ( c) o o c Distriutivgstz ) ( k) o k( o ) für k IR Gmischts Assozitivgstz 4) : o >, flls und dmit o Bsondrhitn: Sin, ) o ) ϕ [,9 [ > o > (d cos ϕ > ) o < ϕ ] 9,8 ] > 4

3 4 Koordintndrstllung ds Sklrprodukts Btrcht ds Sklrprodukt in inm krtsischn Koordintnsystm mit dn Bsisvktorn,, D ² und ußrdm : k gilt i für i k i k i o Also: ( )( ) o o Koordintnform ds uklidischn Sklrprodukts: Ds (uklidisch) Sklrprodukt o zwir Vktorn, ds IR n wird fstglgt durch: r n n n n o o di ist IR r. Ddurch wird jwils zwi Vktorn in rll Zhl zugordnt. Mn rhält lso di Summ dr Produkt dr in dn Spltn nninndr sthndn Koordintn. Witr Sklrprodukt Sih Buch S. 44 f x x x

4 4 Dr Winkl zwischn zwi Vktorn Kürzr Schriwisn für r : odr Aus dr Dfinition ds Sklrprodukts in Aschnitt ( o cos ϕ ) lässt sich dr Winkl rmittln: Dr Winkl ϕ [,8 ], für dn gilt: cos ϕ o hißt dr Winkl zwischn und. In Zichn: ϕ ( ;) Git s immr inn Schnittpunkt in dm ich dn Winkl mssn knn? Klr! Vktorn sind j kin Grdn. Immr Fußpunkt zusmmnlgn. Bliigs Bispil us dm R mit nchmssn. Bliigs Bispil us R mit Stndrdsklrprodukt Schnittwinkl zwir sich schnidndr Grdn Untr dm Schnittwinkl α zwir sich schnidndr Grdn vrstht mn dn klinstn Winkl, dn di Grdn mitinndr ildn. α 8 - α Bispil: Ein Grd wünschn lssn, di ndr so wähln, dss s inn Schnittpunkt git Winklhlirndr Vktor h 44

5 5 Anwndungn ds Sklrprodukts i Bwisn Stz: Di Digonln dr Rut sind snkrcht zuinndr Vor : Distriutivgstz ( ) o ( ) o o ² ² ( ) ( ) Stz von Thls: Vor : ( ) o ( ) Distriutivgstz AC CB o o ² ² Stz vom Höhnschnittpunkt: Di Höhn in inm Drick schnidn sich in inm Punkt. Si G dr Schnittpunkt dr Höh CD und dr Höh BE > BG o CA, AB o CG Wir sind frtig, wnn gzigt ist: AG o CB Für di Fktorn gilt: AG o CB (AB BG) o (CA AB) AB o CA AB o AB BG o CA BG o AB Wgn Vorusstzung BG o CA lässt sich witr vrinfchn: AG o CB AB o (CA AB BG) AB o CG q..d. Stz ds Pythgors... S. 5, - Rfrt: Cuchy-Schwrz-Unglichung und Dricksunglichung 45

6 6 Kris- und Kuglglichungn Bishr Bschriung von Punktmngn ür vktorill Prmtrform. Nu: Sklrprodukt und dmit Astnd. Punktmngn mit Astndzihung? Kris, Kugl. Bispil: Wlch dr folgndn Punkt lign uf inr Kugl um M ( ) mit Rdius 5? P (5 4 ) Q ( 5 5) R (4 4 4) 4 MP > MP MQ > MQ MR > MR > 5 Somit lign P und Q uf dr Kugl, R ligt ußrhl ds Kriss. Kris- zw. Kuglglichung Si r dr Rdius, m r Ortsvktor ds Mittlpunkts M. Für di Punkt X uf K (M,r) gilt: ( x r m)² r r² Spzill mit dm Stndrdsklrprodukt rgit sich im IR² zw. IR³ (x m)² (x m)² r² zw. (x m)² (x m)² (x m)² r² Üungn S. 55 f 46

7 7 Orthogonlität von Vktorn Zwi Vktorn und hißn orthogonl (snkrcht zuinndr), wnn gilt: o. Orthogonl Projktion ins Vktors uf inn ndrn Vktor Es gilt: ( - ) ( -λ ) λ > λ / / Mit normirtm : hißt di orthogonl Projktion von uf. 47

8 Orthonormlsis Ein Bsis ins Vktorrums hißt Orthonormlsis, wnn ll Vktorn dr Bsis di Läng hn und prwis ufinndr snkrcht sthn. Wrum ist in Orthonormlsis zu vorzugn? Ds Sklrprodukt ist grundlgnd für di Brchnung von Längn und Winkln. Sin {, } Bsis ins Vktorrums. Bliigr Vktor sind dnn drstllr durch v k w l k l v o w k Dis wird sondrs infch flls gilt: l ² k l ² k l o k l o -, dnn dnn flln di hintrn idn Trm wg (Sklrprodukt ) - ² ² Dnn lässt sich v o w mittls Stndrdsklrprodukt rchnn! Orthonormlisirungsvrfhrn von E. Schmidt Gg: Bliig Bsis (n Vktorn) Gs: Orthonormlsis BS 6 / 48

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