Zur β-ebenen Approximation

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Carin Becker
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1 Zr β-ebnn Approimion i primiin Glichnn dr β-ebn Hir rdn di sphärischn Koordinn (λ,ϕ) drch di Koordinn (, ) rs. s is mölich, n mn ds brch Gbi in Umbn inr Bri ϕ bschränk. r Voril is di inch orm dr Bnslichnn: Φ () Φ (b) Φ R p H { κ / H} (c) o ( ) o (d) () r Opror / is j. i Vriion ds Coriolisprmrs ird drsll drch: β mi Ωsinϕ, nd β / (Ω/)cosϕ. mi ird dr Coriolisprmr in linr nkion on, s mnch Rchnnn shr rlichr. Gosrophisch Blnc nd hrmischr Wind r osrophisch Wind (,, ) rib sich s dr Glichsn on Corioliskr nd Grdin ds Goponils in (5.,b), nn irhin s ird. Sin Komponnn sind: -/, / mi (/ ) (Φ - Φ ) () ls dr osrophischn Sromnkion, obi Φ () in pssnds Rrnproil ds Goponils is. Bichnn ir mi U in chrkrisisch Gschindiki on,, mi L in chrkrisisch Län on,, so is di osrophisch Approimion is soln nnährnd üli, i il: (I) Ro U/ L << (b. U /L << U) (II) / << (III) βl << nich m Äqor (IV), << U (3) V-

2 Bdinn (I) bd, dß di nichlinrn Trm r r in dn Adkionsrmn nübr dm Coriolisrm rnchlässi rdn, (II) ib n, dß di ilichn Ablinn rschindn, (III) rmölich di Vrndn on nsll on nd (IV) ib n, dß di Ribn klin is. Sll mn (c) m, so komm ür di ponill Tmprr: H κ Φ Φ H κ () p p. (4) R H R H Unr Vrndn on (5.c ) (Φ RT H ) schrib sich (5.4) ch: H κ RT RT H κ p p, b. R H H H R H H T T (). (5) R T () is in Rrnmprrproil (nbh. on,). Somi knn mn () nch blin nd rhäl: ( T T ) ( T T ) R R T H H R H R T H ls hrmisch Windlichn in dr β-ebnn-approimion. siosrophisch Srömn, (6), (6b) i osrophisch Approimion is in rs Annährn n di Bnslichnn () nr dr Vorssn rnchlässibrr Bschlnin nd inm klinn β. bi is in () kin Ziblin orshn, so dß di Ändrnn ds osrophischn Winds nich brchn rdn könnn. Mn brch dhr Abichnn om osrophischn Wind nd dinir di osrophischn Gschindikin ls: -, -,, mi <<, <<, <<,. (7), (7) ird nn in di Bnslichnn () ins. Mn rnd nn di Bdinnn (3) nd srich ll Trm, in dnn Prodk s klinn Größn rn. V-

3 V-3 i rs Bnslichn () ird, nn / plii sschribn ird, : Φ β β. (8) Wn / << nd /, / << / nlln dr. (br nich dr.), 4., 5. nd 6. Trm in dr rsn Zil, ll ßr dm. Trm in dr in Zil nd di sm dri Zil (dr. Trm dor is nch dr hrmischn Windlichn proporionl dm mridionln Tmprrrdinn). r 4. Trm dr irn Zil näll n βl <<, ßrdm hbn sich n dr iniion ds osrophischn Winds () dr. nd 5. Trm dr irn Zil. Also blib: β. i. Bnslichn nd di Koniniäslichn rdn ähnlich bhndl, obi noch on dr irnrihi ds osrophischn Winds Gbrch mch ird. Bim. Hps () ird sälich noch Gbrch on dr Vorssn mch, dß di Abichn on dr Rrnmprr nr in horionlr Richn roß is, d.h.: / << ()/, lso / /. Wirhin is, i obn ch schon, () nich on nd bhäni. Mi dr Abkürn / / / ls dr dm osrophischn Wind olndn Ablin sind lso di Glichnn ür di qsiosrophisch Srömn: β, (9) β, (9b), (9c). (9d)

4 i qsiosrophisch ponill Voricilichn Mn knn nn diss Glichnsssm (9) kombinirn m di qsiosrophisch Voricilichn ls in ini Glichn rhln. i Vriklkomponn dr qsiosrophischn Vorici is: β. () sll di osrophisch Approimion dr bsoln Vorici dr β-ebn dr. Li mn (9) nch b, (9b) nch, mlipliir (9) mi - nd rs di Trm mi drch di Koniniäslichn, so rhäl mn di Voricilichn: ( ). () In () is immr noch di osrophisch (odr inlich di sm) Vriklschindiki bili. is soll nn rs rdn. ird (9d) mi dm Asdrck mlipliir. disr nr on bhän, knn r in di Ablin hininon rdn: Mi p{ H} T κ [ ] is: nd dmi nd mi dr iniion on in (4):. () ( ) T κ κ T p, (3) H H H T κ T R H N, (4) (l. di iniion on N), obi N di Brn-Visl-rqn is, di m Rrnmprrproil T () hör. Wir lin nn (5.) nch b (s inch is, dß nr "horionl" Anil h, nd ir dhr di Ablin in ds ol irnil hininihn könnn: [ ( ) ] ( ) ( ). (5) Nn ird (5) noch mi / rir, obi ir / nr ds irnil ihn könnn, d nr on bhän (nd kin Ablin nch binhl): [ ( ) ] ( ) ( ). (6) V-4

5 V-5 Addir mn (6) noch (): (7) is is di qsiosrophisch ponill Voricilichn, mi q ls dr qsiosrophischn ponilln Vorici:. () q β β Ers mn dn ln Trm drch (4), so is: ε β q (8) mi () N ε. (9) i qsiosrophisch ponill Voricilichn ird dnn: q () i ilich Enickln dr qsiosrophischn ponilln Vorici ird drch (8) bn. Hirbi hn kin osrophischn Gschindikin mhr in. Wnn di Srömn ribnsri nd dibisch is ( ), is q in Erhlnsröß nn mn dm osrophischn Wind ol. i qsiosrophisch ponill Vorici is nich di osrophisch Approimion on ponilln Vorici (PV). PV is in Erhlnsröß dr smn Srömn, ährnd q in Erhlnsröß dr qsiosrophischn Srömn is. Von inin Aorn ird q dhr ch "psdoponill Vorici" nnn.

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