Projektive Geometrie 2

Transkript

1 Thnih Univität Münhn Fkultät ü Mthmtik Kluu Pojktiv Gomti 2 Moul MA Fu 2015, Uh Po. D. D. Jügn Riht-Gt Stn Knih Mutlöung

2 Aug 1. Stz von Pl x y z Stz von Pl:,,,,, lign u inm Kglhnitt x, y, z in kollin Shin Si inn kuzn Txt ü, wi Tnoigmm mit m Stz von Pl zummnhängt. Si ün im Txt Tnoigmm vwnn. Gn Si inon n, wi i G uh un, Shnittunkt x un i Kollinität von x, y, z mit Tnoigmmn gtllt wn könnn. Löung: Am Rn Tnoigmm hängn jwil zwi Punkt n inm ε-tno zummn, z.b. i Punkt un m Tno Wil i Tno inn inghnn Pil ht, äntit in G, i Vinungg von un. (D Tno it äuivlnt zum Kuzoukt von un.) Jwil zwi i Tnon hängn wi n inm ε-tno zummn, z.b. un m Tno 2

3 Wil i Tno inn ughnn Pil ht, äntit inn Punkt, n Shnittunkt x in Vinunggn. (D Tno it äuivlnt zu ( ) ( ).) Di olh Tnon hängn m ε-tno im Zntum Tnoigmm zummn. Di Tno äntit in Zhl (kin Ein- o Augäng, onn in ghlon Tno). Mn knn ihn un l Dtminnt t(x, y, z) Shnittunkt x, y, z o l Skloukt x y, z Vinungg von x un y mit z. D Tnoigmm vhwint lo gnu nn, wnn x, y, z kollin in, lo nh m Stz von Pl gnu nn, wnn,,,,, u inm Kglhnitt lign. 3

4 Aug 2. Rhnn mit Tnoigmmn Vvolltänign Si olgn Rhnung: = 4

5 = = Löung: Sih on. 5

6 Aug 3. Shnitt zwi Gn Fomulin Si olgn Augn l Glihung zwihn Tnoigmmn. Gn Si inn kuzn Bwi uh Umomung Tnoigmm n. ) E in,,, Punkt im RP 2. Dnn it Shnittunkt G uh, un G uh, ggn uh [,, ] [,, ]. ) E in,,, Punkt im RP 3. Di G uh, un i G uh, hnin ih gnu nn, wnn i Punkt,,, in in En lign. Löung: ) Bhutung: = Bwi: Anwnung ε-δ-rgl n ot mkitn Stll lit = Vtuhn von un in n ε-tnon änt Vozihn = 6

7 ) Bhutung: = α, α 0 Bwi: E gilt (ih Volung o ε-δ-rgl) = 2 2 un omit = 2 2 = 4 7

8 Aug 4. Bühki A g ) Btimmn Si Li-Koointn von A, g un. ) Btimmn Si Li-Koointn Ki, i A, g un ointit ühn. ) Btimmn Si Mittlunkt, Rin un Ointiungn i Ki. ) Zihnn Si ih Egni in oig Zihnung in. Löung: ) A = (7, 6, 2, 3, 0), = (0, 1, 0, 0, 1), g = (1, 1, 4, 3, 5) ) Lö Glihungytm x x x x 4 = 0 un x x x x 2 4 x 2 5 = 0 0 x 5 un hlt z.b. Li-Koointn (3, 2, 0, 3, 2) un (12/5, 2, 12/5, 0, 2). 8

9 ) Ein Ki mit Li-Koointn (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) ht n Mittlunkt (x 3 /(x 1 +x 2 ), x 4 /(x 1 +x 2 )) un n Riu x 5 /(x 1 + x 2 ). It Riu göß 0, o it Ki ggn n Uhziginn, nnll im Uhziginn ointit. Wi hltn n Ki mit Mittlunkt (0, 3) un Riu 2 un n Ki mit Mittlunkt (6, 0) un Riu 5. Bi Ki in ggn n Uhziginn ointit. ) Sih on. 9

10 Aug 5. Shnittwinkl ) Btimmn Si n Shnittwinkl zwihn m ointitn Ki mit Mittlunkt (2, 7) un Riu 5 2 un m ointitn Ki mit Mittlunkt (0, 4) un Riu 5. ) D Einhitki ht Mittlunkt (0, 0) un Riu 1. Btimmn Si n Riu in Ki mit Mittlunkt u m Einhitki, n Einhitki im Winkl 0 < α < π/2 hnit. Vwnn Si zu jwil Lontz-Koointn. Löung: ) Di Ki hn Lontz-Koointn un D Shnittwinkl α üllt o α = , = Alo it α = 3 4 π = 135. ) D Einhitki ht Lontz-Koointn (0, 1, 0, 0). Al Mittlunkt u m Einhitki wähln wi ohn Einhänkung (1, 0). D Ki mit Mittlunkt (1, 0) un Riu ht Lontz-Koointn (2 2 )/2 1 2 / Lö i Glihung E olgt = 2 o α. 0 (2 2 )/2 o α = 1 0, 1 2 / =