Graphen - Definitionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 8 (Teil 2) Graphen. Anwendung der Tiefensuche. Tiefensuche - Beispiel
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- Gerhard Walter
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1 Grphn - Dinitionn Grunlgn Tinuh Algorithmn un Dtntrukturn Kpitl 8 (Til 2) Grphn Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. Dinition Grph, Knotn, Knt, ungrihttr Grph, grihttr Grph, gwihttr Grph, ünn/iht tzt, volltänig, unhängig, Gr, Nhrn, Minimlgr, Mximlgr, Wg, Kri, Läng (in Wg/Kri), Atn, Tilgrph, inuzirtr (Til-)grph, K n, um,... Ajznzmtrix, Ajznzlit ritnuh, Tinuh 2. Dzmr 2015 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 2/70 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 3/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 4/70
2 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 3/ 2/ 2/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 5/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 0 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 3/ 2/ 2/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 7/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 8/70
3 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 6/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 9/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 10/70 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 6/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 170 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 12/70
4 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 9/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 13/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 14/70 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 10/ 9/ 10/11 9/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 15/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 10
5 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - ipil Tinuh - ipil 10/11 9/ 10/11 9/12 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 17/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 18/70 Grunlgn Tinuh Grunlgn Tinuh Tinuh - onr Kntn Tinuh - onr Kntn Di it Mn knn i r Tinuh i Kntn kliizirn j nhm, wlh Fr r Knotn v i inr Kntn (u, v) ht (u it r Knotn r gr ritt wir, v it in Aj[u]): r[v] = wi: umknt. r[v] = gru: Rükwärtknt. r[v] = hwrz: Vorwärt- or Qurknt. Vorwärtknt, ll [u] < [v]. Qurknt, ll [u] > [v]. umknt. Kntn, i zum um ghörn. v wur i r Sonirung r Knt (u, v) ntkt (rtmlig uht). Rükwärtknt. Knt (u, v), i u mit inm Vorhrn v im Tinuhum vrint. Vorwärtknt. (Niht-um-)Knt (u, v), i u mit inm Nhhr in v im Tinuhum vrint. Qurkntn. Di ürign Kntn. Im glihn Tinuhum, wnn r in Knotn niht Vorhr nrn it or zwihn zwi Knotn vrhinr Tinuhäum (im Wl). Anmrkung i inm ungrihttn Grphn git nur um- un Rükwärtkntn. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 19/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 20/70
6 Grunlgn Tinuh Tinuh - Wihtig Eignhtn Grunlgn Tinuh Tinuh - Klmmrungthorm (2) E olgn inig wihtig - un nützlih - Eignhtn r Tinuh... 10/11 9/12 (wi knn mn im [ormn] nhln. Nur. in Sit) Stz i r Tinuh rüllt j Pr u, v von Knotn gnu in r olgnn ingungn: 1. Di Intrvll [[u], [u]] un [[v], [v]] in prwi ijunkt un kinr r Knotn u un v it im Tinuhwl in Nhhr nrn. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 270 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 22/70 Grunlgn Tinuh Tinuh - Klmmrungthorm (2/2) Grunlgn Tinuh Tinuh - Intrvll r Nhhrn 10/11 9/12 10/11 9/12 Stz i r Tinuh rüllt j Pr u, v von Knotn gnu in r olgnn ingungn: 2. D Intrvll [[u], [u]] it volltänig im Intrvll [[v], [v]] nthltn un u it im Tinuhwl in Nhhr von v. 3. Wi 2. nur mit u un v vrtuht. Stz Im Tinuhwl von G it v gnu nn in htr Nhhr von u, wnn [u] < [v] < [v] < [u] gilt. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 23/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 24/70
7 Grunlgn Tinuh Tinuh - Thorm r wißn P Prolmtllung Dinition () 2/ Eing: Ggn in grihttr zyklihr Grph G = (V, E). Guht: Ein topologihr Sortirung,.h. in linr Anornung r Knotn mit r Eignht, u in r Anornung vor v ligt, ll in G in Knt (u, v) git. Stz Im Tinuhwl von G it v gnu nn in Nhhr von u, wnn v zur Zit [u] (u wir ntkt) von u u ntlng in nur u wißn Knotn thnn P rrihr it. Anmrkung Di Prolm tritt häuig i r Mollirung von Erignin u, i mit inr Priorität (zw. Ahängigkitn) vrhn in (un ntprhn ritt wrn olln). Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 25/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 20 Ein ipil Ein ipil Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 27/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 28/70
8 TopoSort - Algorithmu un I TopoSort - ipil Algorithmu 1 TopoSort(G) 1: rhn i Enzitn [v] ür ll v V urh Auru von DFS(G). 2: Füg jn grittn Knotn n n Kop inr vrktttn Lit in. 3: Lir i vrkttt Lit zurük. Anmrkung Di Krni it i Knotn in umgkhrtr Rihnolg ihrr Aritungzitn uzugn (.h. r Knotn, r zultzt gritt wur, wir zurt uggn uw.). Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 29/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 30/70 TopoSort - ipil TopoSort - ipil 4/5 3/6 9/10 7/8 10/11 9/12 2,,,,,,,,,, Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 370 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 32/70
9 Zur Nhritung: wi Zur Nhritung: wi Zur Nhritung Glih kommt in wi, n wir in r Vorlung zum Anl gnommn hn, um Wirpruhwi zu wirholn. Wir hn i gnz gnrll ür Wirpruhwi grt. i n Erklärungn wr r i Kontrpoition rht zntrl, w ih nn in ihn unglüklih vrmiht. Hir hr noh in pr Folin, um xkt zu hnln. Zur Nhritung Will mn in Aug X win, o nimmt mn in inm Wirpruhwi (uh: inirktr wi) Ggntil von X n (lo X ) un zigt, i zu inm Wirpruh ührt (.h. zu inr lhn Aug, i niht in knn wi z.. 0 = 1 or r Kri u 4 Knotn tht u 5 Knotn ). D X nn niht in knn ( ru Uninn olgt), r mn nn hluolgrn, X gltn mu. (Wihtig hirür it noh, i Aug X ttählih whr or lh in mu. Mit nrn mthmtihn Formlimn hn wir hir r i.a. niht zu tun.) Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 33/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 34/70 Zur Nhritung: wi Zur Nhritung Will mn in Aug X = A win, lo in Wnn A, nn -Aug, nn nimmt mn im irktn wi i Gültigkit von A n un zigt, (untr ir Annhm) gilt. Di zigt nn A. Mn knn r uh i Kontrpoition von X = A zign. Di it i Aug A,.h. mn zigt, u r Annhm i Aug A olgt. D i uh X zigt, knn mn ih wi olgt klrmhn: Gilt A, nn knn u A nun niht olgn, nn u olgt j A un mit hättn wir nn gzigt, A u A olgt, w in Wirpruh it. Au A mu lo olgn,.h. A mu gltn. (Ein nr Möglihkit ih i klrzumhn it, zu mrkn, A un A äquivlnt ugnlogih Formln in.) Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 35/70 Zur Nhritung: wi Zur Nhritung Zigt mn nun X = A pr Wirpruhwi, nn ght mn wgn X (A ) ( A ) A von A u un ührt i zu inm Wirpruh. Im glih olgnn ipil kommt mn (um A zu zign) von zu A (un wär mit hon rtig, wnn inm inh um i Kontrpoition ght). Nun tht in n Folin r Wirpruhwi (w lo igntlih gr niht nötig wär). Mn ht mit r uh inn Wirpruhwi gührt, nn i im wär mn j von A uggngn. Mit m kommt mn nun zu A un nn ht mn mit m A von m mn j uh uging nun r inn Wirpruh. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 30
10 Zur Nhritung: wi Zur Nhritung D zultzt hrin Vorghn it nn nützlih, wnn mn im wi i Aug A n inr Stll nötigt (un i nur zur Illutrtion). Im nholgnn wi wir i r gr niht nutzt un hr wär r ort ttt Wirpruhwi inh zu hrin wir zign i Kontrpoition. Zur Nhritung Noh in Exkur: Will mn D zign, o httn wir ggt mn nimmt n un vruht zu D zu kommn. Nimmt mn nun n, o knn mn glih l näht noh D nnhmn, glngt mn mit zu inm Wirpruh, o wiß mn wi gnz on im Wirpruhwi rwähnt, D niht gltn r un lo D gltn mu un hon it mn von zu D gkommn. Auh hir it lo möglih witr Annhmn inzuügn un o mit mhr Dingn ritn zu könnn. (Mn knn ih o klr mhn, i in n vorgtlltn Vorghn im Grun intih in.) Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 37/70 TopoSort - Anly (Korrkthit) Stz Ein grihttr Grph G it gnu nn zyklih, wnn in Tinuh u G kin Rükwärtkntn lirt. wi. Rihtung von link nh rht urh Wirpruhwi: Angnommn i Tinuh lirt in Rükwärtknt (u, v), nn it v in Vorhr von u im Tinuhum(/wl),.h. git in G inn P von v nh u un nn mittl r Knt (u, v) inn Kri. (Wirpruh!) Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 38/70 TopoSort - Anly (Korrkthit) TopoSort - Anly (Korrkthit) Stz Ein grihttr Grph G it gnu nn zyklih, wnn in Tinuh u G kin Rükwärtkntn lirt. wi. Rihtung von rht nh link urh Wirpruhwi: Angnommn r Grph nthält inn grihttn Kri. Si v r rt Knotn, r u ntkt wir un i (u, v) i vorhrig Knt u. D i Knotn u inn wißn P von v nh u iln, wir wgn Thorm r wißn P u in Nholgr von v im Tinuhwl. Di Knt (u, v) wir nn in Rükwärtknt. (Wirpruh!) Stz TopoSort(G) rzugt ür inn grihttn zyklihn Grphn G in topologih Sortirung. wi. E gnügt [v] < [u] zu zign, wnn in G in Knt (u, v) git. Si (u, v) lo in von DFS(G) onirt Knt. v knn niht gru in, i ont in Rükwärtknt wär (im Wirpruh zum vorhrign Stz). v mu lo wiß or hwrz in. It v hwrz, o it r rit gritt un gilt [v] < [u]. It v wiß, o wir r in htr Nhhr von u un gilt (Intrvll r Nhhrn) [u] < [v] < [v] < [u]. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 39/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 40/70
![TopoSort - Anly (Luzit) Prolmtllung Di Krni von TopoSort: Stz timm i Aritungzit [v] ür jn Knotn v urh Tinuh. Spihr jn grittn Knotn m Kop inr Lit.](/docs-images/73/69201254/images/11-1.jpg "G i Knotn nh llnn Wrtn von [v] u, ginnnn mit m größtn Wrt (.h. gi oig Lit u). TopoSort(G) it korrkt un ritt in Θ(V + E). Dinition (timmung trkr Zummnhngkomponntn) Eing: Ggn in grihttr Grph G = (V, E).")
11 TopoSort - Anly (Luzit) Prolmtllung Di Krni von TopoSort: Stz timm i Aritungzit [v] ür jn Knotn v urh Tinuh. Spihr jn grittn Knotn m Kop inr Lit. G i Knotn nh llnn Wrtn von [v] u, ginnnn mit m größtn Wrt (.h. gi oig Lit u). TopoSort(G) it korrkt un ritt in Θ(V + E). Dinition (timmung trkr Zummnhngkomponntn) Eing: Ggn in grihttr Grph G = (V, E). Guht: Di trkn Zummnhngkomponntn (S) Grphn,.h. mximl Mng V rrt, ür j Pr u, v owohl u v l uh v u gilt ( git inn P von u nh v un nrhrum). Anmrkung Di Prolm tritt ot i grihttn Grphn u. Zunäht wir r Grph in in trkn Zummnhngkomponntn zrlgt un nn wrn i prt trhtt. (Ot wrn i Löungn nhlißn noh ntprhn r Vrinungn zwihn n inzlnn Komponntn zummngügt.) Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 470 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 42/70 Ein ipil Ein ipil Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 43/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 44/70
12 Ein ipil Dr Komponntngrph Ot it uh r Komponntngrph guht... Dinition Si G in grihttr Grph mit Zummnhngkomponntn 1,..., k. Dr Komponntngrph G = (V, E ) it inirt urh V = {v 1,..., v k } (jr Knotn v i rpräntirt i in Zummnhngkomponnt i ) un (v i, v j ) it gnu nn in Knt in E, wnn in G inn Knotn x i, inn Knotn y j un in Knt (x, y) git. Anmrkung Dr Komponntngrph lät ih u n S rmittln. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 45/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 40 Dr Komponntngrph - ipil Dr Komponntngrph - ipil Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 47/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 48/70
13 Dr Komponntngrph - ipil S - Algorithmu un I Algorithmu 2 S(G) 1: Auru von DFS(G) zur rhnung r Enzitn [v]. 2: rhn G T (trnponirtr Grph). 3: Auru von DFS(G T ), trht in r Hupthli von DFS i Knotn joh in r Rihnolg llnr [v] (in Zil 1 rhnt). 4: Di Knotn j in Zil 3 rhntn um in in (prt) trng Zummnhngkomponnt. Anmrkung Dr zu inm Grphn G = (V, E) trnponirt Grph it inirt urh G T = (V, E T ) mit E T = {(u, v) (v, u) E}. It G in Ajznzlitn-Drtllung ggn, knn G T in Zit O(V + E) rhnt wrn. Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 49/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 50/70 S - ipil S - ipil Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 570 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 52/70
14 S - ipil S - ipil 2/ Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 53/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 54/70 S - ipil S - ipil 2/ 4 2/3 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 55/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 50
15 S - ipil S - ipil 4 2/3 5/ 4 2/3 5/6 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 57/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 58/70 S - ipil S - ipil 8/13 7/ 7/14 9/10 4 2/3 5/6 4 2/3 5/6 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 59/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 60/70
16 S - ipil S - ipil 8/13 8/13 7/14 9/10 7/14 9/10 4 2/3 5/6 4 2/3 5/6 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 670 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 62/70 S - Anly Zummnung un Aulik Stz G un G T hn i glihn S. Sin un zwi vrhin S in DAG G = (V, E). Sin u, v un u, v. Git in G inn P u u, o git kinn P v v in G. Git (u, v) E mit u un v, o gilt () > ( ). Git (u, v) E T mit u un v, o gilt () < ( ). S(G) it korrkt un ht in Luzit in Θ(V + E). Für Intrirt Intrirt Lr inn i wi in Kpitl 22 im [ormn] (. 3 Sitn) Grphn Grunlgn, Ajznzmtrix, Ajznzlit ritn- & Tinuh timmung trkr Zummnhngkomponntn (Ür-)Näht Ml: Miniml Spnnäum timmn r kürztn P Flü Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 63/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 64/70
17 - Prolmtllung Ein ipil Dinition () Eing: Ggn in grihttr zyklihr Grph G = (V, E). Guht: Ein topologihr Sortirung,.h. in linr Anornung r Knotn mit r Eignht, u in r Anornung vor v ligt, ll in G in Knt (u, v) git. Anmrkung Di Prolm tritt häuig i r Mollirung von Erignin u, i mit inr Priorität (zw. Ahängigkitn) vrhn in (un ntprhn ritt wrn olln). Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 65/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 60 TopoSort - Algorithmu un I TopoSort - ipil Algorithmu 3 TopoSort(G) 1: rhn i Enzitn [v] ür ll v V urh Auru von DFS(G). 2: Füg jn grittn Knotn n n Kop inr vrktttn Lit in. 3: Lir i vrkttt Lit zurük. Stz TopoSort(G) it korrkt un ritt in Θ(V + E). 10/11 9/12,,,,, Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 67/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 68/70
18 Prolmtllung S - Algorithmu un I Dinition (timmung trkr Zummnhngkomponntn) Eing: Ggn in grihttr Grph G = (V, E). Guht: Di trkn Zummnhngkomponntn Grphn,.h. mximl Mng V rrt, ür j Pr u, v owohl u v l uh v u gilt ( git inn P von u nh v un nrhrum). Anmrkung Di Prolm tritt ot i grihttn Grphn u. Zunäht wir r Grph in in trkn Zummnhngkomponntn zrlgt un nn wrn i prt trhtt. (Ot wrn i Löungn nhlißn noh ntprhn r Vrinungn zwihn n inzlnn Komponntn zummngügt.) Algorithmu 4 S(G) 1: Auru von DFS(G) zur rhnung r Enzitn [v]. 2: rhn G T (trnponirtr Grph). 3: Auru von DFS(G T ), trht in r Hupthli von DFS i Knotn joh in r Rihnolg llnr [v] (in Zil 1 rhnt). 4: Di Knotn j in Zil 3 rhntn um in in (prt) trng Zummnhngkomponnt. Stz S(G) it korrkt un ritt in Θ(V + E). Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 69/70 Frnk Hitmnn hitmnn@inormtik.uni-hmurg. 70/70
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4 Rgulär Aurük Automtn un forml Sprhn Notizn zu n Folin Präznz r Oprtorn (Folin 108) Dr -Oprtor ht i höht Präznz, nh r Konktntionoprtor, un r - Oprtor ht i niriht Präznz. D hißt: (() (( ))) Bipil von rgulärn
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Vrwnts Fluzumustr (Zulssun ür i Ausilun urh i zustäni Luthrthör) sih Anhn 1 zu JAR-FCL 1.125 Sihrhitsstlunn Vorhrst Bon- un Flusiht min. 8 km, Huptwolknuntrrnz min. 2000 t, Di im Fluhnuh nn, monstrirt
VERTRAULICH BUREAU VERITAS. Schreiben Sie bitte Ihren Vornamen, Namen und Ihr Geburtsdatum in das Feld: Vorname Name Geburtsdatum
VERTRAULICH BUREAU VERITAS PRÜFUNGSBLÄTTER Shrin Si itt Ihrn Vornmn, Nmn un Ihr Gurtstum in s Fl: Vornm Nm Gurtstum Shrin Si itt Prüfungstum un Prüfungsort in s Fl: Til Prüfr 1 Minimum Mximum 1 10 (50%)
Anmeldeformular Abklärung / Diagnostik in der Lebenswelt
Anmlormulr Aklärung / Dignostik in r Lnswlt Pr Fx n 056 633 68 18 Zustänig pr E-Mil n hristin.shmi@ikj.h Christin Shmi / 056 633 95 65 Si könnn iss Formulr im Gspräh mit r Fmili möglihst vollstänig hnshritlih
Die Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz: a 0 a und 0 0
Vktohnung Vkton, sind Gößn, u dn vollständig Chktisiung sowohl in Mßhl, d Btg, ls uh in Rihtung im Rum fodlih sind. Bispil: Kft, Gshwindigkit, Bshlunigung, Winklgshwindigkit, Winklshlunigung sowi lktish
Lektion 10 Test Lösungen
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Rechnungen mit der Hand schreiben, als ob wir im Mittelalter wären!
Lktion 9: Thnik im Alltg 9 A Rhnungn mit r Hn shrin, ls o wir im Mittlltr wärn! Wirholung 1 Ein morns Büro. Ws ist ws? Ornn Si zu. 13 r Bilshirm i CD r Computr s CD-Rom-Lufwrk s Fx r Drukr i Mus s Rgl
Sie Ich bin zu dick. Aber ich habe schon so viele Diäten gemacht!
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Heizlastberechnung Seite 1 von 5. Erläuterung der Tabellenspalten in den Heizlast-Tabellen nach DIN EN 12831
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Chronisch rezidivierende Kopfschmerzen
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Wenn Sie etwas deutlicher sprechen würden, könnte ich Sie besser verstehen.
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Quick-Guide für das Aktienregister
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ENERGIETECHNISCHES PRAKTIKUM I
ENERGETECHNSCHES PRAKTKM Vrsuch 8: Glichstromstllr 1 ENFÜHRNG ND ZE DES VERSCHES... 2 2 DAS PRNZP DES TEFSETZSTEERS... 5 2.1 Tifstzstllr mit idln Butiln... 5 2.1.1 Kontinuirlichr Btrib... 5 2.1.2 Stromwlligkit
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