7 Graphen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester Robert Marti

Transkript

1 7 Grphn Forml Grunln r Inormtik I Hrstsmstr 2012 Rort Mrti Vorlsun tilwis sirn u Untrln von Pro. mr. Hlmut Shur

2 Grphn ls Astrktion von Ntzwrkn Intrss n Frn wi Existnz von Vrinunn Existnz von Zykln Distnzn, Zitn, Durhstz, Anwnunn Vrkhrsntz / Fhrplän Ahänikitsrphn, z.b. "us-t", Aritsplän, Lhrplän Physish Computrntzwrk (z.b. Mshinn ls Knotn) Loish Computrntzwrk (z.b. W Sitn ls Knotn) sozil Ntzwrk (is hin zu ook) 07 Grphn 2

3 Bispil: Ds Worl Wi W W Sitn intiizirt urh inuti Arssn, so. URLs W P A with som ontnt inluin link to p X. Links W P X mit witrm Inhlt (un witrn Links) HTML (HyprTxt Mrkup Lnu): Sprh zur Bshriun von W Sitn 07 Grphn 3

4 Bispil: Ds Worl Wi W ls Grph Knotnnmn: URLs Knotn: W Sitn Kntn: Links 07 Grphn 4

5 Bispil: Entity-Rltionship Dirmm ür Dtnnk Prtnr Countrprty Intrmiry Clint Bnk Lotion Insurl Contrt Finnil Trnstion Loss Evnt Clim Prout Asst Or Unit Mrkt Mnmnt Unit Ll Entity Employ 07 Grphn 5

6 Gro-Struktur s W mäss Bror 2000 IN: Mn von Knotn, i u Knotn im SCC vrwisn OUT: Mn von Knotn, u i von Knotn im SCC vrwisn wir SCC: Stronly Connt Componnt Ein rihttr Grph G = <V, E>, woi V i Mn r Knotn (vrtis) un E i Mn r Kntn (s) ist, hisst strk zusmmnhänn (stronly onnt) lls jr Knotn V von jm nrn Knotn V,, rriht wrn knn. 07 Grphn 6

7 Dinition ins Grphs Ein unrihttr Grph zw. nur "in Grph" G = (V, E) stht us - in Mn V von Knotn (nos, vrtis) un - inr Mn E V V von Kntn (s) r Form (u,v), wlh i Knotn u un v mitinnr vrinn: E = { (u,v) u, v V } Bispil: V = {,,,,,, } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } Bm.: z.b. E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } ist äquivlnt 07 Grphn 7

8 Bum ls Spzilll ins Grphs Ein Bum knn ls Spzilll ins Grphn trhtt wrn. Rstriktionn ür Bäum: - Jr Knotn (ussr r Wurzlknotn) ht nu inn "Vtr"-Knotn - Es sin kin Zykln zulssn Bispil: V = {,,,,,, } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } 07 Grphn 8

9 Nhrshtszihunn: Ajznz Zwi Knotn hissn jznt (jnt), wnn si urh in Knt mitinnr vrunn sin. Bispil: Di Knotn un sin jznt (wi uh z.b. un ), niht r z.b. i Knotn un 07 Grphn 9

10 Ajznzmtrix Di Ajznz zwir Knotn knn in inr Ajznzmtrix M sthltn wrn, woi ilt: M[x,y] = 1 lls x un y jznt, M[x,y] = 0 sonst M Grphn 10

11 Nhrshtszihunn: Inzinz Ein Knotn hisst inzint (inint) zu inr Knt, wnn r Knotn Enpunkt isr Knt ist. Bispil: ist inzint zu n Kntn (,), (,), un (,) 07 Grphn 11

12 Gr ins Knotns Di Anzhl r Kntn, ür i in Knotn inzint ist zihnt mn ls Gr (r) iss Knotns. Bispil: Dr Gr s Knotns ist Grphn 12

13 Grihtt Grphn Ein Grph hisst rihtt (irt), wnn sin Kntn in Orintirun (von inm "Strt"-Knotn zu inm "En"-Knotn) uwisn. Ein rihttr Grph wir uh ls Dirph (irt rph) zihnt. Bispil: V = {,,,,,, } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } 07 Grphn 13

14 Gwihtt Grphn Ein Grph hisst wihtt (wiht), wnn sinn Kntn Attriut (Gwiht) zuornt sin. zb: Entrnunn in inm Ortsntz Bispil: Di Knt (,) ht s Gwiht Grphn 14

15 Vollstäni Grphn Ein Grph hisst vollstäni (omplt), wnn in Knt von jm Knotn zu jm nrn Knotn ührt. Bispil vollstänir Grphn: n Knotn n (n 1) / 2 Kntn v x u y w Bispil unvollstänir Grphn v x u y w 07 Grphn 15

16 Biprtit Grphn Ein Grph hisst iprtit (iprtit), wnn Kntn nur Knotn us zwi isjunktn Tilmnn mitinnr vrinn. zb: h 07 Grphn 16

17 Bispil: "Klssishs" ER-Dirmm ls iprtitr Grph Ein Knotn hört ntwr zur Tilmn r "Entity Typs" (Ojkttypn) or zur Tilmn r "Rltionship Typs" (Bzihunstypn). Entity Typ Rltionship Typ Entity Typ 07 Grphn 17

18 P Ein Fol von n Kntn, i zwi Knotn u un v mitinnr vrint, wir ls W or P (pth) r Län n zihnt. Forml: Ein Fol von Knotn x 1, x 2,..., x n V mit x 1 := u un x n := v in inm Grphn G = (V, E), E V V hisst P r Län n (n 1) sorn ilt: i: 1 i < n : (x i, x i+1 ) E P r Län n = 5 von nh : [ (,), (,), (,), (,), (,) ] zw. [,,,,, ] 07 Grphn 18

19 Zykln In inm unrihttn Grphn hisst in shlossnr P, r zu sinm Strtknotn zurükührt un in Län n 3 ht, Zyklus (yl). Forml: Ein Fol von Knotn x 1, x 2,..., x n V mit x 1 := u un x n = x 1 = u sowi n 3 in inm unrihttn Grphn G = (V, E), E V V hisst Zyklus r Län n sorn ilt: i: 1 i < n : (x i, x i+1 ) E Bispil: Zyklus r Län n = 3 von nh :,,, 07 Grphn 19

20 Shlun Ein Knt, i inn Knotn mit sih slst vrint hisst Shlu (loop). Bispil: E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } 07 Grphn 20

21 Hmilton P In inm Hmilton P wir jr Knotn s Grphn nu inml urhlun. Bispil: 07 Grphn 21

22 Eulr P In inm Eulr P ist j Knt s Grphn nu inml nthltn. Bispil (Di Pil n n, wi i unrihttn Kntn urhlun wrn.) (1) (8) (7) (2) (3) (4) (5) (6) 07 Grphn 22

23 Spnnnr Bum Ein spnnnr Bum (spnnin tr) S ins Grphn vrint ll Knotn urh in zyklnri Tilmn llr Kntn E. Bispil: S = { (,), (,), (,), (,), (,), (,) } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } S E 07 Grphn 23

24 Komponntn Ein Komponnt (omponnt) ist in zusmmnhännr Til ins Grphn. Ein Grph knn us mhrrn Komponntn sthn. Bispil: Grph sthn us 3 Komponntn {,, }, {,, }, { } E = { (,), (,), (,), (,), (,) } 07 Grphn 24

25 Isolirtr Knotn Ein Knotn hisst isolirt (isolt), wnn r r inzi Knotn inr Komponnt ist. Bispil: Grph mit inm isolirtn Knotn 07 Grphn 25

26 Kritish Knotn Ein Knotn ins Grphn ist nu nn kritish (ritil), wnn urh sin Entrnun r Grph in mhrr Komponntn zrällt. Bispil: Grph mit kritishn Knotn un : Grph ohn Knotn : 07 Grphn 26

27 Kritish Kntn Ein Knt ins Grphn ist nu nn kritish (ritil), wnn urh ihr Entrnun r Grph in mhrr Komponntn zrällt. Bispil: Kritish Knt (,) 07 Grphn 27

28 Artikultionspunkt Kritish Kntn un kritish Knotn wrn minsm uh ls Artikultionspunkt (rtiultion points) ins Grphn zihnt. Bispil: Artikultionspunkt: Knotn un, Knt (,) 07 Grphn 28

29 Zwihr Zusmmnhn Ein Komponnt ins unrihttn Grphn ist zwih zusmmnhänn (ionnt), wnn nh Entrnn ins liin Knotns i vrlinn Knotn zusmmnhänn sin. Bispil: Entrnn s Knotns : 07 Grphn 29

30 Shwhr Zusmmnhn In inm Dirphn (= in inm rihttn Grphn) hisst in Knotn y von inm Knotn x us shwh rrihr (wkly rhl), wnn s inn unrihttn P von x nh y it. Ein Komponnt ins Dirphn ist shwh zusmmnhänn (wkly onnt), wnn jr Knotn von jm nrn Knotn us shwh rrihr ist. Bispil: All Knotn sin von us shwh rrihr, z.b. "vorwärts" vi P [ (,), (,) ] "rükwärts" un "vorwärts" vi P [ (,), (,) ] 07 Grphn 30

31 Strkr Zusmmnhn In inm Dirphn (= in inm rihttn Grphn) hisst in Knotn y von inm Knotn x us strk rrihr, wnn s inn (rihttn) P von x nh y it. Ein Komponnt ins Dirphn hisst strk zusmmnhänn (stronly onnt), wnn jr Knotn von jm nrn Knotn us strk rrihr ist. Bispil inr strk zusmmnhännn Komponnt ins Dirphn: 07 Grphn 31

32 Anwnun: Suh (1) Bispil ins Vrkhrsntzs Git s inn P von Strt s zum Zil (ol)? Wlhn? s 07 Grphn 32

33 Anwnun: Suh (2) s Grunprinzip: Konstruktion ins Suhums un Führn inr List onr Knotn (so. An), wlh i noh zu untrsuhnn ("zu xpnirnn") Knotn nthält Suhum An s [ s ] Es it vrshin Strtin, wlhr on Knotn zurst xpnirt wir. s [, ] [,, s, ] Jwils 1. Knotn in An Tinsuh [,,,, s, ] 07 Grphn 33

34 Anwnun: Suh (3) s Britnsuh: Zurst wrn "ältr" Knotn r An xpnirt Suhum An s [ s ] [, ] s s [,, s, ] [,, s,,, s ] [,,, ] 07 Grphn 34

35 Anlys Tinsuh (Pltzr) Annhmn: - mittlrr nout (rnhin tor) - Zil in Ti - kin Zykln Ti 1 Pltzr i Tinsuh Anzhl onr Knotn Ti 2 ( 1) ( 1) + = ( 1) + 1 linr Funktion r Ti Ti 1 Ti 07 Grphn 35

36 Anlys Britnsuh (Pltzr) Annhmn: - mittlrr nout (rnhin tor) - Zil in Ti Ti 1 Pltzr i Britnsuh Anzhl onr Knotn Ti 2 xponntill Funktion r Ti Ti 1 Ti 07 Grphn 36

37 Anlys Tinsuh (Zitr) Annhmn: - mittlrr nout (rnhin tor) - Zil in Ti - kin Zykln Zitr i Tinsuh Anzhl xpnirtr Knotn st: + 1 worst: = ( + 1 1) / ( 1) xponntill Funktion r Ti 07 Grphn 37

38 Anlys Britnsuh (Zitr) Annhmn: - mittlrr nout (rnhin tor) - Zil in Ti Zitr i Britnsuh Anzhl xpnirtr Knotn st: = ( 1) / ( 1) + 1 worst: = ( + 1 1) / ( 1) xponntill Funktion r Ti 07 Grphn 38