Komplizierte Probleme der Informatik
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- Helge Kappel
- vor 5 Jahren
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1 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Komplizirt Prolm r Inormtik Mr Hnhi Juli 2003 Komplxitätsklssn Lösungstrtgin TSP Zusmmnssung Rnomisirt Algorithmn
2 Univrsität Angwnt Inormtik Bill Prolmklssn EXPTIME: xponntill NP: nihttrministish polynomil (Rukskprolm, Trvling Slsmn Prolm, Erüllrkit) P: trminitish polynomil ( Sortirn, usw. ) Für Prolm in EXPTIME stht kin Honung u izint Algorithmn Prolm us NP könnn in polynomilr Zit mit inm nihttrministishn Algorithmus glöst wrn. Für kin NP-hrts Prolm konnt ishr in trministishr polynomilr Algorithmus gunn wrn Groß Frg r thortishn Inormtik: NP = P? Mthmtis Institut) (1 Mio $ von Cly Komplizirt Prolm > 1
3 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Ein Bispil: Wltrisprolm (TSP) Aug: Plünr ll 193 Sttn r Er u r kürzstn Strk! kürzstr Wg ür ll Knotn ins Grphn mit gwihttn Kntn Komplizirt Prolm < > 2
4 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Ein Bispil: Wltrisprolm (TSP) Aug: Plünr ll 193 Sttn r Er u r kürzstn Strk! kürzstr Wg ür ll Knotn ins Grphn mit gwihttn Kntn Wltris urh ll 193 Länr 192! = möglih Routn Univrsum ht Atom un ist rst 12, Jhr lt Komplizirt Prolm < > 2
5 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Ein Bispil: Wltrisprolm (TSP) Aug: Plünr ll 193 Sttn r Er u r kürzstn Strk! kürzstr Wg ür ll Knotn ins Grphn mit gwihttn Kntn Wltris urh ll 193 Länr 192! = möglih Routn Univrsum ht Atom un ist rst 12, Jhr lt xkt Lösung so niht rhnr ( O((n 1)!/2)) Komplizirt Prolm < > 2
6 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Ein Bispil: Wltrisprolm (TSP) Aug: Plünr ll 193 Sttn r Er u r kürzstn Strk! kürzstr Wg ür ll Knotn ins Grphn mit gwihttn Kntn Wltris urh ll 193 Länr 192! = möglih Routn Univrsum ht Atom un ist rst 12, Jhr lt xkt Lösung so niht rhnr ( O((n 1)!/2)) Ws tun? Komplizirt Prolm < > 2
7 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Lösungsnsätz NP-hrtr Prolm Suklssnintiiktion Vil utrtn Prolm sin in r rln Anwnung n Voringungn gknüpt, i s Prolm zum Til rhlih vrinhn. Rnomisirung Vrmiung ungshiktr Ausgngskonigurtionn urh Zullsvrtilung, vrssrt niht i worst-s-komplxität, r n vrgs. Mthis Ktzr Approximtion Durh izintr Vrhrn in Lösung rmittln, i nur um inn stimmtn Fhlr von r optimln Lösung wiht Komplizirt Prolm < > 3
8 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Lösungsnsätz NP-hrtr Prolm Suklssnintiiktion Vil utrtn Prolm sin in r rln Anwnung n Voringungn gknüpt, i s Prolm zum Til rhlih vrinhn. Rnomisirung Vrmiung ungshiktr Ausgngskonigurtionn urh Zullsvrtilung, vrssrt niht i worst-s-komplxität, r n vrgs. Mthis Ktzr Approximtion Durh izintr Vrhrn in Lösung rmittln, i nur um inn stimmtn Fhlr von r optimln Lösung wiht Ein Stnrpproximtionsvrhrn ist i Klss r gry (girign) Algorithmn: rmittlt immr i lokl st Lösung, u. U. u Kostn ins shlhtrn Gsmtrgnisss (hr girig) vorwign ür Optimirungsugn (Minimum, Mximum ingstzt) lokl Optimirung ührt (hontlih) zu gutr glolr Approximtion Komplizirt Prolm < > 3
9 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Komplizirt Prolm < > 4
10 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Komplizirt Prolm < > 4
11 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
12 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
13 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
14 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
15 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
16 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
17 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
18 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
19 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
20 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Komplizirt Prolm < > 4
21 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms I Brhn Miniml-spnning-Tr [Prim, 1957]... Wähl in Strtknotn Wähl kürzst vrügr Knt, i niht hnlt, rrihr Knotn mit rits vrrittn vrint Füg nähstn Knotn m Lösungsgrphn hinzu En, wnn ll Knotn ritt Luzit: O(n 2 ) Komplizirt Prolm < > 4
22 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = ( Komplizirt Prolm < > 5
23 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (, Komplizirt Prolm < > 5
24 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,, Komplizirt Prolm < > 5
25 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,, Komplizirt Prolm < > 5
26 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,, Komplizirt Prolm < > 5
27 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,,, Komplizirt Prolm < > 5
28 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,,,,) Komplizirt Prolm < > 5
29 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,,,,) Luzit: O(n) Qulität r Approximtion: l(r mst ) 2l(R opt ) Komplizirt Prolm < > 5
30 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum DEMO Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,,,,) Luzit: O(n) Qulität r Approximtion: l(r mst ) 2l(R opt ) Komplizirt Prolm < > 5
31 Univrsität Bill Angwnt Inormtik Approximtion s TSP-Prolms II... un trvrsir n Bum DEMO Trvrsir pth-irst usghn vom Strtpunkt Ürspring rits suht Knotn Lösung: R mst = (,,,,,,) Luzit: O(n) Qulität r Approximtion: l(r mst ) 2l(R opt ) Jn Shär: gntishr Algorithmus & DEMO Komplizirt Prolm < > 5
32 Univrsität Bill Angwnt Inormtik TSP-Anwnungn Shwißrootr: Trjktorinplnung Pross-Shuling Pltinnlyout Flugroutn Nvigtionssystm Bsis ür vil nr gomtrish Algorithmn Komplizirt Prolm < > 6
33 Univrsität Bill Angwnt Inormtik TSP-Anwnungn Shwißrootr: Trjktorinplnung Pross-Shuling Pltinnlyout Flugroutn Nvigtionssystm Bsis ür vil nr gomtrish Algorithmn un ntürlih: Ruzüg Komplizirt Prolm < > 6
34 Univrsität Angwnt Inormtik Bill Tk-Hom-Mssgs Bwist NP = P or NP P un Ihr si rih Fint gut Approximtionslgorithmn ür NP-hrt Prolm Vrmit NP-hrt Prolm Komplizirt Prolm < 7
35 Univrsität Angwnt Inormtik Bill Tk-Hom-Mssgs Bwist NP = P or NP P un Ihr si rih Fint gut Approximtionslgorithmn ür NP-hrt Prolm Vrmit NP-hrt Prolm un nun Mthis Ktzr: Rnomisirt Algorithmn Komplizirt Prolm < 7
Informatik II. Übung 10. Giuseppe Accaputo, Felix Friedrich, Patrick Gruntz, Tobias Klenze, Max Rossmannek, David Sidler, Thilo Weghorn FS 2017
Inormtik II Übung 0 Giuspp Accputo, Flix Fririch, Ptrick Gruntz, Tobis Klnz, Mx Rossmnnk, Dvi Silr, Thilo Wghorn FS 07 Hutigs Progrmm Hps Grphn Trvrsirn [Mx-]Hp Binärr Bum mit olgnn Eignschtn Wurzl 0 8
Algorithmen & Datenstrukturen. 4. Graphalgorithmen
Algorithmn & Dtnstrukturn 4. Grphlgorithmn 1 Grunlgn Ein grihttr Grph G = (V,E) stht us inr nlihn Mng von Knotn V = {v 1,...,v n } un inr Mng von grihttn Kntn E V V Bi inm ungrihttn Grphn G = (V,E) sin
Aufgaben zu Kapitel 7
7.1 G W A B zu 7.1 zu 7.2 7.2 Ajznzmtrix: 000111 000111 000111 111000 111000 111000 G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung
7.3.4 Minimale Spannbäume Ungerichteter, zusammenhängender Graph G = (V,E) mit Kantenkosten w : E -> Double. w(e) = min Warum Forderung "ohne Zyklen"?
Algorithmn u Grphn 7.. Miniml Spnnäum Ungrihttr, zummnhängnr Grph G = (V,E) mit Kntnkotn w : E -> Doul Guht: Kntnmng E' E, i ll Knotn x V vrint, rn Gwihtumm miniml it un i kriri it. G' = (V, E') mit G'
b) Was ist eine Gradsequenz? Eine sortierte Folge der Grade der Knoten aus einem Graphen.
Forml Mthon r Inormtik WS 2010/2011 Lhrstuhl ür Dtnnkn un Künstlih Intllignz ProDrDrFJRrmhr H Ünvr T Rhl J Dollingr 4 Augnltt Bsprhung in n Tutorin vom 24112010 ( Üungstrmin) is 01122010 (is Üungstrmin)
Motivation. Überblick. Kap Tiefensuche. Tiefensuche (DFS) Tiefensuche DFS
Kp..3: Trvrsirn von Grphn Kp..: Elmntr Grphlorithmn Lhrstuhl ür Alorithm Eninrin, LS11 Fkultät ür Inormtik, TU Dortmun 18. VO DAP2 SS 2009 2. Juni 2009 Motivtion Hut ruht s kin Motivtion, nn: Spilrin mit
1 or-2. 1 or-3. Abbildung 1: Verschaltung von fünf ODER Gattern
Grunlgn igitlthnik - Augn Til 4 - Lösung Aug 1 i in Ailung 1 rgstllt Shltung ist us Or Gttrn ugut. Js isr Gttr ht in Vrzögrungszit von t p = 5ns. i Vrzögrung ist ür stign un lln Signl glih (t plh = t phl
Übungsblatt VU Algorithmen und Datenstrukturen 2 VU 3.0
Üunsltt 1 18.813 VU Alorithmn un Dtnstrukturn 2 VU 3.0 2. Sptmr 2013 Au 1 Wir trhtn s 0/1 Ruksk-Prolm, s sih ür n Wihnhtsmnn mit vir vrshinn Gshnkn stllt. Di oln Tll it jwils ür js r Gshnk G 1, G 2, G
Lektion 14 Test Lösungen
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Lösungn X Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j X js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn jr j js X jn jm Mont pünktlih unsr
4 Bäume und Minimalgerüste
4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn 4 Bäum un Minimalgrüst Dfinition 4.1. Es in G = (V, E) in zusammnhängnr Graph. H = (V, E ) hißt Grüst von G gw. wnn H in Baum ist un E E gilt. Bmrkung
Beispielfragen QM9(3) Systemauditor nach ISO 9001 (1 st,2 nd party)
QM9(3) Systmuitor nh ISO 9001 (1 st,2 n prty) Allgmin Hinwis: Es wir von n Tilnhmrn rwrtt, ss usrihn Knntniss vorhnn sin, um i Frgn 1.1 is 1.10 untr Vrwnung r ISO 9001 innrhl von 20 Minutn zu ntwortn (Slsttst).
Einführung. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 8 Graphen. Definition. Gewichteter Graph
Einführung un Dfinitionn Drtllung Einführung Algorithmn un Dtntrukturn Kpitl Grphn Frnk Hitmnn hitmnn@informtik.uni-hmurg. Grphn in in grunlgn Dtntruktur, i in iln Brihn r Informtik (un uh in nrn Brihn)
Musterlösung - Aufgabenblatt 4. Aufgabe 1
Murlöung - Augnl 4 Aug ) Au Üungl 3 hn wir ür n ggnn Grphn G gzig, ν(g) = 9 gil, inm wir olgn Mhing M von mximlr Krinliä nggn hn: g h i j 3 4 6 7 8 9 0 E gil lo, nh König Mhing-Thorm u r Vorlung, uh τ(g)
Lektion 14 Test. Obwohl Herr Stuber gern in der Stadt arbeiten / er einen Bauernhof haben möchten
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Bispil: Niht X jr j js jn jm Arzt möht Notrzt sin. Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn
Lektion 11 Test. 2 Modalverben: Präsens oder Präteritum? Was ist richtig? Kreuzen Sie an.
Lktion 11 Tst Lktion 11 Grmmtik 1 Prätritum r Molvrn: Eränzn Si. Bispil: Ih immr Stätrisn (mhn wolln). Ih _wollt immr Stätrisn _mhn_. Als Kin ih Tirplr (wrn wolln). u im Zoo i Bärn (üttrn ürn)? Von 2009
VORSCHAU. zur Vollversion. Warm-up Ein Lkw darf mit maximal kg beladen werden.
Txtufgn (Sutrktion/Aition) Würfl (Eignshftn) Wrm-up 1 1. Ein Lkw rf mit mximl 1 800 kg ln wrn. Es wrn vrshin Kistn mit 72 kg, 18 kg, 530 kg un 620 kg uf n Lkw gln. 1800 kg 72 kg 72 kg 18 kg or + 18 kg
Graphen - Definitionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 8 (Teil 2) Graphen. Anwendung der Tiefensuche. Tiefensuche - Beispiel
Grphn - Dinitionn Grunlgn Tinuh Algorithmn un Dtntrukturn Kpitl 8 (Til 2) Grphn Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. Dinition Grph, Knotn, Knt, ungrihttr Grph, grihttr Grph, gwihttr Grph, ünn/iht tzt,
7 Graphen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester Robert Marti
7 Grphn Forml Grunln r Inormtik I Hrstsmstr 2012 Rort Mrti Vorlsun tilwis sirn u Untrln von Pro. mr. Hlmut Shur Grphn ls Astrktion von Ntzwrkn Intrss n Frn wi Existnz von Vrinunn Existnz von Zykln Distnzn,
7 Graphen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester Robert Marti
7 Grphn Forml Grunln r Inormtik I Hrstsmstr 2012 Rort Mrti Vorlsun tilwis sirn u Untrln von Pro. mr. Hlmut Shur Grphn ls Astrktion von Ntzwrkn Intrss n Frn wi Existnz von Vrinunn Existnz von Zykln Distnzn,
16. Minimale Spannbäume
Dnton.:. Mnml Spnnäum. En wttr unrttr Grp (G,w) st n unrttr Grp G=(V,E) zusmmn mt nr Gwtsunkton w :E R.. Ist H=(U,F), U V,F E, n Tlrp von G, so st s Gwt w(h) von H nrt ls ( ) = w( ) w H F SS 00 Mnml Spnnäum
4 Zubehöre Hydraulikzubehöre
Hyrulikzuhör Rohrgruppn All Rohrgruppn sitzn Kuglhähn mit intgrirtm Thrmomtr un ustllrr Shwrkrtrms im Vorlu-Kuglhhn. Ein 45 Drhung iss Kuglhhns önt i Shwrkrtrms. Di Rohrgruppn ür grglt Hizkris sin mit
informal: Modell für beliebige hierarchische Strukturen, Klassifikationsschemata
ÄUME informl: Moll für liig hirrhish Strukturn, Klssifiktionsshmt forml: Ein um ist in grihttr Grph mit n Eignshftn (1) Es git inn usgzihntn Knotn, i Wurzl, ohn Vorgängrknotn. (2) Von r Wurzl git s zu
Anleitungsübersetzung von
Anlitunsürstzun von ttp://www.zoys-prlntirwlt. POWERD BY HTTP://WWW.ZOEYS-PERLENTIERWELT.DE Kop Til I H J K G Mtril-List Prn F 0 0 L FARBE DEINER WAHL SCHWARZ OPAK ROSA PERLMUTT E M N WEIß ALABASTER D
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
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Algorithmen & Datenstrukturen
Ws ist in Algorithmus? Einührung Algorithmn & Dtnstrukturn Vrhrn zur Lösung ins Prolms, unhängig von Implmntirung in konkrtr Progrmmirsprh. Vortil: Konzntrirn u s Prolm, niht u i Eignrtn r Sprh. Gminsm
Welche Materialarten in welchen Mengen?
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d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.
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Einführung in die Theoretische Informatik Tutorium XIII
Einürun in i Tortis Inormtik Tutorium XIII Mil R. Jun 03. 08. 02. 2016 ETI - Tutorium XIII 1 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p
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Lktion 4 Grmmtik 1 Ergänzn Si i Formn von wshn, hrn un sprhn. Bispil: In spriht gut Dutsh. Min Sohn sin Hr immr m Morgn. u Dutsh? Dr Bus hut niht. ihr s By m Morgn or m An? Wir lir kin Frmsprhn. Du zu
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Aufgabe 4: 7-Segmentanzeige
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5. Allgemeine Bäume und Binärbäume
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0.5 16 25 ka 30 ka 20 40 20 ka 20 ka 50, 63 15 ka 15 ka PLSM-B(C)...(/...) 0.5 16 25 ka 30 ka. 50, 63 15 ka 15 ka
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Anmlormulr Aklärung / Dignostik in r Lnswlt Pr Fx n 056 633 68 18 Zustänig pr E-Mil n hristin.shmi@ikj.h Christin Shmi / 056 633 95 65 Si könnn iss Formulr im Gspräh mit r Fmili möglihst vollstänig hnshritlih
Wurzelbäume. Definition 1
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Ohnezahn. Ohnezahn. 2016, bubble Kostenlos zu finden auf Diese Vorlage ist nur für private, nicht kommerzielle Zwecke freigegeben
Ohnzhn Mtrl: - Nylonfn (ø 0,mm): Kof un Körr: mhrmls, m, nsgsmt. 9m Ohrn:,80 m Mnhörnr: 0 m Shwnz:,00m ntrn:,00 m Vorrn:,00 m lügl: 80 m Shwnzshwngn: 0 m Sturflügl: 0 m - Rolls (ø,mm): Shwrz o (80g) Rot
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