9. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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Gerhardt Maus
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1 9. Übungsbla Aufgabn mi Lösungn Aufgab : Zwi Drucklufbhälr mi unrschidlichn Volumina V und V sind durch in zunächs vrschlossn Rohrliung vrbundn. Vor Öffnn ds Sprrvnils zu 0 hrrschn in dn Bhälrn unrschidlich Druckpgl p 0 und p 0 vor. Aus dr Zusandsglichung idalr Gas pv nrt n Soffmng, R Gaskonsan, T Tmpraur rhaln wir unr Annahm ins isohrmn Ausglichs dn Zusammnhang ṗv ṅrt und lzlich mi dm Srömungswidrsand W dr Rohrliung, ṅ Wp und a, : folgnd Sysm für das Modll ṗ a a p, > 0. ṗ a p Es si p 0 bar, p 0 9 bar, a bar/s und a bar/s. a Wlchr Bhälr rrich inn Druck von zwi Bar und nach wlchr Zi? a RT WV, das b Wlchr Druck wird nach vollsändigm Druckausglich rrich wrdn? Lösung : Das zu lösnd Anfangswrproblm lau inhinlos ṗ p, > 0, p0. 9 }{{} A Zunächs wird das charakrisisch Polynom bsimm: λ pλ da λi d λ λ λλ + λ Di Eignwr sind dami λ 0 und λ. Einn Eignvkor ds rsn Eignwrs rhaln wir aus dm Glichungssysm Ax 0, z.b. x,, zum zwin Eignwr brachn wir das Glichungssysm A + Ix 0, dis führ zu x,. Di allgmin Lösung ds Diffrnialglichungssysm is somi p C x λ + C x λ C + C p,v, C, C R. p,v Aus dn anggbnn Anfangswr p0, 9 rhaln wir C und C und di Lösung ds Modlls p + 6. a Für dn Druck im rsn Bhälr ha di Glichung p! di Lösung ln 0.7 s, für dn zwin Bhälr gil p +6 >, und dahr wird r ni dn gfordrn Druck rrichn. b Dn Druckausglich rhaln wir für, dann gil lim p lim lim + 6. Somi bräg dr Druck in bidn Bhälrn bar Di Abbildung zig dn Vrlauf ds Drucks p blau und p ro in bidn Bhälrn.

2 Aufgab : Ggbn si di Diffrnialglichung x y x xy x + yx x lnx, x > 0. Di zughörig homogn Diffrnialglichung bsiz in Lösung dr Form yx Ax + B. a Bsimmn Si di allgmin Lösung ds homognn Problms durch Rdukion dr Ordnung. b Bsimmn Si in parikulär Lösung ds inhomognn Problms mils Variaion dr Konsann. c Lösn Si das Anfangswrproblm dr inhomognn Diffrnialglichung mi y y. Lösung : a Ein homogn Eulr-Diffrnialglichung lös man normalrwis mi dm Ansaz yx x λ. Is jdoch schon in Lösung ggbn, so kann man di zwi Lösung durch di Rdukion bsimmn. Aus dm Ansaz dr Aufgabnsllung rhäl man y x x als homogn Lösung; Wir wähln dn Rdukionsansaz: yx xux, dami y x ux + xu x und y x u x + xu x. In dr DGL ingsz habn wir di rduzir Diffrnialglichung: u x 0 Somi is ux cx + d, c, d blibig. Dswgn lau yx xux cx + dx, also is y x x wir homogn Lösung. An dr Wronskidrminan Wx x x x x 0 shn wir, dass wir hir asächlich in Fundamnalsysm habn. b Wir vrwndn das Prinzip dr Variaion dr Konsann mi dm Ansaz Dis führ auf das linar Glichungssysm y p x c xx + c xx. c xx + c xx 0 c x + c xx xlnx mi dr Lösung c x xlnx und c x lnx. Wir rhaln durch Ingraion z.b. c x x lnx und c x xlnx x. Dami is y p x x lnx x in parikulär Lösung. c Szn wir di Anfangsbdingung in di allgmin Lösung yx C x + C x + x lnx x in, so rhaln wir di induig Lösung yx x lnx + x + x. Aufgab : Ggbn si di Diffrnialglichung y x y x + yx x sinx. a Bsimmn Si di allgmin Lösung ds homognn Problms. b Vrwndn Si inn Ansaz vom Typ dr rchn Si zur Bsimmung inr parikulärn Lösung. c Lösn Si das Anfangswrproblm mi y0 /5, y 0. Lösung : a Mi dm Ansaz y h x λx rgib sich das charakrisisch Polynom zu: λ λ+ 0, dis ha di Nullslln λ / ± ± i, dswgn sind y x x cosx und y x x sinx di homognn Lösungn. Somi lau di Lösung ds homognn Problms allgmin y h x c y x + c y x, c, c R. b Vrglichn wir das allgmin bx mi dr rchn Si µx [q xcosµ x + q xsinµ x] x sinx, so shn wir µ, µ, q x 0, q x. Dami rgib sich dr allgmin Ansaz yx x k µx [r xcosµ x + r xsinµ x] zu y p x Asin x + B cosx x, wobi k 0, da + i kin Lösung ds charakrisischn Polynoms und r x A, r x B, da q x 0, q x jwils Polynom vom Grad 0 sind. Eingsz in di DGL: [A Bsinx + A + Bcosx] x! x sin x So shn wir nach Koffizinnvrglich: A 5 und B 5 und dami is y px 5 x sin x cosx in parikulär Lösung. c Di allgmin Lösung lau: yx 5 x sin x cosx + c x cosx + c x sin x

3 Mi dn Anfangsbdingungn rhäl man dami: yx x 5 sin x cosx + x 5 cosx + sinx 5 Aufgab : Lösn Si di Diffrnialglichung mi inm Ansaz vom Typ dr rchn Si: y x y x + yx x + x + x + x, x R Lösung : Zunächs bnöign wir di Lösung dr homognn Diffrnialglichung, dazu bsimmn wir di Nullslln ds charakrisischn Polynoms λ λ + λ λ +. Also habn wir di Lösungn y x, y x x und y x. Nun habn wir auf dr rchn Si zwi Trm dr Form px λx mi inm Polynom p von Ordnung q. Zurs brchnn wir parikulär Lösungn fur dn rsn, dann für dn zwin Trm und in parikulär Lösung für di gsam Diffrnialglichung is dann wgn ihrr Linariä di Summ dr bidn Lösungn. Brachn wir zunächs y y + y x + x + x. Hir is λ kin Nullsll ds charakrisischn Polynoms und das Polynom ha di Ordnung q, also is unsr Ansaz ux ax + bx + c x u x ax + a + bx + b + c x und dis szn wir in di Diffrnialglichung in: u x 9ax + a + 9bx + a + 6b + 9c x u x 7ax + 5a + 7bx + 8a + 7b + 7c x 7ax + 5a + 7bx + 8a + 7b + 7c x 9ax + a + 9bx + a + 6b + 9c x + ax + bx + c x x + x + x Dami rhaln wir durch Koffizinnvrglich das linar Glichungssysm für a, b und c: Also lau unsr rs Parikulärlösung y P x x 8 x + x. Nun brachn wir y x y x + yx x. Hir is λ in Nullsll, in Rsonanzfall, zwir Ordnung ds charakrisischn Polynoms und das Polynom ha di Ordnung q 0, also is unsr Ansaz ux wlchn wir in di Diffrnialglichung inszn: ax x u x ax + x x u x ax + 8x + x u x a8x + x + x a8x + x + x ax + 8x + x + ax x x. Dami rhaln wir a 6 und so di zwi Parikulärlösung y P x 6 x x. Somi lau di Parikulärlösung für di gsam Diffrnialglichung und so di allgmin Lösung y P x x 8 x + x + x 6 x yx x 8 x + x + x 6 x + α x + βx x + γ x, α, β, γ R.

4 Aufgab 5: Man lös das inhomogn linar Diffrnialglichungssysm x 0 Ax + b für A Wobi für di rch Si gil: a b b b. Lösung 5:. Schri: lös das homogn LGS: da λi λ λ λ + λ, λ Brchnn dr Eignvkorn: λ : λ : w, R 0 0 w, R 0 0 allgmin Lösung ds homognn Sysms: x h c + c. Schri: parikulär Lösungn mi Variaion dr Konsann Ansaz: x p cx h dami gil: Eingsz in das DGL-Sysm rgib sich:, c, c R. x c x h + cx h c + c + c + c c + c + c + c c + c + c + c a für b gil: c + c c + c 0 c + c b c + c + b c + c + b c c + c + 6c + b b b c c c c c c + Somi gil für di parikulär Lösung: x p und für di allgmin Lösung: x x h + x p c + c + b für b gil: +, c, c R. c c c c c c +

5 Somi gil für di parikulär Lösung: x p und für di allgmin Lösung: x x h + x p c + c , c 0, c R.

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