Einführung in die Theoretische Informatik Tutorium XIII
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- Hetty Bach
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1 Einürun in i Tortis Inormtik Tutorium XIII Mil R. Jun ETI - Tutorium XIII 1
2 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 2
3 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 3
4 Frstun & Btruts Lrnn oizill Frstun: Mo, , 10.t. RUD26, Btruts Lrnn So, , t. RUD25, ETI - Tutorium XIII 4
5 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 5
6 Grpprmtr 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 6
7 Grpprmtr G : Bstimmn Si ür n o.. Grpn G i Stiltätszl (α), i romtis Zl (χ), i Mtinzl (µ), i Cliqunzl (ω) un i Ürkunszl (β). Wivil Kntn müssn jwils minstns inzuüt wrn, mit G n in Eulrlini, in Eulrtour, inn Hmiltonp zw. inn Hmiltonkris ntält? Brünn Si Ir Antwortn. ETI - Tutorium XIII 7
8 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: ETI - Tutorium XIII 8
9 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. ETI - Tutorium XIII 8
10 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. Wnn in Grp G in stil (u: unäni) Knotnmn r Größ p ntält, so ist α(g) p. ETI - Tutorium XIII 8
11 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. Wnn in Grp G in stil (u: unäni) Knotnmn r Größ p ntält, so ist α(g) p. Für ll Grpn G ilt: χ(g) ω(g). ETI - Tutorium XIII 8
12 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. Wnn in Grp G in stil (u: unäni) Knotnmn r Größ p ntält, so ist α(g) p. Für ll Grpn G ilt: χ(g) ω(g). Wnn in Grp G in Cliqu r Größ p ntält, so ist ω(g) p. ETI - Tutorium XIII 8
13 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. Wnn in Grp G in stil (u: unäni) Knotnmn r Größ p ntält, so ist α(g) p. Für ll Grpn G ilt: χ(g) ω(g). Wnn in Grp G in Cliqu r Größ p ntält, so ist ω(g) p. Wnn in Grp G p-ärr ist, so ist χ(g) p. ETI - Tutorium XIII 8
14 Grpprmtr Foln Aänikitn ürn vrwnt wrn: Wnn in Grp G mit p Cliqun ürkt wrn knn, so ist α(g) p. Wnn in Grp G in stil (u: unäni) Knotnmn r Größ p ntält, so ist α(g) p. Für ll Grpn G ilt: χ(g) ω(g). Wnn in Grp G in Cliqu r Größ p ntält, so ist ω(g) p. Wnn in Grp G p-ärr ist, so ist χ(g) p. Es olt lso: Wnn in Grp G in Cliqu r Größ p ntält un p-ärr ist, so ist p ω(g) χ(g) p,.. p = ω(g) = χ(g). ETI - Tutorium XIII 8
15 Grpprmtr Für ll Grpn G ilt: α(g) + β(g) = V (G). ACHTUNG! Um i ltzt Gliun zu nutzn, muss inr r in Prmtr GENAU stimmt wrn!! Es nüt nit, in stil Mn r Größ k un in Vrtx Covr r Größ V (G) k zu inn. ETI - Tutorium XIII 9
16 Grpprmtr α(g) = 2, {, } stil ist un s in Cliqunürkun mit zwi Cliqun it. χ(g) = 5, mn n Grpn 5-ärn knn un s in 5-Cliqu (s.o.) it. µ(g) = 4, r Grp nur 8 Knotn t un in prkts Mtin (.. in Mtin, s ll Knotn ürkt) xistirt. ETI - Tutorium XIII 10
17 Grpprmtr ω(g) = 5, mn in 5-Cliqu inn knn un r G 5-ärr (s.o.) ist (lso kin 6- Cliqu ntltn knn). β(g) = 6, ür ll Grpn ilt: α(g) + β(g) = V (G). D α(g) = 2 un V (G) = 8, olt lso i Buptun. Dr Grp ntält rits inn Hmiltonkris un somit u inn Hmiltonp. ETI - Tutorium XIII 11
18 Grpprmtr Für Eulrlini un -tour muss mn si zunäst nur i Knotnr nsun. v (v) Es it lso 6 Knotn mit unrm Gr, ür in Eulrlini ürn r nur zwi sol ntltn sin. Also müssn wir son ml minstns 2 Kntn inün. D r 5 von isn in inr Cliqu sin,.. ort i Kntn son xistirn, müssn wir sor no mr Kntn inzuün. Grun: Wir könnn zwr inn r äußrn Knotn mit vrinn, r nn sin no vir Knotn ußn üri, i nn son ll Kntn vornn sin. Dri (s.u.) rin r us. ETI - Tutorium XIII 12
19 Grpprmtr Für Eulrlini un -tour muss mn si zunäst nur i Knotnr nsun. v (v) Es it lso 6 Knotn mit unrm Gr, ür in Eulrlini ürn r nur zwi sol ntltn sin. Also müssn wir son ml minstns 2 Kntn inün. D r 5 von isn in inr Cliqu sin,.. ort i Kntn son xistirn, müssn wir sor no mr Kntn inzuün. Grun: Wir könnn zwr inn r äußrn Knotn mit vrinn, r nn sin no vir Knotn ußn üri, i nn son ll Kntn vornn sin. Dri (s.u.) rin r us. ETI - Tutorium XIII 12
20 Grpprmtr Für Eulrlini un -tour muss mn si zunäst nur i Knotnr nsun. v (v) Es it lso 6 Knotn mit unrm Gr, ür in Eulrlini ürn r nur zwi sol ntltn sin. Also müssn wir son ml minstns 2 Kntn inün. D r 5 von isn in inr Cliqu sin,.. ort i Kntn son xistirn, müssn wir sor no mr Kntn inzuün. Grun: Wir könnn zwr inn r äußrn Knotn mit vrinn, r nn sin no vir Knotn ußn üri, i nn son ll Kntn vornn sin. Dri (s.u.) rin r us. ETI - Tutorium XIII 12
21 Grpprmtr Für Eulrlini un -tour muss mn si zunäst nur i Knotnr nsun. v (v) Es it lso 6 Knotn mit unrm Gr, ür in Eulrlini ürn r nur zwi sol ntltn sin. Also müssn wir son ml minstns 2 Kntn inün. D r 5 von isn in inr Cliqu sin,.. ort i Kntn son xistirn, müssn wir sor no mr Kntn inzuün. Grun: Wir könnn zwr inn r äußrn Knotn mit vrinn, r nn sin no vir Knotn ußn üri, i nn son ll Kntn vornn sin. Dri (s.u.) rin r us. ETI - Tutorium XIII 12
22 Grpprmtr Für Eulrlini un -tour muss mn si zunäst nur i Knotnr nsun. v (v) Es it lso 6 Knotn mit unrm Gr, ür in Eulrlini ürn r nur zwi sol ntltn sin. Also müssn wir son ml minstns 2 Kntn inün. D r 5 von isn in inr Cliqu sin,.. ort i Kntn son xistirn, müssn wir sor no mr Kntn inzuün. Grun: Wir könnn zwr inn r äußrn Knotn mit vrinn, r nn sin no vir Knotn ußn üri, i nn son ll Kntn vornn sin. Dri (s.u.) rin r us. ETI - Tutorium XIII 12
23 Grpprmtr Für i Eulrtour müssn jtzt no i ltztn in Knotn mit unrm Gr vrswinn, is ist r us lin Grünn (s.o.) nit mit inr Knt möli, r 2 witr (lso inssmt 5) nün. ETI - Tutorium XIII 13
24 Grpprmtr Für i Eulrtour müssn jtzt no i ltztn in Knotn mit unrm Gr vrswinn, is ist r us lin Grünn (s.o.) nit mit inr Knt möli, r 2 witr (lso inssmt 5) nün. ETI - Tutorium XIII 13
25 Grpprmtr Für i Eulrtour müssn jtzt no i ltztn in Knotn mit unrm Gr vrswinn, is ist r us lin Grünn (s.o.) nit mit inr Knt möli, r 2 witr (lso inssmt 5) nün. ETI - Tutorium XIII 13
26 Grpprmtr Für i Eulrtour müssn jtzt no i ltztn in Knotn mit unrm Gr vrswinn, is ist r us lin Grünn (s.o.) nit mit inr Knt möli, r 2 witr (lso inssmt 5) nün. ETI - Tutorium XIII 13
27 Eulrtour 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 14
28 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 15
29 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 16
30 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 17
31 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 18
32 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 19
33 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 20
34 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 21
35 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 22
36 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 23
37 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 24
38 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 25
39 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 26
40 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 27
41 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 28
42 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 29
43 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 30
44 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 31
45 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 32
46 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 33
47 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 34
48 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 35
49 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 36
50 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 37
51 Eulrtour ETI - Tutorium XIII 38
52 Grpisomorpi 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 39
53 Grpisomorpi Au 1 Wl r olnn Grpn H, H sin zu G isomorp? H : k H : s l t m p u x n o v w i j q r ETI - Tutorium XIII 40
54 Grpisomorpi Lösun: Di Grsqunz von G ist (3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5). Di von H ist r (3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5). Dmit sit H us. Di Grsqunz von H stimmt mit G ürin. Außrm sit mn sowol i G ls u i H in Symmtri. Folli müsst s l sin, wln Knotn von Gr 4 in H mn u wln in G ilt. Dr rst Vrsu ürt ir rits zum Erol. z V (G) (z) V (H ) v w x t u q r s ETI - Tutorium XIII 41
55 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 42
56 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 43
57 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC IS ist NP-vollstäni Ruktion von 3-St u IS L Si F C 1,..., C m mit C j l j,1,..., l j,kj ür j 1,..., m in 3-KNF-Forml ür n Vriln x 1,..., x n. L Btrt n Grpn G ˆV, E mit L V Nun ilt v ji S1 B j B m, 1 B i B k j un E v ji, v j œ i œ > V 2ŽT j j œ or l ji lj œ i œ or l j œ i œ lji. 392 F > 3-St s it in Blun, i in jr Klusl C j (minstns) in Litrl l j,ij wr mt s it m Litrl l 1,i1,..., l m,im, i prwis nit komplmntär sin (.. l jij x l j œ i j œ ür j x j œ ) s it m Knotn v 1,i1,..., v m,im, i nit ur Kntn vrunn sin G sitzt in stil Mn von m Knotn. j ETI - Tutorium XIII 44
58 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC Cliqu ist NP-vollstäni 393 Korollr Cliqu ist NP-vollstäni. Bwis L Es ist lit zu sn, ss j Cliqu in inm Grpn G ˆV, E in stil Mn in m zu G komplmntärn Grpn Ḡ mit 2Ž Ē V E ist un umkrt. L Dr lässt si IS mittls ˆG, k (ˆḠ, k u Cliqu ruzirn. ˆV, Ē j ETI - Tutorium XIII 45
59 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC VC ist NP-vollstäni 394 Korollr VC ist NP-vollstäni. Bwis L L Onsitli ist in Mn I nu nn stil, wnn ir Komplmnt V I in Kntnürkun ist. Dr lässt si IS mittls ˆG, k (ˆG, nˆg k u VC ruzirn. j ETI - Tutorium XIII 46
60 CirSt p 3-St, CirSt p NSt 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 47
61 CirSt p 3-St, CirSt p NSt 3-St ist NP-vollstäni Ruktion von CirSt u 3-St L Wir trnsormirn inn Sltkris S ˆ 1,..., m mit n Einänn in in 3-KNF Forml F S ür n Vriln x 1,..., x n, y 1,..., y m, i i Klusl y m un ür js Gttr i i Klusln olnr Forml F i ntält: Gttr i Smntik von F i Klusln von F i 0 y i 0 ȳ i 1 y i 1 y i x j y i x j ȳ i, x j, x j, y i ˆ, j y i ȳ j ȳ i, ȳ j, y j, y i ˆ,, j, k y i y j, y k ȳ i, y j, ȳ i, y k, ȳ j, ȳ k, y i ˆ-, j, k y i y j - y k ȳ j, y i, ȳ k, y i, ȳ i, y j, y k 375 ETI - Tutorium XIII 48
62 CirSt p 3-St, CirSt p NSt 3-St ist NP-vollstäni 376 Ruktion von CirSt u 3-St L Wir zin, ss ür ll > 0, 1 n oln Äquivlnz ilt: Sˆ 1 > 0, 1 m F Sˆ 1. L Ist nämli > 0, 1 n in Ein mit Sˆ 1. Dnn rltn wir mit i iˆ ür i 1,..., m L in rülln Blun 1... m ür F S. Ist umkrt 1... m in rülln Blun ür F S, so muss m 1 sin, y m in Klusl in F S ist, un ur Inuktion ür i 1,..., m olt iˆ i,.. inssonr olt Sˆ mˆ m 1. ETI - Tutorium XIII 49
63 CirSt p 3-St, CirSt p NSt 3-St ist NP-vollstäni Ruktion von CirSt u 3-St L Wir wissn rits, ss ür ll > 0, 1 n i Äquivlnz L ilt. sˆ 1 > 0, 1 m F sˆ 1. Dis utt, ss r Sltkris S un i 3-KNF-Forml F S rüllrkitsäquivlnt sin, S > CirSt F S > 3-St. L D zum i Ruktionsunktion S ( F S in FP rnr ist, olt CirSt p B 3-St. j ETI - Tutorium XIII 50
64 CirSt p 3-St, CirSt p NSt Ein Vrint von 3-St 395 Not-All-Equl-SAT (NSt): Gn: Ein Forml F in 3-KNF. Grt: Ht F in (rülln) Blun, untr r in kinr Klusl ll Litrl nsln Writswrt n? Stz NSt ist NP-vollstäni. Bwis L L NSt > NP ist klr. Wir ruzirn CirSt u NSt, inm wir i Ruktion von CirSt u 3-St int npssn. ETI - Tutorium XIII 51
65 CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt ist NP-vollstäni Ruktion von CirSt u NSt L L L Wir ruzirn CirSt u NSt, inm wir i Ruktion von CirSt u 3-St int npssn: Gttr i Klusln von F œ i 0 ȳ i, z 1 y i, z x j ȳ i, x j, z, x j, y i, z ˆ, j ȳ i, ȳ j, z, y j, y i, z ˆ,, j, k ȳ i, y j, z, ȳ i, y k, z, ȳ j, ȳ k, y i ˆ-, j, k ȳ j, y i, z, ȳ k, y i, z, ȳ i, y j, y k Es ist lit zu sn, ss ll Drirklusln untr jr rüllnn Blun von F S rits i Writswrt nnmn. Zu n ürin Klusln könnn wir in nu Vril z inzuün. 396 ETI - Tutorium XIII 52
66 CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt ist NP-vollstäni Ruktion von CirSt u NSt L L Si lso F œ Sˆx 1,..., x n, y 1,..., y m, z i Forml, i i Klusl y m, z un ür js Gttr i i Klusln olnr Forml F œ i Gttr i Klusln von F œ i 0 ȳ i, z 1 y i, z x j ȳ i, x j, z, x j, y i, z ˆ, j ȳ i, ȳ j, z, y j, y i, z ˆ,, j, k ȳ i, y j, z, ȳ i, y k, z, ȳ j, ȳ k, y i ˆ-, j, k ȳ j, y i, z, ȳ k, y i, z, ȳ i, y j, y k ntält: F œ S ntstt lso us F S, inm wir zu jr Klusl mit B 2 Litrln i nu Vril z inzuün. 397 ETI - Tutorium XIII 53
67 CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt ist NP-vollstäni Ruktion von CirSt u NSt L D i Funktion S ( FS œ onr in FP rnr ist, lit nur no i Korrktit von zu zin: S > CirSt F œ S > NSt. L Ist S > CirSt, so xistirt in Blun mit F Sˆ 1. L L 398 Folli ntltn untr isr Blun ll Klusln von F S (un mit u ll Klusln von FS œ ) in wrs Litrl. Ttsäli wir untr in jr Drirklusl von F S (un mit in jr Klusl von FS œ, i z nit ntält) u in Litrl ls, nn jr Drirklusl r Form ȳ i, y j, y k i Klusln ȳ j, y i un ȳ k, y i un nn y i, ȳ j, ȳ k i Klusln y j, ȳ i un y k, ȳ j rüllt. L Stzn wir lso z 0, so wir in jr Klusl von FS œ minstns in Litrl wr un minstns in Litrl ls. ETI - Tutorium XIII 54
68 CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt ist NP-vollstäni 399 Ruktion von CirSt u NSt L L L Für i umkrt Impliktion si nun FS œ > NSt nnommn. Dnn xistirt in Blun > 0, 1 nm1 ür F œ Sˆx 1,..., x n, y 1,..., y m, z, untr r in jr Klusl in wrs un in lss Litrl vorkommn. D is u untr r komplmntärn Blun r Fll ist, könnn wir 0 nnmn. L Dnn rüllt r i Blun i Forml F S. L Also ist Sˆ 1 un mit s > CirSt. j ETI - Tutorium XIII 55
69 NSt p 3-Colorin 1 Trmin 2 Grpu Grpprmtr Eulrtour Grpisomorpi 3 Ruktionn us r Vorlsun 3-St p IS, IS p Cliqu, IS p VC CirSt p 3-St, CirSt p NSt NSt p 3-Colorin ETI - Tutorium XIII 56
70 NSt p 3-Colorin 3-Colorin ist NP-vollstäni Ruktion von NSt u 3-Colorin L Si in 3-KNF-Forml F C 1,..., C m ür n Vriln x 1,..., x n mit Klusln L n. C j l j,1,..., l j,kj, k j B 3 Wir könnn nnmn, ss F kin Einrklusln ntält. L Wir konstruirn inn Grpn G F ˆV, E, r nu nn 3-ärr ist, wnn F > NSt ist. L Wir stzn un V s, x 1,..., x n, x 1,..., x n 8 v jk S1 B j B m, 1 B k B k j E š s, x i, s, x i, x i, x i U1 B i B nÿ 8š s, v jk Uk j 2Ÿ 8 š v jk, v jl Uk x lÿ 8š v jk, x i Ul jk x i Ÿ 8š v jk, x i Ul jk x i Ÿ. 400 ETI - Tutorium XIII 57
71 NSt p 3-Colorin 3-Colorin ist NP-vollstäni Ruktion von NSt u 3-Colorin L Wir stzn un V s 8 x 1,..., x n, x 1,..., x n 8 v jk S1 B j B m, 1 B k B k j, E š s, x i, s, x i, x i, x i U1 B i B nÿ 8š s, v jk Uk j 2Ÿ 8 š v jk, v jl Uk x lÿ 8š v jk, x i Ul jk x i Ÿ 8š v jk, x i Ul jk x i Ÿ. L Si 1... n in Blun ür F, untr r in jr Klusl l j1,..., l jkj in Litrl wr un ins ls wir. C j L Wir könnn nnmn, ss l j1ˆ 0 un l j2ˆ 1 ist. L Dnn lässt si G F wi olt mit n 3 Frn 0, 1, 2 ärn: Knotn v s x i x i v j1 v j2 v j3 ˆlls k j 3 Fr ˆv 2 i ā i ETI - Tutorium XIII 58
72 NSt p 3-Colorin 3-Colorin ist NP-vollstäni 402 Ruktion von NSt u 3-Colorin L Si nun umkrt V 0, 1, 2 in 3-Färun von G F. L Dnn könnn wir nnmn, ss ˆv 2 ist. L Also ilt ür i 1,..., n, ss ˆx i, ˆ x i 0, 1 ist. L Zum müssn i Knotn v j1,..., v jkj im Fll k j 2 mit 0 un 1 un im Fll k j 3 mit lln ri Frn 0, 1 un 2 ärt sin. L Wir könnn nnmn, ss ˆv j1 0 un ˆv j2 1 ist. L Wn v jk, l jk > E muss ˆv jk x ˆ l jk ür k 1,..., k j un r ˆv jk ˆl jk ür k 1, 2 ltn. L Also mt i Blun ˆx 1... ˆx n i Litrl l j1 ls un L l j2 wr. Inssmt ilt lso F > NSt G F > 3-Colorin. j ETI - Tutorium XIII 59
d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.
4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst
Aufgaben zu Kapitel 7
7.1 G W A B zu 7.1 zu 7.2 7.2 Ajznzmtrix: 000111 000111 000111 111000 111000 111000 G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung
16. Minimale Spannbäume
Dnton.:. Mnml Spnnäum. En wttr unrttr Grp (G,w) st n unrttr Grp G=(V,E) zusmmn mt nr Gwtsunkton w :E R.. Ist H=(U,F), U V,F E, n Tlrp von G, so st s Gwt w(h) von H nrt ls ( ) = w( ) w H F SS 00 Mnml Spnnäum
DOWNLOAD VORSCHAU. Vertretungsstunden Mathematik 30. zur Vollversion. 10. Klasse: Strahlensätze. Vertretungsstunden Mathematik 9./10.
DOWNLOAD Mro Bttnr/Erik Dins Vrtrtunsstunn Mtmtik 30 10. Klss: Strlnsätz Brorr Untrritsin Mro Bttnr/Erik Dins Downlouszu us m Oriinltitl: Vrtrtunsstunn Mtmtik 9./10. Klss Soort instzr lrplnorintirt sstmtis
DOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Strahlensätze. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse. Marco Bettner/Erik Dinges
DOWNLOAD Mro Bttnr/Erik Dins Vrtrtunsstunn Mtmtik 30 10. Klss: Strlnsätz Mro Bttnr/Erik Dins Brorr Untrritsin Downlouszu us m Oriinltitl: Vrtrtunsstunn Mtmtik 9./10. Klss Soort instzr lrplnorintirt sstmtis
Anleitungsübersetzung von
Anlitunsürstzun von ttp://www.zoys-prlntirwlt. POWERD BY HTTP://WWW.ZOEYS-PERLENTIERWELT.DE Kop Til I H J K G Mtril-List Prn F 0 0 L FARBE DEINER WAHL SCHWARZ OPAK ROSA PERLMUTT E M N WEIß ALABASTER D
Graphentheorie. Aufgabenblatt 3. Besprechung am 22. November 2018 in den Übungen
Fbri Inormti Wintrsmstr 018/19 Pro. Dr. Ptr Br Grpntori Augbnbtt 3 Bsprung m. Novmbr 018 in dn Übungn Augb 1 Anngswrtprobm) Lösn Si di ogndn Anngswrtprobm: ) n = n 1 + 3 n mit 0 = 0 und 1 = 1. b) b n =
Spektralbilder einer Oktav-Tonleiter in C-Dur
Spktrlbilr inr Oktv-Tonlitr in C-Dur (Zum Tm Tonlitr vl. u i Ausürunn zu Tonlitr Quint -- un i usürlin Txt zum lin Tm u r Sit Hörbispil - Tonlitr) ' (us Hörbispil Tonlitr Tl-8 5'57) Im Untrsi zu n Spktrlbilrn
SPQR-Bäume. Jens M. Schmidt Jens M. Schmidt
SPQR-Bäum Ürlk 2 vs. 3-Zusmmnnskomponntn Splts un Spltkomponntn Tutt-Splts, 3-Zusmmnnskomponntn un rn Struktur SPQR-Bäum un rn Brnun Anzl plnrr Enttunn 2- vs. 3-Zusmmnnskomponntn knnt: 1-Zsnskomponntn
1. Übung zu Computergraphik 3 Geometrie
1. Üung zu omputrgrpk Gomtr Jko ärz KOLNZ LNU ug 1: Frgzn Ggn: Mng zuällgr -Punkt ntsprn nzl zuällgr Frn Kgl znn Sptz u Punkt Hupts prlll zu z-s Sptz zgt zum trtr großr Rus un Hö Ortogrps Projkton Z-ur
Informatik II. Übung 10. Giuseppe Accaputo, Felix Friedrich, Patrick Gruntz, Tobias Klenze, Max Rossmannek, David Sidler, Thilo Weghorn FS 2017
Inormtik II Übung 0 Giuspp Accputo, Flix Fririch, Ptrick Gruntz, Tobis Klnz, Mx Rossmnnk, Dvi Silr, Thilo Wghorn FS 07 Hutigs Progrmm Hps Grphn Trvrsirn [Mx-]Hp Binärr Bum mit olgnn Eignschtn Wurzl 0 8
Lektion 11 Test. 2 Modalverben: Präsens oder Präteritum? Was ist richtig? Kreuzen Sie an.
Lktion 11 Tst Lktion 11 Grmmtik 1 Prätritum r Molvrn: Eränzn Si. Bispil: Ih immr Stätrisn (mhn wolln). Ih _wollt immr Stätrisn _mhn_. Als Kin ih Tirplr (wrn wolln). u im Zoo i Bärn (üttrn ürn)? Von 2009
Lektion 14 Test Lösungen
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Lösungn X Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j X js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn jr j js X jn jm Mont pünktlih unsr
Aufgabe 4: 7-Segmentanzeige
Au : 7-Smntnzi G. Kmnitz, C. Gismnn, TU Clusthl, Institut ür Inormtik 7. Juni 25 Di Vrsuhsurupp ht in -stlli 7-Smnt-Anzi mit vrunnn Kthonsinln un minsmr Ano j Zir, so ss zu jm Zitpunkt nur in Zir nzit
Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Thortisch Informtik Lhrstuhl Prof. Dr. D. Wnr Üunsltt Vorlsun Thortisch Grundln dr Informtik im WS 67 Aus 2. Oktor 26 A 8. Novmr 26, : Uhr (im Kstn im UG von Gäud 5.34) Auf ( + + + = 4 Punkt)
Kommentierung zum Prüfungsnachweis JAR - FCL - PPL(A)
Vrwnts Fluzumustr (Zulssun ür i Ausilun urh i zustäni Luthrthör) sih Anhn 1 zu JAR-FCL 1.125 Sihrhitsstlunn Vorhrst Bon- un Flusiht min. 8 km, Huptwolknuntrrnz min. 2000 t, Di im Fluhnuh nn, monstrirt
Beispielfragen QM9(3) Systemauditor nach ISO 9001 (1 st,2 nd party)
QM9(3) Systmuitor nh ISO 9001 (1 st,2 n prty) Allgmin Hinwis: Es wir von n Tilnhmrn rwrtt, ss usrihn Knntniss vorhnn sin, um i Frgn 1.1 is 1.10 untr Vrwnung r ISO 9001 innrhl von 20 Minutn zu ntwortn (Slsttst).
Lektion 14 Test. Obwohl Herr Stuber gern in der Stadt arbeiten / er einen Bauernhof haben möchten
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Bispil: Niht X jr j js jn jm Arzt möht Notrzt sin. Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn
1 or-2. 1 or-3. Abbildung 1: Verschaltung von fünf ODER Gattern
Grunlgn igitlthnik - Augn Til 4 - Lösung Aug 1 i in Ailung 1 rgstllt Shltung ist us Or Gttrn ugut. Js isr Gttr ht in Vrzögrungszit von t p = 5ns. i Vrzögrung ist ür stign un lln Signl glih (t plh = t phl
Basiswissen > Geometrie im Raum > Trigonometrie in Körpern > Streckenzug
www.shullv.d Bsiswissn > Gomtri im Rum > Trigonomtri in Körprn > Strknzug Strknzug Spikzttl Augn 1. Läng ds Strknzugs rhnn In disr Aug sollst du dn Strknzug ds gzihntn Hus vom Nikolus rhnn. Am inhstn ist
Aderkennzeichnung Schnapptüllen STD
rnnzicnun Scnpptülln ST i prt Mölicit rn un Kl nc r nstlltion urt un scnll zu nnzicnn. r Montscu wir u i zu mrirn Litun rüct un r Mrirr mit m umn rürscon. r Mrirr önt sic un rit st um s Kl. iri sin insprunn
VORSCHAU. zur Vollversion. Warm-up Ein Lkw darf mit maximal kg beladen werden.
Txtufgn (Sutrktion/Aition) Würfl (Eignshftn) Wrm-up 1 1. Ein Lkw rf mit mximl 1 800 kg ln wrn. Es wrn vrshin Kistn mit 72 kg, 18 kg, 530 kg un 620 kg uf n Lkw gln. 1800 kg 72 kg 72 kg 18 kg or + 18 kg
Herr laß deinen Segen fließen
= 122 sus2 1.rr 2.rr lss wir i bit rr lß inn Sgn flißn nn tn 7 S gn fli ßn, ic um i lung, 7 wi in wo Strom ins r wi S sus4 t l Txt un Mloi: Stpn Krnt Mr. wint. sus2 nn Lß wirst u ic spü rn wi i 7 r spi
Herzdrache. by Zoey
nltun No.0 y Zoy ttp://zoysprlntrwlt. s nltun st nt ür n Vrku stmmt. S ntält Tl vom Frülns- rn von prlntr.om rzr rt y zoys-prlntrwlt. Ersnuns-tum:.02. Zoys-Prlntrwlt. op Tl u nnst m Strn Srtt. rt m Zk
Thema 9: Die Klassenarbeit
Thm 9: Di Klssnrit Hör ml! 1 Knnst u? shwimmn ritn Tnnis spiln Klvir spiln Dutsh sprhn Ski hrn X X X X 2 Dr ih hir? rlut rlut niht rlut rlut niht rlut 3 Ih knn niht! Ih muss Anrs, shwimmn ghn, Husugn mhn
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e a u s z a h l u n g a u s w e i s c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e a u s z a h l u n g a u s w e i s c h a p t e r þÿ.. P S - t h e l i n k t o t h e T e r m s o f P r i v a c y p a g e a t t h e b o t t o m o f t h i s f e e d b a c k
Aufgabe A1: Beschreiben Sie die folgenden Kurven durch parameterabhängige Ortsvektoren und geben Sie jeweils den Tangentenvektor an: ö è. ö ø.
Mhmik MB Üungsl 5 hmn: Vkonlysis Aufg A: Bshin Si i folgnn Kuvn uh mhängig Osvkon un gn Si jwils n ngnnvko n: y x mi x ³ 0. Milunkkis mi Rius R un mhmish osiivm Umlufn. G uh n Usung mi Sigung m. Wi knnn
4 Bäume und Minimalgerüste
4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn 4 Bäum un Minimalgrüst Dfinition 4.1. Es in G = (V, E) in zusammnhängnr Graph. H = (V, E ) hißt Grüst von G gw. wnn H in Baum ist un E E gilt. Bmrkung
Repetitorium Mathematik für Informatiker I, Sommersemester Probeklausur Nr. 1. Information
Pro. Dr. Brnhr Stn Dwi Koptzki Rptitorium zur Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr 1 Sommrsmstr 2015 Proklusur Nr. 1 Inormtion Dis Augn inn ls Grunlg zur Wirholung un Vrtiung r Thmn r Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr
Chapter 1 : þÿ i m s p i e l b e t c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ i m s p i e l b e t 3 6 5 c h a p t e r þÿ S i e s i c h f ü r e i n e w e i t e r e k o s t e n l o s e W e t t e f ü r d a s n ä c h s t e C h a n n e l 4 - R e n n e n.. T i p i c o d
Digitaltechnik. TI-Tutorium. 17. Januar 2012. Tutorium von K. Renner für die Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren am KIT
Digitltchnik I-utorium 17. Jnur 2012 utorium von K. Rnnr für di Vorlsung Digitltchnik und Entwurfsvrfhrn m KI hmn Orgnistorischs Anmrkungn zum Übungsbltt 9 Korrktur inr Foli von ltztr Woch Schltwrk Divrs
Kannst du ein großes A bezahlen? Spiele mit Zahlen und Buchstaben. Dr. H. Schneider, Wien. Buchstabenrätsel mit zwei Vorgaben
Spil mit Zhln un Buhstn Einzlmtril 87 Klss 6 is 8 S Knnst u in großs A zhln? Spil mit Zhln un Buhstn Dr. H. Shnir, Win M Buhstnrätsl mit zwi Vorgn Brhn i Blknsumm nhn von zwi Vorgn! Di Zhln, 2,, 4 un sin
Der Kosinussatz. So erhalten wir: und. Um beide Formeln miteinander vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel nach h 2 um, und erhalten:
Der Kosinusstz Dreieke lssen si mit drei ngen zu irer Figur, vollständig zeinen. D er die zeinerise Lösung eines Dreieks nit so genu und zudem ret ufwendig ist, muss es u einen renerisen Weg geen, die
Für Wachstumsprozesse, die nach dem logistischen Wachstumsmodell ablaufen, gilt: (1)
Dr Arnlf Schönli, Logistischs Wchstm in dr Prxis Logistischs Wchstm in dr Prxis Für Wchstmsrozss, di nch dm logistischn Wchstmsmodll lfn, gilt: ( ( t ( Drin sind (t zw di Polionn z dn Zitnktn t zw t, nd
Projektive Geometrie 2
Thnih Univität Münhn Fkultät ü Mthmtik Kluu Pojktiv Gomti 2 Moul MA3204 9. Fu 2015, 10 11 Uh Po. D. D. Jügn Riht-Gt Stn Knih Mutlöung Aug 1. Stz von Pl x y z Stz von Pl:,,,,, lign u inm Kglhnitt x, y,
für Archivregal SUPER H 2000 x T 320/600 mm mit 5 Böden optional mit Durchschubsicherung bei Tiefe 600 mm
ür Arhivrgal SUPER H 000 x T 0/600 mm mit 5 Bön optional mit Durhshubsihrung bi Ti 600 mm Di Rahmn Jr Rahmn bstht aus: Postn H 000 mm 5 Travrsn (T 0 or 600 mm) Kunststoüßn Kunststoabkkappn Hinwis ür i
Komplizierte Probleme der Informatik
Univrsität Bill Angwnt Inormtik Komplizirt Prolm r Inormtik Mr Hnhi Juli 2003 Komplxitätsklssn Lösungstrtgin TSP Zusmmnssung Rnomisirt Algorithmn Univrsität Angwnt Inormtik Bill Prolmklssn EXPTIME: xponntill
Kurzgefaßte Klausellehre
P Kurzgfßt Klusllhr Einfh instimmig Klusln 1 Tnorklusl 2 Diskntklusl 3 Ligtur-Altklusl Trzfll-Altklusl Tnorklusl-Mixtur (Ortrz) Diskntkusl-Mixtur (Untrqurt) Trzfll-Altklusl 8 Tnorklusl Diskntklusl-Mixtur
Musterlösung - Aufgabenblatt 4. Aufgabe 1
Murlöung - Augnl 4 Aug ) Au Üungl 3 hn wir ür n ggnn Grphn G gzig, ν(g) = 9 gil, inm wir olgn Mhing M von mximlr Krinliä nggn hn: g h i j 3 4 6 7 8 9 0 E gil lo, nh König Mhing-Thorm u r Vorlung, uh τ(g)
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
4 Rgulär Aurük Automtn un forml Sprhn Notizn zu n Folin Präznz r Oprtorn (Folin 108) Dr -Oprtor ht i höht Präznz, nh r Konktntionoprtor, un r - Oprtor ht i niriht Präznz. D hißt: (() (( ))) Bipil von rgulärn
Ohnezahn. Ohnezahn. 2016, bubble Kostenlos zu finden auf Diese Vorlage ist nur für private, nicht kommerzielle Zwecke freigegeben
Ohnzhn Mtrl: - Nylonfn (ø 0,mm): Kof un Körr: mhrmls, m, nsgsmt. 9m Ohrn:,80 m Mnhörnr: 0 m Shwnz:,00m ntrn:,00 m Vorrn:,00 m lügl: 80 m Shwnzshwngn: 0 m Sturflügl: 0 m - Rolls (ø,mm): Shwrz o (80g) Rot
Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 8 FS 15
Enösssc Tcnsc Hocscul Zürc Ecol polytcnqu ééral Zurc Poltcnco ral Zuro Fral Insttut o Tcnoloy at Zurc Insttut ür Tortsc Inormatk 22. Aprl 201 Ptr Wmayr Tobas Prör Tomas Tscar Datnstrukturn & Alortmn Lösunn
Überblick. Grundideen MST Eigenschaft. MST Eigenschaft. Kap. 6.5: Minimale Spannbäume ff
0.0.009 Kap. 6.: Mnmal Spannäum Ürlk Proor Dr. Kartn Kln 6.: Mnmal Spannäum (MST) : Lrtul ür Alortm Ennrn, LS Fakultät ür Inormatk, TU Dortmun 0. VO. TEIL DAP SS 009. Jul 009 SS08 Grunn MST: Kürzt W n
Sind keine notwendig. Eine Formelsammlung und ein nicht programmierbarer Taschenrechner können aber verwendet werden.
Mttik WIW Üungsltt 5 ***LÖSUNGEN*** Tn: Intglnung Gundlgn Ung: Hilsittl: 5 Augn Sind kin notwndig Ein Folslung und in nit pogi Tsnn könnn vwndt wdn Aug A Intglnung Bsistnikn: Gn Si di Stunktionn ü di Funktionn
Für den Flächeninhalt des Dreiecks A BEG gilt: A BEG =
008 Pflichtrich Für dn Flächninhalt ds ricks EG gilt: EG = E G i Strckn E und G kann man rchnn, wnn man im rchtwinklign rick EG dn Winkl ε und di Strck EG knnt rchnung ds Winkls ε: n Winkl ε stimmt man
informal: Modell für beliebige hierarchische Strukturen, Klassifikationsschemata
ÄUME informl: Moll für liig hirrhish Strukturn, Klssifiktionsshmt forml: Ein um ist in grihttr Grph mit n Eignshftn (1) Es git inn usgzihntn Knotn, i Wurzl, ohn Vorgängrknotn. (2) Von r Wurzl git s zu
Wie in der letzten Vorlesung besprochen, ergibt die Differenz zwischen den Standardbildungsenthalpien
Vorlsung 0 Spnnungsnrgi dr Cyclolkn Wi in dr ltztn Vorlsung bsprochn, rgibt di Diffrnz zwischn dn Stndrdbildungsnthlpin dr Cyclolkn C n n und dm n-fchn Bitrg für di C - Gruppn [n (-0.) kj mol - ] di Ringspnnung.
Aufgabe 4: 7-Segmentanzeige
Au : 7-Smntnzi G. Kmnitz, TU Clusthl, Institut ür Inormtik 5. Juni 23 Di Vrsuhsurupp ht in -stlli 7-Smnt-Anzi mit vrunnn Kthonsinln un minsmr Ano j Zir, so ss zu jm Zitpunkt nur in Zir nzit wrn knn. Zur
Übungsblatt VU Algorithmen und Datenstrukturen 2 VU 3.0
Üunsltt 1 18.813 VU Alorithmn un Dtnstrukturn 2 VU 3.0 2. Sptmr 2013 Au 1 Wir trhtn s 0/1 Ruksk-Prolm, s sih ür n Wihnhtsmnn mit vir vrshinn Gshnkn stllt. Di oln Tll it jwils ür js r Gshnk G 1, G 2, G
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e m a t c c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e m a t c c h a p t e r þÿ 1 0 0 0 B e s t G a m e s f o r W i n d o w s ( 1 9 9 9, C o s m i E u r o p e, L t d. ) ( W i n d o w s 3. x ) 1 0 0 1.. B e t A t H o m e D i
b) Was ist eine Gradsequenz? Eine sortierte Folge der Grade der Knoten aus einem Graphen.
Forml Mthon r Inormtik WS 2010/2011 Lhrstuhl ür Dtnnkn un Künstlih Intllignz ProDrDrFJRrmhr H Ünvr T Rhl J Dollingr 4 Augnltt Bsprhung in n Tutorin vom 24112010 ( Üungstrmin) is 01122010 (is Üungstrmin)
Neugierig auf diesen Text???
Anlysis Eponntilfunktionn Nugirig uf disn Tt??? Intgrtion von Eponntilfunktionn Mit Sustitution und prtillr Intgrtion Dti Nr. 5 Stnd.7. Fridrich W. Buckl INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mth-cd.d
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P a r t e i c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P a r t e i c h a p t e r þÿ C a s h p o i n t. c o m, s u b i e c t e l e ( s p o r t b e t v e r i f i c a r e b i l e t, s k i b e t s p a r i u r i s p o r t i v e,.
4 Zubehöre Hydraulikzubehöre
Hyrulikzuhör Rohrgruppn All Rohrgruppn sitzn Kuglhähn mit intgrirtm Thrmomtr un ustllrr Shwrkrtrms im Vorlu-Kuglhhn. Ein 45 Drhung iss Kuglhhns önt i Shwrkrtrms. Di Rohrgruppn ür grglt Hizkris sin mit
Lineare Algebra. Übungsblatt November Aufgabe 1. (4=2+2 Punkte) Sei V ein K-Vektorraum und seien v 1,..., v n V.
Goethe-Univesität Fnkfut Institut fü Mthemtik Linee Alge Wintesemeste 28/9 Pof. D. Jko Sti Mtin Lütke Üungsltt 5 3. Noveme 28 Aufge. (42+2 Punkte) Sei V ein K-Vektoum un seien v... v n V. () Sei K α n
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e B o n u s z l c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e B o n u s 2 0 0 z l c h a p t e r þÿ 2 9 N o v 2 0 1 4 H o m e & g t ; A r t i c l e s & g t ; S t a t s & a m p ; T r e n d s F o r T h e H e n n e s s y G o l d C u p
Übungen zu RED / PRED 1 Synchrones Digitaldesign
Üungn zu RED: Snchons Digitlsign Rgnsug, 16.06.2015 Üungn zu RED / PRED 1 Snchons Digitlsign 1.1 Snchons Digitlsign: Enl-Gnto () glol_nl CLOCK_50 ngn (nl-flgs gnto) nl _50MHz 10 MHz 1 MHz 100 KHz 10 KHz
Nützliche Tastenkombinationen
Nützlich Tastnkombinationn Nützlich Tastnkombinationn Nutzn von Tastnkombinationn Tastnkombinationn könnn Si vrwnn, um Winows 10 schnllr zu binn. Wichtig Systmprogramm zigt Winows 10 an, wnn Si rückn.
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e R o u l e t t e c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e R o u l e t t e c h a p t e r þÿ i m. M i t t l e r w e i l e u n t e r s t ü t z t m a n S c h a l k e 0 4, A u s t r i a W i e n u n d d e n S V R i e d.. y o u & # 3
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e n u o v o s i t o c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e n u o v o s i t o c h a p t e r þÿ D a r t W M W e t t e n v a n G e r w e n, T a y l o r, L e w i s, A n d e r s o n & M i g h t y M i k e h a t. i P h o n e, A n d r
Messverstärker. geringe Rückwirkung auf die Messgrösse (Der Eingangswiderstand ist gross für Spannungsmessungen und klein für Strommessungen)
Mssrstärr Kln Spnnunn un Ström müssn häuf rstärt wrn, or s rrtt wrn önnn. Mssrstärr ürnhmn s Auf. S hn typschrws foln Enschftn: rn ücwrun uf Mssröss (Dr Ennswrstn st ross für Spnnunsmssunn un ln für Strommssunn)
2. Distributivgesetz / Binomische Formeln
Afgnsmmlng Mthmtik Distritigstz / Binom. Formln Kpitl / Sit 1. Distritigstz / Binomish Formln. 1. Distritigstz ( ± ± ( ± ± ( ± ± 1. Vrwnl i folgnn Prokt in Smmn or Diffrnzn ( ( 9 11 ( w 11 ( 9 ( 9 1 f
Chapter 1 : þÿ h e r u n t e r l a d e n b e t a t h o m e C a s i n o c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ h e r u n t e r l a d e n b e t a t h o m e C a s i n o c h a p t e r þÿ d i e S e i t e n u t z t s o l l t e n i c h t n u r i n d e n N e w s l e t t e r n n a c h a k t u e l l e n &
5. Allgemeine Bäume und Binärbäume
5. llgmin äum un inäräum äum - Ürlik - Orintirt äum - Drstllungsrtn - Gornt äum inär äum: griff un Dfinitionn Spihrung von inärn äumn - Vrkttt Spihrung - Flum-Rlisirung - Squntill Spihrung - ufu von inäräumn
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e T e n n i s A k k u m u l a t o r c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e T e n n i s A k k u m u l a t o r c h a p t e r þÿ K i n g & # 3 9 ; s B e s t s e v e n - y e a r - o l d, h a n d l e d b y J o h n n y M u r t a g h o n t h e & n b
Aufgaben zur Interferenz
Aufan zur Intrfrnz. Auf in optich Gittr it dr Gittrkontant 4,00 * 0-6 fällt Licht dr Wllnlän 694 n nkrcht in. Da Intrfrnzild wird auf in 2,00 ntfrntn nn Schir oachtt, dr paralll zu Gittr tht. a) Brchnn
Chapter 1 : þÿ b e t k o n t o l ö s c h e n c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t 3 6 5 - k o n t o l ö s c h e n c h a p t e r þÿ 1 7. J u n i 2 0 1 6 E i n s a t z : 5 / 1 0 A l b a n i e n s o r g t e n w e g e n d e r v i e r G e g e n t o r e a b e r a u c
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e a g b c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e a g b c h a p t e r þÿ 2 8. S e p t. 2 0 1 5 D a s W e t t a n g e b o t b e i B e t - a t - H o m e i s t g r o ß, n e b e n z a h l r e i c h e n m i t d e m. o n l i
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e W e l t m e i s t e r s c h a f t D a r t s c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e W e l t m e i s t e r s c h a f t D a r t s 2 0 1 5 c h a p t e r þÿ w a i t i n g t o s t a r t h i s b a n k r o l l t o d e t e r m i n e t h e b e t a n d p l a y f
Übungen zu RED / PRED 1 Synchrones Digitaldesign
Üungn zu RED: Snchons Digitlsign Rgnsug, 6.6.25 Üungn zu RED / PRED Snchons Digitlsign. Snchons Digitlsign: Enl-Gnto () glol_ CLOCK_5 ngn (-flgs gnto) _5MHz MHz MHz KHz KHz KHz Hz Hz Hz CLOCK_5 c ff ck
Die Kraft der guten Worte
! k h c s l l o iv Ds Büchr, C chmck, ft Ptsch A trß PLZ / Ort L A ll i sivoll schk möcht! mit vil Fr f ll it rit. Wi k ich hlf? Dis Frg h sich sichr scho vil vo s gstllt. Zm Bispil mit sr Gschk, r Erlös
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Musterlösung Aufgabe 1:
rlin Üung Anlog- und Digillkronik W 9/ lcronics nd mdicl signl procssing Üung 8: Oszillorn i /9 Musrlösung Aug :. Brchnung dr Ürrgungsunkion 4 4 mi ω j s C C j C ω ω ω rlin Üung Anlog- und Digillkronik
Wintergetreide - Herbizidstrategie Frühjahr 2018
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Chapter 1 : þÿ p a y p a l b e t a t h o m e g e h t n i c h t c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ p a y p a l b e t a t h o m e g e h t n i c h t c h a p t e r þÿ a l s o k o s t e n l o s e s W e t t g u t h a b e n b e i s p i e l s w e i s e f ü r S p o r t w e t t e n, m i t d e
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - C h a t c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - C h a t c h a p t e r þÿ 2 4. M a i 2 0 1 2 M u s s m a l e i n L o b a u s s p r e c h e n f & a m p ; # 2 5 2 ; r B e t - a t - h o m e S t a t t d e s s e
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. c o m A p p c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. c o m A p p c h a p t e r þÿ p h a r a o s g o l d s l o t b e s t e o n l i n e c a s i n o s o h n e e i n z a h l u n g n o v o l i n e k o s t e n l o s. l a c k t
Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion
Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3
Grundwissen 8 Klasse. y = c x ist, das x-y-diagramm eine Ursprungsgerade ist.
Grundwissen 8 Klsse Direkt proportionle Größen x und y sind direkt proportionl, wenn zum n-en Wert ür x der n-e Wert ür y eört, die Wertepre quotientenlei y y2 sind:, x x2 y x ist, ds x-y-dirmm eine Ursprunserde
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. c o m g r c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e. c o m g r c h a p t e r þÿ 1 7 O c t 2 0 1 4 T h e e x p e r t s a t t h e G o o d H o u s e k e e p i n g I n s t i t u t e g i v e t h e t h u m b s u p t o t h e o
Das Minimum-Spanning-Tree Problem MST
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Da Dafrerte. Allegretto SOPRAN ALT TENOR BASS. I geh nim - mer, i geh nim - mer, nim- mer, nim- mer, nim- mer, i geh nim - mer, i geh nim - mer,
SOPRAN ALT TENOR BASS Allegretto I g i g I g i D Drerte i g g i g Stz: Blduin Sulzer i g i g I g i g i g i g 6 I g i i g i g g mer us si ins V i g i i g dern sein g 10 Lus, es wchst nix und wird nix, is
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