6.1 Was sind binäre Suchbäume?
|
|
- Edwina Dunkle
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 6 inär Suchäum 6.1 Ws sin inär Suchäum? Suchäum (inry srch trs) sin tnstrukturn, i vil Oprtionn uf ynmischn Mnn ffiint untrstütn. ispil sin: Srch(K, k): Such in lmnt von K mit Schlüssl k Insrt(K, ): Fü s lmnt in K in lt(k, ): ntfrn s lmnt us K Minimum(K): Such s (in) lmnt von K mit minimlm Schlüssl Mimum(K): Such s (in) lmnt von K mit mimlm Schlüssl Succssor(K, ): Such s lmnt, ssn Schlüssl in r Ornun von K m Schlüssl von folt (r nächströßr Schlüssl) m Schlüssl von vornht (r nächstklinr Schlüssl) in Suchum knn lso ls um ispil ls ictionry or Priority Quu vrnt rn. in inärr Suchum ist i r Nm schon st in inärr um. in solchr um knn urch in Pointr-tnstruktur rpräsntirt rn, in r jr Knotn in Ojkt rstllt. Nn m Schlüssl (ky) ht jr Knotn i Pointr lft chil un riht chil, i uf i Nchfolrknotn in, soi inn Pointr prnt, r uf n irktn Voränr s Knotns vrist. Git s kin chil- or prnt-knotn, ist r ntsprchn Pointr uf stt. ilun 6.1 it i typisch Struktur ins umknotns, i im folnn in r Klss TrNo implmntirt ist. ilun 6.2 it in ispilstruktur ins inärn ums. In r vrinfchtn ilun 6.3() r umstruktur us ilun 6.2 sin i lättr (lfs) s ums, lso i Knotn ohn Kinr, rot untrlt. In inm inärn Suchum rn i Schlüssl i folt spichrt (inry-srch-tr proprty or Ornunsinschft): Si in Knotn s ums. Für jn Knotn y im linkn Untrum von ilt y.ky.ky. Für jn Knotn y im rchtn Untrum von ilt y.ky.ky. 65
2 6 inär Suchäum TrNo *prnt; int ky; TrNo *lft_chil ; TrNo *riht_chil ;. 6.1: Knotn in inm inärn um TrNo *root; : ispil für inn inärn um Für n um in ilun 6.3() ist r Knotn 5 i Wurl, i Knotn 2, 3 un 5 finn sich ntsprchn im linkn Untrum, i Knotn 6, un 8 im rchtn Untrum. Knotn 3 ist um ispil nicht klinr ls Knotn 2 in sinm linkn Untrum un nicht rößr ls Knotn 5 in sinm rchtn Untrum. finition 6.1. i Höh ins Knotn v in inm um ist lich r Zhl r Kntn uf m länstn W vom Knotn u inm ltt im Untrum s Knotns. i Höh ins ums ist lich r Höh sinr Wurl. 6.2 lorithmn uf inärn Suchäumn Tr lk i Ornunsinschft rmölichst i us llr im um spichrtn Schlüssl in sortirtr Rihnfol. r ntsprchn rkursiv lorithmus ir ls tr lk ichnt: voi t r l k ( TrNo ) { i f (!= ) { t r l k ( >l f t c h i l ) ; cout << >ky << nl ; t r l k ( >r i h t c h i l ) ; 66
3 6.2 lorithmn uf inärn Suchäumn 2 Wurl 5 Wurl = root () (). 6.3: 6.3() r inär um us. 6.2 in vrinfchtr rstllun. 6.3() in nir ffiintr inärr Suchum r Höh 4, r i lichn Knotn nthält. in ufruf r Funktion tr lk() für i äum in ilun 6.3 führt ur us 2, 3, 5, 5, 6,, 8. r lorithmus nötit Θ(n) Zit, um inn inärn um mit n Knotn u urchlufn, i Funktion nu iml rkursiv für jn Knotn s ums ufrufn ir: inml für s link Kin s Knotns un inml für s rcht Kin. St 6.1. Strtn ir i Funktion tr lk mit r Wurl ins ums mit n Knotn, so nötit tr lk Θ(n) Zit. is. Si T (n) i Lufit für inn um mit n Knotn. Für inn lrn um nötit tr lk konstnt Zit T (0) = c. Für n > 0 nhmn ir n, ß tr lk für inn Knotn mit inm linkn Untrum r Größ k un inn rchtn Untrum r Größ n k 1 (rkursiv) ufrufn ir: T (n) = T (k) + T (n k = 1) + ist in Konstnt Wir nn nun i Sustitutionsmtho n un in, ß i Lufit von tr lk von r folnn Form ist: T (n) = (c + )n + c, oi c un i (on finirtn) Konstntn sin. Inuktionsstrt: n = 0 T (0) = c = (c + )0 + c Inuktionsnnhm: Wir nhmn n, ß i oi uss für ll nn Zhln klinr ls n ilt. Inuktionsschluß: T (n) = T (k) + T (n k 1) + T (n) = (c + )k + c + (c + )(n k 1) + c + T (n) = (c + )n + c 6
4 6 inär Suchäum Such uf inärn äumn in äni Oprtion in inm inärn Suchum ist i Such nch inm Schlüssl k. i Funktion tr srch ir mit inm Pointr uf n Wurlknotn s trffnn ums soi mit m Schlüssl k ufrufn. Wir k funn, lifrt tr srch inn Pointr uf n funnn Knotn urück, nrnflls. TrNo t r s r c h ( TrNo, int k ) { TrNo r s u l t = ; i f (!= ) { i f ( >ky == k ) r s u l t = ; ls i f ( k < >ky ) r s u l t = t r s r c h ( >l f t c h i l, k ) ; ls r s u l t = t r s r c h ( >r i h t c h i l, k ) ; rturn ( r s u l t ) ; i Funktion innt i Such n r Wurl un läuft im um nch untn. Für jn Knotn ir r sucht Schlüssl k mit m Schlüssl k vrlichn. Sin i Schlüssl lich, richt i Such. Ist k klinr ls k, fährt i Such im linkn Untrum von fort, i Ornunsinschft impliirt, ß k nn nicht im rchtn Untrum spichrt sin knn. ntsprchn ir i Such im rchtn Untrum fortstt, nn k rößr ist ls k. i uf is Wis urchlufnn Knotn formn inn Pf von r Wurl u inm ltt. i Lufit von tr srch ist lso O(h), oi h i Höh s ums nit. i lich Funktion knn uch itrtiv implmntirt rn, inm i Rkursion in Form inr hil-schlif nchilt ir. uf n mistn Mschinn ist is Vrsion ffiintr ls i rkursiv Implmntirun. TrNo i t r t i v t r s r c h ( TrNo, int k ) { hil (!= && >ky!= k ) { i f ( k < >ky ) = >l f t c h i l ; ls = >r i h t c h i l ; rturn ; i Funktionn tr srch, itrtiv tr srch, tr prcssor, tr minimum un tr mimum sin shr ähnlich u n nnn Implmntirunn. St 6.2. i Funktionn tr srch, itrtiv tr srch, tr prcssor, tr minimum un tr mimum hn in Lufit von O(h), oi h i Höh s inärn ums ist. 68
5 6.2.3 infün un Löschn 6.2 lorithmn uf inärn Suchäumn infün un Löschn irkn in Änrun r umstruktur. i tnstruktur muß ntsprchn änrt rn, ohn i n i Ornunsinschft u vrstoßn. Wir rn shn, ß s infün rltiv infch ist, ährn s Löschn utlich kompliirtr ist. infün i Funktion tr insrt füt inn nun Knotn mit m Schlüssl k in n um in. Wir nhmn n, ß lft chil un riht chil schon uf stt urn. voi t r i n s r t ( Tr T, TrNo ) { TrNo =T >root ; // Pointr um I t r i r n ur n um TrNo p=; // Pointr uf Vtr von Knotn hil (!=) { // urchmustrn s ums p = ; // p s p i c h r t n Vtr von i f ( >ky < >ky ) = >r i h t c h i l ; // i Such ht r c h t s i t r ls = >l f t c h i l ; // i Such ht l i n k s i t r >prnt = p ; i f ( p==) T >root = ; // i s t i nu Wurl ls i f ( >ky < p >ky ) p >l f t c h i l = ; // Links von p i n f u n ls p >r i h t c h i l = ; // Rchts von p i n f u n Wi i Such-Funktionn ht tr insrt in Lufit von O(h) (h: Höh s ums). Löschn im Löschn ins umknotns ist in Flluntrschiun rforrlich: 1. r u löschn Knotn ht kin Kinr. isr Fll ist r infchst: r ntsprchn Zir s Vtrknotns von ir uf stt, ir löscht. i Lufit ist O(1). Fll 1 ist in ilun 6.4() rstllt. 2. r u löschn Knotn ht nu in Kin, s nn mit m Vtr von vrunn ir (splic out,. 6.4()). is Oprtion ht in Lufit O(1). 3. r u löschn Knotn ht i Kinr. isr Fll ist r ufnist: Wir nn s splic out us Schritt 2 uf n Succssor von Knotn n: 69
6 6 inär Suchäum () (). 6.4: Löschn ins Knotns in inm inärn um - Fll 1 un : Löschn ins Knotns in inm inärn um - Fll 3 ) Such n Succssor von in sinm rchtn Untrum ) Ür tn (n Schlüssl) s Succssors n c) Lösch mit r Prour für Knotn mit inm Kin isr Fll ist in. 6.5 it. i Lufit ist O(h) im orst cs. St 6.3. In inm inärn Suchum r Höh h knn in Zit O(h) in lmnt infüt or löscht rn. 6.3 Rot-Schr-äum Im vorhrhnn schnitt hn ir lrnt, ß i Stnr-Oprtionn ynmischr Mnn uf inärn äumn in Zit proportionl ur Höh s ums usführt rn könnn. shl sollt mn vrsuchn, i Höh ins ums so klin i mölich u hltn, un mn sollt für sorn, ß r um immr ut lncirt lit. in Rot-Schr-um ist in inärr Suchum, r pro Knotn ür in usätlichs ltt vrfüt, mit m i Fr s Knotns (rot or schr) spichrt ir. Wir vrschnn hir Spichrplt un vrnn im folnn in n Zhl int color mit R=0 un LK=1. Jr Knotn (TrNo) nthält i folnn Komponntn (tn): 0
7 6.3 Rot-Schr-äum : Rot-Schr-um int ky ; TrNo prnt ; TrNo l f t c h i l ; TrNo r i h t c h i l ; int c o l o r ; finition Jr Knotn ist ntr rot or schr. 2. i Wurl ist schr. 3. Js ltt [] ist schr. 4. Wnn in Knotn rot ist, nn sin sin Kinr schr. 5. Für jn Knotn ilt: ll Pf vom Knotn u lättrn im Untrum nthltn i lichn Zhl von schrn Knotn. In ilun 6.6 ist in ispil für inn Rot-Schr-um rstllt. i - Zir könnn ll uf i rss ins sonrn Knotn T umstt rn (. 6.). Mit ism Knotn könnn ir i mit jm nrn Knotn ritn: T >color=lk; prnt, lft chil, ky un riht chil könnn lii stt rn. i (innrn) Knotn mit n Schlüssln im Mittlpunkt unsrs Intrsss sthn, lssn ir in n folnn ilunn i Zir uf T. finition 6.3. i schr Höh sh() ins Knotn ist i Zhl r schrn Knotn von u inm ltt, oi r Knotn nicht mitählt ir. Lmm 6.1. in Rot-Schr-um mit n innrn Knotn ht höchstns i Höh 2lo(n + 1). is. Wir in unächst, ß jr Untrum mit Wurl minstns 2 sh() 1 innr Knotn nthält. is in ir mittls vollstänir Inuktion ür i Höh von. 1
8 6 inär Suchäum T. 6.: r Knotn T Höh()=0: ist T un nthält hr 2 sh() 1 = = 0 innr Knotn. Wir trchtn nun für n Inuktionsschritt inn Knotn, r in positiv Höh ht un r in innrr Knotn mit i Kinrn ist. Js Kin ht ntr in schr Höh von sh() or sh() 1, j nchm, o s in rotr or in schrr Knotn ist. i Kinr von in um ins klinr Höh ls hn, folt us r Inuktionsnnhm, ß i Zhl r innrn Knotn minstns (2 sh() 1 1) + (2 sh() 1 1) + 1 = 2 sh() 1 ist. Si h i Höh s ums. Minstns i Hälft r Knotn von r Wurl u irn inm ltt sin schr. Hirus folt: sh(root) h/2 n 2 h/2 1 2lo(n + 1) h us m oin Lmm folt irkt: i Such nch inm lmnt, m Minimum, m Mimum, m Succssor or Prcssor ins lmnts knn in inm Rot-Schr-um mit n Knotn in Zit O(lon) usführt rn. uch i im vorhrhnn schnitt schrinn Funktionn tr insrt un tr lt hn in Lufit von O(lon). Nch r ntsprchnn Oprtion lit joch vntull kin Rot-Schr-um mhr vor. Wir rn im folnn schnitt lrnn, ß mn mittls sonnntr Rottionn von Tiläumn un mittls Umfärn r Knotn i inschftn s Rot-Schr- ums irhrstlln knn Rottionn Um nch infüunn un Löschunn im um i inschftn s Rot-Schr- ums irhrustlln, müssn iss Knotn umfärt rn, un mnch Zir müssn änrt rn. is sonnntn Rottionn sin lokl Änrunn r 2
9 6.3 Rot-Schr-äum umstruktur, i i rhltun r Ornunsinschft rntirn. ilun 6.8 it i Rottion von Knotn im um T nch links un rchts. Wir nhmn n, ß s rcht Kin y von nicht (T) ist. i Links-Rottion rht n um um i Knt von nch y hrum. i nu Wurl s Untrums ist mit y, ir um linkn Kin von y, s ishri link Kin von y ir rchts Kin von. i Rchts- Rottion vrläuft symmtrisch. i Oprtionn hn in Lufit O(1). Währn r Rottion rn usschlißlich Pointr vränrt, i ürin Knotnflr lin unrührt. lft_rott(t, ) y y riht_rott(t,y ). 6.8: Rottion im um T infün in Rot-Schr-äum Wir vrnn in licht moifiirt Vrsion von tr insrt: voi R insrt ( Tr T, TrNo ) { TrNo =T >root ; // Zir um urchnrn s ums TrNo p=t; // Zir uf Vtr hil (!=T) { // urchmustrn s ums p= ; // Mn mrk s i c h n Vtr von i f ( >ky< >ky ) = >r i h t c h i l ; // i Such ht r c h t s i t r ls = >l f t c h i l ; // i Such ht l i n k s i t r >prnt=p ; i f ( p==t) T >root= ; // i s t i nu Wurl ls i f ( >ky<p >ky ) p >l f t c h i l = ; // Links von p i n f u n ls p >r i h t c h i l = ; // Rchts von p i n f u n >c o l o r=r; // r nu Knotn i s t r o t >l f t c h i l = >r i h t c h i l =T; // ht kin Kinr R i n s r t f i u p (T, ) ; // Hir r f o l t i Rprtur // s Rot Schr ums 3
10 6 inär Suchäum Wlch inschftn könnn urch s infün vrltt rn? 1. Jr Knotn ist ntr rot or schr. 2. i Wurl ist schr. 3. Js ltt [] ist schr. 4. Wnn in Knotn rot ist, nn sin sin Kinr schr. 5. Für jn Knotn ilt: ll Pf vom Knotn u lättrn im Untrum nthltn i lichn Zhl von schrn Knotn. i inschftn 2 un 4 könnn urch infü-oprtionn vrltt rn. inschft 2 könnn ir shr infch rntirn, inm ir m n r Rprtur-Prour R insrt fiup r Wurl immr i Fr schr uornn: T >root >color=lk. nur schr lättr [T] ls Kinr ht, knn inschft 4 nur vrltt rn, nn r Vtr prnt von uch rot ist. i mölichn Vrltunn ntsthn lso urch, ß rot färt ir. Wir könnn nun ri Fäll untrschin, für i ir jils i ntsprchnn Til r Prour R insrt fiup nn. Fll 1: r Onkl y von ist uch rot (. 6.9). <WHIL LOOP>: hil ( >prnt!= && >prnt >c o l o r==r) { i f ( >prnt== >prnt >prnt >l f t c h i l ) { y= >prnt >prnt >r i h t c h i l ; <FLL 1>: i f ( y >c o l o r==r) { y >c o l o r=lk; >prnt >c o l o r=lk; >prnt >prnt >c o l o r==r; = >prnt >prnt ; ls { <FLL 2> ls {... // symmtrisch ur r s t n i f S c h l i f Fll 2: r Onkl y von ist schr un ist in rchts Kin (. 6.10). <FLL 2>: i f ( == >prnt >r i h t c h i l ) { = >prnt ; l f t r o t t (T, ) ; 4
11 6.3 Rot-Schr-äum y y. 6.9: Rprtur-Prour Rot-Schr-um, Fll 1 y y. 6.10: Rprtur-Prour Rot-Schr-um, Fll 2 Fll 3: r Onkl y von ist schr un ist in links Kin. <FLL 3>: ls { >prnt >c o l o r=lk; >prnt >prnt >c o l o r=r; r i h t r o t t (T, >prnt ) ; i Prour R insrt fiup ht mit foln Form: voi R i n s r t f i u p ( Tr T, TrNo ) { TrNo y ; // H i l f s p o i n t r f u r Onkl <WHIL LOOP> T >root >c o l o r=lk; i Lufit von R insrt ist O(lon) Löschn in Rot-Schr-äumn s Löschn ins Knotns us inm Rot-Schr-um ist shr ähnlich um Löschn in infchn inärn Suchäumn. i sntlich Änrun stht rin, ß mn m n r Prour ir in Rprtur-Prour R lt fiup strtt. Flls in rotr Knotn löscht ir, lin i inschftn s Rot-Schr-ums rhltn. Nur im ntfrnn ins schrn Knotns könnn is inschftn vrltt rn. ri Prolm könnn i uftrtn: P1: r ntfrnt Knotn y r i Wurl, un in rots Kin von y ist nch m Löschn von y i nu Wurl. Lösun: Fär schr 5
12 6 inär Suchäum P2: Flls s ini Kin s löschtn Knotns y un r Vtr von y rot sin, nn ist nch m Löschn i inun 4 vrltt. P3: Pf, i y nthltn hn, hn nun inn schrn Knotn nir. shl ist i inun 5 für ll Vorfhrn von y vrltt. s rst Prolm ist infch u lösn. Wir trchtn im folnn, i P2 un P3 hnlt rn könnn. 6
13 6.3 Rot-Schr-äum Si s Kin von y. [] Ist rot, so färn ir schr, un inun 5 ist ir rfüllt. is ist uch r ini Fll, in m i rot Knotn nch m Löschn ufinnr foln könnn, un somit ist uch inun 4 ir rfüllt. [] Ist schr un könntn ir inn itrn Schr-Wrt uornn (lso inssmt i), so är i inun 5 irhrstllt. in Rot-Schr- um joch kin Zählr für Frinhitn sitt, müssn ir itr Rprturn urchführn, um jils n Knotn mit m künstlichn Schr-Wrt von i u rprirn. i hnln ir (mit ) soln n Pf ur Wurl ntln, is i Vrltun von inun 5 liminirt ist. r Knotn si immr r rur von. Wir untrschin vir Fäll un innn mit m lttn Fll. In n uhörin ilunn könnn i lu ichntn Knotn ntr rot or schr färt sin. Fll 4: ist schr, un sin rchts Kin ist rot: ilun kommt i Fr von. Wir führn in Links-Rottion uf prnt us un ntfrnn i it Schrmrkirun von. Fll 2: un i Kinr von sin schr: ilun Flls rot ist, färn ir schr un rot un sin frti. Fll 3: ist schr, un sin links Kin ist rot: ilun Wir könnn i Frn von un sinm linkn Kin änrn un nschlißn in Rchts-Rottion uf usführn, ohn in r Rot-Schr-inschftn u vrltn. r nu rur von ist jtt in schrr Knotn mit inm rotn Kin r rcht Til r ilun it, ß ir mit i Fll 4 lnn. Fll 1: ist rot: ilun schr Kinr hn muß, könnn ir i Fr von un prnt änrn un nn in Links-Rottion uf prnt usführn, ohn i Rot-Schr-inschftn u vrltn. r nu rur von (ins von s Kinrn vor r Rottion) ist jtt schr. Flls ir von Fll 1 us in Fll 2 lnt sin, ist r nu Knotn rot färt, un ir färn ihn schr. mit ist i Rprtur nt. Zusmmnfssun r Rprtur-Prour: 1. Flls ir i Mölichkit hn, n Fhlr irkt u liminirn (Fll 4), führn ir i ntsprchn Trnsformtion sofort us. 2. Flls in soforti Rprtur nicht mölich ist, trnsformirn ir n um so, ß ntr i Rprtur im nächstn Schritt vollstäni rfoln knn (Fll 3)
14 6 inär Suchäum kommt i Fr von. 6.11: Löschn in inm Rot-Schr-um, Fll : Löschn in inm Rot-Schr-um, Fll 2 or im ürnächstn (Fll 1), or ß uminst uf m Pf ur Wurl in n hochhon rn knn (Fll 2). i Lufit r Rprtur-Prour un r smtn ntfrnn-oprtion ist O(lon). St 6.4. ll uf Sit 65 ufführtn ynmischn Oprtionn hn uf Rot- Schr-äumn mit n lmntn Lufit O(lon). 6.4 VL-äum Zur rinnrun: i Höh ins Knotns v in inm um T ist lich r Län s länstn Pfs von v u inm Nchkommn von v. i Höh s ums T ntspricht r Höh sinr Wurl. finition 6.4. in Untrum ins Knotns v ist in mimlr Tilum, ssn Wurl in Kin von v ist (sih. 6.) : Löschn in inm Rot-Schr-um, Fll 3 8
15 6.4 VL-äum. 6.14: Löschn in inm Rot-Schr-um, Fll 1 v. 6.: Miml Tiläum finition 6.5. Wir finirn i lnc ins Knotns v ls l(v) = h l h r, oi h l un h r i Höhn s linkn. s rchtn Untrums von v sin. i Höh ins lrn ums ir ls 1 finirt. finition 6.6. Wir nnnn v lncirt, flls l(v) { 1, 0, 1. Sonst nnnn ir v unlncirt. finition 6.. in VL-um ist in um, in m ll Knotn lncirt sin. Wi knn mn nun lmnt in inn VL-um infün un i i lnc- inschft ufrchtrhltn? Zunächst nötit jr umknotn v inn itrn intr h(v), in m i Höh s Knotns spichrt ir. Wir vrnn i infü-prour für inär Suchäum tr insrt (sih S.69). urch s infün änrn sich vntull i Höhn r Knotn uf m W vom infütn Knotn ur Wurl, un mit ht vntull i lnc isr Knotn vrlorn. in ispil für it ilun Um i lnc-inschft irhrustlln, nrn ir n (rotn) Pf vom nu infütn lmnt (hir Knotn 6) is ur Wurl s ums nch on un rchnn i i nun Wrt für Höh un lnc. Gnnflls führn ir in Trnsformtion urch, um i lnc irhrustlln : im infün ins Knotns in inn VL-um knn sich i lnc r Knotn im um änrn 9
16 6 inär Suchäum u u. 6.1: opplrottion in inm VL-um, Fll 1 v 3 0 Z 6 0? u 5? ? ? v 3 1 Z u ? ? : r VL-um (Fll 1) nch r opplrottion i Höh ins Knotns v rchnn ir i folt: h(v) = m{h(lft chil), h(riht chil) + 1 Si u r rst Knotn (Knotn mit mimlr Tif), r nch r infü-oprtion nicht mhr lncirt ist, un si v r link Sohn von u un r rcht Sohn von u. l(u) ist ntr +2 or 2. is in Fäll sin symmtrisch. shl trchtn ir hir nur n Fll l(u) = 2. l(u) = 2, muß follich u in Üricht nch rchts hn. Fll 1: l() = 1: Si r link Sohn von. Wir führn in oppl-rottion us: 1. riht rott(t,) 2. lft rott(t,u) r schmtisch Vorn ist in ilun 6.1 rstllt. Für unsrn konkrtn um ist s rnis in ilun 6. u shn. Fll 2: l() 0, 1: r schmtisch Vorn für Fll 2 ist in ilun 6.19 rstllt. Im ispil in ilun 6.20 ur Knotn 14 nu infüt; i ilun it s rnis nch r rfoltn Rottion. Soohl i opplrottion im Fll 1 ls uch i infch Rottion im Fll 2 knn urch Umstn r ntsprchnn Zir in konstntr Zit usführt rn. s lich ilt uch für i Höhn- un lnc-rchnunn. ll Knotn ntln s Pfs vom infütn lmnt ur Wurl müssn vntull rprirt rn. mn für jn Knotn joch nur konstnt Zit nötit, ht i infüprour i Lufit O(lon), oi n i Zhl r lmnt im um ist. 80
17 6.5 nmrkunn u u. 6.19: Rottion in inm VL-um, Fll 2 v 3 0? u 5? ? ? v 3 0 u 5? ? : VL-um nch r opplrottion. infüt ur Knotn 14. uch s ntfrnn ins lmnts innt mit r ülichn Prour für inär Suchäum, i u inn iss Kpitls iskutirt ur. nn ir i im infün r Pf ur Wurl rprirt. hr knn uch s Löschn ins lmnts in Zit O(lon) urchführt rn. St 6.5. VL-äum untrstütn ll Oprtionn ins Wörtruchs in O(lon) Zit, oi n i nhl r lmnt im um ist. 6.5 nmrkunn In ormn t.l. [2] finn sich i Oriinl-Kpitl inry Srch Trs un R-lck Trs, i i Grunl für isn schnitt iltn. 81
5. Allgemeine Bäume und Binärbäume
5. llgmin äum un inäräum äum - Ürlik - Orintirt äum - Drstllungsrtn - Gornt äum inär äum: griff un Dfinitionn Spihrung von inärn äumn - Vrkttt Spihrung - Flum-Rlisirung - Squntill Spihrung - ufu von inäräumn
MehrAufgabe 4: 7-Segmentanzeige
Au : 7-Smntnzi G. Kmnitz, C. Gismnn, TU Clusthl, Institut ür Inormtik 7. Juni 25 Di Vrsuhsurupp ht in -stlli 7-Smnt-Anzi mit vrunnn Kthonsinln un minsmr Ano j Zir, so ss zu jm Zitpunkt nur in Zir nzit
MehrAufgaben zu Kapitel 7
7.1 G W A B zu 7.1 zu 7.2 7.2 Ajznzmtrix: 000111 000111 000111 111000 111000 111000 G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung
MehrBeispielfragen QM9(3) Systemauditor nach ISO 9001 (1 st,2 nd party)
QM9(3) Systmuitor nh ISO 9001 (1 st,2 n prty) Allgmin Hinwis: Es wir von n Tilnhmrn rwrtt, ss usrihn Knntniss vorhnn sin, um i Frgn 1.1 is 1.10 untr Vrwnung r ISO 9001 innrhl von 20 Minutn zu ntwortn (Slsttst).
MehrLektion 14 Test Lösungen
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Lösungn X Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j X js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn jr j js X jn jm Mont pünktlih unsr
MehrInformatik II. Übung 10. Giuseppe Accaputo, Felix Friedrich, Patrick Gruntz, Tobias Klenze, Max Rossmannek, David Sidler, Thilo Weghorn FS 2017
Inormtik II Übung 0 Giuspp Accputo, Flix Fririch, Ptrick Gruntz, Tobis Klnz, Mx Rossmnnk, Dvi Silr, Thilo Wghorn FS 07 Hutigs Progrmm Hps Grphn Trvrsirn [Mx-]Hp Binärr Bum mit olgnn Eignschtn Wurzl 0 8
Mehrinformal: Modell für beliebige hierarchische Strukturen, Klassifikationsschemata
ÄUME informl: Moll für liig hirrhish Strukturn, Klssifiktionsshmt forml: Ein um ist in grihttr Grph mit n Eignshftn (1) Es git inn usgzihntn Knotn, i Wurzl, ohn Vorgängrknotn. (2) Von r Wurzl git s zu
MehrLektion 11 Test. 2 Modalverben: Präsens oder Präteritum? Was ist richtig? Kreuzen Sie an.
Lktion 11 Tst Lktion 11 Grmmtik 1 Prätritum r Molvrn: Eränzn Si. Bispil: Ih immr Stätrisn (mhn wolln). Ih _wollt immr Stätrisn _mhn_. Als Kin ih Tirplr (wrn wolln). u im Zoo i Bärn (üttrn ürn)? Von 2009
MehrSchleswig-Holstein 2009 Leistungskurs Mathematik Thema: Analysis. ( x) . (14 P) g mit ( ) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f a und
Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Aufg Ggn ist di Funktionnschr f mit f ( ) = (, IR ) ) Untrsuchn Si di Funktionnschr f uf Nullstlln, ds Vrhltn im Unndlichn,
MehrLektion 14 Test. Obwohl Herr Stuber gern in der Stadt arbeiten / er einen Bauernhof haben möchten
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Bispil: Niht X jr j js jn jm Arzt möht Notrzt sin. Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn
MehrDigitaltechnik. TI-Tutorium. 17. Januar 2012. Tutorium von K. Renner für die Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren am KIT
Digitltchnik I-utorium 17. Jnur 2012 utorium von K. Rnnr für di Vorlsung Digitltchnik und Entwurfsvrfhrn m KI hmn Orgnistorischs Anmrkungn zum Übungsbltt 9 Korrktur inr Foli von ltztr Woch Schltwrk Divrs
MehrNützliche Tastenkombinationen
Nützlich Tastnkombinationn Nützlich Tastnkombinationn Nutzn von Tastnkombinationn Tastnkombinationn könnn Si vrwnn, um Winows 10 schnllr zu binn. Wichtig Systmprogramm zigt Winows 10 an, wnn Si rückn.
MehrAuswertung P2-60 Transistor- und Operationsverstärker
Auswrtung P2-60 Trnsistor- und Oprtionsrstärkr Michl Prim & Tobis Volknndt 26. Juni 2006 Aufgb 1.1 Einstufigr Trnsistorrstärkr Wir butn di Schltung gmäß Bild 1 uf, wobi wir dn 4,7µ F Kondnstor, sttt ds
MehrWie in der letzten Vorlesung besprochen, ergibt die Differenz zwischen den Standardbildungsenthalpien
Vorlsung 0 Spnnungsnrgi dr Cyclolkn Wi in dr ltztn Vorlsung bsprochn, rgibt di Diffrnz zwischn dn Stndrdbildungsnthlpin dr Cyclolkn C n n und dm n-fchn Bitrg für di C - Gruppn [n (-0.) kj mol - ] di Ringspnnung.
MehrQuick-Guide für das Aktienregister
Quick-Guid für das Aktinrgistr pord by i ag, spritnbach sitzrland.i.ch/aktinrgistr Quick-Guid Sit 2 von 7 So stign Si in Nach dm Si auf dr Hompag von.aktinrgistr.li auf das Flash-Intro gklickt habn, rschint
Mehr1 or-2. 1 or-3. Abbildung 1: Verschaltung von fünf ODER Gattern
Grunlgn igitlthnik - Augn Til 4 - Lösung Aug 1 i in Ailung 1 rgstllt Shltung ist us Or Gttrn ugut. Js isr Gttr ht in Vrzögrungszit von t p = 5ns. i Vrzögrung ist ür stign un lln Signl glih (t plh = t phl
MehrNeugierig auf diesen Text???
Anlysis Eponntilfunktionn Nugirig uf disn Tt??? Intgrtion von Eponntilfunktionn Mit Sustitution und prtillr Intgrtion Dti Nr. 5 Stnd.7. Fridrich W. Buckl INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mth-cd.d
Mehrd Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.
4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst
Mehrj œ œ j œ j œ Œ Œ j œ œ œ œ ein - fach, ein - fach nur
Linhng 1. infch so & 4 4 1. infch so, so wi u bist, infch so bist u von &. ott g & H Hän & 2. libt! ott g libt! 1. Mit i nn 2. Mit i nn n, i nn u gn, i n N n, i nn ü ßn, i nn Bi i i & 1. 2. so, nm Mun,
Mehr0.5 16 25 ka 30 ka 20 40 20 ka 20 ka 50, 63 15 ka 15 ka PLSM-B(C)...(/...) 0.5 16 25 ka 30 ka. 50, 63 15 ka 15 ka
10/106 Projktirn Litungsshutz, Bkup-Shutz NZM1, NZM2, NZM3 Mollr HPL0211-2007/2008 http://tlog.mollr.nt Listungsshltr, Lsttrnnshltr Shutz von PVC-isolirtn Litungn ggn thrmish Übrlstung bi Kurzshluss Nh
MehrEntdecken Sie. in Lostorf. - mit einer schönen Wanderung. - mit dem Auto. - mit den öffentlichen Verkehrsmitteln. Schloss Wartenfels
Entdckn Si Schlo Wrtnfl in Lotorf - mit inr chönn Wndrung - mit dm Auto - mit dn öffntlichn Vrkhrmittln Schlo W r tn fl Wi rrich ich d Schlo Wrtnfl pr Auto? mit Auto Von Zürich: - Autobhnufhrt Aru Ot Hunznchwil,
MehrKontaktlinsen Sehminare Visualtraining. Die neue Dimension des Sehens
Kontaktlinsn Shminar Visualtraining Di nu Dimnsion ds Shns Willkommn in dn Shräumn Erlbn Si in nu Dimnsion ds Shns. Mit dn Shräumn rwitrn wir unsr Angbot rund um das Aug bträchtlich. Wir bitn anspruchsvolln
MehrDOWNLOAD VORSCHAU. Vertretungsstunden Mathematik 30. zur Vollversion. 10. Klasse: Strahlensätze. Vertretungsstunden Mathematik 9./10.
DOWNLOAD Mro Bttnr/Erik Dins Vrtrtunsstunn Mtmtik 30 10. Klss: Strlnsätz Brorr Untrritsin Mro Bttnr/Erik Dins Downlouszu us m Oriinltitl: Vrtrtunsstunn Mtmtik 9./10. Klss Soort instzr lrplnorintirt sstmtis
MehrDOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Strahlensätze. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse. Marco Bettner/Erik Dinges
DOWNLOAD Mro Bttnr/Erik Dins Vrtrtunsstunn Mtmtik 30 10. Klss: Strlnsätz Mro Bttnr/Erik Dins Brorr Untrritsin Downlouszu us m Oriinltitl: Vrtrtunsstunn Mtmtik 9./10. Klss Soort instzr lrplnorintirt sstmtis
MehrEinführung in die Theoretische Informatik Tutorium XIII
Einürun in i Tortis Inormtik Tutorium XIII Mil R. Jun 03. 08. 02. 2016 ETI - Tutorium XIII 1 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p
MehrFachhochschule Hannover vorgezogene Wiederholungsklausur im WS
Fchhochschul Hnnovr vorzon Widrholunsklusur i WS9 5.9.9 Fchrich Mschinnu Zit: 9 in Fch: Physik II i SS9 Hilfsittl: Forlslun zur Vorlsun. Ein Dichtssrät für Flüssikitn (räotr) stht us in Schwikörpr it in
MehrVORSCHAU. zur Vollversion. Warm-up Ein Lkw darf mit maximal kg beladen werden.
Txtufgn (Sutrktion/Aition) Würfl (Eignshftn) Wrm-up 1 1. Ein Lkw rf mit mximl 1 800 kg ln wrn. Es wrn vrshin Kistn mit 72 kg, 18 kg, 530 kg un 620 kg uf n Lkw gln. 1800 kg 72 kg 72 kg 18 kg or + 18 kg
MehrÜbungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Thortisch Informtik Lhrstuhl Prof. Dr. D. Wnr Üunsltt Vorlsun Thortisch Grundln dr Informtik im WS 67 Aus 2. Oktor 26 A 8. Novmr 26, : Uhr (im Kstn im UG von Gäud 5.34) Auf ( + + + = 4 Punkt)
MehrKomplizierte Probleme der Informatik
Univrsität Bill Angwnt Inormtik Komplizirt Prolm r Inormtik Mr Hnhi Juli 2003 Komplxitätsklssn Lösungstrtgin TSP Zusmmnssung Rnomisirt Algorithmn Univrsität Angwnt Inormtik Bill Prolmklssn EXPTIME: xponntill
MehrKannst du ein großes A bezahlen? Spiele mit Zahlen und Buchstaben. Dr. H. Schneider, Wien. Buchstabenrätsel mit zwei Vorgaben
Spil mit Zhln un Buhstn Einzlmtril 87 Klss 6 is 8 S Knnst u in großs A zhln? Spil mit Zhln un Buhstn Dr. H. Shnir, Win M Buhstnrätsl mit zwi Vorgn Brhn i Blknsumm nhn von zwi Vorgn! Di Zhln, 2,, 4 un sin
MehrHerr laß deinen Segen fließen
= 122 sus2 1.rr 2.rr lss wir i bit rr lß inn Sgn flißn nn tn 7 S gn fli ßn, ic um i lung, 7 wi in wo Strom ins r wi S sus4 t l Txt un Mloi: Stpn Krnt Mr. wint. sus2 nn Lß wirst u ic spü rn wi i 7 r spi
MehrHuffman Codes und Datenkompression
28 Kpitl 3 Humn Cods und Dtnkomprssion Ds Zil dr Dtnkomprssion ist s, Dtn mit wnir Spichrpltz bzuspichrn. Abhäni von dn Dtn schiht ds vrlustri odr nicht vrlustri. Audio-, Vido- und Bilddtin wrdn in dr
MehrGrundlagen Elektrotechnik I
Grundlgn Elktrotchnik I borvrsuch I-30 (vorläufig Nullvrsion ) C- und C-Glidr Dipl-Ing lf Schmi, Dr Andrs Sifrt = I C C Idn, Ergänzungn, Kritik usdrücklich rwünscht Bitt n uns prsönlich odr vi E-Mil n:
MehrAufgabe 4: 7-Segmentanzeige
Au : 7-Smntnzi G. Kmnitz, TU Clusthl, Institut ür Inormtik 5. Juni 23 Di Vrsuhsurupp ht in -stlli 7-Smnt-Anzi mit vrunnn Kthonsinln un minsmr Ano j Zir, so ss zu jm Zitpunkt nur in Zir nzit wrn knn. Zur
MehrQualität, auf die Sie bauen können. Quality Living im lebenswerten Mariahilf. 1060 Wien, Gumpendorfer Straße 123 www.gumpendorferstrasse123.
Qulität, uf di Si bun könnn. Qulity Livi i lbnswrtn rihilf 1060 Win, upndorfr Strß 123 www.gupndorfrstrs123.t JAJA In City-Näh it ttrktivn Nhvrsorn, bstr Vrkhrsnbindu und Infrtruktur D ist Qulity Livi
Mehr16. Minimale Spannbäume
Dnton.:. Mnml Spnnäum. En wttr unrttr Grp (G,w) st n unrttr Grp G=(V,E) zusmmn mt nr Gwtsunkton w :E R.. Ist H=(U,F), U V,F E, n Tlrp von G, so st s Gwt w(h) von H nrt ls ( ) = w( ) w H F SS 00 Mnml Spnnäum
MehrThema 9: Die Klassenarbeit
Thm 9: Di Klssnrit Hör ml! 1 Knnst u? shwimmn ritn Tnnis spiln Klvir spiln Dutsh sprhn Ski hrn X X X X 2 Dr ih hir? rlut rlut niht rlut rlut niht rlut 3 Ih knn niht! Ih muss Anrs, shwimmn ghn, Husugn mhn
MehrINTERNET- UND IT-LÖSUNGEN FÜR GESCHÄFTSKUNDEN Individuelle Produkte und Dienstleistungen
INTERNET- UND IT-LÖSUNGEN FÜR GESCHÄFTSKUNDEN Individull Produkt und Dinstlistunn NICHT THEORIE, SONDERN PRAXIS ntclusiv ist IT mit IQ und Srvic. Unsr Hrzn schlan für Innovation. Unsr Köpf stckn vollr
MehrKommentierung zum Prüfungsnachweis JAR - FCL - PPL(A)
Vrwnts Fluzumustr (Zulssun ür i Ausilun urh i zustäni Luthrthör) sih Anhn 1 zu JAR-FCL 1.125 Sihrhitsstlunn Vorhrst Bon- un Flusiht min. 8 km, Huptwolknuntrrnz min. 2000 t, Di im Fluhnuh nn, monstrirt
MehrAnleitungsübersetzung von
Anlitunsürstzun von ttp://www.zoys-prlntirwlt. POWERD BY HTTP://WWW.ZOEYS-PERLENTIERWELT.DE Kop Til I H J K G Mtril-List Prn F 0 0 L FARBE DEINER WAHL SCHWARZ OPAK ROSA PERLMUTT E M N WEIß ALABASTER D
MehrHeizlastberechnung Seite 1 von 5. Erläuterung der Tabellenspalten in den Heizlast-Tabellen nach DIN EN 12831
Hizlastbrchnung Sit 1 von 5 Erläutrung dr Tabllnspaltn in dn Hizlast-Tablln nach DIN EN 12831 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3x4x5 6-7 12 + 13 8 x 11 x 14 15 x Θ Orintirung Bautil Anzahl Brit Läng
MehrKapitel 2: Finanzmärkte und Erwartungen. Makroökonomik I -Finanzmärkte und Erwartungen
Kapitl 2: Finanzmärkt und 1 /Finanzmärkt -Ausblick Anlihn Aktinmarkt 2 2.1 Anlihn I Anlih Ausfallrisiko Laufzit Staatsanlihn Untrnhmnsanlihn Risikoprämi: Zinsdiffrnz zwischn inr blibign Anlih und dr Anlih
MehrMessverstärker. geringe Rückwirkung auf die Messgrösse (Der Eingangswiderstand ist gross für Spannungsmessungen und klein für Strommessungen)
Mssrstärr Kln Spnnunn un Ström müssn häuf rstärt wrn, or s rrtt wrn önnn. Mssrstärr ürnhmn s Auf. S hn typschrws foln Enschftn: rn ücwrun uf Mssröss (Dr Ennswrstn st ross für Spnnunsmssunn un ln für Strommssunn)
MehrSpektralbilder einer Oktav-Tonleiter in C-Dur
Spktrlbilr inr Oktv-Tonlitr in C-Dur (Zum Tm Tonlitr vl. u i Ausürunn zu Tonlitr Quint -- un i usürlin Txt zum lin Tm u r Sit Hörbispil - Tonlitr) ' (us Hörbispil Tonlitr Tl-8 5'57) Im Untrsi zu n Spktrlbilrn
Mehr7.3.4 Minimale Spannbäume Ungerichteter, zusammenhängender Graph G = (V,E) mit Kantenkosten w : E -> Double. w(e) = min Warum Forderung "ohne Zyklen"?
Algorithmn u Grphn 7.. Miniml Spnnäum Ungrihttr, zummnhängnr Grph G = (V,E) mit Kntnkotn w : E -> Doul Guht: Kntnmng E' E, i ll Knotn x V vrint, rn Gwihtumm miniml it un i kriri it. G' = (V, E') mit G'
MehrLektion 4 Test. Lektion 4. Grammatik
Lktion 4 Grmmtik 1 Ergänzn Si i Formn von wshn, hrn un sprhn. Bispil: In spriht gut Dutsh. Min Sohn sin Hr immr m Morgn. u Dutsh? Dr Bus hut niht. ihr s By m Morgn or m An? Wir lir kin Frmsprhn. Du zu
Mehr3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum
. Vktorn. Dfnton, Enhtsvktorn, Komponntn, Rchnrgln, Vktorrum Nn sklrn (Zhln mt Mßnht w Mss, Enrg, Druck usw.) wrdn n dr Physk vktorll Größn ("Pfl" mt Rchtung und Läng) vrwndt: Ortsvktor, Gschwndgkt, Vrschung,
MehrKondensator an Gleichspannung
Musrlösung Übungsbla Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla 2 Prof. aiingr / ammr sprchung: 6..2 ufgab Spul an Glichspannung Ggbn is di Schalung nach bb. -. Di Spannung bräg V. Di Spul ha di
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrGrundlagen Hubstapler
Thoms Wittich Grndlgn Hbstplr ch wnn ds Fhrn mit Hbstplrn inf ch rschint, mss dis Tätigkit mit großr Sorgf lt sgübt wrdn, d Fhlr grvirnd Folgn mit sich zihn kö nnn G mäß Fchknntnisnchwis-Vrordnng ist f
MehrGott = Ein W_s_n ^[ss [us ^r_i P_rson_n \_st_ht
Gott = Ein W_s_n ^[ss [us ^r_i P_rson_n \_st_ht Gott H_ilig_r G_ist Im @nf[ng s]huf Gott ^_n Himm_l un^ ^i_ Er^_. 1.Mos_ 1; 1 Ihr seid meine Zeugen, spricht der HERR, und mein Knecht, den ich erwählt
MehrMotivation. Überblick. Kap Tiefensuche. Tiefensuche (DFS) Tiefensuche DFS
Kp..3: Trvrsirn von Grphn Kp..: Elmntr Grphlorithmn Lhrstuhl ür Alorithm Eninrin, LS11 Fkultät ür Inormtik, TU Dortmun 18. VO DAP2 SS 2009 2. Juni 2009 Motivtion Hut ruht s kin Motivtion, nn: Spilrin mit
Mehr2. Distributivgesetz / Binomische Formeln
Afgnsmmlng Mthmtik Distritigstz / Binom. Formln Kpitl / Sit 1. Distritigstz / Binomish Formln. 1. Distritigstz ( ± ± ( ± ± ( ± ± 1. Vrwnl i folgnn Prokt in Smmn or Diffrnzn ( ( 9 11 ( w 11 ( 9 ( 9 1 f
MehrEinführung in Mathcad 14.0 2011 H.
Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
4 Rgulär Aurük Automtn un forml Sprhn Notizn zu n Folin Präznz r Oprtorn (Folin 108) Dr -Oprtor ht i höht Präznz, nh r Konktntionoprtor, un r - Oprtor ht i niriht Präznz. D hißt: (() (( ))) Bipil von rgulärn
MehrBiologie der Zelle. Tierische Zelle
Biologi Nirshsn Tst Biologi r Zll Tirish Zll Wähln Si ür i rgstlltn Orgnlln un Zllstntil mit n Zirn is i rihtign Bzihnungn us. Zllkrn Zllkrn i-box Biologi Nirshsn signu - Fotoli.om Golgi-pprt mit Golgi-Vsikln
MehrRepetitorium Mathematik für Informatiker I, Sommersemester Probeklausur Nr. 1. Information
Pro. Dr. Brnhr Stn Dwi Koptzki Rptitorium zur Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr 1 Sommrsmstr 2015 Proklusur Nr. 1 Inormtion Dis Augn inn ls Grunlg zur Wirholung un Vrtiung r Thmn r Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr
Mehra) Wie groß ist das Feuchtedefizit D? b) Wie groß ist die Taupunkttemperatur? c) Was bedeutet das Erreichen der Taupunkttemperatur physikalisch?
Kluur Ingniurhydrologi I Sptmbr 006 Aufgb 1: Auf inm Grgndch, d 7 m lng und m brit it, oll ich in.5 cm trk ichicht mit inr Dicht ρ=97 kg/m bfindn. Di ichicht oll in Tmprtur von t=0 C hbn. ) Wlch M i ligt
MehrÜbungen zu RED / PRED 1 Synchrones Digitaldesign
Üungn zu RED: Snchons Digitlsign Rgnsug, 16.06.2015 Üungn zu RED / PRED 1 Snchons Digitlsign 1.1 Snchons Digitlsign: Enl-Gnto () glol_nl CLOCK_50 ngn (nl-flgs gnto) nl _50MHz 10 MHz 1 MHz 100 KHz 10 KHz
MehrDomäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.
Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine
MehrZur β-ebenen Approximation
Zr β-ebnn Approimion i primiin Glichnn dr β-ebn Hir rdn di sphärischn Koordinn (λ,ϕ) drch di Koordinn (, ) rs. s is mölich, n mn ds brch Gbi in Umbn inr Bri ϕ bschränk. r Voril is di inch orm dr Bnslichnn:
MehrOhnezahn. Ohnezahn. 2016, bubble Kostenlos zu finden auf Diese Vorlage ist nur für private, nicht kommerzielle Zwecke freigegeben
Ohnzhn Mtrl: - Nylonfn (ø 0,mm): Kof un Körr: mhrmls, m, nsgsmt. 9m Ohrn:,80 m Mnhörnr: 0 m Shwnz:,00m ntrn:,00 m Vorrn:,00 m lügl: 80 m Shwnzshwngn: 0 m Sturflügl: 0 m - Rolls (ø,mm): Shwrz o (80g) Rot
Mehr4 Zubehöre Hydraulikzubehöre
Hyrulikzuhör Rohrgruppn All Rohrgruppn sitzn Kuglhähn mit intgrirtm Thrmomtr un ustllrr Shwrkrtrms im Vorlu-Kuglhhn. Ein 45 Drhung iss Kuglhhns önt i Shwrkrtrms. Di Rohrgruppn ür grglt Hizkris sin mit
Mehr4 Bäume und Minimalgerüste
4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn 4 Bäum un Minimalgrüst Dfinition 4.1. Es in G = (V, E) in zusammnhängnr Graph. H = (V, E ) hißt Grüst von G gw. wnn H in Baum ist un E E gilt. Bmrkung
Mehr5.5.Abituraufgaben zu Logarithmusfunktionen
5.5.Aiturufgn zu Logrithmusfunktionn Aufg : urvnuntrsuchung mit Prmtr, Intgrtion ohn GTR () Für jds rll t und > 0 sind di Funktionn f t und g ggn durch f t () (ln + t) und g() Ds Schuild von f t hißt t
MehrNEU. für Ih. PPL 10.0 PASCHAL-Plan light. Jetzt in 3D und mit kompletter Bauhofverwaltung
Jtzt t stn! 60 40 O nlin -T w w w.p stzugng u ntr pl- clo ud.co m 40 60 45 135 135 135 45 135 l r t n z Di g n u s ö L r n w t f b o S g f u l h c S r für Ih 25 25 75 40 40 75 NEU PPL 10.0 PASCHAL-Pln
MehrPrüfung 01 Systemauditor nach AS/EN 9100 (1st, 2nd-party) Seminar L4(3)
VERTRAULICH BUREAU VERITAS PRÜFUNGSBLÄTTER Shrin Si itt Ihrn Vornmn, Nmn un Ihr Gurtstum in s Fl: Vornm Nm Gurtstum Shrin Si itt Prüfungstum un Prüfungsort in s Fl: Til Prüfr 1 Minimum Mximum 1 10 (50%)
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
MehrKurzgefaßte Klausellehre
P Kurzgfßt Klusllhr Einfh instimmig Klusln 1 Tnorklusl 2 Diskntklusl 3 Ligtur-Altklusl Trzfll-Altklusl Tnorklusl-Mixtur (Ortrz) Diskntkusl-Mixtur (Untrqurt) Trzfll-Altklusl 8 Tnorklusl Diskntklusl-Mixtur
MehrLabor Messtechnik Versuch 5 Operationsverstärker
HS oblnz FB Ingnirwsn F Mschinnb Prof. Dr. röbr Lbor Msstchnik rsch 5 Oprtionsvrstärkr Sit von 5 rsch 5: Oprtionsvrstärkr. rschsfb.. Umfng ds rschs Im rsch wrdn folgnd Thmnkris bhndlt: - Nichtinvrtirndr
MehrLektion 10 Test Lösungen
Lktion 10 Tst Lösungn Lktion 10 Grmmtik 1 Stigrung Komprtiv un Suprltiv: Shrin Si. gut -> _ssr_ -> _m stn_ unkl -> _unklr_ -> _m unklstn_ li -> _lir -> _m listn_ tur -> _turr_ -> _m turstn_ vil -> _mhr_
MehrVERTRAULICH BUREAU VERITAS. Schreiben Sie bitte Ihren Vornamen, Namen und Ihr Geburtsdatum in das Feld: Vorname Name Geburtsdatum
VERTRAULICH BUREAU VERITAS PRÜFUNGSBLÄTTER Shrin Si itt Ihrn Vornmn, Nmn un Ihr Gurtstum in s Fl: Vornm Nm Gurtstum Shrin Si itt Prüfungstum un Prüfungsort in s Fl: Til Prüfr 1 Minimum Mximum 1 10 (50%)
MehrÜbersicht EUROWINGS VERSICHERUNGSSCHUTZ. Leistungsbestandteile im Überblick. Hinweise im Schadenfall:
Übrsicht EUROWINGS VERSICHERUNGSSCHUTZ Si intrssirn sich für in HansMrkur Risvrsichrung in gut Wahl! Listungsbstandtil im Übrblick BasicPaktschutz Bstandtil Ihrr Risvrsichrung: BasicSmartRücktrittsschutz
MehrSatzungen der Hochschule für Musik und Theater München
Sn dr Hochschul für Musik und Thatr Münchn Bim Erlass von n stllt di Hochschul für Musik und Thatr Münchn zur bssrn Lsbarkit zusätzlich in Vrsion zur Vrfüun, in dr di nun Rlunsbstandtil in di bsthndn Vorschriftn
MehrErwartungsbildung, Konsum und Investitionen
K A P I T E L 7 Erwarungsbildung, Konsum und Invsiionn Prof. Dr. Ansgar Blk Makroökonomik II Winrsmsr 2009/0 Foli Kapil 7: Erwarungsbildung, Konsum, und Invsiionn Erwarungsbildung, Konsum und Invsiionn
MehrRechner in C - Version 2.0
Rchnr in C - Vrsion.0 0.03.000 Inhlt. Vorwort. Einlitung 3. Gross Zhln und drn Brchnungn. Binär Rlzhln. Wissnschftlich Drstllung rllr Zhln 3. Ds Spichrformt dr Zhln 4. Addition und Subtrktion 5. Multipliktion
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrTI II. Sommersemester 2008 Prof. Dr. Mesut Güneş 5. Exercise with Solutions
Distributd mbddd 5. Exrcis with olutions Problm 1: Glitkomma-Darstllung (2+2+2+2+2+2=12) Ghn i bi dr binärn Glitkommadarstllung von 2-Byt großn Zahln aus. Dr Charaktristik sthn 4 Bit zur Vrfügung, dr Mantiss
Mehrwahlzeit! warum wählen?
wahlzit! warum wähln? Spil im Untrricht Kartnspil 1 Hrausbrin: Bunszntral ür politisch Bilun / bpb Vrantwortlich Rakturin: Iris Möckl Graisch Konzption / Illustrationn: www.litwrk.com Bstllunn: www.bpb.
MehrÜbungen zu RED / PRED 1 Synchrones Digitaldesign
Üungn zu RED: Snchons Digitlsign Rgnsug, 6.6.25 Üungn zu RED / PRED Snchons Digitlsign. Snchons Digitlsign: Enl-Gnto () glol_ CLOCK_5 ngn (-flgs gnto) _5MHz MHz MHz KHz KHz KHz Hz Hz Hz CLOCK_5 c ff ck
MehrClubbeitrag: Der Clubbeitrag wird problemlos monatlich von Ihrem Konto per Bankeinzugsverfahren abgebucht.
& K Clu Amlug s 4 Woch ch E s sucht Kurs tfällt ANMELDEGEÜH vo 10,-- (pro K) - uch m spätr Clutrtt ch Ihrr Whl - Motlchr Clutrg hltt: Kurstlhm: Kurstlhm vo K mt Eltrtl (Säuglgsgrupp s 3.-6. Lsjhr) Kurstlhm
MehrFakultät 08 Fahrzeugsysteme und Produktion. Dipl. Phys. Ait Tahar. 1. Einführung
Fkultät 08 Fhugsstm und Poduktion Dipl. Phs. Ait Th 1. Einfühung 1 Fkultät 08 Fhugsstm und Poduktion Dipl. Phs. Ait Th 1.1 Phsiklisch Gößn 1.1.1 Dfinition 1.1. Skl und vktoill Gößn 1.1.3 SI Einhitssstm
MehrTelephones JACOB JENSEN
Tlphons JACOB JENSEN Mhr als nur in Tlfon... Das Jacob Jnsn Tlfon 80 kann wand- odr tischmontirt wrdn. Es ist in drahtloss, digitals DECT Phon mit inr Vilzahl übrragndr Funktionn wi digital Klangschärf,
Mehr4. Berechnung von Transistorverstärkerschaltungen
Prof. Dr.-ng. W.-P. Bchwald 4. Brchnng on Transistorrstärkrschaltngn 4. Arbitspnktinstllng Grndorasstzng für dn Entwrf inr Transistorrstärkrstf ist di alisirng ins Arbitspnkts, m dn hrm im Knnlininfld
MehrMusterlösung - Aufgabenblatt 4. Aufgabe 1
Murlöung - Augnl 4 Aug ) Au Üungl 3 hn wir ür n ggnn Grphn G gzig, ν(g) = 9 gil, inm wir olgn Mhing M von mximlr Krinliä nggn hn: g h i j 3 4 6 7 8 9 0 E gil lo, nh König Mhing-Thorm u r Vorlung, uh τ(g)
MehrLektion 10 Test. Könntet / Würdet ihr mir helfen?
Lktion 10 Tst Lktion 10 Grmmtik 1 Stigrung Komprtiv un Suprltiv: Shrin Si. Bispil: groß -> größr -> m größtn gut -> -> unkl -> -> li -> -> tur -> -> vil -> -> grn -> -> /6 Punkt 2 Vrglih mit... ls or so
MehrKryptologie am Voyage 200
Mag. Michal Schnidr, Krypologi am Voyag200 Khvnhüllrgymn. Linz Krypologi am Voyag 200 Sinn dr Vrschlüsslung is s, inn Tx (Klarx) so zu vrändrn, dass nur in auorisirr Empfängr in dr Lag is, dn Klarx zu
MehrProjektive Geometrie 2
Thnih Univität Münhn Fkultät ü Mthmtik Kluu Pojktiv Gomti 2 Moul MA3204 9. Fu 2015, 10 11 Uh Po. D. D. Jügn Riht-Gt Stn Knih Mutlöung Aug 1. Stz von Pl x y z Stz von Pl:,,,,, lign u inm Kglhnitt x, y,
MehrMakroökonomie I/Grundlagen der Makroökonomie
Makroökonomi I/Grundzüg dr Makroökonomi Pag Makroökonomi I/Grundlagn dr Makroökonomi Kapitl 5 Finanzmärkt und Erwartungn Güntr W. Bck Makroökonomi I/Grundzüg dr Makroökonomi Pag 2 2 Übrblick Kurs und Rnditn
MehrTeilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO)
Fchhochschule Düsseldorf SS 2007 Teilfchprüfung Mthemtik Studiengng: Wirtschft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Prüfungsdtum: 29..2007 Prüfer: Prof. Dr. Horst Peters / Dipl. Volkswirt Lothr Schmeink Prüfungsform:
MehrVerwendung der Funktion für bedruckbare Aufkleber. Verwenden des Bearbeitungsbildschirms. Computer. Tablet. ScanNCutCanvas
Vrwnung r Funktion ür rukr Auklr Mit inm Tintnstrhlrukr un r Dirktshnittunktion r SnNCut-Mshin könnn Si gnz inh unvrwhslr Auklr hrstlln. Inormtionn zu n Grununktionn von inn Si in r Hil. Klikn Si zur Anzig
Mehrb) Was ist eine Gradsequenz? Eine sortierte Folge der Grade der Knoten aus einem Graphen.
Forml Mthon r Inormtik WS 2010/2011 Lhrstuhl ür Dtnnkn un Künstlih Intllignz ProDrDrFJRrmhr H Ünvr T Rhl J Dollingr 4 Augnltt Bsprhung in n Tutorin vom 24112010 ( Üungstrmin) is 01122010 (is Üungstrmin)
MehrÜbung zur Vorlesung PC II Quantenchemische Modellsysteme, Atom und Molekülspektroskopie B.Sc. Blatt 7
Pof.. Nobt pp Wintsst 9/ 7. Novb 9 nil Khlöß Übung zu Volsung PC II Quntnchisch Mollsyst, Ato un Molkülspktoskopi B.Sc. Bltt 7. i uphys Si ist in Si i Spktu s ton Wssstoffs. Si bginnt bi 6 n un nt bi,
Mehr1. Übung zu Computergraphik 3 Geometrie
1. Üung zu omputrgrpk Gomtr Jko ärz KOLNZ LNU ug 1: Frgzn Ggn: Mng zuällgr -Punkt ntsprn nzl zuällgr Frn Kgl znn Sptz u Punkt Hupts prlll zu z-s Sptz zgt zum trtr großr Rus un Hö Ortogrps Projkton Z-ur
MehrSind keine notwendig. Eine Formelsammlung und ein nicht programmierbarer Taschenrechner können aber verwendet werden.
Mttik WIW Üungsltt 5 ***LÖSUNGEN*** Tn: Intglnung Gundlgn Ung: Hilsittl: 5 Augn Sind kin notwndig Ein Folslung und in nit pogi Tsnn könnn vwndt wdn Aug A Intglnung Bsistnikn: Gn Si di Stunktionn ü di Funktionn
Mehr13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume
13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.
Mehr6. Klasse Englisch. Englisch. 6. Klasse. Drei Lernbausteine für garantiert bessere Noten! WISSEN ÜBEN TESTEN. Mit MP3-Download
6. Klss Englisch WISSEN ÜBEN TESTEN 6. Klss Englisch Mit MP3-Downlo Dri Lrnbust für grntirt bssr Notn! Zusätzlich igitl Lrnrtnsts uf www.lrnhlfr. So lrnst u mit ism Buch: WISSEN Hir wirholst u Schritt
Mehr