existiert. Er ist aber einseitig zusammenhängend: Die Knoten des gerichteten

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1 Thnish Univrsität Münhn WS 2002/03 Institut für Informtik Aufgnltt 7 Prof. Dr. J. Csirik 25. Novmr 2002 Brnt & Stin Üung zur Vorlsung Diskrt Strukturn I Agtrmin: Tutorüungn m 6. Dzmr Ahtung: Di Tutorüungn m (Dis Amius) ntflln. Bitt suhn Si Üungsgruppn m Fritg, n Aufg 39 Grihtt Grphn (H) g h f f f D D D D D D D () Ein Digrph D = (V, A) ist insitig zusmmnhängn, wnn für ll Knotn s, t V gilt, ss s von t or t von s us rrihr ist. Wlh r gzigtn Digrphn D, D,..., D sin zusmmnhängn, insitig zusmmnhängn, strk zusmmnhängn? () Wlh r Digrphn D, D,..., D sin zuinnr isomorph? () Gn Si i topologish Sortirung für ll Grphn D, D,..., D n, für i in solh xistirt. () Ürlgn Si sih in notwnigs un hinrihns Kritrium für i Existnz inr grihttn Eulrtour in inm Digrph. Aufg 39 (Lösungsvorshlg) Grihtt Grphn () All Digrphn sin (shwh) zusmmnhängn, wil i zugrunlignn Grphn zusmmnhängn sin. Ein strk zusmmnhängnr Digrph ist uh insitig zusmmnhängn, für n insitign Zusmmnhng für j zwi Knotn vrlngt wir, ss s inn grihttn Wg zwishn ihnn git, für n strkn Zusmmnhng, ss s grihtt Wg in in Rihtungn zwishn ihnn git.

2 D ist niht insitig zusmmnhängn, wr von nh, noh von nh in Wg xistirt. D ist strk zusmmnhängn, trht n grihttn Wg (,,, g,, h, f,,, ). D ist niht strk zusmmnhängn, von nh kin grihttr Wg xistirt. Er ist r insitig zusmmnhängn: Di Knotn s grihttn Wgs (,,,, f) hängn insitig zusmmn, nso (,,,,, f) un i Knotn un. D ist niht strk zusmmnhängn, von nh kin grihttr Wg xistirt, r insitig zusmmnhängn: (,,,, ). D ist niht insitig zusmmnhängn, wr von nh noh von nh in grihttr Wg xistirt. D ist niht strk zusmmnhängn, von nh kin grihttr Wg xistirt, r insitig zusmmnhängn: (,,,, ). D ist niht strk zusmmnhängn, kin grihttr Wg von nh, r insitig zusmmnhängn: (,,,, ). () Nur (Di-)Grphn mit glihr Knotnzhl könnn zuinnr isomorph sin, in Frg kommn lso nur D, D sowi D, D, D, D. Bi n Digrphn D un D sin shon i zugrunlignn Grphn niht isomorph, rstr nthält in Brük, zwitr niht. Blin D, D, D, D : D nthält ls inzigr Digrph zwi Knotn ( un ), i nur usghn Kntn sitzn, knn lso niht zu inm nrn Digrphn isomorph sin. Im Digrphn D sitzt r inzig Knotn () von Gr 4 in usghn un ri inghn Kntn. Dis ist wr in D noh D r Fll, somit knn D zu kinm von in isomorph sin. Un D un D sin zuinnr isomorph, i Prmuttion () ürführt D in D. () D nthält n Zyklus (f,, h) (un noh witr Zykln), D nthält (,, ), D nthält (,, ), D nthält (,, ) un D nthält (,, ). Liglih D un D sin zyklnfri, nur uf ihnn xistirt in topologish Sortirung. Hirfür git s mhrr Möglihkitn, z. B.: uf D :,,,, f,. uf D :,,,,. () Notwnig ist sihr, ss jr Knotn glih vil in- wi usghn Kntn sitzt. Dis ist uh hinrihn, wi mn sih nlog r Argumnttion für ungrihtt Grphn ürlgt. 2

3 Aufg 40 Polynomivision (T/H) x () (T) x x + 1 4x (H) x x 2 (H) x + 2x 24 x + 2 (H) x 1 x 1 x 1 () (T) Zign Si, ss m, n N, m < n : p(x) = x + 1 Aufg 40 (Lösungsvorshlg) Polynomivision () Rin Rhnufgn: x x x + 1 = x x x + x x x x x in Polynom ist. x 4x x 2 = x + 2x x 2x 2x 4x 2x 4x x + 2x 24 x + 2 = x + 2x + 6x 12 x + 2x 2x + 2x 2x 4x 6x 6x + 12x 12x 24 12x 24 Polynomivision zigt uh hir: x 1 x 1 = x + x +... = x () Polynomivision lifrt: x 1 x + 1 = x x + x... 1 = ( 1) x Wihtig ist hir, ss is ltrnirn Summ in gr Anzhl von Glirn ht, so ss im ltztn Shritt r Trm ( x 1 ) gzogn wir. Altrntiv gnügt uh r gshikt Einstz r 3. inomishn Forml: 3

4 ( ) Es gilt x = x un = ( + )( ), un mit: x 1 = (x + 1)(x 1) = (x + 1)(x + 1)(x 1) = = (x 1) (x + 1) Dmit ist js x + 1 mit m < n Tilr. Aufg 41 Tilrkit (H) Ein Zhl n ist in r Dzimlrstllung... ggn. Bwisn Si: () n ist gnu nn urh 9 tilr, wnn urh 9 tilr ist. () n ist gnu nn urh 11 tilr, wnn ( 1) urh 11 tilr ist. () Gn Si in Kritrium n, s ntshit o in Zhl urh 33 tilr ist un prüfn Si, o urh 33 tilr ist. Aufg 41 (Lösungsvorshlg) Tilrkit () Di Aussg utt, ss in Zhl gnu nn urh 9 tilr ist, wnn ihr Qursumm urh 9 tilr ist. Diss Vrfhrn ist rht ffizint, mn s rkursiv nwnn knn, lso i Qursumm r Qursumm r Qursumm usw. stimmn knn. Ein Zhl n ist gnu nn urh 9 tilr, wnn folgn Glihung gilt. n = 10 0 (mo 9) Mit Hilf r inomishn Forml rhält mn 10 = (9+1) = ( ) 9 1 ( ) 9 1 = 1 (mo 9), ll Summnn für j > 0 urh 9 tilr sin. Drus folgt, ss oig Aussg äquivlnt zu folgnr ist. 0 (mo 9) () Wi in Aufg () ist in Zhl n urh 11 tilr, wnn folgns gilt. n = 10 0 (mo 11) Jtzt intrssirt uns, wlhr Rst i r Division von 10 urh 11 lit. Wnn mn wirum i inomish Forml nwnt, rhält mn 10 = (11 1) = ( ) 11 ( 1) ( ) 11 ( 1) = ( 1) (mo 11). Drus folgt, ss n gnu nn urh 11 tilr ist, wnn i ltrnirn Qursumm urh 11 tilr ist. ( 1) 0 (mo 11) () 33 ist s Proukt r in Primzhln 3 un 11. Es müssn lso i Kritrin für 3 un 11 gltn: Di Qursumm ist urh 3 tilr un i ltrnirn Qursumm ist urh 11 tilr. Di nggn Zhl ist lso urh 33 tilr. 4

5 Aufg 42 Eulrsh φ-funktion (T) Bwisn Si, ss für i Anzhl r zu n = p p... p klinr glih n, Z, gilt: Z = φ(n) = (p 1)p tilrfrmn Zhln Aufg 42 (Lösungsvorshlg) Eulrsh φ-funktion Wir wisn i Bhuptung urh Inuktion ür k. I.A. φ (p ) = (p 1)p Für Primzhln p gilt offnsihtlih φ(p) = p 1. Btrhtn wir nun i Primzhl-Potnzn p für N. p, 2p, 3p,..., p sin i inzign Zhln, i gminsm Tilr mit p hn. Es git = p solh Zhln. Insgsmt git s lso φ(p ) = p p = (p 1)p tilrfrm Zhln. ( ) I.S. φ p = φ (p ) Für tilrfrm ntürlih Zhln m un n gilt φ(m n) = φ(m) φ(n). Für Primzhln m, n knn mn sih is mit m Inklusion-Exklusionsprinzip ürlgn. n Zhln klinr glih m n sin urh m tilr, m Zhln sin urh n tilr. Witr Zhln, i inn gminsmn Tilr mit m n hn, git s niht, m un n prim sin. Nun müssn wir noh vt. opplt gzählt Zhln wir zihn. m n wur zwifh gzählt. Insgsmt rgit sih: φ(m n) = m n n m + 1 = (m 1)(n 1) = φ(m)φ(n). Für tilrfrm m, n ist r Nhwis tws shwirigr, wshl wir n isr Stll uf n Bwis vrzihtn (mn knn mit Hilf s hinsishn Rststzs zign, ss s in Bijktion zwishn Z un Z Z git). p un p sin tilrfrm, ll p Primzhln sin. Aufg 43 Moulo-Rhnn (T) Bstimmn Si ffizint Vrfhrn für s Multiplizirn un Potnzirn moulo n. Brhnn Si mit folgn Ausrük: () 7 mo 15 () 2 mo 12 Aufg 43 (Lösungsvorshlg) Moulo-Rhnn () Hir stign slst Mthmtik-Progrmm wi Mpl i r Brhnung r Potnz us. Uns kommt r r Stz von Eulr (Stz 3.20) zu Hilf. D 7 Z = 7 = 7 = 7 1 (mo 15). 7 ligt, gilt 5

6 Es gilt (mo 8). Dis siht mn folgnrmßn: D 1000 = 8 125, gnügt s i ltztn ri Ziffrn uf Tilrkit urh 8 zu prüfn. Offnsihtlih ist 688 urh 8 tilr un 690 lifrt n Rst 2. Drus rgit sih 7 = (mo 15). () In ism Fll knn r Stz von Eulr lir niht ngwnt wrn, 2 Z. Dhr iln wir zunähst i rstn Potnzn von 2 is sih in Shlif rgit: 2 2 (mo 12), 2 4 (mo 12), 2 8 (mo 12), 2 4 (mo 12),... Dmnh gilt: 2 flls x = flls x 0 (mo 2) 8 flls x 1 (mo 2) un x 1 In unsrm Fll gilt (mo 2) un mit: 2 4. mo 12 = Aufg 44 Kryptogrphi (Z/H) RSA (nnnt nh n Erfinrn Rivst, Shmir un Almn) ist in Puli-Ky- Kryptovrfhrn, i m r öffntlih Shlüssl, mit m Nhrihtn vrshlüsslt wrn, knntggn wrn knn, i m r nur r Bsitzr s ghimn Shlüssls is Nhrihtn mit vrtrtrn Rhnufwn ntshlüssln knn. Mn wählt zwi shr groß Primzhln p, q, rhnt n = p q un stimmt ntürlih Zhln k, l mit ggt(k, φ(n)) = 1 un k l 1 (mo φ(n)). Dr öffntlih Shlüssl ist s Pr (k, n), r ghim Shlüssl s Pr (l, n). Ein Nhriht m N wir folgnrmßn vrshlüsslt: Vrshlüssln: m = m Entshlüssln: m = (m ) mo n mo n Nh m rzitign Stn r Kryptogrphi knn l nur nn ffizint stimmt wrn, wnn p, q un mit uh φ(n) knnt sin. Es ist joh kin ffizintr Algorithmus zur Primfktorzrlgung knnt. () (Z) Zign Si, ss s RSA-Vrfhrn korrkt ist,.h., ss m = m gilt, flls 0 m < n. () (H) Wir koirn Buhstn urh Zhln nh folgnm Shm: jm Buhstn wir in Zhl zwishn 1 un 26 zugornt, i sinr Ornung im Alpht ntspriht. Zu isr Zhl wir nn noh 1 irt r Buhst C wir z.b. urh i Zhl 4 koirt un is Zhl rufhin mit m RSA-Vrfhrn vrshlüsslt. Si knnn n öffntlihn Shlüssl (29, 35) un i Nhrihtn 24, 20, 32. Entshlüssln Si n Inhlt! 6

7 Aufg 44 (Lösungsvorshlg) Kryptogrphi () Zunähst inml zign wir i folgn Aussg. x x (mo n) un y y (mo n) x y x y (mo n) (1) Aus r linkn Sit folgt, ss s t, t Z gn muss, so ss x = x + tm un y = y + t m gilt. Drus rgit sih xy x y = x(y + t m) (x tm)y = xy +xt m xy +y tm = (xt +y t)m. Ds utt nihts nrs ls xy x y (mo n). Aus r Gültigkit von (1) folgt uh folgn Aussg. x y (mo n) x y (mo n) (2) Es gilt m m (mo n) Wir zign nun, ss (m ) ( m ) (mo n) m m (mo n). m m (mo p) un m m (mo q) Di rst Aussg lässt sih folgnrmßn zign (i zwit Aussg nlog): Flls p in Tilr von m ist, so folgt i Aussg unmittlr, nn 0 (mo p). Anrnflls wissn wir nh m klinn Stz von Frmt, n wir uf m folgnn Üungsltt wisn wrn, ss gilt: 0 m 1 (mo p) 0 < m < p Wgn kl 1 (mo φ(n)) gilt kl = φ(n) + 1 = (p 1)(q 1) + 1 für in gignts un mit m Aus n gzigtn Äquivlnzn = (m ) m 1 m m (mo n). m m m (mo p) Z mit m m (mo q) Z mit m = p + m = q + m folgt p = q. Es gilt = q für in gignts, nn q knn p niht tiln knn, muss q wohl tiln. Drus folgt r m m = pq + m m (mo qp) D qp = n ist un m zwishn 0 un n 1 ligt, gilt lso m = m. Flls m un n tilrfrm sin, so knn mn uh tws infhr irkt mit m Stz von Eulr (Stz 3.20) rgumntirn. Somit ist i Korrkhit s RSA-Vrfhrns gzigt. Offn ist hinggn i Sihrhit von RSA. Es ist niht wisn, ss s kin ffizints Vrfhrn zur Fktorisirung von n git. Allrings wur in ür 20 Jhrn trotz vilr Vrsuh kin Vrfhrn mit polynomillr Lufzit gfunn. Zur Zit gilt in Moul mit 1024 Bit ls rht sihr. 7

8 RSA knn uh zum sihrn Signirn von Nhrihtn vrwnt wrn, inm mn sin Nhriht (or ssr inn Hshwrt r Nhriht) mit sinm ghimn Shlüssl vrshlüsslt. Dr Empfängr knn i Ehthit s Asnrs ürprüfn, inm r i vrshlüsslt Nhriht mit m öffntlihn Shlüssl ntshlüsslt. D RSA vil lngsmr ls symmtrish Vrfhrn wi DES (100 ml lngsmr in Softwr, 1000 ml lngsmr in Hrwr) ist, vrwnt mn in r Prxis RSA mist nur, um inn symmtrishn Shlüssl uszutushn. () Für sihr Kommuniktion ist n un i Läng r zu vrshlüsslnn Nhrihtn ntürlih vil zu klin gwählt. Aus ism Grun könnn wir n Co uh shr liht knkn. Es gilt n = 35 = 5 7 un mit p = 5, q = 7. Dmit läßt sih φ(35) = (p 1) (q 1) = 4 6 = 24 liht rhnn. D gilt ggt(k, φ(n)) = ggt(29, 24) = 1 lssn sih mit m Algorithmus ERWEITERTER-EUKLID Zhln, rhnn mit = 1. Wir stzn l = mo φ(n), nn könnt vtl. ngtiv sin. Dmit gilt kl 1 (mo φ(n)). In ism Fll rgit sih l = 5. Dmit rhnt mn: 24 mo 35 = mo 35 = mo 35 = 2 Bi gshiktm Einstz r moulo-rhnrgln knn mn s noh mit r Hn rhnn. Dmit rhält mn n 18., 19. un 1. Buhstn s Alphts, lso RSA ls Lösung. 8