Übungsblatt 8. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

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1 Institut ür Thortish Inormtik Lhrstuhl Pro. Dr. D. Wgnr Üungsltt 8 Vorlsung Thortish Grunlgn r Inormtik im WS 6/7 Ausg 3. Jnur 27 Ag 9. Frur 27, : Uhr (im Kstn im UG von Gäu 5.34) Bitt nutzn Si n WInSri Dklttgnrtor un htn Si s Dkltt n Ihr Üungsltt. Aug ( Punkt) Es ist olgn Vrtilung ür i Zihn Z = {,,,,, } ggn. Zihn Häuigkit () Koirn Si i Tll mittls Shnnon-Fno. Gn Si zu in jm Shritt n Koirungsum n. Notirn Si n n Blättrn i rpräsntirt Mngn. Gn Si i Koirung r inzlnn Zihn n. () Koirn Si Tll mittls m Vrhrn von Humnn. Stlln i Koirungsshritt zu jm Itrtionsshritt r. Gn Si i Koirung r inzlnn Zihn n. () Bstimmn Si jwils i mittlr Wortläng. ()

2 I),,,,, II),,,, III),,, IV),, 33 g V) VI), ()

3 I) II) III) III) IV) V) Zihn Häuigkit Shnnon-Fno Humnn () () = 2.9 Aug 2 ( Punkt) Si un Ihr Kommilitonn Sin un Ssh hn son jwils inn nihttrministishn PDA im Mrkt ür Min rworn. Sin klut nun n Stk von Sshs PDA un ut ihn in ihrm ignn PDA ls Zwitstk in, n si unhängig vom Erststk nutzn knn. () Ssh rgt sih, o sin PDA jtzt wnigr Sprhn rknnn knn ls Ihrr. Bntwortn Si is Frg, inm Si grünn, wlh Klss von Sprhn von Sshs PDA rknnt

4 wrn könnn. Sin hot, ss si mit ihrm PDA mhr Sprhn rknnn knn ls Ihrr. () Zign Si, ss Sin rht ht, inm Si in Sprh ngn, i von Sins PDA rknnt wir, von Ihrm r niht rknnt wrn knn. Bgrünn Si is! () Wlh Klss von Sprhn knn Sins PDA rknnn? Hinwis: Knn Sin mit ihrm PDA in mähtigrs Brhnungsmoll simulirn? Dr nso gnil wi uh gwit Doktor Mt ist stürzt. Dr piig Inormtik-Stunt Mrvin Fulson ist in sin Huptqurtir ingrohn (Villiht hätt mn s Shloss oh rstzn solln?... Nin, i Hohglnzpolitur ür i Hiishkn wrn wihtigr) un ht n gngnn intrntionln Spitzngnt Svn vn Hgn rit. Ein pishs Ght zwishn Mrvin Fulson mit Svn vn Hgn ggn Els un Dr. Mt ist unuswihlih. D i Prtin Gwlt vrshun inign si sih u inn Wttstrit: Wr n ssrn PDA un knn gwinnt! Währn unzähligr Stunn voll ruhnr Köp un Shwiß, glingt s Els, n llinsthnn Mrvin Fulson mit inm Augnushlg zulnkn un ihm sinn son rtiggstlltn PDA-Stk zu ntwnn. () Um r Arit inn nun Stk zu un zu ntghn, ürlgt Mrvin, o sin PDA niht uh ohn n Stk i glih Mng von Sprhn rknnn knn. Bntwortn Si is Frg inm si i Sprhn, i sin PDA nun noh rknnn knn klssiizirn. In r Zwishnzit sonirt Doktor Mt i nu Lg. Er hot urh n zwitn Stk (r unhängig vom shon vorhnnn Stk nutzr ist) nun inn Vortil zu hn, r sih uh urh Anu ins nun Stks m PDA r Ggnrprti niht kompnsirn lässt. () Zign Si, ss sin Honung grünt ist, inm Si in Sprh ngn, i von Mts PDA rknnt wir, von inm gwöhnlihn PDA r niht rknnt wrn knn. Bgrünn si is! () Wlh Klss von Sprhn knn r Els/Mt-Automt nun rknnn? Knn r in mähtigrs Brhnungsmoll simulirn? () Angnommn Els könnt inn witrn Stk ntwnn (isml ntürlih vom nlls llinsthnn Svn vn Hgn). Könnt Doktor Mt mit in noh mähtigrs Brhnungsmoll un? () Aus r Vorlsung ist knnt, ss Ihr PDA gnu i kontxtrin Sprhn rknnn knn. Ohn inn Stk ist Mrvin Fulsons PDA in nihttrministishr nlihr Automt, r knntrwis gnu i rgulärn Sprhn rknnn knn. D i Mng r rgulärn Sprhn in ht Tilmng r kontxtrin Sprhn ist, knn Fulsons PDA ttsählih wnigr Sprhn rknnn ls in PDA mit inm Stk. () In Aug von Üungsltt 7 wur gzigt, ss i Sprh L = {w {,, } : w = w = w }

5 niht kontxtri ist. D in gnz normlr PDA gnu i kontxtrin Sprhn rknnn knn, knn r inssonr L niht rknnn. Elss PDA mit zwi Stks knn L llrings rknnn. Si knn z.b. so vorghn, ss si ür js in Zihn u n rstn Stk lgt, ür js in Zihn u n zwitn Stk lgt, un ür js jwils in Zihn von n in Stks lösht. () Elss PDA mit zwi Stks L, R ist gnuso mähtig wi in Turingmshinn un rknnt lso i Mng r ntshirn Sprhn. Einrsits knn in Turingmshin onsihtlih inn PDA simulirn. Anrrsits knn uh in PDA P mit zwi Stks in Turingmshin M wi olgt simulirn. Zu rst shrit P i Eing w u n Stk R. Anshlißn wrn ll Symol von R nh L vrshon, somit stht s rst Zihn von w n rstr Stll von L. Dis Position stllt nun n Kop r Turingmshin r un Dr Stk L koirt somit s Wort links vom Kop un s Zihn u m Lskop un R s Wort rhts vom Lskop. Ein Shri Oprtion ist lso in Folg von inr pop un inr push Oprtion u L. Ein Shritt nh Links ist in pop Oprtion u L uns in push Oprtion u R, ntsprhn Umgkhrt wir in Bwgung nh rhts simulirt. () Nin, in PDA mit 3 Stks lässt sih nlls von inr Turing Mshin simulirn. Aug 3 ( Punkt) Si () () L = { p R #w p, w {, }, w nthält p ls Tilwort }, L 2 = { x #x 2 #... #x k k, x i {, }, ür in i, j gilt x i = x R } j. woi p R s Spiglwort von p ist. Könnn L un L 2 jwils von inm nihttrministishn PDA rknnt wrn? Bwisn Si! J, L i wir von olgnn kontxtrin Grmmtik rzugt: () S T X T T T #X X X X ε () S T Y #T T #Y Y #T #Y T T T # #Y # Y X Y #Y X X X

6 Aug 4 ( Punkt) Si L ({,,... 9} {+,, }) i Mng r Formln in umgkhrtr Polnishn Nottion. Di Sprh L wir urh olgn Grmmtik G shrin: S SSo zso ε mit z {,,..., 9}, o {+,, }. Bring Si i Grmmtik G in Grih-Normlorm. Dokumntirn Si Ihr Vorghn.. Chomsky-Normlorm: S SB ZB () B SO (2) O + (3) Z 2 9 (4) (5). Nummrirn r Vriln A A A 2 A 4 A 2 (6) A 2 A A 3 (7) A 3 + (8) A (9) () 2. Wn Erstzung (ii) u A A A 2 n. A A 4 A 2 B A 4 A 2 () A 2 A A 3 (2) A 3 + (3) A (4) B A A 2 A A 2 B (5) 3. Wn Erstzung (i) u A 2 A A 3 n. A A 4 A 2 B A 4 A 2 (6) A 2 A 4 A 2 BA 3 A 4 A 2 A 3 (7) A 3 + (8) A (9) B A A 2 A A 2 B (2) 4. Wn Erstzung (i) u A n. A A 2 B A 2 B... 9A 2 B (2) A 2 A 2... A 2 (22) A 2 A 4 A 2 BA 3 A 4 A 2 A 3 (23) A 3 + (24) A (25) B A A 2 A A 2 B (26)

7 5. Wn Erstzung (i) u A 2 n. A A 2 B A 2 B... 9A 2 B (27) A 2 A 2... A 2 (28) A 2 A 2 BA 3 A 2 BA 3 9A 2 BA 3 (29) A 2 A 3 A 2 A 3 9A 2 A 3 (3) A 3 + (3) A (32) B A A 2 A A 2 B (33) 6. Wn Erstzung (i) u B n A A 2 B A 2 B 9A 2 B (34) A 2 A 2 9A 2 (35) A 2 A 2 BA 3 A 2 BA 3 9A 2 BA 3 (36) A 2 A 3 A 2 A 3 9A 2 A 3 (37) A 3 + (38) A (39) B A 2 BA 2 A 2 BA 2 9A 2 BA 2 (4) A 2 A 2 A 2 A 2 9A 2 A 2 (4) A 2 BA 2 B A 2 BA 2 B... 9A 2 BA 2 B (42) A 2 A 2 B A 2 A 2 B 9A 2 A 2 B (43) (44) Konstruirn Si mittls G inn PDA r L rknnt. z, A A 2 B mit z {,..., 9} z, A A 2 mit z {,..., 9} z, A 2 A 2 BA 3 mit z {,..., 9} z, A 2 A 2 A 3 mit z {,..., 9} z, A 4 ε mit z {,..., 9} q o +, A 3 ε, A 3 ε, A 3 ε z, B A 2 BA 2 mit z {,..., 9} z, B A 2 A 2 mit z {,..., 9} z, B A 2 BA 2 B mit z {,..., 9} z, B A 2 A 2 B mit z {,..., 9} Aug 5 ( Punkt)

8 Si G in Grmmtik in Chromsky-Normlorm un T in Syntxum zu w, ssn längstr P i Läng n ht. Zig, ss w 2 n. Inuktion ür n (Läng s längstn Ps): n = : Alitung r Form A mit Σ w =, w = 2 n > : An r Wurzl git s in Alitung S AB S A B T A T B Längstr P in T A, T B : n T A, T B hn j mx. 2 n 2 Blättr (Inuktionsnnhm) T ht mx. 2 n n 2 = 2 n Blättr w 2 n Aug 6 ( Punkt) Si L in kontxtri Sprh. Di Funktionn α un β sin wi olgt inirt. α(l) = {yx xy L} (45) β(l) = {yxz xyz L} (46) Zign Si: Di Mng r kontxtrin Sprhn ist gshlossn untr α. Di Mng r kontxtrin Sprhn ist niht gshlossn untr B.