Übung 4: Lagenlayouts

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Gottlob Dunkle
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1 Agorthmn zur Vsusrung von Grphn INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Tmr Mhz Mrtn Nönurg

2 Aug 1 F Ar St Mnmum F Ar St: S D = (V, A) n grhttr Grph. Bstmm n Mng A A mnmr Krntät, so ss D = (V, A \ A ) zysh st. Mnmum F St: S D = (V, A) n grhttr Grph. Bstmm n Mng A r A mnmr Krntät, so ss D r = (V, A \ A r rv(a r )) zysh st. D zhn rv(a) Kntnmng, mn rhät wnn Rhtung jr Knt r Mng A nvrtrt wr. Wr hn gshn, ss js F St n F Ar St st, umghrt gt s m Agmnn joh nht. Für mnm Mngn gt Äquvnz: Zgn S, ss Lösungsmngn r n Prom ntsh sn.

3 Aug 2 Lgnyout Führn S n n r Vorsung vorgsttn Agorthmus zur Gnrrung von Lgnyouts shrttws (mnu un optm) ür n untnsthnn Grphn us. Entrnn S zu grhtt Krs nm S ür n möghst n Mng n Kntn Rhtung umhrn, nn S n Lgnzuornung mnmr Höh mxmr Brt 4 un ornn s Knotn nnrh r Lgn so n, ss Anzh n Kruzungn mnm st. h g j

4 Lgnyout 1. FAS Fn E E soss G E zysh un E mnm (FAS) h g j

5 Lgnyout 1. FAS Fn E E soss G E zysh un E mnm (FAS) h g j

6 Lgnyout 1. FAS Fn E E soss G E zysh un E mnm (FAS) Khr Orntrung r Kntn n E um h g j

7 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j

8 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j

9 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j g h j

10 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j g h j

11 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j g h j

12 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun g h j Mn Höh u 4 shräntr Brt: gnus hnshun g h j g h j

13 Lgnyout 2. Lgnzuornung Lgnzuornung mn. Höh: trtvs Löshn von Qun h g j g h j Mn Höh u 4 shräntr Brt: gnus hnshun g h j Kruzungn mnmrn g h j

14 Aug 3 Fhstän Zähn () S π : {1,..., n} {1,..., n} n Prmutton. En Pr (, j) mt 1 < j n hßt Invrson, wnn π() > π(j). Entwrn S nn Agorthmus, r Anzh r Invrsonn nr Prmutton von n Emntn n O(n og n) Zt rhnt. Hnws: Dnn S n Sortrgorthmn w Mrgsort.

15 Aug 3 Fhstän Zähn () S π : {1,..., n} {1,..., n} n Prmutton. En Pr (, j) mt 1 < j n hßt Invrson, wnn π() > π(j). Entwrn S nn Agorthmus, r Anzh r Invrsonn nr Prmutton von n Emntn n O(n og n) Zt rhnt. Hnws: Dnn S n Sortrgorthmn w Mrgsort. () Ggn s n nhr, prttr Grph G = (V, E), ssn Knotn gmäß r Bprtton u zw pr Grn vrtt sn. D Knotn sn sjunt un Kntn grng gzhnt. Entwrn S nn Agorthmus, r Anzh r Kruzungn n O( E og V ) Zt stmmt. Bgrünn S, wrum s nht mögh st, n sr worst-s-luzt Kruzungn (Pr tronr Kntn) uszugn.

16 Aug 3 Lösungsszz mozr v & onqur mrgsort-agorthmus zäh m Sortrn ürsprungnn Emnt mt gnu s sn Invrsonn zw Kntn (u, v) un (w, z) shnn sh gw. u < w un v > z zhn Knotn u Lg 1 s,,,... un Knotn u Lg 2 s 1, 2, 3,... Fog r Kntn us Sht von Lg 2,.h. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3,... wn Agorthmus us () n un sortr xogrphsh ht zu shn, ss s Grphn mt O( E 2 ) Kruzungn gt

17 Aug 4 Kruzungn Lgnyouts Zgn S, ss Bryzntr-Hurst zur nstgn Kruzungsruton optm Lösung rt, s s n Kruzung nthät.

18 Aug 4 Kruzungn Lgnyouts Zgn S, ss Bryzntr-Hurst zur nstgn Kruzungsruton optm Lösung rt, s s n Kruzung nthät. Lösungsszz ruzungsr gw. Nhrn u str Lg onsutv sn Nhrn n m Innrn sjunt Intrv, so gtrnnt Shwrpunt Shwrpunt nur ntsh Gr-1 Knotn Rhnog g

19 Aug 5 Tnggrm Lyout On Tr Crossng Mnmzton (OTCM): Ggn s n prts Mthng M u 2n Knotn A = { 1,..., n } un B = { 1,..., n }, mt Mthngntn E = {(, ) = 1,..., n}. Bstmm ür n st Prmutton π 1 r Mng A n Prmutton π 2 r Mng B, Anzh r Kruzungn von M mnmrt, wo A un B gornt nh π 1 un π 2 u zw horzontn Grn ptzrt sn. D muss π 2 ompt zu nm Bnärum T mt Bttmng B sn. D Prmutton π 2 hßt ompt zu T, wnn n pnr Zhnung von T n r Hn y 0 xstrt, Bättr n r Rhnog π 2 u r x-ahs ptzrt un nnrn Knotn m Brh y > 0.

20 Aug 5 Tnggrm Lyout ompt nht ompt

21 Aug 5 Tnggrm Lyout () Zgn S, ss s Prom OTCM n poynomr Zt göst wrn nn. Whn symptotshn Ztuwn ht Ihr Agorthmus? Hnws: Vrwnn S ynmsh Progrmmrung.

22 Aug 5 Tnggrm Lyout () Zgn S, ss s Prom OTCM n poynomr Zt göst wrn nn. Whn symptotshn Ztuwn ht Ihr Agorthmus? Hnws: Vrwnn S ynmsh Progrmmrung. () Angnommn Prmuttonn π 1 un π 2 sn vr un jws urh Kompttät mt zw Bnäräumn T 1 un T 2 u n Bättrn A zw. B ngshränt. Zgn S, ss n poynomr Zt ntshn wrn nn, o s Mthng ruzungsr gzhnt wrn nn. Hnws: Vrwnn S, ss ür nn grhttn Grphn mt nr nzgn Qu n nrr Zt gprüt wrn nn, o r uwärtspnr st. [Brtozz t. 1998]

23 Aug 5 Lösungsszz nr T C nzrt urh Bumnotn mt C[v] = mn. # Kruzungn s Tums T v ntsr C[v] = 0 ür Bättr sonst: C[v] = C[u] + C[w] + mn{r(u, w), r(w, u)}, wo u un w Knr von v sn un r(u, w) Anzh Kruzungn von Mthngntn von T u mt Mthngntn von T v s u ns von v gt Ztuwn O(n 2 ) Brhnung r r-wrt n jws O(n) Brhnung uh n O(n og n) mögh (s. [Frnu, Kumnn, Poths, Comprng Trs v Crossng Mnmzton, 2010]) rzug DAG us T 1 un T 2 grhtt von r Wurz von T 1 zur Wurz von T 2

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