Musterlösung - Aufgabenblatt 4. Aufgabe 1

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1 Murlöung - Augnl 4 Aug ) Au Üungl 3 hn wir ür n ggnn Grphn G gzig, ν(g) = 9 gil, inm wir olgn Mhing M von mximlr Krinliä nggn hn: g h i j E gil lo, nh König Mhing-Thorm u r Vorlung, uh τ(g) = 9. Ein opiml Knonürkung rhln wir nh m Vrhrn, im Bwi von König Thorm vrwn wir. Dzu rhn wir n Riulgrphn: g h i j J Mhing-Kn {x, k}, x {,,..., j}, k {,,..., 0}, lir inn Knon ür i Ürkung. Wir wähln n orn Knon x, ll im Riulgrphn inn grihn Wg von inm unrn Knon, r nih von M ürk wir, zu x gi. Anonn wähln wir k. Di rgi i olgn Knonürkung: {,,, 6,,, 8, 9, 0}. g h i j ) Si G = (U W, E) in iprir Grph mi n Knon, in m jr Knon gnu k > 0 Nhrn h. Wir wolln zign, G in Mhing iz, n/ Knn nhäl. Wir zign zunäh mi opplm Azähln, i in Knonmngn U un W glih groß in mün. Di Anzhl E llr Knn in G i zum inn i Summ llr Nhrn von Knon in U, lo k U, zum nrn r uh i nprhn Summ ür ll Knon in W : k U = E = k W. E gil lo U = W un mi U = W = n/ un ußrm E = k n/.

2 Nh König Mhing-Thorm nprih i mximl Größ in Mhing in G r Knonürkungzhl. Di Mng U i ihr in Knonürkung r Größ n/. Ein klinr Knonmng mi l < n/ Knon ürk höhn k l < E Knn, knn lo nih ll Knn ürkn. E gil lo ν(g) = τ(g) = n/. Aug Wir lln Txihrr-Prolm l inn Grphn r, in m in mximl gwih Mhing inr opimln Zuwiung nprih. D wir mximl Mhing rhn, r i Anhrzi minimir wrn oll, gn wir n Knn ngiv Gwih: Dr Algorihmu ginn mi m lrn Mhing M 0 = un wähl inn M 0 - ugmnirnn Wg minimlr Läng. Hiri i i Läng inr Kn züglih in Mhing M ihr Gwih w(), ll M, un w(), ll / M. In unrm Fll kommn lo ll Knn n Ggnwr ihr Gwih. Wir wähln l M 0 -ugmnirnn Wg lo i Kn mi m rgmäßig klinn Gwih, i Kn C-F : Für Mhing M = {{C, F }} wolln wir nun lo inn kürzn M -ugmnirnn Wg inn. Din knn mn mi Hil Algorihmu von Bllmn- For or urh Brhn llr möglihn Wg inn. Wir hrin hir nih, wi wir vorghn. E rgi ih joh, wir nwr n Wg D-F -C- H or i Kn D-H wähln könnn, i i Läng 3 izn. Wir wähln i Kn un rhln Mhing M = {{C, F }, {D, H}}: Bi r Suh nh inm M -ugmnirnn Mhing rhln wir nur inn Knin: Dn Wg B-F -C-G, r Läng 6 h:

3 Mi Hil i ugmnirnn Wg rhln wir Mhing M 3 = {{B, F }, {C, G}, {D, H}}: Bi r Suh nh inm M 3 -ugmnirnn Mhing rhln wir nur inn Knin: Dn Wg A-H-D-E, r Läng 0 iz: Al inl Mhing rhln wir Mhing M 4 = {{A, H}, {B, F }, {C, G}, {D, E}} vom Gwih 0: Aug 3 Si G = (U W, E) in iprir Grph. Wir gn inn grihn Grphn D = (V, A) mi inr Kpziäunkion n, o in mximlr Flu u D in Mhing in G von mximlr Krinliä lir. Dr Grph D i in unnhnr Ailung rgll. Di Knonmng V von D nprih r von G mi zwi zuäzlihn Knon un. All Knn von G in uh in r Knnmng A von D nhln, wir orinirn i von U nh W. Zuäzlih nhäl D ll möglihn Knn (, u) mi u U un (w, ) mi w W. J Kn rhäl Kpziä. Di Kpziäunkion i lo : A Z 0 mi () = ür A.

4 G U W Mhing in G nprhn nun gnu gnzzhlign Flün u G: Ein gnzzhligr Flu : A Z 0 i urh hränk, j Kn h lo inn -Wr von nwr 0 or. Wähln wir M l i Mng llr Knn in E, i von n Wr zugorn kommn, o i M in Mhing, jr Knon in U nur in inghn un jr Knon in W nur in ughn Kn mi jwil Kpziä h. Für in Mhing M rhln wir inn Flu wi olg:, ll = (u, w), u U, w W un {u, w} M or = (, u), u U un u i von M ürk () = or = (w, ), w W un w i von M ürk, 0, on. rüll i Fluignh, jr Knon in U W von höhn inr Kn ürk wir. Jr gnzzhlign Flu inir lo in Mhing un umgkhr. D nur ughn Knn h, i r Wr in gnzzhlign Flu gnu i Anzhl r Knn im nprhnn Mhing. Wir rhn in gnzzhlig Kpziäunkion. Dhl gi nh Vorlung uh inn gnzzhlign mximln Flu. Dir nprih nh unrn Ürlgungn inm mximln Mhing. Aug 4 Wir hn unnhnn Grphn ggn un wolln n Algorihmu zur Brhnung in mximln Flu vrwnn, um inn --Flu mi mximlm Wr un inn --Shni mi minimlr Kpziä zu immn Wir ginnn lo mi m Flu = 0 un rhn n Riulgrphn D, r zunäh m urprünglihn Grphn nprih. Wir wähln inn grihn --Wg in D :

5 3 7 4 Enlng i Wg könnn wir n Flu mximl um rhöhn. Di nun Fluwr in in r Ailung nn n Kpziän in gru rgll. Wir rhn uh glih n Riulgrphn: Für i Knn, i poiiv Fluwr hn, gi nun uh Rükwärknn, i hir grihl rgll in. Knn, rn Kpziä ughöp i, uhn nih mhr l Vorwärknn u. Wir uhn wir inn grihn --Wg un vrwnn in, um n Flu zu rwirn Di wirn Shri Algorihmu hrin wir in nur noh in Ailungn. J Ailung zig n rulirnn Flu un n Riulgrphn zummn mi m grihn --Wg rin, r i olgn Flurhöhung lir. 3 0

6 In im Riulgrphn gi kinn grihn --Wg, Knon, r inzig Knon n wir noh von u rrihn könnn, nur in ughn Kn h, i un r zu zurükühr. Wir hn lo inn mximln --Flu mi Wr 9 gunn. Au r Vorlung win wir, wir inn korrponirnn minimln -- Shni rhln, wnn wir δ + (U) rhn ür i Mng U llr Knon, i

7 in D von u rrihr in. In unrm Bipil hn wir U = {, }. Dr miniml Shni h lo u n in r olgnn Ailung hrvorghonn Knn