SPQR-Bäume. Jens M. Schmidt Jens M. Schmidt

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Emilia Geiger
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1 SPQR-Bäum

2 Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn

3 2- vs. 3-Zusmmnnskomponntn knnt: 1-Zsnskomponntn sn: 2-Zsnskomponntn ns zsn. Grpn: Blok-Cut Trs G (zsn.) Blok-Cut Tr von G

4 2- vs. 3-Zusmmnnskomponntn knnt: 1-Zsnskomponntn sn: 2-Zsnskomponntn ns zsn. Grpn: Blok-Cut Trs jtzt: 3-Zusmmnnskomponntn ns 2-zsn. Grpn? Sprtonspr Prolm 3-zsn. Tlrpn xstrn r nt! Lösun G Grun: Rpräsntr vrln zsn. Tlrpn zwsn Sprtonspr ls Knt. Multrpn

5 Hstor 1937 M Ln: Sprt ür Untrtlunn von 3-zsn. Grpn (us om Grun!) Intzrt prlll un (mplzt) srll Tlstrukturn Forml ür Anzl plnrr Enttunn von 2-zsn. plnrn Grpn Tutt: Vrtull Kntn sttt P Bumstruktur un Enutkt 1973 Hoprot un Trjn: Erstr Lnrztlortmus ür 3-Zusmmnnskomponntn D Bttst un Tmss: Nmnsun SPQR-Bäum Eznt Dtnstruktur ür ynms Grpn 2000 Gutwnr un Mutzl: Lnrztlortmus ür SPQR-Bäum Bu-Fxs ür Hoprot-Trjn

6 Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn

7 Splts G = 2-zusmmnännr Grp on sl-loops (Prlllkntn rlut) {v,w} ßt Spltpr, wnn v un w Sprtonspr or jznt sn. Für Multrpn notwn (z.b. ür Bünl von Prlllkntn). v Ursprun st Tutts 2-sprton: Prtton von E n E 1 un E 2, mt E 1 2 un E 2 2, rn nuzrt Grpn s nu n zw Knotn snn (Bspl 4-Bünl). E 1 E 2 E 3 w

8 C C G 1 G 2 Splts G = 2-zusmmnännr Grp on sl-loops (Prlllkntn rlut) {v,w} ßt Spltpr, wnn v un w Sprtonspr or jznt sn. Spltklssn ns Spltprs {v,w}: Prtton E 1,...,E k von E, so ss un n E <=> un sn n nm Kntnzu ntltn, r wr v no w ls nnrn Knotn ntält (G[E 1 ],...,G[E k ] ßn u {v,w}-rs) Oprton Splt u {v,w}:.., ür 2-Sprtons S C := E 1 E j un C := E C, so ss C 2 un C 2. S :=vw vrtull Knt. Erstz G ur von C {} un C {} nuzrtn Spltrpn G 1 un G 2. v v v E 1 E 2 E 3 Splt E 1 E 2 E 3 w w w

9 Splts N nr Fol von Splts lt: Jr Spltrp ntält 3 Kntn un knn ut-vrtx. 3 Kntn wn C 2 un vrtullr Knt (nlo ür C) ut-vrtx wür Spltpr sprrn, ws wn nt möl st J Knt von G st n nu nr un j vrtull Knt n nu zw Spltrpn ntltn. N Konstrukton Gsmtnzl r Kntn n lln Spltrpn st östns 3m-6. Üun v v v E 1 E 2 E 3 Splt E 1 E 2 E 3 w w w C C G 1 G 2

10 Spltkomponntn Erlt Spltkomponntn von G, n m so ln w möl Splts usürt wrn. Spltkomponntn sn j n Wl/Rnol r Splts nt nut Üun 2-Zusmmnnskomponntn wrn r nut, wr wolln nut! Lösun: Tutt-Splts.

11 Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn

12 Tutt-Splts En Splt r Spltklssn E 1,...,E k n C un C ßt Tutt-Splt, wnn mnstns n Elmnt us {C,C} n nzln Spltklss E st un mnstns n Elmnt us {G[C],G[C]} knn ut-vrtx ntält. Tutt-Splts? v v C C C C w nn, kn Splt! v w nn v C C C C w nn w j!

13 3-Zusmmnnskomponntn Erlt 3-Zusmmnnskomponntn von G, n m so ln w möl Tutt-Splts usürt wrn. v C C Torm [Bws n Tutt 1984, Torm IV.44]: D 3-Zusmmnnskomponntn ns Grpn sn nut. w

14 Bspl

15 Bspl

16 Bspl

17 Bspl

18 Bspl

19 Bspl

20 Bspl

21 Bspl

22 Bspl

23 Bspl

24 Bspl

25 Bspl 3-Zusmmnnskomponntn von G

26 3-Zusmmnnskomponntn Torm: J 3-Zsnskomponnt H st ntwr r: n sltr 3-zusmmnännr Grp, srll: n (sltr) Krs, or prlll: n 2-Knotn-Grp mt mnstns 3 Prlllkntn, un jr sol Grp rlut knn Tutt-Splt. Bws: Lmm: kn Tutt-Splt ür s Grpn möl Flls Grp prlll: J Spltklss st Enzlknt; kn Splt wn C 2 C möl. Flls Grp srll: J r zw Spltklssn mt mnstns 2 Kntn st P r Län 2 => ut-vrtx sowol n C ls u n C Flls Grp r: Grp t kn Sprtonspr un st slt Js Spltpr t nu 2 Spltklssn (n von st Knt) Wrsprt C 2 C

27 3-Zusmmnnskomponntn C Torm: J 3-Zsnskomponnt H st ntwr r: n sltr 3-zusmmnännr Grp, srll: n (sltr) Krs, or prlll: n 2-Knotn-Grp mt mnstns 3 Prlllkntn, un jr sol Grp rlut knn Tutt-Splt. z.z.: Wnn H nt r, srll or prlll st, xstrt n Tutt-Splt ür H. H st 2-zusmmnänn (0 Splts usürt) or Spltrp (>0 Splts us.) => H ntält 3 Kntn un knn ut-vrtx (ür Spltrp n Lmm) Flls H Prlllknt ntält: Es xstrt n Spltklss mt 2 Kntn ( H nt prlll). Wäl s ls C. C ntält Prlllkntn Tutt-Splt Anrnlls st H slt: H ntält Sprtonspr ( H nt r). Dss t 2 Spltklssn mt jwls 2 Kntn (mn. Sprtor). C Flls H Krs von 3 Blökn: Wäl Blok mt 2 Kntn ls C (, H nt srll) Tutt-Splt C Flls H kn Krs von 3 Blökn: Wäl l Spltklss mt 2 Kntn ls C (vtl. mt ut-vrtx). C ntält knn ut-vrtx ( H kn Krs von 3 Blökn) Tutt-Splt C

28 Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn

29 SPQR-Bäum R S R P S R S R P S 3-Zusmmnnskomponntn...sn Knotn ns Bums T mt vrtulln Kntn ls Kntnmn: Für jn Tutt-Splt ormn 3-Zusmmnnskomponntn r n Spltrpn Bäum T 1 un T 2 pr Inukton. Tutt-Splt vrnt T 1 un T 2 mt nur vrtulln Knt => T st Bum. S SPQR-Bum Q-Knotn n Bjkton zu Kntn us G. Q-Knotn ot wn Runnz wlssn. SPQR-Bum wurzlt Bum T n Rrnzknt ; r :=. Rkursvs Rlwrk nt Tutt-Splts topown n Aänkt r Spltklssn r jwln Rrnzknt. Skltt r S,P,R-Knotn sn srlln, prllln, rn 3-Zsnskomponntn. S

30 SPQR-Bäum R S R P S R S R P S Bmrkun: Flls n SPQR-Bum T von G knn R-Knotn ntält, st G n srn-prlllr Grp un T st r uns ür son knnt Dkompostonsum von G! S SPQR-Bum Q-Knotn n Bjkton zu Kntn us G. Q-Knotn ot wn Runnz wlssn. SPQR-Bum wurzlt Bum T n Rrnzknt ; r :=. Rkursvs Rlwrk nt Tutt-Splts topown n Aänkt r Spltklssn r jwln Rrnzknt. Skltt r S,P,R-Knotn sn srlln, prllln, rn 3-Zsnskomponntn. S

31 Brnun zt: O(m) Kntn n 3-Zsnskomponntn => SPQR-Bum t lnr Größ Prolm: Tutt-Splts sn uwän zu rnn Brn stttssn Splts un rlt Spltkomponntn (j prlll un srll Spltkomponnt ntält nu 3 Kntn) 3-Zsnskomponntn ntstn us Spltkomponntn ur Vrsmlzn von jzntn prllln un srlln Spltkomponntn.

32 Brnun Brnun SPQR-Bum von G: 1. Für soln Splts us w möl 2. Vrsmlz ntstn Spltkomponntn sowt w möl 3. Erlt 3-Zsnskomponntn =: Skltt; klrr j zw ls m SPQR- Bum nrt, wnn s l vrtull Knt ntltn. Srtt 2+3 n O(m), r w nt mn ll Sprtonspr n Srtt 1? (nltt 3-Zusmmnnstst ls Spzlll) En n O(nm): Lös jn Knotn un n m Rstrp ll ut-vrts n Zt O(m) Komplzrt n O(m): Mt DFS+Lowponts [1973 Hoprot-Trjn, 2000 Gutwnr-Mutzl] Mt Cn Dompostons [2017 Mlorn, Numnn, S. (Appnx B)] B nötn mplzt Rpräsntton r O(n2 ) vln Sprtonspr

33 Anwnunn Rukton u 3-Zusmmnn Grpnznn Optmrun ür ll plnrn Enttunn Kruzunsmnmrun Prprossn Enün nzlnr Kntn Clustrrpn Auwärtsplnrtät Isomorptst ür plnr Grpn Sonst Wv tl ltrs (Dtl Snlvrrtun) Inormton low surty

34 Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn

35 Komntors Enttunn G := plnrr 2-zusmmnännr Grp on Sln Rottonssystm / komntors Enttun := Funkton, jm Knotn n zykls Ornun snr nzntn Kntnmn zuwst. Spärs Enttun := Rottonssystm nr plnrn Znun m Urzrsnn spär. En. sn Äquvlnzklssn plnrr Znunn Plnr Enttun := spärs Enttun + An r äußrn Flä j Gl spärs Enttun? nn nn

36 Komntors Enttunn G := plnrr 2-zusmmnännr Grp on Sln Rottonssystm / komntors Enttun := Funkton, jm Knotn n zykls Ornun snr nzntn Kntnmn zuwst. Spärs Enttun := Rottonssystm nr plnrn Znun m Urzrsnn spär. En. sn Äquvlnzklssn plnrr Znunn Plnr Enttun := spärs Enttun + An r äußrn Flä nn Gl plnr Enttun? nn nn

37 Komntors Enttunn Anzl spärsr Enttunn von G? I: Top-Down m SPQR-Bum T. Fxr Enttun r vrtulln Knt (nns r Rrnzknt) Anzl Mölktn, nästs Knotnskltt n vrtull Knt zu änn? Skltt von S-Knotn sn Krs un n nu 1 kom. Enttun (nn jr nnr Knotn t Gr 2 => zykls Rnol l) Torm [Wtny 1932]: Jr 3-zusmmnänn Grp t nu zw spärs Enttunn (mt nvrsn Rottonssmt zunnr) S-Knotn: 1 R-Knotn: 2 P-Knotn: (k-1)! k

38 Bspl G R S R P S S S k v Anzl Kntn m Skltt s SPQR-Bumknotns v. D Anzl spärsr Enttunn st lso. #spärsr Enttunn von G: #plnrr Enttunn von G: 2 2 (3-1) = 8 8 #Flän = 8 (2+m-n) = 8 7 = 56 unän von r Enttun SPQR-Bäum rmöln s, ür ll plnrn Enttunn zu optmrn.

39 Lust u... Mr? 4-Zsnskomponntn ns 3-zsn. Grpn...? Kn snnvoll Dnton knnt Ausw zu k-blökn mxml Knotnmnn, rn Pr k-zusmmnänn n G sn k-blök nuzrn.a. knn zusmmnännn Grpn Wünsnswrt st Gnrlsrun olnr Enst von SPQR-Bäumn: Jr 3-Blok st n 3-Zsnskomponnt ntltn (r nt umkrt).

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d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat. 4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst