Lösungen zu Blatt 8 Laplace-Transformation Mathematik III KI

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Gerhardt Simen
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1 öngn z Bla 8 aplac-tranformaion Mahmaik III KI Prof.Dr.B.Grabowki Z Afgab Brchnn Si di Urbildfnkionn z folgndn Fnkionn F mil Parialbrchzrlgng! 8 a F b F 8 Z a. Schri: Nlllln d Nnnr bimmn: drch Probirn,, -. Schri: Anaz für di Parialbrüch: A B C F. Schri: Bimmng dr Koffizinn A,B,C dr Parialbrüch: Wir mliplizirn di Glichng mi dm Hapnnnr von F nd zn di Nlllln,- nd in. Wir rhaln in GS mi Glichngn für A,B,C. Wir lön di GS drch dn Ga chn Algorihm nd rhaln: A, B5, C-.Schri: Rückranformaion Drch Rückranformaion dr inzlnn Parialbrüch rgib ich da Ergbni: f { F } 5 Z b Schri: Zrlgng d Nnnr von F in inarfakorn. Daz bimmn wir di Nlllln d Nnnr: Wir rhaln di Nlllln: doppl nd da Paar konjgir komplxr Nlllln: j,. Di FZ d Nnnr la folglich: j F..Schri: Anaz für di Parialbrüch: A B C D F

2 . Schri: Brchnng dr Koffizinn A,B,C,D D C B A D C B A F Drch Einzn von vrchidnn Wrn für -, -,, Ergib ich folgnd Glichngym: mi dn öngn : 9 D C B A D C B A Ergbni: F. Schri: Rückranformaion F { } in F Z Afgab Brchnn Si nr Vrwndng d Falngaz di Urbildfnkion f z a F 8 b F Z a. Schri: FZ d Nnnr von F Di Nlllln d Nnnr ind: infach, - infach D.h., i: F 8. Schri: Fakoriirng von F: F

3 mi nd.schri: Falng Falngaz d d d Ergbni: F Z b. Schri: FZ d Nnnr von F Di Nlllln d Nnnr ind: Paar konjgir komplxr Nlllln j, -j doppl D.h., i: F. Schri: Fakoriirng von F: F, mi co in nd.schri: Falng Addiionhorm Falngaz d d d d d d co in co in co in in co in co in in co co in co in Wir brchnn nn di bidn Tilingral dir Glichng:

4 I I I I in cod, vdv v co Sbiion : v in Rückbiion : I d Sbiion : v in dv cod dv d co v dv v in v Rückbiion : I in Dami rhaln wir da Ergbni: co in in in co in in in Z Afgab Wlch Fnkionn ind gfal wordn, m folgnd aplac-tranformir z rhaln: F 9 9 öng: FZ d Nnnr drchführn, d.h. zr ind di Nlllln d Nnnr z bimmn! Nlllln: -, Paar konjgir komplxr Nlllln j, -j Di rll FZ d Nnnr la folglich: 9 9 j j 9 Fakoriirng von F, d.h. wir zrlgn F o in Fakorn, da wir von jdm Fakor di Urbildfnkion knnn bzw. rmiln könnn: F Hinwi: Di Fakorn olln wnn ich m gbrochn raional Fnkionn handl, ch gbrochn raional Fnkionn in! Bimmng dr Urbildfnkionn dr inzlnn Fakorn, co in 9, Nach Falngaz gil: Prodk im Bildbrich nprich dr Falng im Urbildbrich

5 Ergbni: Folgnd Fnkionn ind gfal wordn: f nd f co in, d.h. f*f F 9 9 Z Afgab Ggbn Si F für >. a Unrchn Si da Grnzvrhaln dr Urbildfnkion f, d.h. bimmn Si : lim f. b Warm dürfn Si zr Brchnng d Vrhaln von f für ggn da Gz lim f lim F nich anwndn? c Brchnn Si lim f af gign Wi! Z a a Grnzwraz Saz übr dn Zammnhang von Urbild- nd Bildfnkion bi dr aplac-tranformaion gil: lim f lim F lim lim Z b Vorich hir! Dr Grnzwr lim f für im Zibrich, darf nich al Grnzwr von F für brchn wrdn. Di würd lifrn, dr Grnzwr i jdoch, wnn man ihn übr di Rückranformir archn, nndlich. Grnd: Da bi dr aplac-tranformaion z bildnd Ingral konvrgir nr für >, d.h. di aplac-tranformaion i nr für di -Wr gülig. Dahr kann dr Grnzübrgang für nich drchgführ wrdn, d.h. hir gil nich: lim f lim F, da F nr für > dfinir i. Z c Wir führn dhalb znäch in Rückranformaion von F in dn Zibrich drch übr PBZ nd bildn anchlißnd dn Grnzwr von f. Rückranformaion übr PBZ: 5

6 - E gil: F. - Wir wähln folgndn Anaz für di PB: F A B - Di Glichng lifr nach Mliplikaion mi dm Hapnnnr: A B Szn wir - bzw. in di Glichng in, o rhaln wir A.5 nd B,5. Dami i F.5.5. Di Originalfnkion f ha folglich di Gal: f,5,5 F i nr für > nd >-, alo nr für > dfinir. Grnzwr: lim f lim,5,5. Z Afgab 5 Brchnn Si di öng yx folgndr Diffrnialglichng mil aplac-tranformaion! y ' x y x x, Anfangbdingng: y. Schri: Wir ranformirn di Diffrnialglichng drch T in dn Bildbrich:. Schri: Wir lön di Glichng * nach Y af. Wgn y rgib ich:

7 . Schri: Wir ranformirn Y zrück in dn Urbildbrich. Daz vrwndn wir hir di PBZ. Prob: Man brchn y x nd übrprüf, ob di Diffrnialglichng für nr yx nd y x rfüll i. Z Afgab Brchnn Si di öng yx folgndr Diffrnialglichng mil aplac-tranformaion! x y' ' x y' x y x Anfangbdingng: y y 7

8 . Schri: Wir ranformirn di Diffrnialglichng drch T in dn Bildbrich:. Schri: Wir lön di Glichng * nach Y af. Wgn y y rgib ich:. Schri: Wir ranformirn Y zrück in dn Urbildbrich. Daz vrwndn wir hir di PBZ. Nlllln d Nnnr: - infach nd - doppl Brchnng von A,B,C: Einzn dr Wr -, -, rgib da Glichngym: Di öng i A, BC -. Dara folg: 8

9 Rückranformaion: Prob: Man brchn y x nd y x nd übrprüf, ob di Diffrnialglichng für nr yx, y x nd y x rfüll i. Z Afgab 7 In inm R-Sromkri mi inm Ohmchn Widrand R nd inr Indkiviä gnüg di Sromärk ii inr linarn Diffrnialglichng. Ordnng: di Ri d Dabi i di von aßn anglg Spannng. Bimmn Si nr dr Anfangbdingng i dn zilichn Vrlaf dr Sromärk ii a bi konanr Spannng con. o b bi inr anglgn Wchlpannng o ina a> Skizzirn Si di öng i in Afgab a in inm Koordinanym! Z a di aplac-tranformaion dr Dgl. Ri i in dn Bildbrich: d I-i RI. Wgn i rgib ich di Glichng: I RI Aflön dir Glichng nach I: o o I R R / Rückranformaion übr PBZ odr Falng rgib di öng dr Dgl.: o i R R 9

10 Skizz: Z b di aplac-tranformaion dr Dgl. Ri in a i in dn Bildbrich: d a I-i RI. Wgn i rgib ich di Glichng: a a I RI a Aflön dir Glichng nach I: oa o a I a R a R / Rückranformaion übr PBZ odr Falng rgib di öng dr Dgl.: oa R i in a co a a R a Hinwi: Falng i wa infachr! R

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