Vereinfachtes globales Klimamodell

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1 Vrinfahts globals Klimamodll Sandra Plzr, Marik Baur, Rgina Kllr, Tim Wagnr, Patrik Gütlin, Luas Fishr mit Hilf von Anita Barthl, Eva Bittr Problm: Was hat Klimawandl mit Mathmatik zu tun? Kann man nur mit Hilf inr Funktion das Klima vorhrbstimmn? Und wnn ja, mit wlhr? Tag : Vil Faktorn bstimmn das Klima. Somit ist di rst Aufgab, di sih bi unsrm Problm stllt, dis Faktorn zusammnzusuhn und so wit zusammnzufassn, dass man si sinnvoll in inr Funktion vrpakn kann. Dn größtn Til an dr globaln Erwärmung trägt das CO, das abr niht nur in dr Luft, sondr auh gbundn im Wassr in wihtig Roll spilt. Außrdm tragn noh andr hmish Vrbindungn wi zum Bispil FCKWs odr Mthan, di man untr dm Bgriff Tribhausgas zusammnfassn kann, zu dr Erdrwärmung bi, da abr das CO das wihtigst und ausshlaggbndst untr dn Tribhausgasn ist, habn wir uns vor allm auf diss konzntrirt. Abr auh so vrinfaht gibt s noh shr vil unbkannt Größn, durh di Ausstoß und Abbau von CO bstimmt wrdn: Wi vil CO stößt dr Mnsh aus? Was kann alls CO bindn? Und wi lang wird diss Tribhausgas wo gbundn? Wnn man all dis Faktorn in inr Funktion zusammnfassn will, brauht man in Funktion, in dr shr vil Variabln vorkommn. Und dswgn habn wir uns am rstn Tag mit vrshidnn Lösungssstmn bshäftigt:. Dtrminantn Um mit Dtrminantn in Glihungssstm zu lösn, muss man zurst in Hauptdtrminant aufstlln, indm man di Koffizintn vor dn Variabln in inr Klammr zusammnfast: Bsp. - = 5,5 - + = D = = (. )-(-. ( -)) = - D = Hauptdtrminant Dann brhnt man mit dmslbn Sstm in D (-Dtrminant) und in D (- Dtrminant), mit dnn man dann und brhnn kann, indm man si durh di Hauptdtrminant tilt: D = 5,5 D = = = = - D D = 5,5 = 7 = D 7 5 = = D Allgmin Form ins Sstms: a + b = + d = D = a b = ad b d

2 Da diss Sstm shr komplizirt und unübrsihtlih wird, sobald man dri odr mhr Variabln hat, ist diss Lösungssstm für das Lösn inr Glihung, di zu unsrm Problm passt, niht optimal. Um auf in Sstm zu kommn, mit dm man auh übrsihtlih in Glihungssstm mit viln Variabln lösn kann, habn wir in witr Mthod ausprobirt:. ww. Gaußmthod Bi dism Vrfahrn fasst man zunähst, wi bi inr Lösung mit Dtrminantn, di inzlnn Koffizintn in inr Klammr, dr Matri, zusammn: Bsp.: 5a = b + 5a - b = b = 7a + -7a + b = 5 7 ist di Matri zu dism Glihungssstm Um mit Matrizn rhnn zu könnn, bnötign wir inig Rhnrgln: Man multiplizirt in Matri mit inm Vktor, indm man 5 7 allgmin: a 5a b = b 7a b a b a bf. = d f df Man addirt zwi Matrizn, indm man a b d + g f h = a g b d f h Und man multiplizirt in Matri mit inr rlln Zahl a, indm man. a b d = a b d Mit disn Rhnrgln kann man nun auh das Glihungssstm von obn lösn: a = b : ( - ) nun vrsuht man, s auf di Form zu bringn: a b a = b s sind all Shritt rlaubt, di bim traditionlln GS rlaubt sind

3 : ( ) 5 a = ; b = Da wir in Glihungssstm mit viln Variabln lösn wolln, habn wir mit disr Mthod noh höhr Glihungssstm ausprobirt, als Bispil hir in 55 Sstm: Bsp.: a b + d + = - a + b - + d - = a + b + d = - a + b + d + = -a + b + d + = a. Mio Zwishnshritt 7 Somit habn wir in Lösungssstm gfundn, dass zum Lösn inr Glihung, di zu unsrm Problm passt, gignt ist. Nahdm wir nun also in gut Mthod zur Brhnung inr Glihung mit viln vrshidnn Variabln gfundn habn, mahtn wir uns Gdankn übr di möglih Funktion. Auf jdn Fall muss s in Funktion sin, di in sih ändrnd Stigung hat, di immr positiv ist. Dis Eignshaftn und di Tatsah, dass di Zunahm ds CO in dr Atmosphär inm Wahstumsprozss ntspriht, dutn daraufhin, dass unsr gsuht Funktion in -Funktion ist. Drn Bsondrhit bstht darin, dass si mit ihrr Ablitung idntish ist, und man also, wnn man di Ablitung disr Funktion knnt, auh di Funktion slbr knnt. Um auf dism Wg auf in Funktion zu kommn di Stigung zwishn zwi Punktn konntn wir aus dr Tabll ablsn musstn wir uns rst inmal allgmin übr Diffrntialglihungn Gdankn mahn:. Di lihtst Diffrntialglihung ist =. Di inzig Funktion, di dis Eignshaft hat, ist () =. +d

4 . Danbn gibt s auh Glihungn, di nur tilwis mit ihrr Ablitung übrinstimmn: Y () () = () = a. sin = a. os =. +d Bispil aus dr Phsik sind: F = m. a = v = Wg v = Gshwindigkit = a a = Bshlunigung wnn man di Ablitung knnt, kann man widr auflitn : = a = at + V o = at + V o t + o Diss ist in shr infahs Bispil. Dswgn habn wir uns noh mit inm komplrn Sstm bshäftigt: Bispil: = - + = = + = = A. (t) = t. wnn A = A = A I = (A-I) = = A - I = dt (A-I) = I = = A = = A t = t = t = t in unsrm Bispil: A = A I = I dt A = (--). (--) (. ) = C, = = - = - Es gibt in mit A = -, in andrs mit A = - (Vktor. Matri = Vktor. Zahl)

5 mit = = = = - = : ( ) v(t) = z. -t. gwähltr Vktor v (t) = z. -t v (t) = z. -t v (t) = -v + v v (t) = v v v = v mit = - = - Bsp.: u (t) = w.. -t u (t) = -w. -t u (t) = w. -t u = - -t (t) = u + v (t) = u. -t. +w.. -t (t) = -u. -t + (-) w.. -t

6 Tag : Zurst habn wir allgmin Informationn und konkrt Datn übr dn Klimawandl insbsondr dn CO -Ghalt in dr Atmosphär im Intrnt und andrn Informationsttn gsuht, zusammngfasst und damit in Tabll rstllt. Jahr bis (CO ) in dr Atmosphär / ppm konstant Dis Wrt habn wir uns graphish ausgbn lassn, In dr folgndn Tabll soll noh inmal mit konkrtn Wrtn di Erhöhung dr Stigung gzigt wrdn. Anfangsjah Endjahr Diffrnz (CO ) (CO ) (CO) Stigung r Anfangsjahr Endjahr Diffrnz / =, , , , , ,

7 Unsr rstr Gdank als wir dn Graph btrahttn war in ponntillr Anstig. So gingn wir von inr allgminn Glihung z t aus und mit dn bkanntn Wrtn von t=85 (=8) und t=8 (=85) habn wir nun in Glihung aufstlln könnn, di zumindst in disn bidn Punktn übrinstimmt. Ergbnis unsrr Rhnungn war: 8 85 z z ln( ) ,5599 Jtzt übrprüftn wir unsr ntstandn Funktion 8 z z, ( t) 8 85 ln( ) ln( ) t 8 858,758 mit inr Tabll und dm daraus rsultirndn Graphn,5599 t aus unsrr rrhntn Glihung folgn dis Wrt: t (CO ) / ppm Jdoh shn di raln Wrt andrs aus: t (CO ) / ppm Dis zign uns auh di Graphn di wir anhand ins thnishn Computrprogramms, Matlab, dargstllt habn.

8 Matlab ist Programm mit dm man zum Bispil Graphn darstlln kann. Dis ist möglih indm man Funktionn in Vktorform und mit ignr Programmirsprah ingibt. Hir sthn di m-fils, in dnn unsr Glihungn bshribn wrdn Ein infahs Bispil für inn m-fil: Ziht man di m-fils hir hrin gibt uns das Programm dn Graphn aus Zihn für Kommntar wird für di Ausgabn niht btrahtt lar; % hir wird alls Vorhrig glösht t=[5::5]; % Zitspann von 5 bis 5, in Zhnrshrittn wrdn di Wrt anggbn z=5+5*p(-.*^(-)*t); % unsr Funktion plot(t,z,'r'); % t ist unsr -Ahs, z di -Ahs, unsr Graph soll in dr Farb rot( r ) dargstllt wrdn Dis Eponntialfunktion ist, wi man shn kann, shr ungnau und kann di tatsählihn Wrt niht darstlln. Nah Übrlgungn habn wir fstgstllt, dass di Konzntration ds Kohlndioids in dr Atmosphär auh von andrn Faktorn abhängig ist. Wir habn hrausgfundn, dass Wassr, indm s CO aufnimmt und abgibt, di Konzntration ds Kohlndioids in dr Luft binflusst. Wnn angnommn wird, dass kin Kohlndioid von außn, zum Bispil durh dn Mnshn, in das Sstm hinzugfügt bzw. wggnommn wird (gshlossns Sstm) bstht in Glihgwiht zwishn dr CO -Konzntration im Wassr und in dr Atmosphär. Auh wnn di Mngn ds CO sih dutlih untrshidn, da di Mass ds Wassrs auf dr Erd größr ist als di dr Luft. Bi witrn Übrlgungn stlltn wir fst, dass in Whslwirkung zwishn dm CO im Wassr((w)) und in dr Atmosphär((l)) stattfindt. So rhöht sih (w) und (l) vrringrt sih, falls (w)<(l). Analog dazu vrringrt sih (w) und rhöht sih (l), falls (w)>(l).

9 Indirkt Proportionalität Zudm stllt sih bi inm gshlossnn Sstm immr in Glihgwiht in. Bis zum Jahr 85, also vor dr Industrialisirung, kann in gshlossns Sstm angnommn wrdn. So ist s auh zu rklärn, dass bis dahin in konstantr Glihgwihtswrt von 8ppm vorhandn war. Um nun in nu Funktion aufstlln zu könnn habn wir folgnds vorausgstzt: Für w = l gilt w = l = d.h. di Konzntration stht im Glihgwiht und di Stigung ist null Und für w < l gilt w > und l < Daraus folgn di allgmin Formln: w' u w v l und l' a w b l Shritt: bnutz w = l, daraus folgt: w' u w u l uєir und l' a w a l aє IR da u und v bzw. a und b glih groß sin müssn um für w und l null zu rhaltn. Shritt: bnutz w < l, daraus folgt: w > uє IR w' u w u l Shritt: ls aus inr Tabll Wrt für w und l l < aє IR l' a w a l w= 8 Gigatonnn CO und l = 7 Gigatonnn CO aus inr ggbnn Graphik, di in vil komplrs Sstm bshribt habn wir hrausglsn, dass 8 Gigatonnn CO das Wassr vrlassn und Gigatonnn CO di Luft vrlassn. Aus Mangl an andrn Datn habn wir dis Mngn auh als Ankunft im jwils andrn Gbit gwählt. daraus folg w = = -5 Atmosphär (7gt) Ein Vrinfaht Darstllung dr Graphik wär: 8 Shritt: stz di Wrt in di Forml in -5 = -u (8-7) Wassr (8gt) -5 = -7 u u,7 a u,7 5 Shritt: Diffrnzialglihungn aufstlln w',7 w,7 l l',7 w,7 l Durh unsr Erknntniss am rstn Tag habn wir glrnt Diffrnzialglihungn im Zwidimnsionaln zu lösn.

10 dt( A I),,7,7,7,7 = - für, = für ( t) s s r r t, w( t) l( t) s s ntstht aus dr Glihung = und r r aus dr Glihung = -. Nun habn wir (t) graphish dargstllt Wi dr Graph zigt sinkt dr CO Ghalt im Wassr witr ab und dr CO Ghalt in dr Atmosphär stigt witr an. Dis ist unralistish, da durh di vorhrghnd Abgasproduktion dr CO Wrt in dr Luft im Vrglih zum Glihgwiht rhöht sin müsst. Eigntlih müsst also dr CO Ghalt in dr Luft sinkn. Trotzdm stimmt unsr Diffrnzialglihung für unsr zu Bginn angnommnn

11 Wrt. Hättn wir brüksihtigt, dass di CO Konzntration in dr Luft rhöht ist anstatt im Wassr würd dr CO Ghalt im Wassr stign und in dr Luft sinkn. Um dis Übrgangsratn rrhnn zu könnn, um inn solhn Fhlr zu vrmidn rgänzn wir unsr Sstm um di CO Eingab ds Mnshn und könnn somit all bkanntn Wrt für di Approimation nutzn. Dis folgt am nähstn Tag. Tag : Nah dm Fhlshlag am vorhrign Tag habn wir dm Sstm dn Mnsh hinzugfügt, wlhr CO in di Atmosphär bringt um in bssr Annährung zu rhaltn. Allrdings sind wir aufgrund dr zunhmndn Komplität dr Glihungn von dr Kopfrhnung kompltt auf das mathmatish Programm Matlab umgstign, mit dm wir uns auh Funktionsgraphn anzign lassn konntn. Jdoh konntn wir auh in Matlab dn Graphn niht sofort rihtig darstlln und so vrsuhtn wir durh Vrändrung dr Konstantn dn Funktionsgraphn zu brihtign. Dabi hat di Konstant dr Luftglihung dn größtn Einfluss. So habn wir durh Probirn von vrshidnn Zahlnwrtn und Vrhältnissn vrsuht, möglihst vil Msswrt möglihst gnau zu trffn. Allrdings habn wir ldiglih Trffr und in shlht Approimation rhaltn(sih Grafik ). Darauf hin habn wir das Sstm mit dm Einwirkungsfaktor Erd auf in -Sstm rwitrt. Dabi sind wir zu dm Shluss gkommn, dass s auf das Vrhältnis dr vrshidnn Konstantn ankommt, wobi witrhin di Konstant dr Luftglihung dn größtn Ausshlag gibt, da nur di Luft in Whslwirkung mit dn bidn andrn Faktorn tritt. So habn wir Funktion gfundn, di di Msswrt trifft odr nur knapp danbn ligt und somit di Kurv dr Msswrt shr gut widrspiglt(sih Grafik ).

12 Somit lässt sih übr di Funktion sagn, dass si auh dn witrn Vrlauf dr Kurv darstllt und so lassn sih aus dm Graphn Zukunftsprognosn zihn. So sind wir übr unsr rstn hr shlhtn Vrsuh shlißlih doh noh auf in brauhbar Funktion gstoßn. Zum Vrglih dr immr bssr wrdndn Funktionn sih Grafik. Mit dm -Sstm habn wir dann Prognosn für di Zukunft bi vrshidnn Vrhaltnsartn ds Mnshn aufgstllt. Dis Vorhrsag litt uns zu dm Ergbnis, dass wir nah a. Jahr bi glih blibndr Umwltvrpstung auf dr Erd gravirnd Vrshlhtrungn spürn wrdn. Dis basirt auf dr optimistishstn Annahm di wir findn konntn. Sollt jdoh di Vrpstung wi bishr witrstign, so vrringrt sih dis Zit auf nur noh Jahr.(sih Grafik ) Nun habn wir noh rfahrn, dass dr Tmpraturanstig dirkt proportional zu dr CO-Konzntration dr Luft in ppm ist und zwar mit dm Faktor. C/ppm. Somit konntn wir aus unsrn CO-Prognosn dirkt dn Klimawandl ablitn.(sih Grafik 5)

13 Ein Til dr Grupp hat sih auh mit inm ggbnn 77-Sstm bshäftigt. Dis tilt di Brih, di mit dr CO-Konzntration zusammnhängn in 7 Brih wi folgt in: Obr Atmosphär, untr Atmosphär, kurzlbig Biosphär, langlbig Biosphär, obr Wassrshihtn, tifr Wassrshihtn, maritim Biosphär Zusätzlih wird bnfalls noh dr CO Ausstoß ds Mnshn mit inbrhnt. In dism Sstm wrdn all Brih, di mitinandr im Austaush sthn übr Diffrntialglihungn in Bzihung zuinandr gbraht. So wird bispilswis di CO- Konzntration in dr untrn Atmosphär wi folgt bshribn: d la dt ( 5 ua la ),75 ( la: untr Atmosphär ua: obr Atmosphär sb: kurzlbig Biosphär ul: obr Wassrshiht Q(t): CO-Ausstoß ds Mnshn mit dr Zit sb la ) la lb ( lb la ) ( ul la ) Q ( t ) Im folgndn Shaubild siht man di CO-Vrändrung in dr untrn Atmosphär (blau) in dr untrn (grün) und dr obrn Wassrshiht(rot), wobi dr Startwrt bi t=85 mit blgt wurd. Durh di Vrfinrung dr Zusammnhäng und gnaur Mssrgbniss lifrt diss 77- Sstm natürlih präzisr Ergbniss. Obwohl unsr slbst ntwikltn Graphn shon zimlih idntish mit dnn ds 77-Sstms sind, kann man fststlln, dass trotzdm in gwissr Untrshid bstht. Allrdings sind unsr Graphn niht von profssionlln Mathmatikrn brhnt wordn, sondrn von motivirtn Shülrn, dahr kann man von Ungnauigkitn abshn. Erstaunlih ist allrdings, dass dr profssionll Graph noh stilr anstigt als unsrr und somit unsr Zukunftsvisionn doh als rht optimistish angshn wrdn könnn. Wir wünshn uh in gut Zukunft und kin katastrophaln Albträum.